劉建明,黃時祥

(1．吉首大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 吉首 416000;2．上饒師范學院 數(shù)學與計算機科學學院,江西 上饒 334001)

1 引言及主要結論

眾所周知,經(jīng)典的奇異積分算子T是調和分析中的重要組成部分,其定義為:

其中核函數(shù)K(x)滿足一定的消失性條件、尺寸條件和光滑性條件,具體內容讀者可參見文獻[1]。

1961年,約翰(John)等[2]在研究偏微分方程問題時引入了有界平均震蕩函數(shù)空間BMO,其定義為:

設b∈BMO,由經(jīng)典奇異積分算子T和函數(shù)b生成的交換子定義為:

奇異積分算子交換子是由考夫曼(Coif man)等[3]定義的,并且他們還得到了此交換子的Lp有界性,其中1＜p＜∞。但是,該交換子在p＝1時的弱有界性一直未得到很好解決。1995年,佩雷茲(Perez)[4]給出了一個反例說明了Tb不是弱 (1,1) 型,然后作者證明了此類交換子滿足一種弱L(log)L型端點估計。

多線性Calderon-Zyg mund算子理論最早可追溯到20世紀70年代,由Coif man等[5]提出。2002年格拉法克斯(Graf akos)[6]研究了如下一類多線性Cal der on-Zyg mund算子,其定義為:

定義1．1[6]設(f1,f2,…,fm) ∈C0∞,K(x,y1,…,ym) 為(Rn)m+1中局部可積函數(shù)且(x,y1,…,ym) ∈(Rn×…×Rn){x＝y(tǒng)1＝…＝y(tǒng)m} ,記:

過去20年,眾多數(shù)學工作者參與研究多線性Cal der on-Zyg mund算子理論,并且在研究過程中得到了許多有意義的結論,讀者可參見文獻[7-8]。

設(b1,…,bm) 且bi∈BMO,則由多線性Calderon-Zygmund算子T和生成的多線性Calderon-Zygmund算子交換子的定義如下:

多線性Cal der on-Zyg mund算子交換子最早是由Perez等人研究引入,具體工作可參見文獻[9]。隨后多線性交換子得到了眾多數(shù)學工作者的關注,例如勒納(Ler ner)等人[10]得到了多線Cal der on-Zyg mund算子交換子的弱L(log)L型加權端點估計。

1938年,Morrey[11]在研究二階橢圓型偏微分方程解的局部性質時引進了經(jīng)典Morrey空間,其定義為:

其中B(x,t)表示Rn中任意一個以x為中心,t為半徑的球體,0≤λ＜n,1≤p＜∞。

類似地,弱型Morrey空間定義如下:

2016年,王(Wang)[12]定義了一類新型廣義Morrey空間,并得到了奇異積分算子及其交換子在這類新型廣義Morrey空間上的有界性。

為獲得交換子的端點估計理論,我們先介紹關于奧爾里奇(Orlicz)空間的一些定義和結論,具體內容讀者可參見文獻[13]。

設φ(x) 是定義在 [0,∞) → [0,∞) 上的Young函數(shù),滿足φ(0)＝0、＝∞且φ(x) 在定義域內為連續(xù)的、凸的、遞增的函數(shù)。

接下來我們介紹盧森堡(Luxemburg)范數(shù)的定義,對于一個函數(shù)f和方體Q,記:

稱上式為f在方體Q上的Luxemburg范數(shù),當φ≤φ＇時有‖f‖φ,Q≤‖f‖φ＇,Q。

對于任意楊(Young)函數(shù)φ,我們定義它的互補函數(shù)。如果Young 函數(shù)φ(t)＝t(1+log+t) ,則它的互補函數(shù)為(x) ≈ex。

接下來我們介紹廣義赫爾德(Hol der)[14]不等式,記:

當φ(t)＝(1+l og+t) 時,令‖f‖φ,Q＝‖f‖LlogL,Q,‖f‖φ-,Q＝‖f‖expL,Q,(1)式也可表示為:

設b∈BMO(Rn) ,由約翰-尼倫伯格(John-Nirenber g)不等式我們不難得到:

(3)式的證明可參見文獻[4]第169頁。

結合(2)(3)式可得:

文獻[12]中,Wang介紹了LlogL型的廣義Morrey空間。在介紹該類型空間定義前,我們先介紹如下函數(shù)條件:

設0≤k＜1,θ(·) 是定義在 (0,∞) 上的非負增函數(shù)并且滿足以下一類Dk條件:

