常昊天，李小兵，鐘偉杰

（1.空軍工程大學(xué)研究生院，西安 710051；2.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051）

0 引言

二階倒立擺是強(qiáng)非線性、高階次、不穩(wěn)定系統(tǒng)，必須采取有效控制算法才能使之穩(wěn)定。倒立擺在軍工、航天、通信、機(jī)器人、機(jī)械制造等領(lǐng)域中都有著廣泛的用途和開發(fā)前景。

進(jìn)入21 世紀(jì)后，二級(jí)倒立擺的研究主要匯集在兩個(gè)方向：一是如何準(zhǔn)確、快速地從起始位置到達(dá)預(yù)設(shè)位置的起擺控制?，F(xiàn)階段應(yīng)用能量反饋方法基本能夠快速準(zhǔn)確完成此類控制。二是倒立擺臨近平衡點(diǎn)的穩(wěn)定控制。近些年來，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都針對(duì)平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定控制展開了大量研究工作。對(duì)于一級(jí)倒立擺系統(tǒng)，諸如極點(diǎn)配置、狀態(tài)反饋控制、魯棒控制等現(xiàn)代控制方法已能夠較好地契合和解決，但這類方法對(duì)于二級(jí)倒立擺這樣的強(qiáng)非線性且不穩(wěn)定的系統(tǒng)，控制效果則往往不理想。

目前，針對(duì)二級(jí)倒立擺的控制方法，如文獻(xiàn)［5-6］提出了根軌跡、PID 等經(jīng)典控制理論方法。文獻(xiàn)［8］提出了一類模糊邏輯與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的方法，能夠有效控制非線性系統(tǒng)。但是這些控制方法過度依賴人為的經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法及時(shí)應(yīng)對(duì)突發(fā)故障，控制效果泛化性不高。文獻(xiàn)［9］應(yīng)用LQR 方法對(duì)倒立擺進(jìn)行線性二次型最優(yōu)控制，但該方法僅能維持控制系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近達(dá)到小范圍局部最優(yōu)，外界一旦出現(xiàn)干擾信號(hào)，便會(huì)出現(xiàn)小車跟隨能力下降的情況。文獻(xiàn)［10-12］提出了H控制、滑膜變結(jié)構(gòu)控制、擬人控制等現(xiàn)代控制方法，控制精度高且能使二階倒立擺實(shí)現(xiàn)大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，但是這類控制方法大多較為復(fù)雜，控制過程的延遲時(shí)間較長(zhǎng)，對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行實(shí)時(shí)控制的效果不佳。

若要在大范圍內(nèi)既實(shí)現(xiàn)對(duì)二階倒立擺的穩(wěn)定控制，又降低隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，且具有快速性。設(shè)計(jì)一種性能更優(yōu)的控制器，不斷提升系統(tǒng)的抗擾能力，仍是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在此方面關(guān)注的問題。

1 二階倒立擺的模型建立

二級(jí)倒立擺的平面示意圖如圖1 所示，忽略空氣流動(dòng)和摩擦等微小因素，倒立擺系統(tǒng)可以描述為由小車、傳送帶、均勻材質(zhì)擺桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)。

圖1 二級(jí)倒立擺示意圖

對(duì)小車、擺桿、傳送帶進(jìn)行受力分析后，采用分析力學(xué)中的Lagrange 方程和能量守恒定律，易推導(dǎo)建立二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程式：

其中，為L(zhǎng)agrange 算子，表示系統(tǒng)具有的能量，為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，為系統(tǒng)具有的動(dòng)能，定義為：

其中，T為小車的動(dòng)能，T、T為擺桿的動(dòng)能。通過對(duì)小車受力分析，在水平面小車所受合外力為皮帶的摩擦阻力。再對(duì)擺桿受力分析，將其所受重力與支持力代入到微分方程便得到式（3）：

為系統(tǒng)具有的勢(shì)能，定義為式（4）：

考慮到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制最終目的是平衡，因此，在建模時(shí)可以對(duì)擺桿的上、下擺角在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化。當(dāng)擺桿角度足夠小時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到了平衡點(diǎn)。動(dòng)態(tài)方程式可進(jìn)行線性化處理，即：

則，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

其中，狀態(tài)向量為：

2 二級(jí)倒立擺模糊PID 控制

2.1 模糊PID 控制器結(jié)構(gòu)

由于二級(jí)倒立擺非線性特性，對(duì)倒立擺單獨(dú)使用PID 控制，系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性較差。對(duì)倒立擺單獨(dú)使用模糊控制，則可能存在因人為經(jīng)驗(yàn)不足使模糊規(guī)則數(shù)不夠，引起控制精度會(huì)不理想。因此，結(jié)合PID 控制的廣泛性、適用性與模糊控制的智能性、簡(jiǎn)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)模糊PID 控制器。即在無(wú)需預(yù)先整定PID 參數(shù)的情況下，實(shí)現(xiàn)對(duì)二級(jí)倒立擺的多狀態(tài)量的穩(wěn)定控制。以下，主要考慮對(duì)小車的位移，下擺桿與垂直面的夾角和上擺桿與垂直、面的夾角這3 個(gè)參量的控制。

