重慶璧山中學(xué) 楊 帆

數(shù)學(xué)抽象概括能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是每個學(xué)生應(yīng)具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。它對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力具有重要幫助作用，如何才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力，筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行了實(shí)踐探索。

一、經(jīng)歷概念形成過程，培養(yǎng)抽象概括能力

數(shù)學(xué)概念的形成過程是一個抽象概括的過程，是通過對各種數(shù)學(xué)關(guān)系的表形形式進(jìn)行歸納總結(jié)，最后抽象概括出具有普遍性的數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，常常是直接給出定義，講解概念本質(zhì)屬性、內(nèi)涵與外延，最后進(jìn)行鞏固練習(xí)。這種簡明直接的數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法，既不利于學(xué)生掌握概念，也不利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。教師只有在概念的形成過程中去啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的抽象概括過程，學(xué)生才能真正理解數(shù)學(xué)概念。

例如，在教學(xué)高中數(shù)學(xué)“空間兩條直線的位置關(guān)系”時，教師可通過概念的形成過程來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力?？蓮囊韵滤膫€步驟教學(xué)。

一是直觀感知具體數(shù)學(xué)事例。教師可在同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，為學(xué)生展示生活中空間兩條直線位置關(guān)系的事例，如課桌的四條邊、立交橋兩個路面的交通線、旗桿與地基邊沿線等。讓學(xué)生感知這些空間體中哪些線能相交，哪些不能相交。

二是歸納分析事例數(shù)學(xué)屬性。在對數(shù)學(xué)事例感知的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過觀察、比較來分析這些線段或直線的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)?？砂凑障嘟慌c不相交（有沒有公共點(diǎn)）來區(qū)分兩條直線的位置關(guān)系，也可以按照在不在一個平面進(jìn)行區(qū)分，還可按平行與不平行進(jìn)行區(qū)分。以此來歸納分析這些事例中包含的數(shù)學(xué)屬性（兩條直線的位置關(guān)系）。

三是邏輯演繹篩選本質(zhì)屬性。歸納了這些事例的數(shù)學(xué)屬性后，學(xué)生要進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[，以此來篩選出這些數(shù)學(xué)事例中最本質(zhì)的屬性（特征）是什么，如立交橋兩個路面的交通線是不相交、不平行、不在同一平面內(nèi)的兩條直線，就可確定它們是異面直線。

四是概括本質(zhì)屬性形成概念。最后教師引導(dǎo)學(xué)生對空間內(nèi)兩條直線的不同位置關(guān)系進(jìn)行概括總結(jié)，從特殊情況再擴(kuò)展到一般情況，最后就能形成“空間兩條直線的位置關(guān)系”完整的數(shù)學(xué)概念。教師通過這四個步驟，既能培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，又能使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念。

二、通過圖形關(guān)系類比，培養(yǎng)抽象概括能力

圖形與數(shù)量是數(shù)學(xué)知識的兩個主要方面，運(yùn)用圖形和圖形關(guān)系能把數(shù)量之間具有的抽象關(guān)系變得具體化、直觀化，特別是借助于數(shù)形結(jié)合的思想方法，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。

例如，在高一必修1的《對數(shù)函數(shù)性質(zhì)》教學(xué)時，可利用圖形關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想方法來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。學(xué)生要掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)掌握對數(shù)函數(shù)圖象的畫法，可以運(yùn)用“列表—描點(diǎn)”的傳統(tǒng)方法繪制，還可以利用已經(jīng)學(xué)過的指數(shù)函數(shù)的圖象，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖形y=x關(guān)于對稱的關(guān)系，就可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖象。借助于對數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，再與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行類比，就能讓學(xué)生抽象概括出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞）、值域是R，而指數(shù)函數(shù)的定義域是R、值域是（0，+∞），兩者正好相反；兩個函數(shù)都是非奇非偶函數(shù)；在單調(diào)性方面，兩個函數(shù)具有相同的性質(zhì)，即當(dāng)a>1時，兩者單調(diào)遞增，當(dāng)0

在《對數(shù)函數(shù)性質(zhì)》教學(xué)中，教師遵循了“從具體到抽象”的教學(xué)過程，通過借助于對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖質(zhì)，同時促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力的提升。

三、運(yùn)用習(xí)題變式訓(xùn)練，培養(yǎng)抽象概括能力

習(xí)題訓(xùn)練是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在習(xí)題訓(xùn)練中教師可借助于變式訓(xùn)練來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力和創(chuàng)新思維能力教師可通過改變原題目的某些條件或所求結(jié)論，來訓(xùn)練學(xué)生解題思維的拓展性、整體性和邏輯性，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力的目的。

解析：要解此題可先解決與之相關(guān)的問題，進(jìn)行變式訓(xùn)練：

教師在本題中運(yùn)用變式訓(xùn)練來進(jìn)行類比構(gòu)造，并通過對相關(guān)的知識體系進(jìn)行抽象概括，既實(shí)現(xiàn)了所求問題的轉(zhuǎn)化，也實(shí)現(xiàn)了學(xué)生抽象概括能力的遷移。

四、梳理學(xué)生思路，培養(yǎng)抽象概括能力

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的過程中，教師應(yīng)該充分發(fā)揮自身指導(dǎo)作用，使學(xué)生了解與掌握解題思路，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，發(fā)現(xiàn)探索與解答問題規(guī)律，通過應(yīng)用實(shí)踐教學(xué)，提高學(xué)生的抽象概括能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用實(shí)踐問題是教學(xué)環(huán)節(jié)中的一個重要問題。教師可通過舉例形式，培養(yǎng)學(xué)生自主解決問題的意識以及抽象概括能力，明確此類應(yīng)用問題的解題思路與解題方法，幫助學(xué)生找到快速解答問題的方案。例如，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中三角函數(shù)問題至關(guān)重要，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)圖象的性質(zhì)來解決這一問題。在具體解題過程中教師還可引導(dǎo)學(xué)生從正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和切線函數(shù)三個方面來分析圖象的特征。分析函數(shù)表達(dá)式，比較正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間存在的差異性，繪制函數(shù)坐標(biāo)圖，要求學(xué)生對各函數(shù)之間存在的關(guān)系進(jìn)行總結(jié)。將所學(xué)理論知識應(yīng)用到實(shí)際習(xí)題練習(xí)中，學(xué)生可以獨(dú)立地將這些已知變量和未知變量代入到公式中。教師可舉例，要求學(xué)生作答，如果函數(shù)y=3sin的反比例函數(shù)為H，如何獲得y=3sin的反比例函數(shù)圖象。教師應(yīng)不斷開拓學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)知識，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效率的有效提高奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提升具有重要意義。因此，教師要注重利用數(shù)學(xué)概念形成過程、圖形關(guān)系和習(xí)題變式訓(xùn)練，來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)。