其中C1＞0且不依賴于ξ、ξ'。LlogL型的廣義Morrey空間定義如下:

顯然當θ(B)＝就為LlogL型的經(jīng)典Morrey空間,其定義為:

定義1．2 設B(x,t)表示Rn中任意一個以x為中心,t為半徑的球體,0≤λ＜n

文獻[12]中,Wang研究了奇異積分算子交換子在此類新型廣義Morrey空間上的弱LlogL型端點估計。主要結果如下:

定理A[12]設b∈BMO(Rn) 、θ滿足Dk條件,則對于任給的σ＞0和任意的B?Rn,存在一個不依賴于函數(shù)f、球體B、σ的常數(shù)C＞0,使得:

文獻[10]中,Ler ner等人介紹了如下一類多線性極大函數(shù)M()(x) ,記:

其中(f1,…,fm) 、m∈Z+(m＞1) 且對所有包含x的球體B取上確界。

2021年,喻(Yu)等人[15]研究了由上述多線性極大函數(shù)生成的交換子,其定義如下:

定理B[15]設bi∈BMO(Rn) 、ω滿足一類二倍條件既ω(2B) ≤C0ω(B) 、1＜C0＜2n,對任意β＞0和任意以x∈Rn為中心、t＞0為半徑的球體B,使得:

其中Φ(t)＝t·(1+log+t) ,,常數(shù)C＞0且依賴于維數(shù)n。

其中0≤λ＜n,Φ(t)＝t·(1+log+t) ,‖bi‖BMO,常數(shù)C＞0且依賴于維數(shù)n。

受以上論文的啟發(fā),本文將研究多線性Calderon-Zyg mund算子交換子在Morrey空間Mp,λ上的弱LlogL型端點估計,本文主要結論如下:

定理1．1 設bi∈BMO(i＝1…m) ,0≤λ＜n對任意σ＞0和任意以x∈Rn為中心、t＞0為半徑的球體B,存在一個不依賴于fi(i＝1…m)、球體B、σ的常數(shù)C＞0使得:

活性炭本身作為一種多孔狀碳元素吸附物質，在剛剛出廠時應當是粗糙且不平整的，從顯微鏡下觀察能夠發(fā)現(xiàn)其表面呈現(xiàn)出凹凸不平和孔洞型結構[2]。一般情況下，活性炭內部的孔隙呈現(xiàn)出無序的狀態(tài)，但總體而言其孔隙結構越復雜、比表面積越大，吸附能力也就越強，活性炭質量越高。一般情況下測試活性炭性能的方法可以采用壓汞法或氮氣吸附法。壓汞法的主要原理為：取小塊活性炭進行壓汞分析，觀察活性炭再生工藝前后比表面積的變化情況；而氮氣吸附法的原理在于通過多分子吸附理論來分析活性炭孔隙吸附質量，一般情況下前者適用于孔隙較大的活性炭檢測，后者適用于微米級活性炭檢測。

其中φ(t)＝t( 1+log+t) 、‖bi‖BMO。

2 預備知識

引理2．1[16]設b∈BMO,則對于任意在Rn中的球體B有:

引理2．2[10]設∈BMOm,則存在一個依賴于‖b→‖BMO的常數(shù)C使得:

引理2．3[17]設,fj∈Lpj,∞其中0＜pj＜∞、1≤j≤k則有:

其中Lp,∞(Rn)＝＜∞} 。

3 主要結果的證明

所以I1≤C‖b1‖BMO。

因為

所以對I3可進行以下分解:

由運算可得:

結合t≤φ(t)＝t·１+log(+t) 和的定義可得:

又因為λ＜n,由級數(shù)收斂可得:

所以J1≤C‖b1‖BMO。

對J2進行以下分解:

由t≤φ(t)＝t·(1+log+t) 可得:

由(4)式可得:

又由(3)式可得:

對J4,由t≤φ(t)＝t· (1+log+t) 可得:

因為λ＜n,由級數(shù)收斂可得:

所以J4≤C‖b1‖BMO。

綜上,I3＝J1+J2≤C‖b1‖BMO。

對I2而言,我們取α1＝α2＝α3＝0,α4＝…＝αm＝∞不失一般性,運用引理2．3可得:

結合文獻[4]中奇異積分算子交換子弱L(l og)L型端點估計可得:

同理可得:

所以I2≤C‖b1‖BMO。

綜合對I1,I2,I3的估計,并對所有球體B取上確界可得定理1．1證畢。