文|朱 燕

在小學數(shù)學教學中實施“辯證式”教學，可提高學生的學習能力和思維品質(zhì), 促進學生的深度理解。下面筆者以《分數(shù)乘除法解決問題》練習課教學為例，談談如何通過“辯證教學”促進學生思維發(fā)展，助推學生深度理解。

一、分析學生：在錯題研究中發(fā)現(xiàn)“辯證需求”

作為“解決問題”教學中的重要組成部分——“分數(shù)乘除法解決問題”歷來是學生學習的難點。

1.學生錯題的問診。

通過分析研究學生作業(yè)發(fā)現(xiàn)：學生在學完《分數(shù)乘除法解決問題》之后，進行綜合練習時，錯誤率較高的主要原因是：

數(shù)量關系比較復雜。例如，“學?？萍冀M有60 人，比書法組少，書法組有多少人？”這題的錯誤率比較高。其中“比書法組少”是學生理解的難點，很多學生不理解關鍵句中的數(shù)量關系（單位“1”的辨認錯誤；比較量對應的分率辨認錯誤；單位“1”與比較量的關系分析錯誤），導致無法正確解決問題。

相關題目類型多樣。在同一情境中，“分數(shù)乘除法解決問題”可以變換出多種不同類型的題目，且題目的難易程度也不同。從解題方法看：有些題目用分數(shù)乘法計算，有些用分數(shù)除法計算，還有些用乘加乘減計算，也有用列方程來計算；從題目難度分，可以分為簡單、稍復雜和復雜三類。這對于概念不清的學生來說，理解起來確實有困難。

同一題型方法多樣。即使是同一道題，也會出現(xiàn)用多種方法來解決。解題方法多樣化拓寬了學生的解題思路，但也正是因為解題方法的多樣化，使得部分學生被此所迷惑，個別學生原本就對數(shù)量關系分析有困難，再遇到多樣化的解題方法，就又增加了學習的難度。

2.辯證思維的需求。

這些對立、多樣的因素導致了學生對“分數(shù)乘除法解決問題”理解不到位，出現(xiàn)了易混淆出錯的情況。但復雜的數(shù)量關系間存在聯(lián)系，多樣化的題型中具有共性，多樣化的方法里本質(zhì)相同，這說明“分數(shù)乘除法解決問題”存在“對立統(tǒng)一”的辯證關系。如果能夠借助這一辯證關系，把復雜的數(shù)量關系簡單化、多樣的問題題型模型化、多樣的解題方法溝通化，那么就能大大降低學習難度，同時培養(yǎng)學生的辯證思維，提高學生的解題能力。

為此，筆者將從“分數(shù)乘除法解決問題”所蘊含的“對立統(tǒng)一”辯證關系入手，深入研究問題，以“辯”促“思”設計教學，引導學生以“辯”悟“聯(lián)”，發(fā)展學生的“辯證思維”，助推學生對數(shù)學知識的深度理解。

二、追本溯源：在教學內(nèi)容中尋找“辯證方法”

為了幫助學生更好地理解“分數(shù)乘除法解決問題”，提升學生的解題能力，筆者縱觀“分數(shù)乘法”與“分數(shù)除法”的教學內(nèi)容，尋找能夠使“復雜的數(shù)量關系簡單化、多樣的問題類型模型化、多樣的解題方法溝通化”的教學方法，力圖構建“對立統(tǒng)一”的辯證關系，幫助學生正確理清數(shù)量關系，形成解決問題的解題模型，溝通多樣化算法之間的聯(lián)系，從而促進學生的深度理解。

1.“觀”問題關鍵句，“探”辯證式的數(shù)量關系。

題型多樣的“分數(shù)乘除法解決問題”中，關鍵句具有相似性，可將其分類歸納成兩類典型的關鍵句，分別是：一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾；一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾。

這兩類關鍵句雖然形式不同，但表示的數(shù)量關系本質(zhì)意義相同，存在“對立統(tǒng)一”的辯證關系。其中第二類的數(shù)量關系比第一類更復雜，是學生學習的難點。

