摘? 要：直觀想象不僅是一種解決數(shù)學(xué)問題的方法與技能，也是一種思維習(xí)慣與思維方式. 在探討和明晰直觀想象的含義與水平、功能與價值、過程與方法的基礎(chǔ)上，提出了加強(qiáng)和改進(jìn)直觀想象教學(xué)的策略與方法.

關(guān)鍵詞：直觀;想象;直觀想象;直觀想象水平;直觀想象教學(xué)

直觀想象不僅是一種解決數(shù)學(xué)問題的方法與技能，也是一種思維習(xí)慣與思維方式. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有意識地、有效地提升學(xué)生的直觀想象意識與能力.

一、直觀想象的含義與水平

1. 直觀想象的含義與表現(xiàn)

直觀與抽象相對，是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識. 徐利治先生認(rèn)為，直觀是借助經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識. 數(shù)學(xué)中的直觀主要有現(xiàn)實(shí)直觀、幾何直觀、代數(shù)直觀、模式直觀等.

想象是指對于不在眼前的事物想象出它的具體形象. 心理學(xué)上指在知覺材料的基礎(chǔ)上，經(jīng)過新的配合，人在頭腦里對已儲存的表象進(jìn)行加工、改造形成新形象的心理過程. 想象是利用原有的表象形成新形象的過程. 它能突破時間和空間的限制，預(yù)見沒有看到的或未來將會發(fā)生的事情.

直觀想象由“形成直觀”與“展開想象”兩個基本環(huán)節(jié)組成，是在“直觀”的基礎(chǔ)上“想象”. 直觀想象有廣義與狹義之分. 廣義的直觀想象包括一切直觀和直觀基礎(chǔ)上的想象. 狹義的直觀想象主要是指“幾何直觀”和“空間想象”，是“幾何直觀”基礎(chǔ)上的“空間想象”.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指的“直觀想象”是狹義的“直觀想象”，下面討論的也是狹義的“直觀想象”. 它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

直觀想象的表現(xiàn)主要有三個方面：一是通過抽象和想象，用幾何圖形描述、刻畫現(xiàn)實(shí)世界，把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題;二是尋找“數(shù)”背后的“形”，利用幾何圖形描述代數(shù)問題，借助幾何直觀理解代數(shù)問題，探索解決問題的思路與方法;三是借助空間想象，把握事物的形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律，感悟事物的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系.

2. 直觀想象的特點(diǎn)與水平

直觀想象具有直接性、生動性、情境性、豐富性和經(jīng)驗性等特點(diǎn).

《標(biāo)準(zhǔn)》依據(jù)情境與想象的關(guān)聯(lián)程度，把直觀想象分為水平一、水平二、水平三. 吳立寶、劉哲雨等人基于直觀想象與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，把直觀想象分為原型直觀、表象直觀、想象直觀三個層次. 這里，依據(jù)創(chuàng)造成分與難度的高低，把直觀想象分為如下四種水平.

水平一是原型直觀，即借助原型形成的直觀，是通過觀察具體事物的原型而感知其幾何屬性，形成幾何表象. 這里的事物原型既可以是各種物體和幾何圖形，也可以是具有明顯幾何特征的各種代數(shù)式和代數(shù)關(guān)系式. 原型直觀是最原始、最直接、最簡單的數(shù)學(xué)直觀.

水平二是構(gòu)圖直觀，即通過畫圖、構(gòu)圖形成對事物的幾何要素及其關(guān)系的直觀認(rèn)識，進(jìn)而借助圖形思考和解決問題. 構(gòu)圖直觀與原型直觀的區(qū)別在于，原型直觀是客觀世界、前人或他人直接“呈現(xiàn)或給出”的直觀，而構(gòu)圖直觀則需要自己構(gòu)圖，包括根據(jù)代數(shù)式畫出圖形.

水平三是想象直觀，即借助想象形成的直觀，是指在頭腦中想象事物的幾何要素及其關(guān)系，想象它們變化與發(fā)展的情況，形成新的心理表象. 想象直觀能彌補(bǔ)靜態(tài)的圖形直觀難以刻畫運(yùn)動變化和事物全貌的不足.

水平四是理性直觀，即理性起到潛在支撐作用的直觀，是指通過把握事物數(shù)與形兩方面的特點(diǎn)與規(guī)律，形成關(guān)于事物變化規(guī)律、事物本質(zhì)的直觀認(rèn)識.

