羅 銘，李 貴，3

（1 武漢科技大學(xué) 冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081；2 武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造過程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081；3 武漢科技大學(xué) 精密制造研究院，武漢 430081）

0 引 言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展，合路器在通信系統(tǒng)中應(yīng)用越來越廣泛，如大型商場(chǎng)、地鐵的信號(hào)覆蓋等。應(yīng)用最多的是同軸腔體合路器，主要裝載在腔體排腔結(jié)構(gòu)中，主體結(jié)構(gòu)包括腔體、與腔體相對(duì)拼裝為一體的蓋板以及裝設(shè)于腔體上的公共端口。合路器腔體結(jié)構(gòu)如圖1所示。加工腔體過程中，需要借助噴錫鋼網(wǎng)對(duì)腔體表層噴錫。噴錫鋼網(wǎng)的平面結(jié)構(gòu)是通過基曲線經(jīng)過多次偏置而來的，一般是由人工借助CAD軟件偏置功能與剪切功能實(shí)現(xiàn)，有大量重復(fù)且容易出錯(cuò)的操作，設(shè)計(jì)效率低下。在基曲線偏置的過程中，偏置曲線很容易與其他結(jié)構(gòu)發(fā)生干涉，對(duì)于該問題的處理，迄今為止還無法用軟件加以實(shí)現(xiàn)。

圖1 合路器腔體Fig.1 Combiner cavity

對(duì)于曲線偏置問題，很多學(xué)者都進(jìn)行了大量研究。Lee等人采用基曲線與二次貝塞爾曲線段的卷積來計(jì)算偏置曲線，可以有效避免偏置曲線自相交。Seong等人通過求解偏置曲線二次多項(xiàng)式方程的零集，并借助數(shù)字步進(jìn)方法提高了消除自相交的精度。朱洪軍等人通過檢測(cè)偏置點(diǎn)的位置有效性對(duì)自相交點(diǎn)域進(jìn)行消除。黃常標(biāo)等人基于輪廓線方程來求解偏置曲線，并通過輪廓線方向向量來消除干涉問題。萬健等人提出了一種基于區(qū)間算術(shù)和四叉樹的算法來解決曲線自相交問題。朱虎等人根據(jù)擠壓工具運(yùn)動(dòng)軌跡，提出了基于Sterolithography模型的頂點(diǎn)偏置算法以及多邊形邊偏置算法。查光成等人將加工件表面離散為Sterolithography模型，可以成功提取得到三角點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而通過偏置完成支撐體模型設(shè)計(jì)。朱亮等人提出了一種軟干涉檢查方法，利用分割思想將實(shí)體包圍盒空間劃分成若干體積相同的空間格。洪慶飛等人等人通過對(duì)自相交程度分析估量，采用一種有效的正則化方法來避免產(chǎn)生自相交的矢量圖輪廓。李斌等人提出了一種基于軸角的干涉判斷方法，并基于人工勢(shì)場(chǎng)法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行路徑規(guī)劃。

上述研究并未考慮到異體結(jié)構(gòu)在曲線偏置過程中的影響。本文通過分析噴錫鋼網(wǎng)曲線偏置案例，針對(duì)偏置過程出現(xiàn)的一系列問題，基于圖論以及曲線重構(gòu)思想，提出一種復(fù)合多段線偏置算法，成功解決了復(fù)合多段線偏置過程效率低、且存在自相交的問題，并對(duì)偏置后孤島體的繞行問題進(jìn)行了自動(dòng)化處理，提高了典型噴錫鋼網(wǎng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的質(zhì)量與效率。

1 噴錫鋼網(wǎng)平面結(jié)構(gòu)分析

噴錫鋼網(wǎng)二維平面結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖2（a）是孤島體與基曲線組成的噴錫鋼網(wǎng)基礎(chǔ)構(gòu)造體。經(jīng)過一系列曲線偏置過程，連通路以及處于連通路內(nèi)的孤島體共同組成了典型的噴錫鋼網(wǎng)結(jié)構(gòu)，見圖2（b）。

圖2 噴錫鋼網(wǎng)二維平面結(jié)構(gòu)Fig.2 Two-dimensional plane structure of tin-sprayed steel mesh

