祝明昊 孔凡平

（北京強度環(huán)境研究所，北京 100076）

0 引言

結構的模態(tài)參數(shù)是表征結構動力學特性的關鍵。在航天領域，飛行器結構的模態(tài)參數(shù)至關重要，是建立、修改和優(yōu)化動力學模型，動強度設計，以及控制系統(tǒng)穩(wěn)定型設計的重要參數(shù)。對于大型航天運載器，如運載火箭、導彈武器等，主要采用多點穩(wěn)態(tài)正弦調諧模態(tài)試驗來辨識模態(tài)參數(shù)。

多點穩(wěn)態(tài)正弦調諧模態(tài)試驗，美國稱為地面振動試驗（GVT），歐洲稱為地面共振試驗，其精度高，誤差小，已經(jīng)成為大型復雜航空航天結構模態(tài)試驗的常用方法之一，美國的Ares I-X運載火箭[1]、Galileo號木星探測器[2]等航天器的模態(tài)試驗均采用了此方法。二十世紀，Kennedy和Pancu首先闡明了振動響應向量的實虛部概念并應用于振動試驗，模態(tài)物理分離技術初步發(fā)展。R.C.Lewis和D.I.Wrisley提出了用多點激振的相位一致性判別進行模態(tài)分離，建立了多點穩(wěn)態(tài)正弦調諧模態(tài)試驗的基礎[3]，在選定的模態(tài)頻率下，通過調節(jié)激振力來補償結構的阻尼力，集中正弦激振的能量激出單一的模態(tài)，使結構在多個激振器同時激勵下達到相位共振狀態(tài)，得到結構的無阻尼純模態(tài)[4]。目前主要的調節(jié)激振力的方法可分為經(jīng)典調力法、最佳力分布計算法和指示函數(shù)法三大類。指示函數(shù)法發(fā)展迅速，此方法依據(jù)相位共振原理，將結構總體響應的某一函數(shù)作為目標函數(shù)來指導調節(jié)激振力[5]。模態(tài)參數(shù)辨識方法主要有導納圓擬合法、復功率法、半功率法和對數(shù)衰減法等。

在調諧試驗中，由于實際結構無法完全達到相位共振，導致模態(tài)純度不夠，實測的模態(tài)參數(shù)存在一定的誤差。針對模態(tài)純度的表示方法，法國曾在多點激振系統(tǒng)中采用總體相位角的方法[6]，對每一測點響應的相位角進行總體加權，以此來表示模態(tài)純度；西德的宇航模態(tài)試驗中采用模態(tài)指示函數(shù)（MIF），以測點響應的實部加權求和與幅值之比最小的原理來描述模態(tài)純度；美國航天飛機的地面垂直振動試驗中采用了模態(tài)純度比（MAP）的概念[7]。在我國的航天行業(yè)標準中[8]，規(guī)定了以MIF作為參考的誤差評估標準（認為MIF值大于0.9為純共振，0.7～0.9為共振較好，小于0.7為共振較差），相位散布圖法（加速度、位移、應變測點落在虛軸上，速度測點落在實軸上），以及在同樣試驗條件下進行重復試驗，對試驗獲得的模態(tài)參數(shù)的一致性進行評定。但在目前的研究中尚未找到對實測模態(tài)參數(shù)具體誤差值的量化評估方法。

1 頻率誤差分析的理論基礎

1.1 多點穩(wěn)態(tài)正弦調諧模態(tài)試驗

辨識火箭/導彈的模態(tài)參數(shù)需要進行全箭/彈模態(tài)試驗[9]，主要采用多點穩(wěn)態(tài)正弦調諧模態(tài)試驗。試驗一般在全箭振動塔內進行，采用彈簧繩懸吊的支撐方式模擬自由邊界，要求支撐系統(tǒng)的固有頻率盡可能小于被測結構的第一階模態(tài)頻率。試驗中多臺激振器同時激振，并根據(jù)激振器的位置控制激振力的相位為同相或反相，控制激振頻率在特定的某階模態(tài)頻率附近，小幅度調節(jié)激振頻率，盡可能達到相位共振狀態(tài)。試驗中當MIF值達到極大值時，此時的激振頻率即認為是該階模態(tài)頻率。

