■江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué) 李更磊 白利燕

運動學(xué)圖像問題不僅考查同學(xué)們對基本概念和基本規(guī)律的理解與應(yīng)用,而且對同學(xué)們的讀圖、識圖、畫圖、用圖的能力也提出了較高的要求。同學(xué)們在遇到運動學(xué)圖像問題時,需要認(rèn)真觀察圖像,挖掘出圖像描述的物理現(xiàn)象和物理過程,找到研究對象遵循的物理規(guī)律,建立各個物理量之間的定量關(guān)系,靈活運用數(shù)學(xué)知識完成物理問題的求解。下面選取兩類典型的運動學(xué)圖像問題進行分析與求解,以期能為同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考助力。

一、橫軸表示時間的圖像

橫軸表示時間的圖像描述的是縱軸物理量隨時間變化的規(guī)律,常見的橫軸表示時間的圖像包括x-t圖像、v-t圖像和a-t圖像等。

1.x-t圖像:描述的是做直線運動的物體的位移x隨時間t變化的規(guī)律。觀察x-t圖像可以知道做直線運動的物體在某一時刻所處的位置,以及物體在這一位置處的速度和加速度。若x-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體處于靜止?fàn)顟B(tài),物體的速度和加速度均為零;若x-t圖像是一條傾斜的直線,則表示物體做勻速直線運動,直線的斜率表示物體的速度,物體的加速度為零;若x-t圖像是一條曲線,則表示物體做變速直線運動,曲線上某點切線的斜率表示物體在對應(yīng)時刻的速度,曲線上各點切線斜率的變化反映物體速度的變化。

例1一質(zhì)量為m的物體放置在集裝箱內(nèi),物體隨集裝箱一起向上運動,其位移x隨時間t的變化規(guī)律如圖1所示。物體受到集裝箱對它的支持力用N表示,物體的速度用v表示。已知當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間,以下說法中正確的是( )。

圖1

A.0～t1內(nèi),v增大,N＞mg

B.t1～t2內(nèi),v增大,N＜mg

C.t2～t3內(nèi),v增大,N＜mg

D.t3～t4內(nèi),v減小,N＞mg

解析:根據(jù)x-t圖像反映物體的位移x隨時間t的變化規(guī)律,圖像的斜率表示物體的速度可知,0～t1內(nèi),物體的位移x增加,速度v增大,加速度方向向上,物體處于超重狀態(tài),則N＞mg,選項A 正確;t1～t2內(nèi),物體的位移x增加,速度v不變,加速度為零,物體勻速上升,則N=mg,選項B 錯誤;t2～t3內(nèi),物體的位移x增加,速度v減小,加速度方向向下,物體處于失重狀態(tài),則N＜mg,選項C錯誤;t3～t4內(nèi),物體的位移x不變,速度為零,加速度為零,物體處于靜止?fàn)顟B(tài),則N=mg,選項D 錯誤。

答案:A

2.v-t圖像:描述的是做直線運動的物體的速度v隨時間t變化的規(guī)律。觀察v-t圖像可以知道做直線運動的物體在某一時刻的速度,以及物體在這一時刻的加速度。若v-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體做勻速直線運動,物體的加速度為零;若v-t圖像是一條傾斜直線,則表示物體做勻變速直線運動,直線的斜率表示物體的加速度;若v-t圖像是一條曲線,則表示物體做變加速直線運動,曲線上某點切線的斜率表示物體在對應(yīng)時刻的加速度,曲線上各點切線斜率的變化反映物體加速度的變化。

例2如圖2所示,一個光滑斜面體固定在水平地面上,輕質(zhì)彈簧的一端與足夠長斜面上端的擋板相連,用手托住小球,使得小球與彈簧的另一端緊貼在一起,彈簧處于原長狀態(tài)?，F(xiàn)將小球向上移動擠壓彈簧,使得彈簧的形變量為x,然后釋放,則如圖3所示的描述小球在斜面上運動時的v-t圖像中正確的是( )。

圖2

圖3

解析:將小球向上移動擠壓彈簧,使得彈簧的形變量為x后釋放,在小球與彈簧接觸的時間內(nèi),小球受到重力和沿斜面向下逐漸減小的彈簧彈力作用,小球的速度逐漸增大,加速度逐漸減小,其v-t圖像應(yīng)為一條斜率逐漸減小的曲線;在小球與彈簧脫離的時間內(nèi),小球僅受重力作用,小球的速度繼續(xù)增大,加速度保持不變,其v-t圖像應(yīng)為一條傾斜的直線。

答案:C

3.a-t圖像:描述的是物體的加速度a隨時間t變化的規(guī)律。觀察a-t圖像可以知道物體在某一時刻的加速度,以及物體在某段時間內(nèi)速度的變化情況。若a-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體做勻變速運動;若a-t圖像是一條傾斜直線或曲線,則表示物體做變加速運動,且直線的斜率或曲線上某點切線的斜率表示物體在對應(yīng)時刻加速度的變化率。

