吳 青

（南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué)，江蘇 南通 226001）

“平均數(shù)”是四年級上冊統(tǒng)計單元中的內(nèi)容，需要學(xué)生在經(jīng)歷用平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)總體水平的過程中，體會平均數(shù)的意義，掌握求簡單平均數(shù)的方法，并能夠運(yùn)用平均數(shù)解決生活中的簡單實(shí)際問題。

平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的一個統(tǒng)計量，它能夠比較客觀地反映出一組數(shù)據(jù)的總體水平，因此平均數(shù)在生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用非常多，比如平均成績、平均溫度、平均產(chǎn)量、平均年齡等。學(xué)生以后還將學(xué)習(xí)到中位數(shù)和眾數(shù)這兩個統(tǒng)計量，平均數(shù)是學(xué)生學(xué)到的第一個統(tǒng)計量，也是最為常見、應(yīng)用范圍最廣、內(nèi)涵最為豐富的一個統(tǒng)計量。

所以教師要關(guān)注平均數(shù)的教學(xué)，讓學(xué)生深刻認(rèn)識平均數(shù)的特點(diǎn)，理解平均數(shù)的內(nèi)涵，掌握平均數(shù)的計算方法，并能夠靈活地運(yùn)用平均數(shù)來解決生活中的實(shí)際問題。

一、創(chuàng)設(shè)比賽情境，激活生活經(jīng)驗(yàn)

平均數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？人們?yōu)槭裁匆闷骄鶖?shù)來表示一組數(shù)據(jù)的總體水平？

我們知道，數(shù)學(xué)知識都來源于生活實(shí)踐，是人們對生活現(xiàn)象的分析和對實(shí)際問題思考的結(jié)晶。統(tǒng)計知識與生活的聯(lián)系尤其緊密，我們在生產(chǎn)生活中經(jīng)常會用到統(tǒng)計的方法來收集、整理、分析和描述數(shù)據(jù)，平均數(shù)更是在對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較的過程中產(chǎn)生出來的。所以教師在教學(xué)平均數(shù)的知識時，要創(chuàng)設(shè)優(yōu)化的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生在情境中分析實(shí)際問題，感悟平均數(shù)的產(chǎn)生，理解平均數(shù)的意義，掌握平均數(shù)的計算方法，體會平均數(shù)的應(yīng)用價值。

教材中安排了這樣的例題：四年級第一小組的男、女生進(jìn)行套圈比賽，每人套15 個圈。隨后用兩張條形統(tǒng)計圖分別給出男、女生套中的個數(shù)（如圖1），接下來讓學(xué)生思考，“男生套得準(zhǔn)一些還是女生套得準(zhǔn)一些？你想怎么比？”

圖1

這道例題是以男女生套圈比賽為素材，學(xué)生對于套圈游戲都是非常喜歡的，所以例題的素材貼近學(xué)生的生活，能夠引起學(xué)生的共鳴，活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在課堂教學(xué)時，教師可以創(chuàng)設(shè)生動有趣的比賽情境，以教材中提供的套圈比賽為素材，選出4 個男生和5 個女生來進(jìn)行套圈比賽。教師可以在課堂上現(xiàn)場開展比賽，記錄數(shù)據(jù)，用學(xué)生套圈的實(shí)際數(shù)據(jù)替換教材中例題的數(shù)據(jù)，現(xiàn)場生成實(shí)際問題。這樣的情境創(chuàng)設(shè)，會讓學(xué)生感覺更有真實(shí)感，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，也更能真切地認(rèn)識到平均數(shù)的應(yīng)用價值。但是，現(xiàn)場進(jìn)行套圈比賽，會占用較多的課堂教學(xué)時間，可能會來不及完成教學(xué)任務(wù)。同時，現(xiàn)場生成的套圈數(shù)據(jù)，在計算平均數(shù)時可能會出現(xiàn)有余數(shù)的情況，這時課上更改數(shù)據(jù)顯得有些弄虛作假、不真實(shí)，違背了統(tǒng)計的真正價值，而不改數(shù)據(jù)又會出現(xiàn)余數(shù)，讓教師陷入尷尬的境地。所以，課上現(xiàn)場進(jìn)行套圈比賽的做法，出發(fā)點(diǎn)很好，但是不太現(xiàn)實(shí)。

因此，可以在課前組織學(xué)生開展套圈比賽，記錄數(shù)據(jù)，然后課上分析數(shù)據(jù)。由于數(shù)據(jù)是課前記錄的，教師可以對個別數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，確保在計算時不出現(xiàn)問題。同時可以拍一段套圈比賽的視頻片段，在課堂開始的導(dǎo)入部分播放，引發(fā)學(xué)生對課前比賽場景的回顧，從而創(chuàng)設(shè)出一個比賽的生活情境，讓學(xué)生在優(yōu)化的情境中進(jìn)行探究，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。

