王子赟 李南江 王艷 紀(jì)志成

(1.江南大學(xué)輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇無(wú)錫 214122;2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)應(yīng)用教育部工程研究中心,江蘇無(wú)錫 214122)

1 引言

在復(fù)雜的工藝系統(tǒng)和一些信號(hào)處理系統(tǒng)中,由于外界因素多變、系統(tǒng)工況復(fù)雜等原因,這些系統(tǒng)往往存在時(shí)滯問(wèn)題,例如輸入信號(hào)時(shí)滯、傳感器傳輸時(shí)滯、信號(hào)網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)滯等[1–4],從而帶來(lái)系統(tǒng)震蕩、功能退化甚至失去其穩(wěn)定性等不良影響.現(xiàn)有的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)研究成果主要針對(duì)線性離散系統(tǒng),相較而言對(duì)含時(shí)滯的系統(tǒng)研究較少.近年來(lái),針對(duì)時(shí)滯現(xiàn)象的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題也逐漸受到學(xué)者們的關(guān)注[5–7].

針對(duì)含時(shí)滯的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題,當(dāng)前的研究主要是利用狀態(tài)擴(kuò)維方法,將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為不含時(shí)滯的增廣系統(tǒng)[8].這類(lèi)方法雖然簡(jiǎn)便,但是會(huì)不可避免地增加系統(tǒng)的維數(shù),從而導(dǎo)致算法的計(jì)算復(fù)雜度增加.劉飛等[9]針對(duì)含狀態(tài)時(shí)滯的線性離散時(shí)變系統(tǒng),提出了一類(lèi)無(wú)偏有限脈沖響應(yīng)濾波算法.通過(guò)構(gòu)造含有時(shí)滯狀態(tài)的增廣系統(tǒng)模型,對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)時(shí)滯轉(zhuǎn)換.此外,H∞濾波也是求解時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的一類(lèi)常用方法.肖會(huì)敏等[10]針對(duì)一類(lèi)具有外部擾動(dòng)的不確定廣義時(shí)滯系統(tǒng),設(shè)計(jì)了H∞狀態(tài)估計(jì)器進(jìn)行狀態(tài)估計(jì);齊跡等[11]針對(duì)含有隨機(jī)時(shí)變時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)化切換控制系統(tǒng),采用滿足Bernoulli分布的隨機(jī)序列描述時(shí)變時(shí)滯現(xiàn)象,基于李雅普諾夫方法給出了H∞性能指標(biāo)的充分條件.

以卡爾曼濾波[12–13]為代表的基于噪聲信號(hào)概率分析方法,是解決系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題最主流的研究路徑.這些方法都需要預(yù)先假設(shè)噪聲為滿足某一分布規(guī)律,或者已知噪聲的部分或全部特性.然而,實(shí)際工業(yè)系統(tǒng)受到的噪聲是無(wú)法采用某一先驗(yàn)分布規(guī)律精確描述的,因此,傳統(tǒng)的基于噪聲信號(hào)概率分析的狀態(tài)估計(jì)方法在解決這類(lèi)不確定系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題時(shí),效果往往不好.集員方法是通過(guò)采用規(guī)則化空間結(jié)構(gòu),對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行包裹,求解狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題過(guò)程中僅需要已知噪聲或干擾的上下界,不需要預(yù)設(shè)噪聲信號(hào)的先驗(yàn)分布規(guī)律,適用性更廣,因此在狀態(tài)估計(jì)、故障診斷、電子系統(tǒng)等許多領(lǐng)域都得到了廣泛運(yùn)用.例如,文獻(xiàn)[14]研究了零初始狀態(tài)下的系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.Li等[15]將可行集估計(jì)的目標(biāo)定義為在零初始條件下確定包含系統(tǒng)所有狀態(tài)可行集合的有界橢球,這個(gè)定義忽略了初始狀態(tài)值不同所帶來(lái)的影響,僅僅在穩(wěn)態(tài)情況下可行.近些年來(lái)也有一些學(xué)者研究非零初始狀態(tài)下時(shí)滯系統(tǒng)的可行集估計(jì),并將其用于反饋控制器設(shè)計(jì),比如Nam等[16]將可行集估計(jì)應(yīng)用于輸出反饋控制器設(shè)計(jì).集員方法的一個(gè)關(guān)鍵之處在于針對(duì)可行集的形狀描述如何更加準(zhǔn)確,目前來(lái)描述可行集的方法主要有橢球[17–19]、正多胞體[20]、區(qū)間[21]、全對(duì)稱(chēng)多胞體[22–23]等.沈艷霞等[24]提出一種基于凸多面體的集員濾波方法,利用包含所有參數(shù)可能存在的凸多面體,結(jié)合Fourier-Motzkin消去法實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì).文獻(xiàn)[25]提出了一種基于最優(yōu)定界橢球的狀態(tài)估計(jì)方法,借鑒了標(biāo)準(zhǔn)化橢球形狀結(jié)構(gòu)包裹零初始條件下的時(shí)滯系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài),然而該方法帶來(lái)的橢球空間冗余度高,難以得到緊致的時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)集合.