例3一輛汽車由靜止開始沿平直公路運動,其加速度a隨時間t的變化規(guī)律如圖4所示,以下說法中正確的是( )。

圖4

A.0～t0內(nèi),汽車的平均速度為a0t0

B.第2t0末,汽車的速度為

C.t0～2t0內(nèi),汽車的位移大于

D.0～2t0內(nèi),汽車的位移等于a0t20

解析:根據(jù)a-t圖像可知,0～t0內(nèi),汽車做勻加速直線運動,末速度v1=a0t0,平均速度,選項A 錯誤。根據(jù)a-t圖像與橫軸圍成的面積表示速度的變化量可知,0～2t0內(nèi),汽車速度的變化量Δv=a0t0+,因此第2t0末汽車的速度,選項B 正確。作出對應(yīng)的v-t圖像如圖5所示,根據(jù)v-t圖像與橫軸圍成的面積表示位移可知,t0～2t0內(nèi),汽車的位移x2＞,選項C正確;0～2t0內(nèi),汽車的位移,選項D錯誤。

圖5

答案:BC

二、橫軸表示位移的圖像

橫軸表示位移的圖像描述的是縱軸物理量隨位移變化的規(guī)律,常見的橫軸表示位移的圖像包括v-x圖像和a-x圖像等。

1.v-x圖像:描述的是物體的速度v隨位移x變化的規(guī)律。根據(jù)v-x圖像的斜率可知,物體的加速度a=kv,即v-x圖像的斜率和物體速度的變化共同決定物體的加速度。

例4一輛轎車和一輛貨車在同一地點,同一時刻,沿相同方向做直線運動。轎車做初速度為零,加速度大小為a1的勻加速運動;貨車做初速度v0=6 m/s,加速度大小為a2的勻減速運動,運動至速度減小為零后保持靜止?fàn)顟B(tài)。轎車和貨車在運動過程中的速度—位移圖像如圖6所示。下列說法中正確的是( )。

圖6

A.貨車從開始運動至停止的過程中發(fā)生的位移為18 m

B.兩車同時到達(dá)x=6 m 處

C.從兩車開始運動至貨車停止的過程中,兩車之間的最大距離為18 m

D.從兩車開始運動至貨車停止的過程中,兩車之間的最大距離為6 m

解析:根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律可知,轎車的位移與速度的關(guān)系式為v21=2a1x1,變形得;貨車的位移與速度的關(guān)系式為v22-v20=-2a2x2,變形得結(jié)合v-x圖像可得,當(dāng)v1=v2時,=6 m;當(dāng)x1=x2(x1、x2大于6 m)時,v1=8 m/s,v2=2 m/s,即聯(lián)立以上各式解得a1=2 m/s2,a2=1 m/s2。貨車從開始運動至停止的過程中發(fā)生的位移,選項A 正確。根據(jù)勻變速直線運動的位移公式可得,轎車到達(dá)x=6 m 處所用的時間t1滿足關(guān)系式x=,解得t1= 6 s;貨車到達(dá)x=6 m 處所用的時間t2滿足關(guān)系式解得舍去]。因為t1＞t2,所以貨車先到達(dá)x=6 m處,選項B錯誤。當(dāng)兩車速度相等時,兩車之間的距離最大,根據(jù)a1t=v0-a2t,解得t=2 s,則兩車之間的最大距離Δx=v0t-,選項C錯誤,D 正確。

答案:AD

2.a-x圖像:描述的是物體的加速度a隨位移x變化的規(guī)律。觀察a-x圖像縱坐標(biāo)的變化情況可以知道物體在運動過程中加速度的變化情況,確定物體是做勻變速運動還是非勻變速運動;將勻變速直線運動的位移與速度的關(guān)系式v2-v20=2ax變形得ax=,因此a-x圖像與橫軸圍成的面積的2倍表示物體在做勻變速直線運動的過程中速度平方的變化量。

例5位于水平桌面上的物體在水平外力F的作用下由靜止開始運動,以物體靜止時所處的位置為坐標(biāo)原點O,以外力F的方向為正方向建立x軸,則物體的加速度a隨位移x的變化規(guī)律如圖7所示。下列說法中正確的是( )。

圖7

A.當(dāng)物體的位移為x1時,物體的速度大小為

B.當(dāng)物體的位移為x2時,物體的速度達(dá)到最大

D.在0～x2的過程中物體做勻加速直線運動,在x2～x3的過程中物體做勻減速直線運動

解析:根據(jù)a-x圖像與橫軸圍成的面積的2倍表示物體在做勻變速直線運動的過程中速度平方的變化量可得,當(dāng)物體的位移為x1時,物體的速度大小v1滿足關(guān)系式v21=2a0x1,解得,選項A 正確。因為a-x圖像與橫軸圍成的面積最大時,物體的末速度最大,所以當(dāng)物體的位移為x3時,物體的速度達(dá)到最大,且最大速度vmax=選項B錯誤,C正確。觀察a-x圖像可知,在0～x2的過程中,物體的加速度恒定,物體做勻加速直線運動,在x2～x3的過程中,物體的加速度逐漸減小,物體做變加速直線運動,選項D 錯誤。

答案:AC

運動學(xué)圖像的形式多樣,變化多端,解決運動學(xué)圖像問題的依據(jù)是基本的物理規(guī)律和物理方法,解決運動學(xué)圖像問題的基本步驟是觀察圖像,弄清縱、橫軸表示的物理量→根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)縱、橫軸表示的物理量之間的函數(shù)關(guān)系式→結(jié)合圖像的斜率、截距、交點、面積等表示的物理意義列出關(guān)系式→解對應(yīng)關(guān)系式回答相關(guān)問題。