余慧

（古田縣教師進(jìn)修學(xué)校，福建 寧德 352200）

在當(dāng)前“雙減”的背景下，教師越來(lái)越注重對(duì)課堂練習(xí)的設(shè)計(jì)，高品質(zhì)的練習(xí)可以增效減負(fù)。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。［1］教學(xué)中精心設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)性的練習(xí)，引發(fā)學(xué)生經(jīng)歷從初步的、淺層性建模向高階的、深層性的建模的探究過(guò)程，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)和結(jié)構(gòu)化思維，從而構(gòu)建結(jié)構(gòu)化課堂。本文基于指向整體的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性練習(xí)，以四年級(jí)下冊(cè)“路程、時(shí)間與速度”一課的教學(xué)為例，談?wù)勗诮Y(jié)構(gòu)性練習(xí)中建構(gòu)模型的課堂實(shí)踐。

一、承啟式練習(xí)，引領(lǐng)建構(gòu)整體知識(shí)

常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的高度抽象。不管是“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”，還是“路程=速度×?xí)r間”這些數(shù)量關(guān)系，從學(xué)生認(rèn)知的源頭來(lái)說(shuō)，都是乘法運(yùn)算意義在不同問(wèn)題情境中的具體應(yīng)用，都是由乘法運(yùn)算衍生出來(lái)的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，都是乘法的意義具體表現(xiàn)，都是求幾個(gè)幾相加的和是多少?；谥R(shí)的本質(zhì)特征，常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)必須從整體架構(gòu)，讓學(xué)生自主建構(gòu)形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)生活的意識(shí)和能力。

［片段一］

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了“總價(jià)、單價(jià)與數(shù)量”這一常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系?，F(xiàn)在我們?cè)俳柚毩?xí)來(lái)捋一捋。

導(dǎo)學(xué)單第一題：

2.學(xué)校食堂購(gòu)進(jìn)4 袋大米，一袋大米50 元，一共要用多少元？

師：你是用什么方法解答這兩道題的？生：都是用乘法計(jì)算。師：為什么都可以用乘法計(jì)算呢？帶著這個(gè)問(wèn)題開(kāi)始新課的學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)教學(xué)要用“大問(wèn)題”來(lái)將知識(shí)中相同、相似乃至相對(duì)、相反的意義模塊進(jìn)行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學(xué)知識(shí)成為更具生長(zhǎng)力的結(jié)構(gòu)體。［2］以上承啟式練習(xí)，看似無(wú)關(guān)實(shí)則結(jié)構(gòu)緊密聯(lián)系的兩道題，同樣體現(xiàn)其背后的思維方式、思想方法。通過(guò)復(fù)習(xí)舊知引出不同知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，產(chǎn)生一個(gè)大問(wèn)題“為什么都可以用乘法計(jì)算呢？”來(lái)引領(lǐng)全課的學(xué)習(xí)。找準(zhǔn)這個(gè)“整合點(diǎn)”，一方面有助于他們進(jìn)一步調(diào)整和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會(huì)數(shù)學(xué)核心知識(shí)在內(nèi)容結(jié)構(gòu)中的地位和作用；另一方面有助于他們更加宏觀地把握不同數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系和區(qū)別，引領(lǐng)建構(gòu)整體知識(shí)，使數(shù)學(xué)知識(shí)成為具有生長(zhǎng)力的結(jié)構(gòu)體。

二、開(kāi)放式練習(xí)，促進(jìn)理解概念關(guān)系

模型建構(gòu)的過(guò)程是一個(gè)有意義的學(xué)生主動(dòng)接受的過(guò)程?！奥烦獭r(shí)間與速度”這個(gè)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系的研究，必須聯(lián)系三個(gè)概念的關(guān)系進(jìn)行教學(xué)，不宜割裂思考。在教學(xué)過(guò)程中，教師聯(lián)系學(xué)生熟悉的真實(shí)情境，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)性的開(kāi)放練習(xí)，發(fā)揮學(xué)生的自主性、獨(dú)特性與創(chuàng)造性，展示學(xué)生解決問(wèn)題的個(gè)性化和多樣化，使每個(gè)學(xué)習(xí)個(gè)體從不同的角度真正參與進(jìn)來(lái)，在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

