崔 勇，黃 鑫，楊曉凡

(北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100044)

電纜作為電子設(shè)備間最常用的一種信號傳輸通道，廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域中。在某些應(yīng)用場景，如鐵路現(xiàn)場中電纜的鋪設(shè)空間往往十分有限，線纜密度高，當(dāng)電纜平行鋪設(shè)時就會產(chǎn)生串?dāng)_問題，嚴(yán)重時會危害信號的正常傳輸甚至損壞設(shè)備。為保證電子設(shè)備的正常工作，對電纜間的串?dāng)_問題的研究十分必要。

現(xiàn)在常用的電纜串?dāng)_問題研究方法主要有以下幾種：傳輸線法、時域有限差分法、有限元法、電磁拓?fù)浞?、矩量法等。文獻(xiàn)[1-2]基于傳輸線法從時域和頻域兩方面對電纜串?dāng)_產(chǎn)生的原因以及影響做了研究。文獻(xiàn)[3]結(jié)合時域有限差分法和傳輸線法對屏蔽電纜的電磁耦合問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]利用有限元方法，將研究區(qū)域劃分為多個三角形，對非線性應(yīng)控管改善畸變電場分布進(jìn)行優(yōu)化研究。文獻(xiàn)[5]建立軌道電路電磁場模型，運用有限元法對其進(jìn)行驗證分析。文獻(xiàn)[6-8]采用了電磁拓?fù)浞ǚ治隽藛螌?dǎo)體傳輸線及屏蔽電纜的串?dāng)_問題。文獻(xiàn)[9]運用矩量法研究了列車上電纜間的相互干擾問題。近年來運用各種電磁仿真軟件對電纜串?dāng)_問題的研究也日漸增多，文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]分別運用了PSpice和CST來分析電纜間的串?dāng)_問題。

在實際的鐵路現(xiàn)場中，電纜所處的電磁環(huán)境十分復(fù)雜，同一環(huán)境中往往含有多種類型的電纜，電纜的接地方式也多種多樣。傳統(tǒng)的傳輸線法在分析此種復(fù)雜問題時十分困難；單一有限時域差分法或矩量法等也存在計算量較大等問題；有限元法適用于復(fù)雜大系統(tǒng)且高頻的情況，它在形成網(wǎng)格時計算成本很高；電磁拓?fù)浞ㄔ诜治鰪?fù)雜問題時較簡單，但計算精度相對不高；而電磁仿真軟件在分析一些含有較多影響因素的問題時建立的模型會十分復(fù)雜，需要花費相當(dāng)多的時間在模型的建立上。

基于以上問題，本文介紹了一種運用多端口網(wǎng)絡(luò)理論和矩量法相結(jié)合的串?dāng)_問題分析方法，適用于多條平行電纜、多層屏蔽層等復(fù)雜環(huán)境下電纜串?dāng)_問題的研究，同時具有相對較小的計算量以及相對較高的計算精度。該方法運用改進(jìn)的多端口網(wǎng)絡(luò)理論對多線傳輸系統(tǒng)進(jìn)行了簡化，并采用矩量法對多線傳輸系統(tǒng)的分布參數(shù)進(jìn)行提取，同時采用對源點和場點進(jìn)行多點劃分的方式來對矩量法運算時遇到的奇異性問題進(jìn)行處理，并引入虛擬節(jié)點理論將提取的分布參數(shù)轉(zhuǎn)化為模型的傳輸函數(shù)矩陣。最后運用該方法仿真計算了不同情況下的線間串?dāng)_耦合系數(shù)。

1 多端口網(wǎng)絡(luò)模型的建立

1.1 傳統(tǒng)的多端口網(wǎng)絡(luò)模型

假設(shè)在地面上平行分布有n根長為l的傳輸線，將其編號為1到n，每根傳輸線與地之間都構(gòu)成回路，見圖1。其中編號為1的傳輸線一端加干擾源，這里將干擾源等效為一個幅值為Vs的理想電壓源和一個大小為Rs1的電阻串聯(lián)的形式；另外一端接有大小為Rl1的接地負(fù)載，將這根線稱為發(fā)射線。其余的線稱為接收線，其中RsN和RlN(N=2,3…,n)分別為編號為N的接收線兩端的接地負(fù)載。這里稱靠近干擾源的一端為近端，遠(yuǎn)離干擾源的一端為遠(yuǎn)端。定義近端端口輸入電流矩陣為I(0)，近端端口電壓矩陣V(0)，近端負(fù)載矩陣為Rs；遠(yuǎn)端端口輸出電流矩陣為I(l)，遠(yuǎn)端端口電壓矩陣為V(l)，遠(yuǎn)端負(fù)載矩陣為Rl。