借助乘法分配律，我們可以把稍復雜的“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾”的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化成“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的數(shù)量關系，這樣就把復雜的數(shù)量關系簡單化了，可以大大提高學生的分析能力和解題能力。

歸納這兩類關鍵句中的所有數(shù)量關系，可整理成以下三種：一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾；一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾；一個數(shù)比另一個數(shù)少幾分之幾。這些數(shù)量關系本質(zhì)上都在研究“比較量”與單位“1”的“倍數(shù)問題”。只是第一個關鍵句中的分數(shù)表示“比較量”對應的直接分率，因此可以直接與單位“1”相乘；第二、三個關鍵句中的分數(shù)表示“比較量”對應的間接分率，所以先要把間接分率轉(zhuǎn)化成直接分率后再乘單位“1”進行計算。

可見，只要把復雜的“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾”轉(zhuǎn)化成“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”，再分析其數(shù)量關系就非常容易了。辯證研究數(shù)量關系降低了學生分析關鍵句列數(shù)量關系的難度，而正確列出數(shù)量關系又是正確解答“分數(shù)乘除法解決問題”的保障。

2.“析”多樣化題型，“構”辯證式的解題模型。

根據(jù)關鍵句中單位“1”的已知和未知，可以構建“分數(shù)乘除法解決問題”的解題模型。因為單位“1”×比較量對應的分率=比較量，所以當已知單位“1”時，用“分數(shù)乘法解決問題”；當未知單位“1”時，用“分數(shù)除法解決問題”。

利用兩類典型關鍵句中“對立統(tǒng)一”的辯證關系，可以把稍復雜的“分數(shù)乘除法解決問題”轉(zhuǎn)化成簡單的“分數(shù)乘除法解決問題”。

把稍復雜的關鍵句轉(zhuǎn)化成簡單的關鍵句，這就把稍復雜的“分數(shù)乘除法解決問題”轉(zhuǎn)化成了簡單的“分數(shù)乘除法解決問題”，兩者之間“對立統(tǒng)一”的辯證關系是建立“分數(shù)乘除法解決問題”解題模型的關鍵。

3.“品”多樣化算法，“創(chuàng)”辯證式的解題方法。

在多種“分數(shù)乘除法解決問題”的題型中，“稍復雜的分數(shù)除法解決問題”錯誤率最高，因為這類題型的解題方法最多。方法多樣化是一把雙刃劍，方法越多，越需要學生理解它們的區(qū)別與聯(lián)系，要求學生能夠透過多樣化方法的表象，抓住解決問題的本質(zhì)，從而游刃有余地利用多樣化方法正確解決實際問題。

“稍復雜的分數(shù)除法解決問題”有三種解題方法，分別是一種“分數(shù)除法解決問題”和兩種“列乘法方程解決問題”。其中兩種方法的解題過程不同，但其內(nèi)在的數(shù)量關系是一樣的。第三種方法的數(shù)量關系與前兩種略有不同，不過根據(jù)乘法分配律可以相互轉(zhuǎn)化，由此得出，這三種方法存在著“對立統(tǒng)一”的辯證關系。

通過對比溝通這三種不同方法之間的聯(lián)系，構建辯證關系，能幫助學生理解“分數(shù)除法解決問題”可以用“列乘法方程”解決的原因，感受到三種方法的區(qū)別與聯(lián)系，掌握多樣化的解題方法。

4.“思”乘除法意義，“明”辯證式的計算原理。

“分數(shù)乘除法的意義”是“分數(shù)乘除法解決問題”的基礎與核心，學生只有理解意義，體會兩者“對立統(tǒng)一”的辯證關系，才能在解決問題中合理地選擇適當?shù)挠嬎惴椒ń鉀Q問題，并能實現(xiàn)解決問題的方法多樣化。

