文|王靜文 陳 敏

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

師：（出示圖1）王老師和張老師約好明天晚上8：00 同時(shí)從各自家里出發(fā)去健身房健身。猜一猜，他們可能怎么走？

圖1

師：如果健身房在這（如圖2），他們兩個(gè)怎么走呢？

圖2

生：同向而行。

（請(qǐng)學(xué)生用手勢(shì)比劃）

師：健身房還可能在——

生：（標(biāo)記健身房位置如圖3）這時(shí)王老師和張老師同向而行。

圖3

生：（標(biāo)記健身房位置如圖4）這時(shí)王老師和張老師（手勢(shì)表示）面對(duì)面走。

圖4

師：我們也用手來(lái)比劃一下。像這樣，面對(duì)面地走，人們稱為相向而行，走著走著就會(huì)——相遇。4 分鐘后，王老師和張老師在健身房相遇了。根據(jù)這些信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：王老師家到健身房的路程是多少米？

生：王老師家和張老師家相距多少米？

生：王老師比張老師多走了多少米？

……

師：同學(xué)們提出的問(wèn)題都有研究?jī)r(jià)值。今天我們先來(lái)研究“王老師家和張老師家相距多少米”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。現(xiàn)在能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？你還需要什么信息？

生：兩人的速度。

（補(bǔ)充課件，如圖5）

圖5

師：現(xiàn)在的信息夠用了嗎？誰(shuí)能把這些信息連起來(lái)，編成一道完整的應(yīng)用題？

根據(jù)學(xué)生的回答出示題目：王老師和張老師同時(shí)從家出發(fā)相向而行，王老師每分鐘走80 米，張老師每分鐘走60 米，經(jīng)過(guò)4 分鐘兩人相遇。兩家相距多少米？

師：你會(huì)列式解答嗎？請(qǐng)拿出練習(xí)紙，在第一題的方框中作答。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活事件引入，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，喚醒學(xué)生的日常經(jīng)驗(yàn)，明確“同時(shí)、同向、相向、相遇”等專用術(shù)語(yǔ)的意思。集體逐步編成完整的問(wèn)題的過(guò)程有助于學(xué)生深度了解問(wèn)題中的基本數(shù)據(jù)信息，為下一階段深度分析數(shù)量關(guān)系奠定基礎(chǔ)?！?/p>

二、利用直觀，引出模型

1.全班交流，理解意義。

師：你們都是怎樣列式的？

生1：我是這樣列式的：80×4+60×4=560（米）。（板書(shū)算式）

生2：我這樣算：（80+60）×4=560（米）。（板書(shū)算式）

師：誰(shuí)能解釋這個(gè)算式（指生1 算式）所表示的意義？

生：他先用80×4 算出王老師走過(guò)的路程，再用60×4 算出張老師走過(guò)的路程，合起來(lái)就可以求出總路程。

師：是這樣嗎？讓我們一起看著大屏幕說(shuō)一說(shuō)。

（課件動(dòng)態(tài)逐步生成圖6）

圖6

師：算式（80+60）×4=560（米）又表示什么意思呢？

生：王老師和張老師兩人1 分鐘一共可以走（80+60）米，一共走了4 分鐘，就是走了4 個(gè)（80+60）米。

（課件動(dòng)態(tài)生成圖7）

圖7

師：（80+60）表示什么意思？

生：兩位老師每1 分鐘合起來(lái)走了（80+60）米，一共走了4 分鐘，對(duì)應(yīng)走了（80+60）×4=560（米）。

2.橫向?qū)Ρ?，引出模型?/p>

師：這兩種方法有什么區(qū)別？

生：第一種是分別求出王老師和張老師走過(guò)的路程，再求和。第二種是把王老師和張老師1 分鐘走過(guò)的路程看成1 份，4 分鐘有這樣的4 份。

師：在兩位老師速度不變的情況下，行走時(shí)間是1 分鐘的4倍，行的路程也應(yīng)該是——

生：（80+60）的4 倍。（隨機(jī)板書(shū)“倍”）

師：照這個(gè)速度走8 分鐘呢？走15 分鐘呢？

小結(jié)：由于兩位老師的速度始終不變，我們可以把1 分鐘的路程和看作1 份，行幾分鐘，就是這樣的路程和的幾倍。

【設(shè)計(jì)意圖：借助圖形直觀，解析不同算法的模型意義。算法1更貼近生活情境，以人物為線索，分別計(jì)算兩位老師的行走路程，再相加，本質(zhì)上是一個(gè)加法結(jié)構(gòu)；算法2 則作了一定的數(shù)學(xué)抽象，抓住數(shù)學(xué)關(guān)系中速度不變，路程和時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立了乘法模型。通過(guò)對(duì)不同方法的比較，超越對(duì)相遇問(wèn)題計(jì)算公式的機(jī)械記憶，深度理解數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)。】

三、拓展應(yīng)用，深化模型

1.情境變換，內(nèi)化模型。

（1）提出問(wèn)題。

師：除了可以把兩個(gè)人1 分鐘走過(guò)的路程合起來(lái)看成1 份，生活中哪些量也可以合起來(lái)作為1 份呢？

生：可以把運(yùn)動(dòng)衣和運(yùn)動(dòng)褲的價(jià)格合起來(lái)看成1 份，買(mǎi)4 套。

生：可以把師傅和徒弟1 分鐘做的零件合起來(lái)看成1 份。

……

師：那我們還用這個(gè)算式（如圖8），看看還可以解決哪些類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題。請(qǐng)你和同桌一起合作編一編。如果有困難可以打開(kāi)錦囊（如圖9）。