本文針對(duì)噪聲不確定時(shí)滯系統(tǒng),提出一種基于凸空間收縮濾波狀態(tài)估計(jì)方法,通過(guò)構(gòu)造包裹時(shí)滯系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的凸空間結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)凸空間包裹下的狀態(tài)預(yù)測(cè)和量測(cè)更新.本文所提方法與文獻(xiàn)[25]提出的最優(yōu)定界橢球算法相比,省略了部分約束條件,空間結(jié)構(gòu)描述形式更簡(jiǎn)單且不失保守性.同時(shí),本文所采用的凸空間體相比于傳統(tǒng)橢球結(jié)構(gòu)而言,降低了計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí),能夠更加緊密貼合實(shí)際的系統(tǒng)狀態(tài)可行集.

2 問(wèn)題描述

首先定義本文所用的一些符號(hào).|X|∞表示向量X的無(wú)窮范數(shù),|x|表示元素x的絕對(duì)值;a∈A表示a屬于集合A,或者稱(chēng)a是集合A中的元素;A?B表示集合A是集合B的真子集;A?1表示可逆矩陣A的逆,AT表示向量或矩陣A的轉(zhuǎn)置,Ai表示矩陣A的i次冪;I表示單位矩陣,A:=B表示用矩陣A指代或定義矩陣B.

考慮如下的噪聲不確定時(shí)滯系統(tǒng):

其中:x(k)∈Rn,y(k)∈Rm,u(k)∈Rr分別是k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)量、輸出量和輸入量;A∈Rn×n,Ah∈Rn×n,B∈Rn×r,D∈Rn×q,C∈Rm×n均為已知矩陣;w(k)∈Rq,v(k)∈Rn分別為k時(shí)刻系統(tǒng)受到的干擾和測(cè)量噪聲,h表示時(shí)滯時(shí)間長(zhǎng)度.同時(shí),定義下列中間變量:

假設(shè)1對(duì)于給定的噪聲不確定時(shí)滯系統(tǒng)(1)和式(3),矩陣A,Ah和E均滿秩.

假設(shè)2系統(tǒng)的干擾和噪聲分別滿足如下的未知但有界約束:

定義1定義包裹k時(shí)刻系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)x(k)的凸空間體Set(Mk,αk):

其中:X(k)表示包含k時(shí)刻系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)x(k)的狀態(tài)可行集,Mk和αk表示k時(shí)刻凸空間體的形狀矩陣和外界約束矩陣.

注1對(duì)于0

本文旨在針對(duì)噪聲不確定時(shí)滯系統(tǒng),考慮不確定噪聲w(k)、不確定干擾v(k)和時(shí)滯信號(hào)的影響,從空間幾何學(xué)角度,通過(guò)設(shè)計(jì)并求解規(guī)則且緊致的凸空間結(jié)構(gòu),進(jìn)而包裹不規(guī)則的系統(tǒng)狀態(tài)可行集,實(shí)現(xiàn)噪聲不確定性時(shí)滯系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì),降低狀態(tài)估計(jì)可行集的冗余度.

3 主要結(jié)論

3.1 狀態(tài)預(yù)測(cè)

本節(jié)的目的在于求解能夠包裹k+1時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值的凸空間體.在k≥h時(shí),對(duì)于噪聲不確定時(shí)滯系統(tǒng)(1)而言,k+1時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值屬于集合+1),即

下面給出包裹k+1時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)可行集的凸空間體存在性證明,推導(dǎo)該凸空間體的表示方法.