二、對比呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，激發(fā)學(xué)生思考

教材中的例題，以條形統(tǒng)計圖的形式分別給出了男生和女生套圈的個數(shù)，然后讓學(xué)生思考，“男生套得準(zhǔn)一些還是女生套得準(zhǔn)一些？你想怎么比？”

在教學(xué)中一般都是將男、女生的數(shù)據(jù)全部呈現(xiàn)出來，然后讓學(xué)生進(jìn)行思考、討論，下面是課堂教學(xué)的一個片段：

【片段一】

師：同學(xué)們，現(xiàn)在老師請你們來當(dāng)小裁判，請你判斷一下，在這次比賽中是男生套得準(zhǔn)一些，還是女生套得準(zhǔn)一些？

生1：我覺得是女生套得準(zhǔn)一些，因?yàn)榕械膮恰撂字辛?0 個，套中的個數(shù)最多。

生2：我不同意，套中最多的是女生，最少的也是女生，劉×和沈×都只套中了4 個，所以我覺得不能認(rèn)為女生套得準(zhǔn)一些。

師：我們只比某一個人套中的個數(shù)，就來判斷是女生套得準(zhǔn)一些，你們覺得合理嗎？

生：不合理。

師：那么應(yīng)該怎么判斷呢？

生3：男生的幾個人套中的個數(shù)比較接近，水平差不多，而女生套中的個數(shù)相差較大，所以我覺得男生套得準(zhǔn)一些。

生4：我不同意。我算了一下，男生一共套中了28 個，而女生一共套中了30 個，女生套中的個數(shù)比男生多，所以我覺得女生套得準(zhǔn)一些。

師：女生套中的總數(shù)比男生多，所以認(rèn)為女生套得準(zhǔn)一些，你們同意嗎？

生5：不同意，因?yàn)槟猩团娜藬?shù)不相等。男生只有4 個人，而女生有5 個人。

師：這位同學(xué)真會觀察，發(fā)現(xiàn)了男女生人數(shù)不相等，那么比總數(shù)公平嗎？

生：不公平。

師：比某一個人套中的個數(shù)不合理，人數(shù)不相等時比總數(shù)也不公平。那么怎樣比才公平呢？

在這個教學(xué)片段中，學(xué)生通過觀察男、女生的套圈數(shù)據(jù)，分別提出了比某一個人套中的個數(shù)、比數(shù)據(jù)之間的差異、比套中的總數(shù)等幾種比較方法，但都被否定掉了，于是他們繼續(xù)討論、研究。

教過這個內(nèi)容的教師都知道，要讓學(xué)生通過自己的研究，得到“比較平均每個人套中的個數(shù)”這種方法，是非常困難的，需要教師給予一定的提示、引導(dǎo)。所以，也有教師把這個難點(diǎn)分散，分成幾次來進(jìn)行比較，逐步得出最終的方法，我們來看下面的教學(xué)片段：

【片段二】

第一場比賽：男生4 人，每人都套中7 個；女生4 人，每人都套中6 個。

讓學(xué)生比較，很顯然是男生套得準(zhǔn)一些。

第二場比賽：男生4 人，套中的個數(shù)分別為6、9、7、6；女生4 人，套中的個數(shù)分別為10、4、7、5。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，男生一共套中了28 個，女生一共套中了26 個，男生套得準(zhǔn)一些。

第三場比賽：女生隊又增派了一個同學(xué)，套中4 個，這時女生隊能贏嗎？

生1：現(xiàn)在女生一共套中了30 個，比男生多，所以女生隊贏了。

生2：不同意，男生只有4 個人，而女生有5個人，人數(shù)不相等，所以這樣比較總數(shù)不公平。

師：對啊，現(xiàn)在男女生人數(shù)不相等，比總數(shù)就不公平了，那應(yīng)該怎么比較呢？

生3：我們可以讓男生隊也再增派一個同學(xué)，這樣大家都是5 個人，就可以比較總數(shù)了。

師：這是一個辦法，不過，現(xiàn)在男生就是4個人，不能增加人數(shù)，怎么辦呢？

生4：我想，能不能像第一場比賽那樣，把男生4 個人套中的個數(shù)都變得一樣多，把女生5 個人套中的個數(shù)也都變得一樣多，這樣就可以比較了。

師：你想得真好！把男生4 個人套中的個數(shù)都變得一樣多，這時候的個數(shù)就是男生平均每人套中的個數(shù)。

在這個教學(xué)片段中，教師把學(xué)生思考的難點(diǎn)進(jìn)行了分解，先后進(jìn)行了三場比賽，學(xué)生逐漸意識到，當(dāng)人數(shù)不相等時，可以把每個人套中的個數(shù)變得一樣多，這樣就可以比較了。此時，平均數(shù)的概念已經(jīng)呼之欲出，接下來再引出“平均數(shù)”的概念也就水到渠成了，學(xué)生對平均數(shù)也會有更加深刻的認(rèn)識。