圖1 多導(dǎo)體傳輸線系統(tǒng)示意圖

根據(jù)圖1可以得到端口電壓矩陣和電流矩陣滿足以下方程

( 1 )

同時，圖1中虛線框中的部分可以簡化為一個多端口網(wǎng)絡(luò)模型，見圖2。模型中共有2n個端口，端口電壓矩陣和電流矩陣有以下關(guān)系

圖2 多端口網(wǎng)絡(luò)模型

( 2 )

端口導(dǎo)納矩陣Y即為多端口網(wǎng)絡(luò)模型的傳輸函數(shù)，其中：

(3)

式中：YPiPj為端口Pi和Pj之間的導(dǎo)納，且有

YPiPj=YPjPi

( 4 )

結(jié)合式(1)和式(2)，可以得出多線傳輸系統(tǒng)的近端串?dāng)_系數(shù)Sn和遠(yuǎn)端串?dāng)_系數(shù)Sf滿足下列的方程

( 5 )

( 6 )

1.2 改進(jìn)的多端口網(wǎng)絡(luò)模型

在實際情況中所使用的電纜往往有多層屏蔽層，見圖3(a)，其中發(fā)射線為一根普通電纜，接收線為雙層屏蔽電纜。這種情況可以等效為一個多線傳輸系統(tǒng)，其多端口網(wǎng)絡(luò)模型見圖3(b)，共有8個端口，則傳輸函數(shù)Y是一個為8×8的矩陣。

由于屏蔽層的屏蔽作用，發(fā)射線產(chǎn)生的電磁場對接收線芯線的直接影響非常小，干擾主要通過先耦合至接收線屏蔽層、屏蔽層上產(chǎn)生的干擾電壓和電流再耦合到接收線芯線上的方式對傳輸?shù)男盘柈a(chǎn)生影響。由此可以對圖3(b)的多端口網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行分塊處理，將一個大的模型等效為3個小模塊的級聯(lián)，見圖4。其中Y1、Y2、Y3分別為發(fā)射線與接收線外屏蔽層、接收線外屏蔽層與內(nèi)屏蔽層、內(nèi)屏蔽層與芯線之間的傳輸函數(shù)，且都為4×4的矩陣。這樣處理一方面減少了需要提取的端口間導(dǎo)納的數(shù)量，降低了計算量；另外一方面可以根據(jù)不同模塊的特性分別采用不同的分布參數(shù)提取方法，提高了計算精度，同時方便對不同接地方式以及同一系統(tǒng)中含有多種類型電纜時線間串?dāng)_問題的分析。

圖3 雙層屏蔽電纜傳輸系統(tǒng)及多端口模型示意圖

圖4 改進(jìn)多端口網(wǎng)絡(luò)模型

2 算法介紹

2.1 基于矩量法的分布參數(shù)提取算法

矩量法是一種將線性算子方程離散化后，通過加權(quán)積分轉(zhuǎn)換為矩陣方程進(jìn)而求解的算法[12]。這里將電磁場混合積分方程[13]作為算子方程，運用矩量法提取多導(dǎo)體傳輸線系統(tǒng)的分布參數(shù)。

( 7 )

提取分布參數(shù)之前首先需要對導(dǎo)體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，對于導(dǎo)體面采用三角形進(jìn)行網(wǎng)格劃分，每個三角形的中心作為一個節(jié)點。當(dāng)導(dǎo)線的半徑對系統(tǒng)的影響可以忽略時可將導(dǎo)線等效為一根線，此時采用線段對導(dǎo)線進(jìn)行劃分，取每一段線段的中心作為一個節(jié)點。

令入射電場為0，提取分布電感時，采用RWG基函數(shù)[12]對混合積分方程中的導(dǎo)體表面電流密度J(r′)進(jìn)行離散。對于導(dǎo)體面采用的是二維RWG基函數(shù)，即將導(dǎo)體面劃分為若干個三角形網(wǎng)格。對于導(dǎo)線采用的是一維RWG基函數(shù)，即將導(dǎo)線劃分為若干個線段網(wǎng)格。根據(jù)RWG基函數(shù)的定義將相鄰的兩個網(wǎng)格分別標(biāo)記為正和負(fù)，取每個網(wǎng)格中心為一個節(jié)點。運用伽遼金法[15]對離散后的混合積分方程進(jìn)行擴(kuò)展，轉(zhuǎn)化為矩陣方程后計算可得到第m對網(wǎng)格在第n對網(wǎng)格處產(chǎn)生的節(jié)點分布電感Lmn為

( 8 )

Lsmn=μ(Msm+n+-Msm+n--Msm-n++Msm-n-)

( 9 )

式中：Lwmn為導(dǎo)體面上的節(jié)點分布電感；Lsmn為導(dǎo)線上的節(jié)點分布電感；m±和n±分別為第m對和第n對網(wǎng)格中的正負(fù)網(wǎng)格的節(jié)點，且有