［片段二］

師：城西小學(xué)是一個(gè)體育強(qiáng)校，讓我們走進(jìn)賽場(chǎng)去領(lǐng)略運(yùn)動(dòng)員的風(fēng)采吧。（課件出示）在豐富多彩的體育活動(dòng)中，最受同學(xué)們喜歡的就是田徑比賽。田徑比賽這個(gè)項(xiàng)目比的是什么？生：速度。師：你們覺(jué)得什么是速度？生：跑得快，就是速度快。

導(dǎo)學(xué)單第二題：

學(xué)校需要選一名運(yùn)動(dòng)員參加今年的縣級(jí)田徑比賽。根據(jù)下表的信息，你認(rèn)為該選誰(shuí)，請(qǐng)說(shuō)明理由。

小組討論后反饋。

1.推理

師：大家認(rèn)真觀察這張統(tǒng)計(jì)表，你認(rèn)為該選誰(shuí)，請(qǐng)說(shuō)明理由。生1：李少雄比陳曦跑得快。因?yàn)橥瑯?1 米的路程，李少雄用了3 秒，陳曦用了4 秒，李少雄用的時(shí)間更少。生2：路程相同，用的時(shí)間少就說(shuō)明速度快。生3：魏遠(yuǎn)川比陳曦跑得塊。因?yàn)橥瑯? 秒的時(shí)間，魏遠(yuǎn)川跑了24 米，陳曦跑了21 米，魏遠(yuǎn)川跑的路程更多。生4：時(shí)間相同，跑的路程更多就說(shuō)明速度快。師：剛才大家運(yùn)用推理很快就比出快慢來(lái)，路程相同就直接比時(shí)間，時(shí)間相同就直接比路程。

2.運(yùn)算

師：經(jīng)過(guò)兩次的比一比，你有結(jié)果了嗎？生1：李少雄和魏遠(yuǎn)川所用時(shí)間不同，路程也不同。生2：所用時(shí)間不同，路程也不同，就無(wú)法比較了嗎？師：請(qǐng)大家?guī)е@個(gè)問(wèn)題完成導(dǎo)學(xué)單第二題，完成之后小組分享各自的想法。師：老師收集到了幾個(gè)小組的作業(yè)，請(qǐng)分享一下各組的想法。

生：我是通過(guò)計(jì)算比較出來(lái)的。李少雄21 米除以3，每秒跑7 米。魏遠(yuǎn)川24 米除以4，每秒跑6 米。所以李少雄速度快。師：這里求出來(lái)的7 米、6 米表示什么?生1：表示速度。生2：通過(guò)畫(huà)線段圖也可以比較，李少雄每秒跑的線段更長(zhǎng)，所以李少雄的速度更快。（學(xué)生作業(yè)如圖1）

圖1

生：路程不同，時(shí)間也不同，也可以比出速度的快慢，只要對(duì)比相同時(shí)間跑的路程就行。師：你們同意他的觀點(diǎn)嗎？你能結(jié)合線段圖說(shuō)說(shuō)他的意思嗎？生1：線段圖的每一段都表示多少時(shí)間跑的路程？生2：一秒跑的路程。

3.建模

師：在比較過(guò)程中，無(wú)論通過(guò)計(jì)算還是畫(huà)線段圖，都可以比較出每秒跑的路程。每秒跑的路程，在數(shù)學(xué)上就是什么？生：速度。師：在路程和時(shí)間都不相同的情況比快慢，就是比什么？生1：速度。生2：速度=路程÷時(shí)間。