2.2 PID 參數(shù)的自校正整定

PID 控制器在離散域內(nèi)的控制算法定義為式（9）：

圖2 模糊PID 控制原理圖

式中，k、k、k分別為比例、積分、微分的作用系數(shù)（），（-1）為當(dāng)前時(shí)刻和上一時(shí)刻期望輸出與真實(shí)輸出的偏差。目前，工業(yè)過程控制中最廣泛的應(yīng)用仍是PID 算法，或是以其思想為基礎(chǔ)的改進(jìn)算法。其控制精度的高低直接取決于控制對(duì)象模型所辨識(shí)程度的好壞。且在控制過程中對(duì)于如何整定PID 控制器的參數(shù)也具有很大的工作量，往往需要操作人員根據(jù)實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行整定。這對(duì)于復(fù)雜、高階次、不穩(wěn)定的系統(tǒng)是十分困難的，因此，需要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，設(shè)計(jì)一種方法使計(jì)算機(jī)能夠?qū)崟r(shí)校正PID 控制器的參數(shù)。

PID 控制器的在線校正方法如式（10），K為誤差量化因子，K為誤差變化率量化因子，K為輸出控制量比例因子。作為模糊控制器輸入輸出的比例系數(shù)，量化因子和比例因子反映了模糊論域與實(shí)際范圍之間的比例關(guān)系。K、K、K為原始量，ΔK、ΔK、ΔK為PID 控制器的調(diào)整量。

2.3 模糊規(guī)則的制定

模糊控制器采取兩輸入三輸出的形式，將小車位移、上擺角、下擺角與期望輸出偏差值定義為誤差，將誤差以及誤差對(duì)時(shí)間的變化率C進(jìn)行模糊推理后作為控制器的兩個(gè)輸入量，PID 控制器的校正量ΔK、ΔK、ΔK作為3 個(gè)輸出量。模糊控制器5 個(gè)變量的模糊子集設(shè)為{，，，，，，}含義為{負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大}。文獻(xiàn)［15］提出了一種設(shè)計(jì)模糊PID 控制器模糊論域及基本論域參數(shù)確定的思路。

據(jù)此，需要制定K、K、K這3 個(gè)參數(shù)整定的模糊規(guī)則，模糊控制器中包含7 個(gè)模糊子集，因此，PID 的每一個(gè)參數(shù)整定需要編寫49 條模糊規(guī)則。

誤差以及誤差對(duì)時(shí)間的變化率的比值為負(fù)時(shí)，上升階段會(huì)產(chǎn)生一定超調(diào)量。積分環(huán)節(jié)出現(xiàn)超飽和的現(xiàn)象，此時(shí)應(yīng)設(shè)置K較大，加大比例環(huán)節(jié)作用；設(shè)置K較小，減弱積分環(huán)節(jié)，并取一定數(shù)值的K防止超調(diào)量過高，利用比例環(huán)節(jié)回調(diào)曲線。K、K、K的參數(shù)整定規(guī)則如下：

誤差以及誤差對(duì)時(shí)間的變化率C的比值為正時(shí)，出現(xiàn)兩種情況：一是輸出未達(dá)到設(shè)定值便偏離設(shè)定值。此時(shí)調(diào)高積分系數(shù)K，比例系數(shù)K，目的為增大輸出量。二是出現(xiàn)超調(diào)量后，輸出值第2 次未達(dá)到設(shè)定值，相比于第1 次，輸出量偏離設(shè)定值較小，此時(shí)，需要增大積分環(huán)節(jié)系數(shù)K比增加比例環(huán)節(jié)系數(shù)K后出現(xiàn)超調(diào)量的概率小，K取適中數(shù)值。

誤差以及誤差對(duì)時(shí)間的變化率C的比值取值接近零時(shí)，應(yīng)設(shè)置K和K均取較大值，保持系統(tǒng)的運(yùn)行平穩(wěn)。同時(shí)設(shè)置K取較小值，防止系統(tǒng)出現(xiàn)震蕩。

考慮到高斯型函數(shù)靈敏度較高，且函數(shù)曲線相對(duì)平滑，并可以在論域范圍內(nèi)均勻分布，故將其作為隸屬度函數(shù)。系統(tǒng)根據(jù)反饋跟蹤與C的不同數(shù)值，調(diào)整ΔK、ΔK、ΔK，得到PID 控制規(guī)則，并建立表1 關(guān)于ΔK、ΔK、ΔK控制規(guī)則表。

