半導(dǎo)體激光器速率方程的參數(shù)提?。ㄌ匮?/h1>
2022-03-24 08:51黃永光劉祎慧
光子學(xué)報(bào) 2022年2期
，黃永光，劉祎慧
（1 中國科學(xué)院半導(dǎo)體研究所材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083）
（2 中國科學(xué)院大學(xué)材料與光電研究中心，北京100049）
（3 低維半導(dǎo)體材料與器件北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083）
0 引言
在模擬通訊系統(tǒng)中，激光器需要以較大的工作電流工作在線性區(qū)以滿足微波性能需要。為描述微波性能會引入一些噪聲等指標(biāo)，如三階交調(diào)（Third Order Intermodulation，IMD3）、二次諧波（Second Harmonic Distortion，HD2）、相對強(qiáng)度噪聲（Relative Intensity Noise，RIN）等［1-3］。直接獲取這些指標(biāo)需要通過復(fù)雜的測試系統(tǒng)，不僅設(shè)備昂貴而且測試難度大，很難便捷、準(zhǔn)確地獲取所需的性能指標(biāo)，這樣就對半導(dǎo)體激光器的性能評估造成較大困難。
根據(jù)速率方程理論，半導(dǎo)體激光器的動態(tài)性能指標(biāo)與激光器器件參數(shù)之間存在著定量關(guān)系。從速率方程中提取半導(dǎo)體激光器參數(shù)并對其進(jìn)行量化分析有助于進(jìn)一步優(yōu)化提升半導(dǎo)體激光器的動態(tài)性能，從而對半導(dǎo)體激光器的設(shè)計(jì)、制作和應(yīng)用提供重要理論參考。通過先將激光器的部分性能指標(biāo)測試出來，再利用速率方程理論提取器件參數(shù)重新計(jì)算器件在大電流工作下的微波性能指標(biāo)，可以有效降低器件測試成本、提高器件設(shè)計(jì)效率。文獻(xiàn)常規(guī)的參數(shù)提取方法可以得到半導(dǎo)體激光器工作在偏置電流較低（10～40 mA）的參數(shù)值，但這種方法在大電流工作時的器件參數(shù)提取不太準(zhǔn)確，而且需要測啁啾等更多繁雜的測試［4-7］。
本文介紹了一種利用小信號頻率響應(yīng)曲線精確提取半導(dǎo)體激光器諧振頻率fr與阻尼因子γ的新方法，且對應(yīng)激光器的驅(qū)動電流范圍廣，給出的案例驅(qū)動電流范圍為20～90 mA，可滿足大電流工作需要。根據(jù)激光器的功率-電流（P-I）響應(yīng)特性，結(jié)合已提取的器件參數(shù)，代入速率方程可計(jì)算出激光器的各個性能參數(shù)，方法便捷、準(zhǔn)確。
1 理論推導(dǎo)
在討論半導(dǎo)體激光器器件設(shè)計(jì)參數(shù)與相應(yīng)的器件動態(tài)指標(biāo)的關(guān)系時，常采用速率方程理論。它以唯象參數(shù)為工具，建立起光子與載流子之間的相互作用關(guān)系。半導(dǎo)體激光器單模速率方程表達(dá)式為［8-10］
輸出功率P(t)與光子密度S(t)的關(guān)系式為
式中，N(t)為載流子密度；S(t)為光子密度；I(t)為注入電流；V為有源區(qū)體積；e為電子電荷；τn為載流子壽命；g0為光增益系數(shù)；ε為增益壓縮因子；N0為透明載流子密度；Γ為限制因子；τp為光子壽命；β為自發(fā)發(fā)射因子；P(t)為輸出光功率；η為微分量子效率；h為普朗克常量；v為光頻率；c為光速；λ為波長。
當(dāng)半導(dǎo)體激光器工作在直流穩(wěn)態(tài)的情況下，載流子密度和光子密度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，這時有
結(jié)合式（1）～（3），并利用直流穩(wěn)態(tài)工作條件式（4）進(jìn)行推導(dǎo)變換可得
式中，Ith為閾值電流，IS為自發(fā)發(fā)射因子，F(xiàn)為中間變量，具體的變量值為
當(dāng)激光器工作在閾值附近時光子密度很低，εS很小可以忽略［7，11-12］，因此式（5）可簡化為
式中，Is在閾值處很敏感，在閾值以上時，自發(fā)輻射基本上可以忽略，Is趨向于0，此時功率與電流的關(guān)系式為