以上練習(xí)是開(kāi)放性的說(shuō)理練習(xí)，意在發(fā)揮學(xué)生的自主性、獨(dú)特性與創(chuàng)造性，展示學(xué)生解決問(wèn)題的個(gè)化和多樣化，讓學(xué)生在說(shuō)理的過(guò)程中溝通“路程、時(shí)間、速度”三者之間的關(guān)系。練習(xí)設(shè)計(jì)兩個(gè)相同的時(shí)間，兩個(gè)相同的路程，引出三個(gè)層次的“比一比”，激發(fā)建構(gòu)模型的需求，水到渠成抽象概括出“路程÷時(shí)間=速度”這個(gè)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生在推理和運(yùn)算中，明確“路程、時(shí)間與速度”三者之間的關(guān)系。通過(guò)練習(xí)學(xué)生經(jīng)歷給“半成型”的線段圖分一分畫(huà)一畫(huà)，取線段中“相同時(shí)間跑的路程”進(jìn)行比較，學(xué)生深刻體會(huì)到每秒跑的路程就是比較的標(biāo)準(zhǔn)，明確“速度”就是表示這樣的一份是多少，形成“速度”的直觀表象，建立起“速度模型”開(kāi)放式的解決方案。這樣的課堂練習(xí)再現(xiàn)了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，使新舊知識(shí)發(fā)生相互作用，凸顯“速度、時(shí)間、路程”概念之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系。

三、互逆式練習(xí)，明晰結(jié)構(gòu)深化模型

結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特性。［3］數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須準(zhǔn)確把握知識(shí)本身的邏輯結(jié)構(gòu)。教師聯(lián)系生活實(shí)際設(shè)計(jì)有結(jié)構(gòu)的課堂練習(xí)，有助于學(xué)生把握知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)。在引導(dǎo)學(xué)生解決生活實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，明確要解決的是什么樣的問(wèn)題，明晰這樣的問(wèn)題屬于什么類的模型結(jié)構(gòu)，在促進(jìn)模型的深化的同時(shí)，形成結(jié)構(gòu)化思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［片段三］

視頻簡(jiǎn)介綠皮火車、“和諧號(hào)”高鐵動(dòng)車和“復(fù)興號(hào)”高鐵動(dòng)車的情況。

導(dǎo)學(xué)單第三題：

隨著社會(huì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，家鄉(xiāng)的交通越來(lái)越便捷。1.古田到上海的鐵路全長(zhǎng)是960 千米，綠皮火車平均速度是80 千米/時(shí)，乘坐綠皮火車從古田到上海需要多少小時(shí)？2.和諧號(hào)高鐵動(dòng)車平均速度是240 千米/時(shí)，從古田到上海需要行駛4 小時(shí)，古田到上海路程是多少千米？3.古田到上海鐵路全長(zhǎng)大約960 千米，如果乘坐復(fù)興號(hào)高鐵動(dòng)車需要行駛3 小時(shí)，復(fù)興號(hào)高鐵動(dòng)車平均速度是多少千米/時(shí)？

（學(xué)生完成后反饋。）師：能分享一下你用的是哪個(gè)數(shù)量關(guān)系式解決問(wèn)題嗎？生1：第1 題我用的是：路程÷速度=時(shí)間。生2：第2 題我用的是：速度×?xí)r間=路程。生3：第3 題我用的是：路程÷時(shí)間=速度。

師：以上三個(gè)小題，有的是求時(shí)間，有的是求路程，有的是求速度，用不同的數(shù)量關(guān)系式解決，但是不論哪種方法，都是“路程、時(shí)間與速度”三者關(guān)系的靈活應(yīng)用。

在教學(xué)過(guò)程中，知識(shí)的掌握、技能的形成、思維的激發(fā)、素養(yǎng)的發(fā)展，都需要組織科學(xué)的、合理的練習(xí)。有時(shí)，依據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要，可以設(shè)計(jì)有一定量的、系統(tǒng)的練習(xí)題組，讓學(xué)生在練習(xí)題組的完成中聯(lián)系生活應(yīng)用，促進(jìn)模型的深化。以上互逆式的練習(xí)，把同一情境、同一模型、結(jié)構(gòu)互逆的三道題編成一組，意在讓學(xué)生掌握“速度、時(shí)間和路程”的數(shù)學(xué)模型，深度理解三個(gè)數(shù)量關(guān)系式以及三者之間的聯(lián)系，并舉一反三，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，促進(jìn)模型的深化。以上互逆式練習(xí)，把同一情境、同一模型、結(jié)構(gòu)互逆的三道題編成一組，意在讓學(xué)生掌握“速度、時(shí)間和路程”的數(shù)學(xué)模型，深度理解三個(gè)數(shù)量關(guān)系式以及三者之間的聯(lián)系，并舉一反三靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，這樣的練習(xí)更能促進(jìn)模型的深化。另外，在練習(xí)的同時(shí)感受家鄉(xiāng)交通狀況的巨大進(jìn)步，激發(fā)學(xué)生愛(ài)祖國(guó)、愛(ài)家鄉(xiāng)、愛(ài)科學(xué)的情感。