表1 ΔKP、ΔKI、ΔKD 控制表

2.4 解模糊化

誤差以及誤差對(duì)時(shí)間的變化率C經(jīng)過模糊化處理后形成3 個(gè)模糊集合。在工業(yè)過程控制中，模糊集合不能直接作為輸出。必須將模糊集合的數(shù)值進(jìn)行相應(yīng)代數(shù)運(yùn)算，輸出準(zhǔn)確值才能實(shí)行控制。這一過程定義為解模糊化。

常用的解模糊化方法有加權(quán)平均法、重心法、最大隸屬度法、三角模糊數(shù)去模糊法、面積平分法等。為了使模糊推理輸出值更平滑，即對(duì)于輸入信號(hào)發(fā)生微小變化，輸出也會(huì)得到及時(shí)的響應(yīng)。由于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)在臨近平衡點(diǎn)的控制中要求具有精度高，響應(yīng)快等特點(diǎn)，故需要準(zhǔn)確性較高的方法解模糊化。重心法相較于其他方法計(jì)算結(jié)果精度更高，輸出更平滑，該算法的原理為：取橫坐標(biāo)與隸屬度函數(shù)圍成的面積的重心作為模糊推理的最終輸出值。式（11）定義重心法的一般計(jì)算方法。

式中，是模糊集的輸出元素，μ（）為該輸出的隸屬度函數(shù)。式（11）為單輸出的計(jì)算表達(dá)式，對(duì)于多輸出系統(tǒng)，多元量化級(jí)數(shù)離散化處理后得到式（12）的多輸出離散域表達(dá)式：

式中，元素為輸出量化級(jí)數(shù)的數(shù)量。模糊集合解模糊化后得到誤差和誤差變化率C的精確值即PID 控制器的修正量ΔK、ΔK、ΔK。最后模糊控制器再將修正值輸入至PID 控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)自適應(yīng)控制。

3 二級(jí)倒立擺的仿真分析

3.1 無(wú)擾動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為數(shù)字計(jì)算機(jī)，使用Matlab 軟件，為驗(yàn)證本文提出自適應(yīng)模糊PID 控制算法的有效性，針對(duì)無(wú)任何擾動(dòng)的常規(guī)情況，將該算法與LQR 二次型最優(yōu)控制算法、模糊控制算法、傳統(tǒng)PID 等算法進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。在Matlab 環(huán)境中，對(duì)小車在皮帶上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模，并定義和輸入小車的相關(guān)參量。在Similink 模塊中搭建控制器，并在Matlab 中編寫相應(yīng)的函數(shù)。再次進(jìn)行時(shí)長(zhǎng)為30 s 的仿真，記錄下小車的上下擺角和位移并畫圖。分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)比模糊PID 控制器與模糊、PID、LQR 控制器控制性能的優(yōu)劣。

小車的實(shí)際參量定義為：小車質(zhì)量=1.096 kg，擺桿1 質(zhì)量=0.2 kg，擺桿2 質(zhì)量=0.1 kg，擺桿1，2 繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=0.015 kg·m，擺桿1 轉(zhuǎn)動(dòng)中心至桿質(zhì)心的距離=0.06 m，擺桿2 轉(zhuǎn)動(dòng)中心至桿質(zhì)心的距離=0.13 m，小車與導(dǎo)軌之間摩擦系數(shù)=17.19，重力加速度=9.801 m·s。小車初始位置{，，}={0.2，0.1，0.2}，無(wú)擾動(dòng)情況下，不同控制器控制的小車的上、下擺角，位移如圖3 所示。

圖3 對(duì)比仿真曲線

從圖3 可以得出：在無(wú)任何擾動(dòng)的環(huán)境中，常規(guī)PID 控制小車動(dòng)態(tài)性能的曲線在出現(xiàn)較大超調(diào)量以后，逐漸趨近于穩(wěn)定。這是因?yàn)镻ID 控制器中積分項(xiàng)變化率較大造成PID 控制精度不高。在實(shí)際工業(yè)過程控制中，由于各種環(huán)境參數(shù)發(fā)生變化，或是人為決策發(fā)生變化，需要PID 控制器立即進(jìn)行臨界參數(shù)整定，且要求整定速率快，具有實(shí)時(shí)性。這更多地依賴于操作員的經(jīng)驗(yàn)，泛化性較差。

模糊控制相較于PID 控制，控制小車動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中的超調(diào)量明顯降低，調(diào)節(jié)時(shí)間略微降低，出現(xiàn)超調(diào)后的收斂速率低于PID 控制。但模糊控制的上、下擺角、位移的初始階段的波動(dòng)幅度大于PID。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是因?yàn)槟：刂浦行畔⒌暮?jiǎn)單處理導(dǎo)致系統(tǒng)控制精度的降低，小車的跟隨能力下降。若要提高精度就必然會(huì)增加量化級(jí)數(shù)，導(dǎo)致模糊規(guī)則數(shù)增加，甚至不能進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。