對于彈性阻尼n自由度系統(tǒng)，其運動微分方程為

因此，向量{x}可以表示為代入式（1）可得

由實部虛部分別相等，可得

滿足 [K] -ω2[M]= {0}的ωr為第r階模態(tài)頻率值，代入可得第r階模態(tài)振型為{φr} ，進而得到滿足第r階模態(tài)相位共振條件的激振力為

試驗中通常用模態(tài)指示函數(shù)（MIF）作為所激勵模態(tài)純度的參考

MIF值是由加速度響應的幅值和相位決定的。當某測點加速度響應超前參考激振力90度時，該測點達到相位共振。若結構上所有的測點皆滿足上述條件時，結構以純模態(tài)形式振動，此時的MIF值為1，這是一種理想情況。在試驗中，MIF值總是小于1的，也就是無法完全達到相位共振，這是由多方面因素造成的，主要包括激振力無法完全平衡阻尼力，結構的非線性影響等等。MIF值也作為模態(tài)參數(shù)精確程度的一個參考標準[12]。

1.2 頻率誤差的分析原理

對于線彈性結構系統(tǒng)，加速度響應計算公式如下[13]

其中，ω為實測結構振動頻率，ωr為第r階模

結構的振動響應表現(xiàn)為結構各階模態(tài)的疊加，各階模態(tài)的貢獻不同。在多點穩(wěn)態(tài)正弦調諧模態(tài)試驗中，調諧第r階模態(tài)，結構的振動響應為第r階模態(tài)和剩余模態(tài)（第1～r-1階模態(tài)和第r+ 1 ～N階模態(tài)）的疊加。當調諧滿足要求時，MIF達到一個較高值，此時響應中第r階模態(tài)占據(jù)主導地位，剩余模態(tài)的貢獻為一個小量，忽略剩余模態(tài)的影響，得到加速度響應計算公式為：

代入MIF 表達式，并化簡得 第i點的加速度響應可以表示為

定義頻率相對誤差（以下簡稱為頻率誤差）為

得到MIF與頻率誤差和阻尼比的顯式解析關系式，也可表示為，即頻率誤差只與MIF值和第r階模態(tài)模態(tài)阻尼比有關。

2 頻率誤差的分析方法

2.1 剩余模態(tài)影響小的情況

剩余模態(tài)影響小的情況如圖1所示。

圖1 剩余模態(tài)影響較小的頻響曲線 Fig. 1 Residual modes have less effect on the frequency response curve

調諧第r階模態(tài)，當MIF值足夠高時，在分析第r階模態(tài)時可以忽略剩余模態(tài)的影響，頻率誤差滿足上述的MIF值解析關系式。

將MIF值隨頻率誤差和阻尼比的變化關系繪成曲面圖如圖2所示。

圖2 “MIF—頻率誤差、阻尼比”曲面 Fig. 2 "MIF - Frequency error, Damping ratio" surface

分別取不同阻尼比，得到MIF—η曲線，如圖3所示（從內到外，，阻尼比分別為0.005、0.008、0.01、0.03、0.065、0.1、0.5）。

圖3 “MIF—頻率誤差”曲線 Fig..3 "MIF-Frequency Error" curve

分別取不同的頻率誤差，觀察MIF值隨阻尼比的變化規(guī)律。在同一個頻率誤差下，阻尼比越大，MIF值越大，如圖4所示（從左至右，頻率誤差分別為0.5%，1%，2%，3%，5%，10%）。在其中取部分點寫入表1。

表1 各阻尼比下，各誤差點的MIF理論值 Table 1 MIF theoretical value of each error point at each damping ratio

圖4 “MIF—阻尼比”曲線 Fig.4 "MIF - damping ratio" curve

2.2 剩余模態(tài)影響大的情況

圖5所示是剩余模態(tài)影響大的情況的頻響曲線。此時，剩余模態(tài)的的貢獻產(chǎn)生影響，第i點的加速度響應，如式（11）所示。

圖5 剩余模態(tài)影響較大的頻響曲線 Fig.5 Residual modal influences the frequency response curve