當(dāng)半導(dǎo)體激光器工作在動態(tài)調(diào)制狀態(tài)下時，由式（1）和（2）可以推導(dǎo)激光器動態(tài)小信號強(qiáng)度調(diào)制的頻率響應(yīng)特性，可近似表示為［7，13］
式中，γ是阻尼因子。
經(jīng)過推導(dǎo)可以得到fr、γ 與電流的關(guān)系為
式中，中間值A(chǔ) 的表達(dá)式為
對式（12）與（13）進(jìn)一步推導(dǎo)，可建立γ與f2r之間的關(guān)系，即
式中，K為K因子，其表達(dá)式為
通常帶寬測試中存在RC 等寄生參數(shù)，考慮寄生參數(shù)的激光器幅頻響應(yīng)特性表達(dá)式為［14］
由于寄生參數(shù)與偏置電流無關(guān)，而探測器的響應(yīng)在測試中也認(rèn)為是不變的，同樣與偏置電流無關(guān)，因此可以利用不同偏置電流下的S21參數(shù)提取本征激光器fr與γ。利用小信號測試系統(tǒng)測得不同偏置電流下小信號幅度頻率響應(yīng)求差值可得H21(f)，用對數(shù)坐標(biāo)可表示為
利用式（18），結(jié)合測試得到的半導(dǎo)體激光器在不同電流下的S21曲線，可提取激光器的fr與γ，具體實(shí)例在結(jié)果與分析中。通過此種方式擬合的參數(shù)值，忽略了半導(dǎo)體激光器在高電流下較為明顯的增益壓縮效應(yīng)，通過對參數(shù)提取的公式進(jìn)行推導(dǎo)和查證，可得到其成立的條件為［5-6］
式中，Z=4π2f2r+1/2γ2，為中間變量。
在低電流下，2Z/γ2的比值較大，式（19）的條件基本成立，但是隨著激光器工作電流的增大，γ值增大，2Z/γ2的比值減小，式（19）條件成立的可信度降低，利用式（18）提取fr與γ得到的結(jié)果是不準(zhǔn)確的。而當(dāng)激光器工作在微波通訊系統(tǒng)時，需要分析器件工作在大電流狀態(tài)下的性能，此時激光器增益壓縮效應(yīng)明顯。因此，在分析激光器工作在大電流狀態(tài)時，需要考慮激光器在大電流下的增益壓縮效應(yīng)，更為精確完整的激光器小信號頻率響應(yīng)表達(dá)式為［5，15］
利用式（20）可得到提取激光器fr與γ更為準(zhǔn)確的表達(dá)式
通過一系列公式的推導(dǎo)，得到f2r以及γ與I更為準(zhǔn)確的關(guān)系式如下
根據(jù)上述關(guān)系式可建立γ與f2r之間的關(guān)系
根據(jù)設(shè)計(jì)的激光器結(jié)構(gòu)可計(jì)算得到Γ、V，結(jié)合以上數(shù)值分析，通過一系列的運(yùn)算，即可求得速率速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)值，其詳細(xì)的提取方法和計(jì)算結(jié)果記錄在第2 節(jié)的結(jié)果與分析中。
2 結(jié)果與分析
所分析的半導(dǎo)體激光器是本課題組自行設(shè)計(jì)和流片的分布反饋激光器（Distributed Feedback Laser Diodes，DFB LD），將流片得到的激光器芯片貼裝在高速接地共面波導(dǎo)（Grounded Coplanar Waveguide，GCPW）上，裸芯片通過錐形光纖耦合進(jìn)系統(tǒng)。通過光矢量分析系統(tǒng)測得激光器在不同偏置電流下的小信號頻率響應(yīng)曲線（S21），如圖1（a），工作電流設(shè)置范圍為20～90 mA，可以看出，隨著偏置電流的增大，激光器小信號調(diào)制響應(yīng)帶寬增大，響應(yīng)曲線愈趨于平坦。通過直流測試系統(tǒng)可測得激光器的P-I曲線，如圖1（b），可以看出，激光器在偏置電流為0～100 mA 內(nèi)保持著良好的直流線性度。
圖1 不同偏置電流測試下的半導(dǎo)體激光器響應(yīng)曲線Fig.1 The response curve of a semiconductor laser on different bias currents