基曲線是由多個(gè)直線段與曲線片段組成的復(fù)合多段線，線段間由節(jié)點(diǎn)聯(lián)接，且節(jié)點(diǎn)處左、右兩側(cè)一階導(dǎo)相同。基曲線具有嚴(yán)格的方向定義，滿足右手定則。孤島體是連通域的一種，其邊界長(zhǎng)度不超過10 mm，結(jié)構(gòu)多樣，可分為圓形孤島體和異形孤島體兩大類。其中，圓形孤島體為具有半徑與圓心的圓，異形孤島體則沒有規(guī)定和限制，如圖3所示。

圖3 孤島分類Fig.3 Island classification

2 基于曲線偏置的孤島繞行算法

2.1 曲線偏置方法

噴錫鋼網(wǎng)邊界由復(fù)合多段線組成，復(fù)合多段線是多個(gè)直線與曲線片段的組合體。采用常規(guī)方法對(duì)復(fù)合多段線進(jìn)行偏置，首先需要對(duì)復(fù)合多段線進(jìn)行離散；依據(jù)偏置方向與偏置距離，對(duì)離散點(diǎn)進(jìn)行偏置；最后，通過曲線擬合技術(shù)對(duì)偏置點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合。但這種方法迭代次數(shù)高，效率低，曲線擬合后的邊界實(shí)體與實(shí)際復(fù)合多段線偏置實(shí)體還存在一定誤差。因此，本文提出了一種新的復(fù)合多段線偏置方法，詳細(xì)過程如下：

（1）提取復(fù)合多段線的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)信息。節(jié)點(diǎn)是子線段間的聯(lián)接點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)信息包括點(diǎn)坐標(biāo)、凸度值和法線向量，其中凸度值控制著2點(diǎn)之間曲線弧度大小和方向，確定2點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的凸度值即可唯一確定一段弧線。凸度值定義如圖4所示，凸度值被定義為1／4的圓心角正切值，通過凸度即可計(jì)算圓心角、半徑和圓心坐標(biāo)等信息。

圖4 凸度值定義Fig.4 Bulge value definition

對(duì)于任意節(jié)點(diǎn)，當(dāng)該節(jié)點(diǎn)凸度為0時(shí)，意味著該節(jié)點(diǎn)與相鄰的下一節(jié)點(diǎn)之間由直線連接；否則，2點(diǎn)之間由圓弧線段連接。依據(jù)節(jié)點(diǎn)信息，構(gòu)建節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如公式（1）所示：

其中，表示凸度值，為法線單位向量。

將節(jié)點(diǎn)集作為離散點(diǎn)集，可大大減少偏置時(shí)的迭代次數(shù)。

（2）遍歷離散點(diǎn)集，以離散點(diǎn)中存儲(chǔ)的法線方向向量為偏置方向，根據(jù)偏置距離偏置離散點(diǎn)，獲取偏置點(diǎn)集。構(gòu)建偏置點(diǎn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，偏置點(diǎn)信息與對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)除坐標(biāo)信息不同外，其他均相同。

（3）依據(jù)偏置點(diǎn)集構(gòu)建偏置后的線段集。遍歷偏置點(diǎn)集，對(duì)于其中任一偏置點(diǎn)O，如果O的凸度值為0，則連接O O，作為偏置后的直線段，加入線段集；如果O的凸度值非零，則依據(jù)凸度值計(jì)算得到該圓弧段半徑，從而依據(jù)點(diǎn)O，O與凸度值唯一確定一段圓弧，加入線段集。

（4）依據(jù)線段集構(gòu)建偏置后的復(fù)合多段線。

縱觀進(jìn)博會(huì)上的各國(guó)展臺(tái)，國(guó)外“特產(chǎn)”能在中國(guó)市場(chǎng)立足，除了得益于我國(guó)對(duì)外開放政策外，自身優(yōu)勢(shì)也很重要，其在加工、包裝設(shè)計(jì)、市場(chǎng)細(xì)分等方面，有不少做法值得我們借鑒。拿泰國(guó)燒烤椰為例，普通的椰青經(jīng)過烘烤，去除了纖維部分，留下的完整部分可以保鮮6個(gè)月。此舉并未涉及什么技術(shù)難題，卻使產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)了從普通水果店鋪到超市精品零食貨架的跨越。又如，大洋洲一款針對(duì)孕婦的奶粉，打出“愿你生子歸來，依然少女身材”的廣告，十分引人注目。