證對(duì)于系統(tǒng)(1),其k+1、k和k ?h時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)值可分別表示為

將式(12)–(13)代入式(11),可得

將式(3)–(6)定義的各矩陣變量代入式(14),那么k+1時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)量可表示為

考慮到k ?2h至k ?h時(shí)刻之間的系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)值均滿足

且根據(jù)假設(shè)1,A,Ah,E均可逆,可定義

證畢.

3.2 量測(cè)更新

在前述對(duì)k+1時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測(cè)基礎(chǔ)上,下面從凸空間收縮角度,實(shí)現(xiàn)k+1時(shí)刻的狀態(tài)量測(cè)更新.

定義k+1時(shí)刻包裹真實(shí)狀態(tài)的帶空間Sk+1為

考慮到包裹k+1時(shí)刻系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)x(k+1)的可行集X(k+1),包含于式(18)所述帶空間Sk+1和預(yù)測(cè)狀態(tài)可行集之間的交集

由k+1時(shí)刻的系統(tǒng)預(yù)測(cè)狀態(tài)可行集

可知

定理2對(duì)于噪聲不確定時(shí)滯系統(tǒng)(1),k+1時(shí)刻包裹真實(shí)狀態(tài)可行集X(k+1)的凸空間體Set(Mk+1,αk+1)為

其中:

證考慮到k+1時(shí)刻系統(tǒng)輸出采樣受到的擾動(dòng)v(k+1)滿足

將式(2)中k+1時(shí)刻系統(tǒng)輸出量代入上式,可得

將式(26)–(27)代入式(24)–(25),整理后可得

依據(jù)定義1中給出的凸空間體結(jié)構(gòu),可知包含k+1時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)真值的凸空間體Set(Mk+1,αk+1)的形狀矩陣為

其中:

證畢.

最后,利用MATLAB軟件自帶優(yōu)化工具箱內(nèi)的線性規(guī)劃函數(shù),求解式(29)所示的線性不等式組,通過(guò)不斷迭代預(yù)測(cè)步和更新步的線性不等式,從而得到包裹各時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)真值的凸空間體及其上下界.

綜上,本文針對(duì)噪聲不確定時(shí)滯系統(tǒng)提出的基于凸空間收縮濾波狀態(tài)估計(jì)算法運(yùn)行步驟如下:

步驟1定義狀態(tài)估計(jì)步數(shù)L和時(shí)滯量h,定義包裹初始狀態(tài)的凸空間體Set(M0,α0),0 ≤k

步驟2根據(jù)輸入量u(k)和已知狀態(tài)矩陣,求解狀態(tài)預(yù)測(cè)凸空間體約束(16)和(17),得到k+1時(shí)刻狀態(tài)預(yù)測(cè)凸空間體

步驟3根據(jù)輸出數(shù)據(jù)y(k)和已知觀測(cè)矩陣,構(gòu)造k+1時(shí)刻用于量測(cè)更新的凸空間體(26)–(27);

步驟4利用線性規(guī)劃函數(shù)求解不等式組(29),得到k+1時(shí)刻包含系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)的凸空間體上下界;

步驟5置k=k+1,判斷k是否等于L.若k=L,算法結(jié)束,輸出包裹系統(tǒng)狀態(tài)的凸空間體Set(Mk,αk);否則,返回步驟2.

4 實(shí)例仿真

為了驗(yàn)證本文提出的基于凸空間收縮濾波狀態(tài)估計(jì)方法的有效性,采用兩個(gè)示例進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

例1考慮如下不確定時(shí)滯系統(tǒng):

相關(guān)系統(tǒng)矩陣分別為

給定輸入u(k)=1.5 sin(0.1k),h=5,其余初始狀態(tài)與不確定擾動(dòng)同樣滿足約束.將本文提出的CSCF算法與文獻(xiàn)[25]以及文獻(xiàn)[26]進(jìn)行對(duì)比,仿真結(jié)果如圖1–6所示.