采用傳統(tǒng)的參數(shù)提取方法，根據(jù)式（18）對不同電流下的S21曲線進(jìn)行擬合，得到激光器的fr與γ，如表1中所示，標(biāo)注為傳統(tǒng)方法提取結(jié)果。根據(jù)式（21）擬合的結(jié)果同樣標(biāo)注在表格中，并標(biāo)示為本文方法。利用表1 中的fr與γ值，繪制出f2r與偏置電流I的關(guān)系曲線并利用式（12）進(jìn)行線性擬合，得到的擬合結(jié)果如圖2（a）。激光器的偏置電流I取值范圍為20～90 mA 時，線性擬合的曲線與提取的參數(shù)值并不完全重合，由式（12）可知，理論上f2r與I應(yīng)該為完美的線性關(guān)系。同時從圖中可以看出，當(dāng)I的值在20～40 mA 時，f2r與I基本呈線性關(guān)系，符合式（12）。文獻(xiàn)［4，16］中提取fr與γ值時基本上都是采用此種方式，同時針對激光器的工作電流也比較低。繪制出f2r與γ的關(guān)系曲線并利用式（15）進(jìn)行線性擬合，如圖2（b）所示，發(fā)現(xiàn)在低電流下重合性好，在高電流下的重合性還是欠佳。因此，認(rèn)為用以往傳統(tǒng)提取方法得到的參數(shù)值在低電流下是準(zhǔn)確的，但是在高驅(qū)動電流下，其結(jié)果準(zhǔn)確性存疑，而且用此種提取方法無法直接得到速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)，存在明顯的不足。
圖2 不同偏置電流和阻尼因子對應(yīng)諧振頻率f2r 擬合值與參數(shù)提取值對比Fig.2 The value comparison between curve fitting and parameter subtracted data in terms of different bias currents and damping factors
表1 利用式（18）（傳統(tǒng)方法）和式（21）（本文方法）分別擬合得到的fr 與γTable 1 The fitting results of fr and γ obtained by traditional subtraction method according to Eq.（14）and improved parameter extraction formula according to Eq.（21）respective
根據(jù)表1 的計(jì)算結(jié)果，可進(jìn)一步計(jì)算得到2Z/γ2的比值，如表2。
表2 表達(dá)式2Z/γ2 的計(jì)算值Table 2 The calculated value of2Z/γ2
從表2 中可以看出，隨著激光器驅(qū)動電流的增大，2Z/γ2減小，高電流下計(jì)算得到的值約為低電流下的1/2，因此在高工作電流下，式（19）的條件并不成立。利用表2 的數(shù)據(jù)對條件式（19）進(jìn)行過詳細(xì)的分析和計(jì)算，此計(jì)算結(jié)果同時也驗(yàn)證了對圖2 的分析。因此，當(dāng)激光器工作在高偏置電流下，需要用完整的參數(shù)提取式（21）進(jìn)行擬合計(jì)算。利用圖1（a）中的S21曲線對流片制作的DFB 激光器進(jìn)行參數(shù)提取，工作電流范圍為20～90 mA，得到的fr與γ如表3。其擬合曲線如圖3，其中圖3（a）為利用20 mA 與40 mA 進(jìn)行擬合時的圖像，圖3（b）為利用20 mA 與60 mA 曲線進(jìn)行擬合時的結(jié)果，其他電流下的擬合曲線基本相似，可以看出擬合曲線重合性的很好。
圖3 利用不同電流下的S21曲線擬合出fr 與γFig.3 The fitting results fr and γ according to S21 curve on different bias currents
對比表1 中傳統(tǒng)方法和本文方法提取結(jié)果，可以看出在寬電流范圍內(nèi)，阻尼因子γ的值都很接近。低電流下fr的值相差不大，而隨著DFB 激光器偏置電流的增大，前后兩種方法提取的fr差值逐漸增大。利用表3中的數(shù)據(jù)，可計(jì)算得到Z的值，將其與電流I作圖，并利用式（22）進(jìn)行擬合，如圖4（a）。同理可以畫出f2r與γ的關(guān)系曲線，并分別利用式（24）進(jìn)行擬合，可以得到K與τn的值。
圖4 不同偏置電流和阻尼因子對應(yīng)諧振頻率f2r 和中間變量Z 的擬合值與參數(shù)提取值對比Fig.4 The value comparison of f2r and Z between curve fitting and parameter subtracted data in terms of different bias currents and damping factors