模糊PID 控制的小車性能具有3 種控制方法中最小的超調(diào)量、過渡時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間，且小車擺動(dòng)的幅度最小，控制效果明顯好于模糊、PID 方法。驗(yàn)證了算法在無(wú)擾動(dòng)環(huán)境下控制的有效性。

3.2 隨機(jī)擾動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)

為考察模糊、PID、模糊PID 3 種控制方法控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的抗擾能力，設(shè)計(jì)控制器時(shí)，在隨機(jī)位置施加一擾動(dòng)信號(hào)，比較加入擾動(dòng)信號(hào)后，小車性能指標(biāo)變化幅度。在系統(tǒng)運(yùn)行至第2 s 時(shí)，施加擾動(dòng)信號(hào)，考慮小車的擺角變化幅度最大，選小車上、下擺角進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到小車擺角的曲線如圖4 所示。

圖4 上、下擺角對(duì)比仿真曲線

由圖4 可知：在系統(tǒng)運(yùn)行2 s 時(shí)施加擾動(dòng)信號(hào)后，模糊PID 控制系統(tǒng)的上擺角、下擺角在3 s 處恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，模糊控制、PID 控制的上、下擺角則分別需要3.5 s和4 s 才能使系統(tǒng)恢復(fù)到穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。系統(tǒng)在大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定后，模糊PID 控制小車的上、下擺角仍明顯好于模糊控制、PID 控制，驗(yàn)證得到自適應(yīng)模糊PID 算法對(duì)于外部擾動(dòng)的抑制作用較好。

3.3 模糊PID 控制與LQR 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

文獻(xiàn)［9］提出了一種LQR 二次型最優(yōu)控制的方法，通過調(diào)整小車擺角、位移等不同參數(shù)的權(quán)重系數(shù)，權(quán)重函數(shù)，計(jì)算得到系統(tǒng)反饋增益，并設(shè)置前置濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，最終使系統(tǒng)性能指標(biāo)達(dá)到最小，使小車最終穩(wěn)定在期望位置。為考察模糊PID 與LQR 方法控制二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的性能好壞，以及是否存在局部最優(yōu)問題，將LQR與模糊PID 控制方法做對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到仿真曲線如下頁(yè)圖5 所示。

圖5 LQR 與模糊PID 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

由圖5 可知，在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)運(yùn)行的前3 s，LQR 方法控制系統(tǒng)的上、下擺角和位移變化幅度相較于模糊PID 更小，控制性能優(yōu)于模糊PID 方法。系統(tǒng)在控制器作用下運(yùn)行一段時(shí)間后，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不如前3 s 理想，上擺角、下擺角變化幅度相較于前3 s 增加，小車位移曲線上升時(shí)間變長(zhǎng)。說明LQR方法控制系統(tǒng)性能具有局部最優(yōu)的特點(diǎn)。模糊PID方法控制系統(tǒng)相比于LQR 方法具有更小的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間。在運(yùn)行3 s 后，小車的擺角及位移變化幅度明顯小于LQR 方法，控制效果好于LQR 控制器。在系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)加入連續(xù)2 s 的擾動(dòng)后，系統(tǒng)的下擺角響應(yīng)曲線如圖6 所示。

圖6 模糊PID 與LQR 受擾后對(duì)比仿真

由圖6 可知，在系統(tǒng)收到持續(xù)擾動(dòng)后，LQR 方法基本已經(jīng)失效了。而模糊PID 控制依然能維持系統(tǒng)的小范圍穩(wěn)定，說明模糊PID 擁有著比LQR 更好的抗擾能力，更加適用于環(huán)境參數(shù)容易變化的場(chǎng)合。綜合以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，使用模糊PID 控制方法實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。

4 結(jié)論

使用自適應(yīng)模糊PID 方法對(duì)二級(jí)倒立擺控制的穩(wěn)定性進(jìn)行研究。結(jié)合PID 控制的廣泛性、適用性與模糊控制的智能性、簡(jiǎn)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，設(shè)計(jì)自適應(yīng)模糊PID 控制器，并與PID、LQR、模糊方法做對(duì)比及抗擾實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)表明：模糊PID方法控制二級(jí)倒立擺的動(dòng)態(tài)性能良好，擺角的振幅較小，位移的最大偏移量較低。能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定，且不需要過多人為經(jīng)驗(yàn)先行整定PID 參數(shù)，控制的泛化性較強(qiáng)。此外，模糊PID 控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)抗擾的能力較強(qiáng)，魯棒性高，為二級(jí)倒立擺PID、模糊等控制方法提供了一條新思路，值得應(yīng)用與推廣。