式中， O（ Res）為剩余模態(tài)的影響，實際的MIF值應包含剩余模態(tài)的影響

針對不同剩余模態(tài)的截斷影響，需要建立不同阻尼比下的頻率誤差與MIF值之間的關系。

3 八自由度系統(tǒng)頻率誤差的仿真分析

考慮8自由度離散“質量—阻尼—彈簧”系統(tǒng)，兩端固定，對其第一階模態(tài)進行仿真。質量塊的質量為m，彈簧的的剛度為k，阻尼系數(shù)為c。如圖6所示

圖6 8自由度系統(tǒng)模型 Fig.6 eight degrees of freedom system model

振動微分方程為

運用狀態(tài)空間法，設狀態(tài)量

代入狀態(tài)方程，輸出量為加速度響應

式中，A、B 、C、D矩陣分別為

設置質量m=1，剛度k=100，則系統(tǒng)的第一階模態(tài)頻率為ω1=3.4729635(rad/s)，第一階模態(tài)振型為

激振力的頻率以第一階模態(tài)頻率 1ω為參考，引入適量誤差，分析在不同頻率誤差下MIF值的變化規(guī)律。取不同的阻尼比，計算得到對應的阻尼系數(shù)代入阻尼矩陣。仿真得到8個測點的加速度響應的時域曲線，分別取各測點的穩(wěn)態(tài)段數(shù)據(jù)，用正弦曲線進行曲線擬合，得到各個測點的幅值和相位數(shù)據(jù)，代入MIF值表達式，計算MIF值，如表2～表4所示。

表2 各誤差點的MIF仿真值（8點激振） Table 2 MIF simulation value of each error point (8-point excitation)

表4 各誤差點的MIF仿真值（2點激振） Table 4 MIF simulation value of each error point)

針對第一階模態(tài)，分別取阻尼比為0.005、0.01和0.065，激振頻率 Tω分別取為 1(15%)ω- 、(1- 2%)ω1、 (1- 1 %)ω1、 (1- 0.5%)ω1、ω1、(1+ 0.5%)ω1、(1 +1 %)ω1、(1 + 2%)ω1、(1 + 5%)ω1，根據(jù)激勵點數(shù)量和位置的不同，分為以下三種情況：1）在8個點全部施加激勵；2）在4個點（1、3、5、7）施加激勵；3）在2個點（1、8）施加激勵。

表3 各誤差點的MIF仿真值（4點激振） Table 3 MIF simulation value of each error point

對比仿真值與理論曲線，如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 MIF仿真值與理論值對比（8點激振） Fig.7 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (8-point excitation)

圖8 MIF仿真值與理論值對比（4點激振） Fig.8 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (4-point excitation)

圖9 MIF仿真值與理論值對比（2點激振） Fig.9 Comparison between MIF simulation value and theoretical value (two-point excitation)

在圖10中，橫坐標為頻率誤差，縱坐標為MIF仿真值（包含剩余模態(tài)的影響）與MIF理論值（不包含剩余模態(tài)的影響）的偏差。由圖10可知，仿真值與理論值基本吻合。在頻率誤差較小時，模態(tài)純度較高，剩余模態(tài)影響較小，仿真值與理論值吻合程度很好。在頻率誤差增大時，剩余模態(tài)的影響也隨之增大，在大阻尼比情況下更容易看出這個微小影響。

圖10 三種阻尼比下MIF的仿真值與理論值的誤差曲線 Fig.10 Under three damping ratios, simulation values of MIF and the theoretical values of MIF

4 結論與展望

本文以多點穩(wěn)態(tài)正弦調諧模態(tài)試驗和模態(tài)純度指示函數(shù)為基礎，建立了頻率誤差分析原理，提出了頻率誤差分析方法。運用狀態(tài)空間法仿真八自由度系統(tǒng)，頻率誤差的仿真值與理論曲線一致，表明了頻率誤差分析方法的可行性。下一步開展針對連續(xù)彈性系統(tǒng)的研究，進行頻率誤差的分析與仿真，并進行實驗驗證。