2.2 偏置曲線自相交的解決

偏置曲線自相交問題是典型的偏置問題。在曲率突變的區(qū)域極有可能出現(xiàn)自相交，如圖5所示。對(duì)于這種現(xiàn)象，一般去除藍(lán)色加粗部分的線段，保留其余部分。

圖5 偏置曲線自相交Fig.5 Bias curve self-intersection

為了實(shí)現(xiàn)噴錫鋼網(wǎng)偏置需求，本文提出了一種解決復(fù)合多段線自相交問題的解決方法，具體過程如下：

（1）遍歷線段集，對(duì)于任意線段R，分別求取R與其余線段的交點(diǎn)，并加入交點(diǎn)集。

（2）對(duì)于點(diǎn)集中任意一點(diǎn)，如果為偏置點(diǎn)集中的點(diǎn)，且點(diǎn)為相鄰線段所得交點(diǎn)，則刪除該點(diǎn)。遍歷焦點(diǎn)集，刪除所有滿足上述條件的點(diǎn)，剩余點(diǎn)即為自相交點(diǎn)。

（3）依據(jù)偏置后的復(fù)合多段線方向與自相交點(diǎn)信息可以構(gòu)建有向圖{（），（）}，以圖5（a）中偏置曲線自相交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)建有向圖如圖6所示。圖6中，頂點(diǎn)集（）{，，，}，由復(fù)合多段線的首尾兩點(diǎn)與自相交點(diǎn)集構(gòu)成，邊集（）{，，，}代表頂點(diǎn)集中2節(jié)點(diǎn)間的連接線段。

圖6 有向圖模型Fig.6 Directed graph model

（4）環(huán)是頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)相等的圖，從圖6中可以看出，有向圖中存在2個(gè)環(huán)分別是，，，和，，用消除有向圖中環(huán)的方法來簡(jiǎn)化偏置曲線自相交問題。剔除2個(gè)環(huán)中的邊，，，形成了2個(gè)連通分支，2個(gè)連通分支的頂點(diǎn)集分別為｛，，｝和｛｝。剔除這一連通分支后，有向圖為無重邊和環(huán)的簡(jiǎn)單圖，如圖7所示。

圖7 簡(jiǎn)單有向圖Fig.7 Simple directed graph

（5）依據(jù)有向圖理論簡(jiǎn)化了自相交消除過程，由于刪除的是任意多段線片段，極有可能產(chǎn)生尖角。

2.3 孤島繞行方法

對(duì)復(fù)合多段線偏置后，可能會(huì)出現(xiàn)孤島結(jié)構(gòu)與偏置曲線存在干涉的情況。對(duì)此擬展開研究分述如下。

圖8 孤島結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化Fig.8 Simplified island structure

求取孤島外接圓與偏置多段線的交點(diǎn)。由噴錫鋼網(wǎng)結(jié)構(gòu)可知，交點(diǎn)至多不超過2個(gè)。如果交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，則表示孤島與偏置曲線存在干涉情況。

（2）對(duì)孤島實(shí)體包絡(luò)矩形外接圓進(jìn)行偏置，偏置距離取外接圓到基曲線的最短距離。由于基曲線為復(fù)合多段線，獲取復(fù)合多段線函數(shù)表達(dá)式是十分困難的。因此可以節(jié)選出孤島附近的線段，分別計(jì)算附近線段與孤島圓的距離，得到孤島圓與基曲線的最短距離。計(jì)算線段與孤島圓距離的數(shù)學(xué)公式見如下：

其中，為線段上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)；f（）為對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值；為孤島外接圓上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)；g（）為對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值。