如圖1所示,在k=0～50 范圍內(nèi)間隔10步分別獲取凸空間和橢圓空間,黑色記號(hào)“×”表示當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)真實(shí)值,紅色凸空間所包裹區(qū)域表示本文所提出的CSCF算法帶來(lái)的狀態(tài)可行集,藍(lán)色橢圓形包裹區(qū)域表示利用文獻(xiàn)[25]的OBE算法得到的狀態(tài)可行集,綠色矩形包裹區(qū)域表示利用文獻(xiàn)[26]的Orthotopic算法得到的狀態(tài)可行集.由圖1可以看出,隨時(shí)間增加,3種算法均能夠時(shí)刻跟隨狀態(tài)量變化而變化,相比而言,利用本文所提出的CSCF算法得到的區(qū)域更小,意味著保守性更好.

圖1 狀態(tài)估計(jì)遞歸演化對(duì)比Fig.1 Comparison of recursive evolution

由圖2–5可以看出,3種方法的可行集上下界均能夠?qū)崟r(shí)包裹狀態(tài)真實(shí)值,放大對(duì)比后可以發(fā)現(xiàn),初始情況下,本文提出的CSCF算法收斂更快,OBE算法最終誤差也和本文算法相似,而文獻(xiàn)[26]的Orthotopic算法初始比OBE算法誤差更小,最后則是誤差更大,總之CSCF算法估計(jì)效果在不失精準(zhǔn)的前提下收斂效果較好.

圖2 狀態(tài)x1估計(jì)曲線對(duì)比Fig.2 Comparison of state estimates on x1

圖3 狀態(tài)x2估計(jì)曲線對(duì)比Fig.3 Comparison of state estimates on x2

圖4 狀態(tài)x3估計(jì)曲線對(duì)比Fig.4 Comparison of state estimates on x3

圖5 狀態(tài)x4估計(jì)曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of state estimates on x4

圖6展示了在k=50,100,150,200等標(biāo)志性時(shí)刻的凸空間和橢圓、正多胞體空間位置,以二維平面視角更加直觀的展示仿真結(jié)果.黑色記號(hào)“×”表示當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)真實(shí)值,紅色矩形所包裹區(qū)域表示凸空間體算法得到的可行集,藍(lán)色橢圓所包裹區(qū)域表示文獻(xiàn)[25]OBE算法得到的可行集,綠色四邊形所包裹區(qū)域表示文獻(xiàn)[26]Orthotopic算法得到的可行集.從圖6中可以直觀看出凸空間結(jié)構(gòu)包裹區(qū)域相較于對(duì)比算法而言更小,體現(xiàn)了本文所提出的算法保守性更小.

圖6 狀態(tài)可行集對(duì)比Fig.6 Comparison of feasibility state sets

例2在動(dòng)力電池化成工藝中,充放電恒流恒壓以及間隔期間切換時(shí),信號(hào)傳輸過(guò)程中的延時(shí)無(wú)法避免.下面針對(duì)圖7所示的不確定干擾下帶有時(shí)滯的雙向DC-DC變換器系統(tǒng),進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的基于凸空間收縮濾波狀態(tài)估計(jì)方法的有效性.

圖7 含時(shí)滯的雙向DC-DC變換器系統(tǒng)Fig.7 Bidirectional DC-DC converter system with time delay

化成充放電過(guò)程中的間隔和切換過(guò)程離散化后,可采用狀態(tài)空間方程描述為

其中:x(k)=[icha(k)idis(k)vc(k)]T,icha(k)為充電時(shí)流經(jīng)電感的電流,idis(k)為放電時(shí)流經(jīng)電感的電流,vc(k)為變換器系統(tǒng)的輸出電壓.系統(tǒng)輸入u(k)=[d1(k)d2(k) 0]T,其中:d1(k)為開(kāi)關(guān)管Q1開(kāi)關(guān)信號(hào)的占空比,d2(k)為開(kāi)關(guān)管Q2開(kāi)關(guān)信號(hào)的占空比.w(k)與v(k)為系統(tǒng)過(guò)程噪聲,化成充放電過(guò)程狀態(tài)空間方程中的已知矩陣為

系統(tǒng)具體參數(shù)如表1所示.