二、直觀想象的意義與價值

1. 直觀想象的學(xué)科價值

康德認(rèn)為，一種知識不論以何種方式和通過什么手段與對象發(fā)生關(guān)系，它借以和對象發(fā)生直接關(guān)系、并且一切思維作為手段以之為目的的，還是直觀. 數(shù)與形是客觀事物的兩種基本屬性，是同一枚硬幣的兩面. 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué). 幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分. 這種區(qū)分也許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴(yán)格”，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中都起著本質(zhì)的作用. 它們在教育中的意義也是清楚的. 我們的目標(biāo)應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展這兩種思維模式，過分強(qiáng)調(diào)一種而損害另一種是錯誤的. 幾何并不只是數(shù)學(xué)的一個分支，更是一種思維方式，它滲入數(shù)學(xué)的所有分支.

2. 直觀想象的工具價值

在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的. 這就像我們做很多事情那樣，先建立起一個目標(biāo)，然后再踏踏實(shí)實(shí)地向這個目標(biāo)邁進(jìn). 事實(shí)上，不僅僅是數(shù)學(xué)，在許多學(xué)科中對于結(jié)果的預(yù)測和對于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀. 基于“形”的直觀想象與基于“數(shù)”的精確運(yùn)算相結(jié)合不僅是研究和解決函數(shù)問題、解析幾何問題、立體幾何問題、向量問題的基本策略與方法，也是研究和解決一般數(shù)學(xué)問題的基本策略與方法. 借助直觀想象，我們能更好地理解問題，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，進(jìn)而化難為易、化繁為簡;能更好地發(fā)現(xiàn)解決問題的思路與方法，甚至發(fā)現(xiàn)問題的初步結(jié)論.

3. 直觀想象的教育價值

從學(xué)生的視角來看，直觀想象是一種有用、有趣、好玩、富有魅力的學(xué)習(xí)方法和解決問題的方法. 它能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，發(fā)展他們的思維能力，尤其是有助于他們學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)會數(shù)學(xué)創(chuàng)造. 因為那種創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導(dǎo)和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學(xué)公式來表述，但是它們卻是任何數(shù)學(xué)成就的核心，即使在再抽象的領(lǐng)域里也是如此. 數(shù)學(xué)教育應(yīng)著力提高學(xué)生利用圖形描述和刻畫事物的能力，以及利用圖形探索和發(fā)現(xiàn)解決問題思路的能力.

四、直觀想象教學(xué)的策略與方法

1. 深化學(xué)生對數(shù)與形關(guān)系的認(rèn)識

希爾伯特曾指出，算術(shù)符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖象化的公式. 法國女?dāng)?shù)學(xué)家索菲·熱爾曼也曾指出，代數(shù)不過是書寫的幾何，而幾何不過是圖形的代數(shù). 教師應(yīng)通過具體事例讓學(xué)生深切地感受數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，增強(qiáng)他們借助直觀想象思考和解決問題的意識，形成借助直觀想象思考和解決問題的習(xí)慣.

2. 強(qiáng)化觀察與操作

直觀是想象的基礎(chǔ)，直觀源于觀察與操作. 關(guān)于物體的認(rèn)識，并不是由于該物體的靜止的心理復(fù)寫而成的，乃是由于使它發(fā)生變化，并且對這些變化的過程有所了解形成的. 一種智慧行為，最重要的是由于協(xié)調(diào)操作、聯(lián)合、整理（從引入次序的意義上講）等而形成的. 為了給直觀想象提供豐富而正確的素材，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該強(qiáng)化學(xué)生自身的觀察與操作，尤其要引導(dǎo)他們積累圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、伸縮等變換的經(jīng)驗.

3. 強(qiáng)化學(xué)生自身的直觀想象實(shí)踐與感悟

直觀想象是情境化、經(jīng)驗化的. 一個合理的想象需要邏輯的支撐，一個有效的想象還需要經(jīng)驗的積累. 為了更好地豐富和積累直觀想象的經(jīng)驗，在畫圖和多媒體顯示圖象或圖形以前，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多想象. 在畫出或顯示之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多用心感悟，然后有意識地、逐步地提高畫圖、悟圖的標(biāo)準(zhǔn). 用以直觀地闡明原理內(nèi)容的圖形，應(yīng)當(dāng)力求簡潔而單純，且應(yīng)盡可能消除附加的東西，以使學(xué)生的思維清晰而不被攪亂，同時還要提醒學(xué)生經(jīng)常注意那些被描繪的細(xì)節(jié)的特征.