“分數(shù)乘法意義”與“分數(shù)除法意義”既是對立的，又是統(tǒng)一的，兩者存在兩層“對立統(tǒng)一”的辯證關系。

關系1：分數(shù)除法是分數(shù)乘法的逆運算。這是由除法的概念決定的。除法的意義表示已知兩數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。這個概念就是在乘法概念的基礎上衍生而成的，所以乘除法之間存在“對立統(tǒng)一”的辯證關系。

關系2：除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。這是由分數(shù)的意義決定的。因為分數(shù)的意義是把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分數(shù)。而平均分又是除法的內(nèi)在含義，由此就有了“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的計算方法，也就讓分數(shù)乘法與分數(shù)除法有了另一層“對立統(tǒng)一”的辯證關系。

同一個數(shù)量關系之所以能寫出三種解題方法，正是因為“除法與乘法”意義中的辯證關系。因為除法是乘法的逆運算，所以可以借助方程把逆向思維的“分數(shù)除法解決問題”轉(zhuǎn)化成順向思維的“列分數(shù)乘法方程解決問題”。這有助于學生理解算理，掌握算法。而“分數(shù)除法與分數(shù)乘法”獨有的辯證關系是正確計算分數(shù)除法的保障，只有掌握這層辯證關系，學生才能正確計算“分數(shù)除法解決問題”。

三、實踐研究：在教學環(huán)節(jié)中培養(yǎng)“辯證思維”

1.轉(zhuǎn)化“問題關鍵句”，構建辯證關系，降低學習難度。

【環(huán)節(jié)設計】在這個環(huán)節(jié)中，筆者設計了找單位“1”、列數(shù)量關系的任務。讓學生根據(jù)這三個數(shù)量關系說一說：

（1）誰是單位“1”？

（2）你知道它所表示的數(shù)量關系嗎？畫圖驗證。

（3）對比觀察，你能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量關系之間有什么聯(lián)系？

通過對比觀察，可以引導學生發(fā)現(xiàn)不同事物之間可能存在一定聯(lián)系，引導學生用“對立統(tǒng)一”的觀點去分析問題和解決問題，學會把復雜的關鍵句簡單化，降低學習難度，為接下來的解題建模做鋪墊。

【設計意圖：對比分析數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)其“對立統(tǒng)一”的辯證關系。】

2.研究“多樣化題型”，孕育辯證思維，建立解題模型。

多樣化題型能夠驅(qū)動學生產(chǎn)生差異與對立的想法，當見解產(chǎn)生差異與對立時，會激發(fā)爭辯與討論，由此產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)與見解就是“辯證思維”形成的過程。

（1）自主編題，形成素材。

教師出示研究問題，學生自主編題解答。

根據(jù)關鍵句，你能自己設計條件和問題，編寫一道解決問題并自己解決嗎？

（2）分類辨析，總結題型。

每位學生設計的條件和問題不可能完全相同，但由于題目中的關鍵句相同，使得學生設計的題目既有差異性又有相似性，形成具有研究價值的辯證素材。辯證素材具有思辨性，分類辨析這些素材有利于激發(fā)學生的探究意識，引發(fā)學生的質(zhì)疑和討論，孕育學生的辯證思維。通過分析對比學生的作品，就能把全班同學編制的題目按題目類型進行分類。

根據(jù)關鍵句中單位“1”的已知和未知，可以構建“分數(shù)乘除法解決問題”的題型。利用關鍵句中辯證關系，可以把“女生比男生少”轉(zhuǎn)化成“女生是男生的”是正確分析其數(shù)量關系解決問題的關鍵。

（3）發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，構建模型。

通過分類辨析，我們已經(jīng)把開放性的問題總結成四種題型。其實，借助辯證關系，我們還可以把這四種題型統(tǒng)一成一種解題模型：找單位“1”——男生人數(shù)；數(shù)量關系——男生人數(shù)×（1-）=女生人數(shù)；根據(jù)數(shù)量關系，列算式或方程計算；反思檢驗并寫出結論。

【設計意圖：從現(xiàn)象到本質(zhì)，從對立到統(tǒng)一，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的眼光尋找不同題型共性的解題模型，是強化學生辯證意識的有效途徑?！?/p>