上面這兩種不同的教學(xué)方法，有著各自的特點(diǎn)。對于片段一的教學(xué)方法來說，教師幾乎完全放手讓學(xué)生進(jìn)行討論、研究，教師要做的工作就是及時引導(dǎo)學(xué)生對提出的比較方法進(jìn)行深入反思、質(zhì)疑，從而不斷的否定，最終逐步得出正確的比較平均數(shù)的方法。在這個教學(xué)過程中，學(xué)生是課堂的主人，是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的積極能動性得到了充分地展示。但是，研究的難度很大，所以中間需要經(jīng)過比較長時間的討論、糾結(jié)，才能慢慢得出正確的方法。

而對于片段二的教學(xué)方法來說，學(xué)生在這三場比賽的指引下，能夠比較輕松的得出用平均數(shù)來比較的方法，但是，教師所安排的這三場比賽，帶有非常明顯的暗示性，學(xué)生獨(dú)立思考的成分不高，學(xué)生的主體性沒有得到充分體現(xiàn)。

在教學(xué)中，我們可以兼顧以上兩種方法，既保證學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性地位，又能有效的縮短學(xué)生思考的時間，讓學(xué)生少走彎路，節(jié)省寶貴的課堂教學(xué)時間，達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

三、探究計算方法，深刻理解內(nèi)涵

平均數(shù)是把一組數(shù)據(jù)變得一樣多之后得到的數(shù)據(jù)，要想把一組數(shù)據(jù)變得一樣多，我們用的最多的方法就是移多補(bǔ)少，即把較大的數(shù)據(jù)移一部分給較小的數(shù)據(jù)，最終使得它們同樣多；同時，我們也可以把所有的數(shù)據(jù)全都合并起來，再進(jìn)行平均分，從而確保所有的數(shù)據(jù)都一樣多。因此，我們求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，也就有移多補(bǔ)少和先合后分這兩種不同的方法，教材中的例題，也在引導(dǎo)學(xué)生分析的基礎(chǔ)上，給出了這兩種解答方法。

（一）抓住平均數(shù)的內(nèi)涵理解移多補(bǔ)少法

移多補(bǔ)少法，就是把一組數(shù)據(jù)中較大的數(shù)據(jù)移一部分給較小的數(shù)據(jù)，經(jīng)過這樣的幾輪操作之后，最終使得它們?nèi)甲兊猛瑯佣?，這個同樣多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。這種方法和平均數(shù)的內(nèi)涵是完全一致的，是平均數(shù)內(nèi)涵的直接體現(xiàn)。在教學(xué)時，我們要始終抓住平均數(shù)的內(nèi)涵，幫助學(xué)生深刻理解移多補(bǔ)少，加深對平均數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識。

在教學(xué)例題時，當(dāng)學(xué)生說出要把4 個男生套中的個數(shù)都變得一樣多，也就是要得到男生平均每人套中的個數(shù)，可以讓學(xué)生想一想，怎么才能把每個男生套中的個數(shù)變得一樣多？學(xué)生通過思考和討論交流之后發(fā)現(xiàn)，把多的移給少的，這樣就可以變得一樣多了，這就是移多補(bǔ)少的實(shí)質(zhì)。我們一定要讓學(xué)生自己動手操作，經(jīng)歷移多補(bǔ)少的過程，加深對移多補(bǔ)少方法的理解，同時能更加深刻地認(rèn)識平均數(shù)的內(nèi)涵。

課堂上，筆者給學(xué)生提供可操作的學(xué)具，在男生套圈統(tǒng)計圖上用棋子表示數(shù)量的多少，棋子可以隨意移動，學(xué)生通過親手移一移，并最終把男生套中的數(shù)據(jù)變得一樣多，感受平均數(shù)的涵義。同時，棋子移動之后，統(tǒng)計圖上會留下棋子初始位置的痕跡，也就是原始數(shù)據(jù)，通過這些初始痕跡，幫助學(xué)生理解剛才的移動并不是把這些棋子真正拿走，而僅僅是采用“移多補(bǔ)少”的方式得到平均數(shù)，移多補(bǔ)少的過程是一個虛擬的過程，每個男生套中的個數(shù)仍然是原來那么多，并沒有變多，也沒有變少，我們只是假想著把他們變得一樣多而已，從而認(rèn)識到平均數(shù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的區(qū)別。