表1 雙向DC-DC變換器參數(shù)Table 1 Parameters of bidirectional DC-DC converter

將表1中的變換器各參數(shù)代入化成充放電狀態(tài)空間,可以得到該模型的已知矩陣如下:

同時(shí)設(shè)定B=[0.2 0.3 0.8]T,C=I3,D=[0.1 0.10.1]T,時(shí)滯步長(zhǎng)h=5,開(kāi)關(guān)管Q1和Q2的開(kāi)關(guān)信號(hào)的占空比分別為0.1和0.2.針對(duì)電池化成充放電過(guò)程,本文采用所提出的CSCF算法和文獻(xiàn)[25]的OBE算法以及文獻(xiàn)[26]的Orthotopic 算法,得到的仿真結(jié)果如圖8–12所示.

圖8所示為在k=0～50范圍內(nèi)間隔10步分別獲取的凸空間和橢圓空間.黑色記號(hào)“×”表示當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)真實(shí)值,紅色凸空間所包裹區(qū)域表示本文所提出的CSCF算法帶來(lái)的狀態(tài)可行集,藍(lán)色橢圓形包裹區(qū)域表示利用文獻(xiàn)[25]的OBE算法得到的狀態(tài)可行集.綠色矩形包裹區(qū)域表示利用文獻(xiàn)[26]的Orthotopic算法得到的狀態(tài)可行集.

圖8 電感充放電電流狀態(tài)估計(jì)遞歸演化對(duì)比Fig.8 Comparison of recursive evolution of inductor charging and discharge current state estimation

由圖9–11可以看出,3種方法帶來(lái)的空間結(jié)構(gòu)均能夠?qū)崟r(shí)包裹狀態(tài)真實(shí)值,但無(wú)論是從電感充放電流估計(jì)遞歸演化情況,還是從電感充電、放電以及輸出電壓狀態(tài)估計(jì)曲線,均能看出本文提出的CSCF算法帶來(lái)的凸空間體包裹電流和電壓狀態(tài)上下界更小,保守性更低.

圖9 電感充電電流狀態(tài)估計(jì)對(duì)比Fig.9 Comparison of inductance charging current estimates

圖12展示了在k=50,100,150,200等標(biāo)志性時(shí)刻的凸空間和橢圓、正多胞體位置.黑色記號(hào)“×”表示當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)真實(shí)值,紅色矩形所包裹區(qū)域表示凸空間體算法得到的可行集,藍(lán)色橢圓所包裹區(qū)域表示文獻(xiàn)[25]OBE算法得到的可行集,綠色四邊形所包裹區(qū)域表示文獻(xiàn)[26]Orthotopic算法得到的可行集.可以看出本文所提出的CSCF算法帶來(lái)的凸空間能夠更緊致的包裹電感充電和放電電流真實(shí)狀態(tài),空間冗余度更低.

圖10 電感放電電流狀態(tài)估計(jì)對(duì)比Fig.10 Comparison of inductance discharge current estimates

圖11 輸出電壓狀態(tài)估計(jì)對(duì)比Fig.11 Comparison of output voltage estimates

圖12 電感充放電狀態(tài)可行集對(duì)比Fig.12 Comparison of feasible state sets on inductance charge and discharge current

5 結(jié)論

本文針對(duì)不確定時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題,提出了基于凸空間收縮濾波方法,利用未知但有界的噪聲和干擾條件,將帶時(shí)滯的系統(tǒng)模型展開(kāi)后得到狀態(tài)預(yù)測(cè)后的凸空間體,隨后利用當(dāng)前時(shí)刻的噪聲構(gòu)造有界帶空間,依據(jù)同時(shí)滿足預(yù)測(cè)步和更新步約束的線性不等式組,求解預(yù)測(cè)凸空間體和帶空間的交集,利用線性規(guī)劃得到時(shí)滯系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)的上下界,最后采用數(shù)值仿真和電池化成工藝案例進(jìn)行仿真驗(yàn)證,驗(yàn)證了方法的有效性.本文所提的基于凸空間收縮的濾波算法,需假定系統(tǒng)的部分矩陣滿足可逆條件,如何進(jìn)一步拓寬基于凸空間收縮的狀態(tài)估計(jì)算法的適用領(lǐng)域還有待進(jìn)一步研究.本文的研究成果可以結(jié)合凸優(yōu)化、區(qū)間觀測(cè)器設(shè)計(jì)等方法,推廣至解決不確定噪聲擾動(dòng)下的時(shí)滯非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)[27]、故障診斷[28]及其控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題[29].