（3）偏置孤島外接圓后，去除掉偏置圓內(nèi)的偏置曲線段和偏置方向上的偏置圓片段，偏置曲線孤島繞行如圖9所示。由圖9可以看出，剪切后原本平滑的線段出現(xiàn)了多處尖角，不符合噴錫鋼網(wǎng)復(fù)合多段線的連續(xù)性要求，因此，需要進(jìn)一步對(duì)偏置曲線進(jìn)行處理，消除尖角。

圖9 偏置曲線孤島繞行Fig.9 Offset curve island detour

這里，研究給出了消除尖角的過程，詳述如下：

（1）合并剪切后的偏置曲線與尖角部分，組成重構(gòu)后的偏置曲線。并對(duì)偏置曲線按照等弧長(zhǎng)離散，得到離散點(diǎn)集｛，，，…，p｝。

（2）遍歷離散點(diǎn)集，計(jì)算任意相鄰兩點(diǎn)切向向量夾角，依據(jù)公式（3）對(duì)偏置點(diǎn)集進(jìn)行篩選：

當(dāng)任意離散點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的切向向量夾角α大于角度閾值時(shí)，則需要?jiǎng)h除點(diǎn)P與P，繼續(xù)計(jì)算P和P對(duì)應(yīng)的切向轉(zhuǎn)角，否則，繼續(xù)檢測(cè)α。

（3）將篩選后的離散點(diǎn)集作為樣本點(diǎn)，重新構(gòu)建偏置曲線。依據(jù)此方法將轉(zhuǎn)角過大的部分消除，解決對(duì)偏置曲線尖角問題。尖角消除過程如圖10所示。

圖10 尖角消除Fig.10 Elimination of sharp corners

3 實(shí)例討論

通過實(shí)例從曲線偏置質(zhì)量和效率兩個(gè)方面來驗(yàn)證本偏置算法的性能?，F(xiàn)有待偏置的復(fù)合多段線，長(zhǎng)度為307.99 mm，節(jié)點(diǎn)數(shù)為4個(gè)，其中直線段數(shù)量為1，曲線段數(shù)量為2，偏置距離20 mm，圓形孤島與異形孤島各一個(gè)。

首先對(duì)復(fù)合多段線進(jìn)行偏置，并對(duì)孤島體定位，如圖11所示。

圖11 復(fù)合多段線偏置與孤島定位Fig.11 Compound polyline offset and island location

然后，依據(jù)曲線重構(gòu)思想，對(duì)偏置曲線和孤島外接圓進(jìn)行重組，形成新的繞島偏置曲線，如圖12所示。

圖12 偏置曲線幾何重構(gòu)Fig.12 Geometric reconstruction of the bias curve

最后，依據(jù)離散點(diǎn)切向矢量進(jìn)行尖角處理，使得偏置曲線更為平順美觀，尖角處理與曲線擬合如圖13所示。

圖13 尖角處理與曲線擬合Fig.13 Sharp corners processing and curve fitting

偏置曲線沒有自相交和偏置尖角，同時(shí)在孤島體處也能很好地進(jìn)行繞行，偏置曲線的過渡較為自然，沒有扭曲。綜上所述，本文算法能夠得到較為理想的孤島繞行的偏置曲線，可應(yīng)用于噴錫鋼網(wǎng)曲線偏置的實(shí)際設(shè)計(jì)。

4 結(jié)束語

總結(jié)了噴錫鋼網(wǎng)設(shè)計(jì)過程中的難點(diǎn)與問題。同時(shí)，對(duì)噴錫鋼網(wǎng)的平面幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析與解釋。針對(duì)偏置曲線效率低的問題，提出了復(fù)合多段線偏置方法，并依據(jù)有向圖思想，解決了偏置曲線的自相交問題；針對(duì)偏置曲線與孤島干涉問題，提出了偏置曲線孤島繞行方法，并基于切向矢量角度計(jì)算方法，消除了偏置曲線的尖角問題；最后，通過將算法應(yīng)用于實(shí)例，所得到的偏置曲線無尖角與自相交點(diǎn)，且與孤島結(jié)構(gòu)無干涉情況，完全滿足偏置要求。采用本方法對(duì)噴錫鋼網(wǎng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，能夠大大減少人工操作時(shí)間與工作量，是輔助噴錫鋼網(wǎng)設(shè)計(jì)的一個(gè)有效的工具。