從Z與I的關(guān)系圖4（a）可以看出，在20～90 mA 寬電流范圍內(nèi)，激光器提取的結(jié)果與式（20）完美擬合，呈二次關(guān)系，與圖2（a）對比擬合效果明顯更好。從圖4（b）可以看出，fr與γ的關(guān)系與式（22）也基本上重合，與圖2（b）對比，同樣擬合效果更優(yōu)。因此，可以認(rèn)為通過這種方式提取的fr與γ是更加準(zhǔn)確的，更加接近真實(shí)的值。
根據(jù)激光器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，取V=18 um3、Γ=10%，結(jié)合數(shù)值分析與圖1（a）中測試得到的P-I曲線，可以得到速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)值，如表3。
表3 利用改進(jìn)過的方法提取得到的激光器參數(shù)值Table 3 The subtracted laser parameter values by a new improved method
到此，提取了半導(dǎo)體激光器寬電流下的fr與γ，同時得到了速率速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)值，之后便可利用得到參數(shù)值來分析激光器性能。此種方法要求的測試項(xiàng)目少，提取簡單方便，成本低，在科研和工程中都極具意義。
3 結(jié)論
本文改進(jìn)傳統(tǒng)的參數(shù)提取公式，利用S21曲線即可提取得到fr與γ，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合常規(guī)的P-I曲線，即可得到速率方程中的參數(shù)。該提取方法可以在較寬工作電流下得出準(zhǔn)確的fr與γ值，在此基礎(chǔ)上得到了相對準(zhǔn)確的半導(dǎo)體激光器速率方程的各種參數(shù)值，有助于快速地計(jì)算和評估激光器的各項(xiàng)性能指標(biāo)，快速地找出優(yōu)化激光器性能的方向。
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，黃永光，劉祎慧
（1 中國科學(xué)院半導(dǎo)體研究所材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083）
（2 中國科學(xué)院大學(xué)材料與光電研究中心，北京100049）
（3 低維半導(dǎo)體材料與器件北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100083）
0 引言
在模擬通訊系統(tǒng)中，激光器需要以較大的工作電流工作在線性區(qū)以滿足微波性能需要。為描述微波性能會引入一些噪聲等指標(biāo)，如三階交調(diào)（Third Order Intermodulation，IMD3）、二次諧波（Second Harmonic Distortion，HD2）、相對強(qiáng)度噪聲（Relative Intensity Noise，RIN）等［1-3］。直接獲取這些指標(biāo)需要通過復(fù)雜的測試系統(tǒng)，不僅設(shè)備昂貴而且測試難度大，很難便捷、準(zhǔn)確地獲取所需的性能指標(biāo)，這樣就對半導(dǎo)體激光器的性能評估造成較大困難。
根據(jù)速率方程理論，半導(dǎo)體激光器的動態(tài)性能指標(biāo)與激光器器件參數(shù)之間存在著定量關(guān)系。從速率方程中提取半導(dǎo)體激光器參數(shù)并對其進(jìn)行量化分析有助于進(jìn)一步優(yōu)化提升半導(dǎo)體激光器的動態(tài)性能，從而對半導(dǎo)體激光器的設(shè)計(jì)、制作和應(yīng)用提供重要理論參考。通過先將激光器的部分性能指標(biāo)測試出來，再利用速率方程理論提取器件參數(shù)重新計(jì)算器件在大電流工作下的微波性能指標(biāo)，可以有效降低器件測試成本、提高器件設(shè)計(jì)效率。文獻(xiàn)常規(guī)的參數(shù)提取方法可以得到半導(dǎo)體激光器工作在偏置電流較低（10～40 mA）的參數(shù)值，但這種方法在大電流工作時的器件參數(shù)提取不太準(zhǔn)確，而且需要測啁啾等更多繁雜的測試［4-7］。