圖8

圖9

（2）同桌合作，創(chuàng)編問(wèn)題。

（3）學(xué)生匯報(bào)，比較內(nèi)化。

師：仔細(xì)看，他們把什么合起來(lái)看成1 份？（隨機(jī)生成板書(shū)）

……

師：像這樣的題目我們編得完嗎？

生：編不完。

師：那這些題目之間有什么聯(lián)系呢？

生：它們的數(shù)量關(guān)系是不變的。因?yàn)樗鼈兊? 份都不變，都可以先算出1 份和，再看有這樣的幾份，最后算出總數(shù)。

（教師板書(shū)關(guān)系式：1 份和×倍數(shù)=總數(shù)）

2.可逆變換，深化模型。

師：這道題的情境變化豐富多彩，那這道題本身能不能變化呢？我們來(lái)看：王老師和張老師同時(shí)從家出發(fā)相向而行，王老師每分鐘走80 米，張老師每分鐘走60 米，經(jīng)過(guò)4 分鐘兩人相遇。兩家相距560 米。

師：在這里，除了可以把王老師和張老師家相距多少米作為問(wèn)題，還可以選哪個(gè)數(shù)量來(lái)做問(wèn)題？

生：還可以求王老師的速度、張老師的速度、相遇時(shí)間。

師：你會(huì)求張老師的速度嗎？（根據(jù)學(xué)生的敘述出示完整問(wèn)題）

（1）列式解答。

（2）交流算法。

師：你們都是怎樣列式的？

方法一：560－4×80=240（米）

240÷4=60（米/分）

方法二：560÷4－80=140-80=60（米/分）

師：讓我們一起看著大屏幕說(shuō)一說(shuō)（課件動(dòng)態(tài)演示如圖10）。

圖10

師：方法二又是怎么想的呢？

生：他先直接除以4，算出王老師和張老師兩人1 分鐘一共走多少米，再減掉王老師1 分鐘走的路程，就是張老師1 分鐘走的路程。

師：我們也結(jié)合線段圖，來(lái)看一看，說(shuō)一說(shuō)。

（課件動(dòng)態(tài)演示圖11）

圖11

生：560÷4 表示王老師和張老師1 分鐘一起走過(guò)的路程，要求張老師的速度要用560÷4-80。

（3）方法優(yōu)化。

師：這兩種方法，你更喜歡哪一種？說(shuō)說(shuō)你的理由。

生：我更喜歡第二種，因?yàn)樗襟E少，計(jì)算簡(jiǎn)單。

生：我也喜歡第二種，這種方法能把張老師和王老師合在一起看，很新穎。

師：在1 份不變的情況下，先求出1 份和，比分別去求更簡(jiǎn)捷。

（4）小結(jié)提升。

師：來(lái)看看這兩題之間有什么聯(lián)系與區(qū)別（圖12）。

圖12

生：它們的數(shù)據(jù)都是一樣的。

生：它們的數(shù)量關(guān)系是一樣的，只是求的問(wèn)題不一樣。

生：它們是一道題，只是反了過(guò)來(lái)。

……

師：是的，它們都用到了相同的數(shù)量關(guān)系。不同的是，第一題是知道速度和時(shí)間，求路程和；第二題是知道路程之和與時(shí)間，求其中一個(gè)人的速度。

師：還可以求什么？你會(huì)求嗎？

生：我們還可以改成求相遇時(shí)間的問(wèn)題。560÷（80+60）=4（分）。

3.鞏固練習(xí)。

（1）只列式，不計(jì)算。

①甲隊(duì)開(kāi)鑿進(jìn)度12 米/天，乙隊(duì)開(kāi)鑿進(jìn)度14 米/天，兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)相向開(kāi)鑿，經(jīng)15 天打通。這條隧道長(zhǎng)多少米？

②貨車(chē)和客車(chē)同時(shí)從相距420 千米的A、B 兩城出發(fā)，相向而行，3 小時(shí)后相遇。貨車(chē)的速度是60 千米/時(shí)，客車(chē)的速度是多少？

③學(xué)校采購(gòu)了30 套課桌椅共花了5700 元，已知課桌100 元/張，椅子多少錢(qián)一把？

（2）自主練習(xí)，教師巡回批改，個(gè)別輔導(dǎo)。

師：和我們今天的例題相比，你有什么想說(shuō)的嗎？

生：第①題與例題中王老師和張老師家相距多少米的類型是一樣的，只是情境變了，都是先把兩隊(duì)一天開(kāi)鑿的數(shù)量合起來(lái)看成1 份，15 天對(duì)應(yīng)15 份。

生：這三道題的結(jié)構(gòu)是一樣的，都是求出1 份×倍數(shù)=總數(shù)。只不是過(guò)②③是逆向思考。例如第②題3 小時(shí)對(duì)應(yīng)420 米，就可以反推1 小時(shí)合開(kāi)140 米，再減60就可以了。

……

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)編題目，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)模型。環(huán)節(jié)1 為情境變換，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同生活情境可概括為同一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，同一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可反映到不同生活情境中，感悟數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。環(huán)節(jié)2 為可逆變換，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)內(nèi)部作多向思考和推理，通過(guò)靈活分析數(shù)量之間的關(guān)系，更好地掌握和對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)。環(huán)節(jié)3 通過(guò)練習(xí)，做好個(gè)體內(nèi)化和沉淀，也方便教師診斷學(xué)生個(gè)體差異，制定下一步教學(xué)計(jì)劃?！?/p>

四、總結(jié)回顧（略）