通過移多補(bǔ)少的操作過程學(xué)生發(fā)現(xiàn)，把最多的移給最少的，經(jīng)過幾次操作之后才變得一樣多，得到平均數(shù)，所以平均數(shù)一定比最多的數(shù)據(jù)要小，比最少的數(shù)據(jù)要大，平均數(shù)在最大數(shù)與最小數(shù)之間。而且原始數(shù)據(jù)中一定有一部分?jǐn)?shù)據(jù)比平均數(shù)大，還有一部分?jǐn)?shù)據(jù)比平均數(shù)小，平均數(shù)處于原始數(shù)據(jù)靠近中間的位置，這才是“平均”的真正涵義。

此外，把超出平均數(shù)的那部分棋子移到比平均數(shù)少的數(shù)據(jù)上去，因此在一組數(shù)據(jù)中，比平均數(shù)多的部分和比平均數(shù)少的部分應(yīng)該正好相等。這個規(guī)律，在有些思考題中有著獨(dú)特的作用。比如這道題目：“兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人每分鐘跳152 次。甲組有學(xué)生6 人，平均每人每分鐘跳140 次。如果乙組學(xué)生平均每人每分鐘跳160 次，那么乙組有學(xué)生多少人？”用常規(guī)的思路，這道題目需要用方程來解答，而且方程比較復(fù)雜，解方程的過程也很麻煩。如果從平均數(shù)“移多補(bǔ)少”的內(nèi)涵來分析這道題，就簡單多了。甲組學(xué)生的平均數(shù)比兩組的總平均數(shù)要少，那么甲組一共比平均數(shù)少跳的次數(shù)，應(yīng)該就正好等于乙組一共比平均數(shù)多跳的次數(shù)，因此列式為（152-140）×6÷（160-152），從而可以方便的求出乙組有學(xué)生9 人。

抓住平均數(shù)的內(nèi)涵來理解移多補(bǔ)少法，不僅可以直觀的得到平均數(shù)，而且還能讓學(xué)生更深刻的理解平均數(shù)的內(nèi)涵，認(rèn)識平均數(shù)的特點(diǎn)。

（二）緊扣平均數(shù)的本質(zhì)掌握先合后分法

通過移多補(bǔ)少的操作來得到平均數(shù)的方法，比較適合于數(shù)據(jù)比較少，并且數(shù)據(jù)之間相差不大的情況，如果一組數(shù)據(jù)比較多，或者數(shù)據(jù)之間相差較大，這時移多補(bǔ)少法就比較麻煩了，所以需要采用計算的方法。

課堂教學(xué)時，在學(xué)生采用移多補(bǔ)少的方法得到男生套中的平均數(shù)之后，讓學(xué)生繼續(xù)思考，有沒有其它方法可以得到男生的平均數(shù)了？除了移多補(bǔ)少之外，還有什么方法可以使得男生套中的個數(shù)都變得一樣多？對了，在平均分的時候，分得的每一個數(shù)量全都一樣多。因此我們可以把男生套中的個數(shù)全都合并在一起，然后再平均分，這樣就會變得一樣多。這就是先合后分的計算方法，是計算平均數(shù)時最常用的方法。

計算之后，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思先合后分的計算過程，理解平均分得到的數(shù)量一樣多，也就符合平均數(shù)的內(nèi)涵要求，體會平均數(shù)概念中的“平均”二字，與平均分中的“平均”之間的聯(lián)系，從而加深對平均數(shù)內(nèi)涵的理解，進(jìn)一步掌握先合后分的計算方法。

（三）通過對算法的對比加深對平均數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識

移多補(bǔ)少和先合后分這兩種方法都可以得到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，但是它們的側(cè)重點(diǎn)各不相同，在學(xué)生掌握了兩種方法之后，我們需要對這兩種方法進(jìn)行對比分析，從而幫助學(xué)生加深對平均數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識，更加熟練地掌握這兩種方法。

移多補(bǔ)少是用操作的方法得到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它適用于數(shù)據(jù)的個數(shù)比較少且數(shù)據(jù)之間相差不大的情況，如果數(shù)據(jù)比較多或者數(shù)據(jù)之間相差較大時，移多補(bǔ)少的過程就會比較麻煩，但是先合后分的計算方法對于任何情形都是適用的，只不過當(dāng)數(shù)據(jù)較大時，計算會稍微麻煩一些。所以在遇到實(shí)際問題時，我們要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)靈活選擇合適的方法，在分析課堂練習(xí)題時，一定要讓學(xué)生掌握判斷的方法，選擇最簡便的方法來得到平均數(shù)。