本文介紹了一種利用小信號頻率響應(yīng)曲線精確提取半導(dǎo)體激光器諧振頻率fr與阻尼因子γ的新方法，且對應(yīng)激光器的驅(qū)動電流范圍廣，給出的案例驅(qū)動電流范圍為20～90 mA，可滿足大電流工作需要。根據(jù)激光器的功率-電流（P-I）響應(yīng)特性，結(jié)合已提取的器件參數(shù)，代入速率方程可計(jì)算出激光器的各個性能參數(shù)，方法便捷、準(zhǔn)確。
1 理論推導(dǎo)
在討論半導(dǎo)體激光器器件設(shè)計(jì)參數(shù)與相應(yīng)的器件動態(tài)指標(biāo)的關(guān)系時，常采用速率方程理論。它以唯象參數(shù)為工具，建立起光子與載流子之間的相互作用關(guān)系。半導(dǎo)體激光器單模速率方程表達(dá)式為［8-10］
輸出功率P(t)與光子密度S(t)的關(guān)系式為
式中，N(t)為載流子密度；S(t)為光子密度；I(t)為注入電流；V為有源區(qū)體積；e為電子電荷；τn為載流子壽命；g0為光增益系數(shù)；ε為增益壓縮因子；N0為透明載流子密度；Γ為限制因子；τp為光子壽命；β為自發(fā)發(fā)射因子；P(t)為輸出光功率；η為微分量子效率；h為普朗克常量；v為光頻率；c為光速；λ為波長。
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結(jié)合式（1）～（3），并利用直流穩(wěn)態(tài)工作條件式（4）進(jìn)行推導(dǎo)變換可得
式中，Ith為閾值電流，IS為自發(fā)發(fā)射因子，F(xiàn)為中間變量，具體的變量值為
當(dāng)激光器工作在閾值附近時光子密度很低，εS很小可以忽略［7，11-12］，因此式（5）可簡化為
式中，Is在閾值處很敏感，在閾值以上時，自發(fā)輻射基本上可以忽略，Is趨向于0，此時功率與電流的關(guān)系式為
當(dāng)半導(dǎo)體激光器工作在動態(tài)調(diào)制狀態(tài)下時，由式（1）和（2）可以推導(dǎo)激光器動態(tài)小信號強(qiáng)度調(diào)制的頻率響應(yīng)特性，可近似表示為［7，13］
式中，γ是阻尼因子。
經(jīng)過推導(dǎo)可以得到fr、γ 與電流的關(guān)系為
式中，中間值A(chǔ) 的表達(dá)式為
對式（12）與（13）進(jìn)一步推導(dǎo)，可建立γ與f2r之間的關(guān)系，即
式中，K為K因子，其表達(dá)式為
通常帶寬測試中存在RC 等寄生參數(shù)，考慮寄生參數(shù)的激光器幅頻響應(yīng)特性表達(dá)式為［14］
由于寄生參數(shù)與偏置電流無關(guān)，而探測器的響應(yīng)在測試中也認(rèn)為是不變的，同樣與偏置電流無關(guān)，因此可以利用不同偏置電流下的S21參數(shù)提取本征激光器fr與γ。利用小信號測試系統(tǒng)測得不同偏置電流下小信號幅度頻率響應(yīng)求差值可得H21(f)，用對數(shù)坐標(biāo)可表示為
利用式（18），結(jié)合測試得到的半導(dǎo)體激光器在不同電流下的S21曲線，可提取激光器的fr與γ，具體實(shí)例在結(jié)果與分析中。通過此種方式擬合的參數(shù)值，忽略了半導(dǎo)體激光器在高電流下較為明顯的增益壓縮效應(yīng)，通過對參數(shù)提取的公式進(jìn)行推導(dǎo)和查證，可得到其成立的條件為［5-6］
式中，Z=4π2f2r+1/2γ2，為中間變量。
在低電流下，2Z/γ2的比值較大，式（19）的條件基本成立，但是隨著激光器工作電流的增大，γ值增大，2Z/γ2的比值減小，式（19）條件成立的可信度降低，利用式（18）提取fr與γ得到的結(jié)果是不準(zhǔn)確的。而當(dāng)激光器工作在微波通訊系統(tǒng)時，需要分析器件工作在大電流狀態(tài)下的性能，此時激光器增益壓縮效應(yīng)明顯。因此，在分析激光器工作在大電流狀態(tài)時，需要考慮激光器在大電流下的增益壓縮效應(yīng)，更為精確完整的激光器小信號頻率響應(yīng)表達(dá)式為［5，15］
利用式（20）可得到提取激光器fr與γ更為準(zhǔn)確的表達(dá)式