4. 強(qiáng)化與數(shù)學(xué)概念、邏輯推理的融合

直覺的可靠性是以堅實(shí)的學(xué)科知識為基礎(chǔ)的，即直覺憑借對學(xué)科知識的熟悉來起作用. 缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的. 由于直觀想象的目的往往是把現(xiàn)實(shí)問題和代數(shù)模型轉(zhuǎn)化為幾何模型，因此有效的直觀想象離不開一定的數(shù)學(xué)概念，應(yīng)該把直觀想象教學(xué)與數(shù)學(xué)概念教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，或者說應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的幾何直觀. 就直覺與邏輯的關(guān)系而言，直覺是邏輯的先導(dǎo)，而邏輯是直覺的護(hù)欄. 就學(xué)生思維發(fā)展而言，應(yīng)通過追尋直覺背后的邏輯與引領(lǐng)邏輯的直覺，使直覺思維與邏輯思維相互協(xié)調(diào)、相互促進(jìn). 就數(shù)學(xué)問題解決而言，思路的探尋與發(fā)現(xiàn)往往依靠直觀想象，而問題的最終解決則離不開邏輯推理. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)化直觀想象與邏輯推理的融合.

5. 盡可能使直觀想象達(dá)到理性直觀水平

直觀想象是人與生俱來的本能，但直觀想象水平的提高離不開教學(xué)和訓(xùn)練. 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)處理好“觀直觀之源，獲原型直觀”“畫幾何圖形，獲構(gòu)圖直觀”“展想象之翼，獲想象直觀”“思緣由依據(jù)，獲理性直觀”之間的關(guān)系，既夯實(shí)較低水平直觀想象的基礎(chǔ)，又不止步于這個水平;應(yīng)在直觀與邏輯的結(jié)合上下功夫、做文章，盡可能使學(xué)生把想象的緣由、依據(jù)、來龍去脈弄得更清楚一些、更明白一些，進(jìn)而達(dá)到理性直觀的水平.

五、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在清楚直觀想象的含義、表現(xiàn)、水平、功能、過程與方法的基礎(chǔ)上，把作為解決問題的方法與技能的直觀想象教學(xué)與作為思維習(xí)慣和思維方式的直觀想象教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，有效提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]徐利治. 談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J]. 數(shù)學(xué)通報，2000（5）：1-4.

[2]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]吳立寶，劉哲雨，康玥. 直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)探究[J]. 現(xiàn)代基礎(chǔ)教育研究，2018，31（9）：109-113.

[4]康德. 純粹理性批判[M]. 鄧曉芒，譯. 北京：人民教育出版社，2017.

[5]阿蒂亞. 數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性[M]. 袁向東，編譯. 大連：大連理工大學(xué)出版社，2014.

[6]史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論（第2輯）：圖形與圖形關(guān)系的抽象[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

[7]R.柯朗，H.羅賓. 什么是數(shù)學(xué)：對思想和方法的基本研究[M]. 左平，張飴慈，譯. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2012.

[8]中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所數(shù)學(xué)史組，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所數(shù)學(xué)史組. 數(shù)學(xué)史譯文集[M]. 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1981.

[9]昂利·彭加勒. 科學(xué)與方法[M]. 李醒民，譯. 北京：商務(wù)印書館，2010.

[10]瑞德. 希爾伯特：數(shù)學(xué)世界的亞歷山大[M]. 袁向東，李文林，譯. 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[11]皮亞杰. 皮亞杰教育論著選[M]. 盧濬，選譯. 北京：人民教育出版社，2015.

[12]史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論（第4輯）：數(shù)學(xué)中的歸納推理[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

[13]莫里茲. 數(shù)學(xué)的本性[M]. 朱劍英，譯. 大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

[14]杰羅姆·布魯納. 布魯納教育文化觀[M]. 宋文里，黃小鵬，譯. 北京：首都師范大學(xué)出版社，2011.

[15]李昌官. 追尋直覺背后的邏輯與引領(lǐng)邏輯的直覺[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（4）：76-81.