既然先合后分的計算方法能夠適用于任何情形，而移多補(bǔ)少法有較多的局限性，那么以后是不是就可以全都采用先合后分法來計算平均數(shù)，甚至在教學(xué)時也沒有必要再分析移多補(bǔ)少法了，這樣不是能夠節(jié)省一些教學(xué)時間？其實(shí)不然，在有些情況下，采用移多補(bǔ)少的方法還是比先合后分法要簡便一些。同時先合后分法重在結(jié)果，而移多補(bǔ)少法重在過程，在移多補(bǔ)少的操作過程中，學(xué)生能夠直觀地看出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定在最大數(shù)與最小數(shù)之間，一組數(shù)據(jù)中一定有一些數(shù)據(jù)比平均數(shù)大，也有一些數(shù)據(jù)比平均數(shù)小，而且比平均數(shù)多的部分與比平均數(shù)少的部分恰好同樣多。對于平均數(shù)的這些特點(diǎn)，先合后分的計算方法無法直觀地發(fā)現(xiàn)，只有在移多補(bǔ)少的過程中才能直觀地看出，所以在教學(xué)時，我們應(yīng)該要兩種方法并重，而在解決實(shí)際問題時，要靈活選擇合適的方法來得到平均數(shù)。

（四）兩種方法的融合提升

先合后分法只是純粹的機(jī)械計算，而移多補(bǔ)少法則注重過程的技巧性。如果實(shí)際問題中遇到5623、5625 和5618 這三個數(shù)時，移多補(bǔ)少法只關(guān)注三個數(shù)據(jù)之間的差，而無需理會這三個數(shù)有多大，采用移多補(bǔ)少法的過程與23、25和18 這三個數(shù)是一樣的，但是采用先合后分法時，在計算方面就會稍微麻煩一些。

所以許多時候，我們會把兩種方法結(jié)合起來，兼顧兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，采用更加靈活方便的計算方法。比如上面的三個數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)它們都超過5600，因此可以把超過5600 的部分截取出來，為23、25 和18，用先合后分法先計算這三個數(shù)的平均數(shù)是22，然后再加上5600，就可以得到原來三個數(shù)的平均數(shù)是5622。這種方法類似于移多補(bǔ)少法那樣只關(guān)注條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)直條頂端的差異，而暫時舍棄同樣長的直條部分，同時又采用了先合后分的計算，把兩種方法完美的融合在一起，使得我們的計算更加簡便，更加靈活。

四、拓展引申對比，深化概念認(rèn)知

在四年級上冊，學(xué)生認(rèn)識了平均數(shù)，知道可以用平均數(shù)來刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，反映一組數(shù)據(jù)的總體水平。以后學(xué)生還會再認(rèn)識中位數(shù)和眾數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是比較常見的三個統(tǒng)計量，它們有各自的特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中有各自的使用場合。

對于四年級學(xué)生來說雖然還沒有學(xué)到中位數(shù)和眾數(shù)的知識。但是作為教師，我們需要對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個統(tǒng)計量的各自特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別非常熟悉，這樣才能在教學(xué)平均數(shù)時，引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識平均數(shù)的特點(diǎn)，深刻理解平均數(shù)的內(nèi)涵，從而為以后能夠比較輕松的將中位數(shù)和眾數(shù)融入到自己的知識體系中，對這三個統(tǒng)計量有更加深刻地認(rèn)識。

根據(jù)以上的對比分析，在平均數(shù)教學(xué)時，我們要讓學(xué)生認(rèn)識到平均數(shù)的特點(diǎn)，知道平均數(shù)的存在性、唯一性、虛擬性與易變性，知道平均數(shù)和每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)系，能夠反映一組數(shù)據(jù)的整體水平。同時也要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，盡管每個數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動，但是當(dāng)個別數(shù)據(jù)變動較大時，平均到每個數(shù)據(jù)上之后，平均數(shù)的變動相對比較小，因此平均數(shù)可以弱化個別數(shù)據(jù)的影響，這也是生產(chǎn)、生活中廣泛運(yùn)用平均數(shù)的一個原因。

平均數(shù)在生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛，在課堂教學(xué)中，我們通過創(chuàng)設(shè)優(yōu)化的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)特征的過程，逐步掌握平均數(shù)概念的內(nèi)涵、熟悉平均數(shù)的特點(diǎn)，能夠熟練計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而更好的解決生活中的實(shí)際問題。