通過一系列公式的推導(dǎo)，得到f2r以及γ與I更為準(zhǔn)確的關(guān)系式如下
根據(jù)上述關(guān)系式可建立γ與f2r之間的關(guān)系
根據(jù)設(shè)計(jì)的激光器結(jié)構(gòu)可計(jì)算得到Γ、V，結(jié)合以上數(shù)值分析，通過一系列的運(yùn)算，即可求得速率速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)值，其詳細(xì)的提取方法和計(jì)算結(jié)果記錄在第2 節(jié)的結(jié)果與分析中。
2 結(jié)果與分析
所分析的半導(dǎo)體激光器是本課題組自行設(shè)計(jì)和流片的分布反饋激光器（Distributed Feedback Laser Diodes，DFB LD），將流片得到的激光器芯片貼裝在高速接地共面波導(dǎo)（Grounded Coplanar Waveguide，GCPW）上，裸芯片通過錐形光纖耦合進(jìn)系統(tǒng)。通過光矢量分析系統(tǒng)測得激光器在不同偏置電流下的小信號頻率響應(yīng)曲線（S21），如圖1（a），工作電流設(shè)置范圍為20～90 mA，可以看出，隨著偏置電流的增大，激光器小信號調(diào)制響應(yīng)帶寬增大，響應(yīng)曲線愈趨于平坦。通過直流測試系統(tǒng)可測得激光器的P-I曲線，如圖1（b），可以看出，激光器在偏置電流為0～100 mA 內(nèi)保持著良好的直流線性度。
圖1 不同偏置電流測試下的半導(dǎo)體激光器響應(yīng)曲線Fig.1 The response curve of a semiconductor laser on different bias currents
采用傳統(tǒng)的參數(shù)提取方法，根據(jù)式（18）對不同電流下的S21曲線進(jìn)行擬合，得到激光器的fr與γ，如表1中所示，標(biāo)注為傳統(tǒng)方法提取結(jié)果。根據(jù)式（21）擬合的結(jié)果同樣標(biāo)注在表格中，并標(biāo)示為本文方法。利用表1 中的fr與γ值，繪制出f2r與偏置電流I的關(guān)系曲線并利用式（12）進(jìn)行線性擬合，得到的擬合結(jié)果如圖2（a）。激光器的偏置電流I取值范圍為20～90 mA 時，線性擬合的曲線與提取的參數(shù)值并不完全重合，由式（12）可知，理論上f2r與I應(yīng)該為完美的線性關(guān)系。同時從圖中可以看出，當(dāng)I的值在20～40 mA 時，f2r與I基本呈線性關(guān)系，符合式（12）。文獻(xiàn)［4，16］中提取fr與γ值時基本上都是采用此種方式，同時針對激光器的工作電流也比較低。繪制出f2r與γ的關(guān)系曲線并利用式（15）進(jìn)行線性擬合，如圖2（b）所示，發(fā)現(xiàn)在低電流下重合性好，在高電流下的重合性還是欠佳。因此，認(rèn)為用以往傳統(tǒng)提取方法得到的參數(shù)值在低電流下是準(zhǔn)確的，但是在高驅(qū)動電流下，其結(jié)果準(zhǔn)確性存疑，而且用此種提取方法無法直接得到速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)，存在明顯的不足。
圖2 不同偏置電流和阻尼因子對應(yīng)諧振頻率f2r 擬合值與參數(shù)提取值對比Fig.2 The value comparison between curve fitting and parameter subtracted data in terms of different bias currents and damping factors
表1 利用式（18）（傳統(tǒng)方法）和式（21）（本文方法）分別擬合得到的fr 與γTable 1 The fitting results of fr and γ obtained by traditional subtraction method according to Eq.（14）and improved parameter extraction formula according to Eq.（21）respective
根據(jù)表1 的計(jì)算結(jié)果，可進(jìn)一步計(jì)算得到2Z/γ2的比值，如表2。