3.聚焦“算法多樣化”，強化辯證意識，優(yōu)化解題方法。

其中，題型3 和題型4 是學生的易錯題，也是部分學生理解的難點。例如，男生有250 人，女生比男生少，女生比男生少幾人？正確的解題方法有兩種：

對比兩種方法，第二種方法優(yōu)于第一種。這就是要學生理清解決問題的關鍵是理清數(shù)量關系，正確把握誰是比較量，比較量對應的直接分率到底是多少。

【設計意圖：將不同的題目進行分類、辨析、總結、建模、優(yōu)化，不僅提高了學生的解題能力，還發(fā)展了學生的辯證思維，促進了學生的深度理解?！?/p>

4.研究“乘除法算式”，提升辯證能力，發(fā)展學生素養(yǎng)。

“乘除法算式”是“分數(shù)乘除法解決問題”的外在表象，數(shù)量關系是其內(nèi)在本質(zhì)，但表象與本質(zhì)之間是可以雙向交流、互相轉(zhuǎn)化的。對此，筆者設計了通過“乘除法算式”分析數(shù)量關系、編寫關鍵句的練習，力圖通過逆向思維，提升學生的辯證能力，發(fā)展學生的學科素養(yǎng)。

（1）類比對照，遷移與應用同推進。

【問題設計】小明有故事書42 本__________，，漫畫書有多少本？

根據(jù)算式，補充信息。

【設計意圖：此題是一道逆向練習，能培養(yǎng)學生的逆向思維和辯證思維。在類比對照中，鞏固學生以單位“1”的已知與未知判斷解決問題的計算方法，也能反向遷移，憑借算式判斷單位“1”的已知與未知，了解比較量對應的分率，實現(xiàn)遷移與應用的共同發(fā)展，提高學生的解題能力和辯證思維能力?！?/p>

（2）個性創(chuàng)造，創(chuàng)新與技能共發(fā)展。

【問題設計】小明有故事書42 本，__________，漫畫書有多少本？

如果在補充的關鍵句中要出示分數(shù)，你還能想到哪些關鍵句？你會自己列式解決嗎？（只列式不計算）

【設計意圖：設計解決開放性的解決問題能體現(xiàn)學生的個性化，可培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和解題能力。同一情況下的多樣化題型是學生自主創(chuàng)新的智慧結晶，靈活解決多樣化題型是學生技能提升的體現(xiàn)?！?/p>

（3）對比強化，能力與思維雙提升。

分類匯總學生的作品，如圖：

縱向觀察：已知單位“1”，用分數(shù)乘法解決問題，如圖中的①③⑤；未知單位“1”，用分數(shù)除法解決問題，如圖中的②④⑥。

橫向觀察：“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的算式是單位“1”×（或÷）分率=比較量，如①和②；“一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾”的算式是單位“1”×（或÷）（1+分率）=比較量，如③和④；“一個數(shù)比另一個數(shù)少幾分之幾”的算式是單位“1”×（或÷）（1-分率）=比較量，如⑤和⑥。

四、對比評價：在前后測試中檢驗“教學成效”

筆者采用“范希爾理論”的五個思維水平，對學生練習前后的思維水平層次進行了界定及賦值，以此來檢測教學前后學生思維水平的變化，檢測教學的有效性。通過測試結果的分析研究，筆者認為，上述辯證式的練習課教學，以“辯”促“思”，打通了兩個單元解決問題中的“隔斷墻”，讓學生在活動探究中理解了這兩類問題的辯證關系，掌握了兩種題型的解題方法，發(fā)展了用“對立統(tǒng)一”觀點看問題的“辯證思維”。

經(jīng)過本節(jié)課的教學，學生對用分數(shù)乘、除法解決的問題類型有了較為深刻的認識，對兩者的辯證關系有了體驗和認知。這種認知提升了學生解決問題的能力，也促進了學生“辯證思維”的發(fā)展。