四、同質(zhì)式練習(xí)，重構(gòu)結(jié)構(gòu)拓展模型

數(shù)學(xué)教學(xué)，要合理利用知識(shí)的“同化”或“順應(yīng)”，用原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)去吸收和融合新的知識(shí)，及時(shí)調(diào)整學(xué)習(xí)方法和策略，使知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生改變并進(jìn)行重構(gòu)的學(xué)習(xí)過(guò)程。小學(xué)階段有兩個(gè)重要的乘法模型：路程、時(shí)間、速度和總價(jià)、數(shù)量、單價(jià)。速度和單價(jià)都是由兩個(gè)不同類量的比得到的，這些模型的知識(shí)本質(zhì)是一致的。［1］在教學(xué)中，要突出知識(shí)本質(zhì)，重構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)模型的拓展。

［片段四］

導(dǎo)學(xué)單第四題：

請(qǐng)解答以下問(wèn)題，并在小組里說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

1.一輛汽車速度為80 千米/時(shí)，3 小時(shí)行駛多少千米？2.一款書(shū)包售價(jià)為80 元/個(gè)，買3 個(gè)需要付多少元？3.一種大米重量為80 千克/袋，3 袋大米一共多少千克？

師：對(duì)比這三道問(wèn)題，你們組有什么發(fā)現(xiàn)？生：都可以用80×3 計(jì)算。師：不同的3 道題為什么可以列出相同的乘法算式？生：都表示3 個(gè)80 是多少。

師：這里的80 指的是什么？3 指的什么？結(jié)合課件的線段圖。生1：80 指的是每份數(shù)，3 指的是份數(shù)。生2：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

師：數(shù)學(xué)就是這么神奇，這就是乘法模型的魅力。如果每份數(shù)表示速度，你會(huì)想到哪個(gè)數(shù)量關(guān)系？如果每份數(shù)表示單價(jià)，又是哪個(gè)數(shù)量關(guān)系？

生1：速度×?xí)r間=路程。

生2：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程實(shí)則是一個(gè)不斷抽象、不斷建模，并把小模型不斷納入大模型的結(jié)構(gòu)化的過(guò)程。以上同質(zhì)式練習(xí)，意在把知識(shí)本質(zhì)一致的“路程=速度×?xí)r間”和“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系納入乘法模型這個(gè)結(jié)構(gòu)中去，讓學(xué)生明白“路程、速度、時(shí)間”和“總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量”都屬于乘法模型系統(tǒng)，都可以表示幾個(gè)幾是多少，形成更具廣泛性的“總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)”模塊結(jié)構(gòu)。［4］建立學(xué)生眼中有“樹(shù)木”，心中有“森林”的整體性認(rèn)知格局，促進(jìn)模型的拓展，讓學(xué)生帶著聯(lián)系的眼光學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，形成結(jié)構(gòu)化思維和整體意識(shí)，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

總之，教師積極設(shè)計(jì)指向整體的結(jié)構(gòu)性練習(xí)，給學(xué)生充分的練習(xí)、討論和思考的時(shí)間，放慢教學(xué)的步伐，放大思維的空間，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)到的才會(huì)是“帶得走”的數(shù)學(xué)，這樣的結(jié)構(gòu)性練習(xí)才能將結(jié)構(gòu)化的理念融入課堂，真正為課堂增效為學(xué)生減負(fù)。