表2 表達(dá)式2Z/γ2 的計(jì)算值Table 2 The calculated value of2Z/γ2
從表2 中可以看出，隨著激光器驅(qū)動電流的增大，2Z/γ2減小，高電流下計(jì)算得到的值約為低電流下的1/2，因此在高工作電流下，式（19）的條件并不成立。利用表2 的數(shù)據(jù)對條件式（19）進(jìn)行過詳細(xì)的分析和計(jì)算，此計(jì)算結(jié)果同時也驗(yàn)證了對圖2 的分析。因此，當(dāng)激光器工作在高偏置電流下，需要用完整的參數(shù)提取式（21）進(jìn)行擬合計(jì)算。利用圖1（a）中的S21曲線對流片制作的DFB 激光器進(jìn)行參數(shù)提取，工作電流范圍為20～90 mA，得到的fr與γ如表3。其擬合曲線如圖3，其中圖3（a）為利用20 mA 與40 mA 進(jìn)行擬合時的圖像，圖3（b）為利用20 mA 與60 mA 曲線進(jìn)行擬合時的結(jié)果，其他電流下的擬合曲線基本相似，可以看出擬合曲線重合性的很好。
圖3 利用不同電流下的S21曲線擬合出fr 與γFig.3 The fitting results fr and γ according to S21 curve on different bias currents
對比表1 中傳統(tǒng)方法和本文方法提取結(jié)果，可以看出在寬電流范圍內(nèi)，阻尼因子γ的值都很接近。低電流下fr的值相差不大，而隨著DFB 激光器偏置電流的增大，前后兩種方法提取的fr差值逐漸增大。利用表3中的數(shù)據(jù)，可計(jì)算得到Z的值，將其與電流I作圖，并利用式（22）進(jìn)行擬合，如圖4（a）。同理可以畫出f2r與γ的關(guān)系曲線，并分別利用式（24）進(jìn)行擬合，可以得到K與τn的值。
圖4 不同偏置電流和阻尼因子對應(yīng)諧振頻率f2r 和中間變量Z 的擬合值與參數(shù)提取值對比Fig.4 The value comparison of f2r and Z between curve fitting and parameter subtracted data in terms of different bias currents and damping factors
從Z與I的關(guān)系圖4（a）可以看出，在20～90 mA 寬電流范圍內(nèi)，激光器提取的結(jié)果與式（20）完美擬合，呈二次關(guān)系，與圖2（a）對比擬合效果明顯更好。從圖4（b）可以看出，fr與γ的關(guān)系與式（22）也基本上重合，與圖2（b）對比，同樣擬合效果更優(yōu)。因此，可以認(rèn)為通過這種方式提取的fr與γ是更加準(zhǔn)確的，更加接近真實(shí)的值。
根據(jù)激光器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，取V=18 um3、Γ=10%，結(jié)合數(shù)值分析與圖1（a）中測試得到的P-I曲線，可以得到速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)值，如表3。
表3 利用改進(jìn)過的方法提取得到的激光器參數(shù)值Table 3 The subtracted laser parameter values by a new improved method
到此，提取了半導(dǎo)體激光器寬電流下的fr與γ，同時得到了速率速率方程式（1）和（2）中的所有參數(shù)值，之后便可利用得到參數(shù)值來分析激光器性能。此種方法要求的測試項(xiàng)目少，提取簡單方便，成本低，在科研和工程中都極具意義。
3 結(jié)論
本文改進(jìn)傳統(tǒng)的參數(shù)提取公式，利用S21曲線即可提取得到fr與γ，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合常規(guī)的P-I曲線，即可得到速率方程中的參數(shù)。該提取方法可以在較寬工作電流下得出準(zhǔn)確的fr與γ值，在此基礎(chǔ)上得到了相對準(zhǔn)確的半導(dǎo)體激光器速率方程的各種參數(shù)值，有助于快速地計(jì)算和評估激光器的各項(xiàng)性能指標(biāo)，快速地找出優(yōu)化激光器性能的方向。
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