(10)

(11)

式中：p和q代表網(wǎng)格節(jié)點, 即m±和n±；Ap為第p個節(jié)點所處三角形網(wǎng)格的面積；lp為第p個節(jié)點所處線段網(wǎng)格的長度。

jωLi-ΛΦ=0

(12)

式中：L為分布電感矩陣；i為節(jié)點電流矩陣；Ф為節(jié)點電位矩陣；Λ為將節(jié)點數(shù)量與網(wǎng)格的邊緣數(shù)量聯(lián)系起來的連接矩陣，其元素為

(13)

提取分布電容時，采用的是脈沖函數(shù)對導(dǎo)體表面電荷密度σ(r′)進(jìn)行離散。同樣應(yīng)用伽遼金法對離散后的混合積分方程進(jìn)行擴(kuò)展，計算得導(dǎo)體面和導(dǎo)線的節(jié)點分布電容矩陣滿足下列的分布電容方程

(14)

式中：Q為節(jié)點總電荷矩陣；C為分布電容矩陣，對于導(dǎo)體面和導(dǎo)線都有

(15)

其中，

(16)

(17)

另一方面，由電流連續(xù)性方程有第n個網(wǎng)格上的總電荷Q可以用流出該網(wǎng)格的電流表示，流出第n個網(wǎng)格的電流又可以表示為流過該網(wǎng)格的所有節(jié)點電流i與外加電流Ie的和。因此電流連續(xù)性方程可以改寫為矩陣形式

(18)

結(jié)合式(12)、式(14)以及式(18)推導(dǎo)可得

(19)

進(jìn)一步計算可以得到多導(dǎo)體傳輸系統(tǒng)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣為

(20)

2.2 算法奇異性處理

采用RWG基函數(shù)對導(dǎo)體表面電流密度進(jìn)行擴(kuò)展，當(dāng)源點r′和場點r重合，即源點r′和場點r位于同一個網(wǎng)格上時，格林函數(shù)會產(chǎn)生奇異性[16-17]。為解決這一問題，采用近似等效的方法：將源點或場點進(jìn)行多點劃分，即將一個網(wǎng)格劃分為x個大小相等的小網(wǎng)格，每個小網(wǎng)格的中心作為一個新的節(jié)點，用新節(jié)點的集合來代替原來的源點或場點，見圖5。

圖5 對場點采用4點劃分示意圖

劃分后可以將Mpq和Wpq中的積分計算轉(zhuǎn)化為累加計算，這里將源點和場點分別進(jìn)行m和n點劃分，則可以將Mpq和Wpq化為下列形式

(21)

(22)

2.3 基于虛擬節(jié)點理論的傳輸函數(shù)計算方法

為了將上文計算得到的節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yblock轉(zhuǎn)換為多端口網(wǎng)絡(luò)模型的端口導(dǎo)納矩陣Y即傳輸函數(shù)，這里引入虛擬節(jié)點的概念[18]。假設(shè)RWG基函數(shù)對導(dǎo)體表面電流密度進(jìn)行離散時將平行分布的n條傳輸線劃分為了h段，即有h個真實節(jié)點，在每條傳輸線兩端建立虛擬節(jié)點，則有2n個虛擬節(jié)點。真實節(jié)點間存在分布電容和分布電感，真實節(jié)點和地之間存在分布電容。由于虛擬節(jié)點沒有實際的物理結(jié)構(gòu)，因此虛擬節(jié)點不存在分布電容，僅和邊緣的真實節(jié)點間存在半個分布電感。由虛擬節(jié)點和地之間組成多端口網(wǎng)絡(luò)模型的端口，見圖6。

圖6 引入虛擬節(jié)點的多端口網(wǎng)絡(luò)節(jié)點示意圖

則節(jié)點電壓和節(jié)點電流的關(guān)系可用矩陣表示為

(23)

式(23)可簡化為

(24)

式中：YD為虛擬節(jié)點間的導(dǎo)納矩陣；YB和YC為虛擬節(jié)點和真實節(jié)點間的導(dǎo)納矩陣；YA為真實節(jié)點間的導(dǎo)納矩陣；Vport和Iport為端口的電壓及電流矩陣；Vnode為真實節(jié)點的電壓矩陣。由端口的電壓和電流矩陣整理可得端口導(dǎo)納矩陣Y，即多端口網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)為

(25)

3 仿真分析

3.1 不同高度及不同線間距仿真分析

利用上述的模型及算法，編寫計算程序，仿真計算并測量發(fā)射電纜及接收電纜在距地不同高度，以及兩者間不同間距的情況下的串?dāng)_耦合系數(shù)。設(shè)置的模型參數(shù)為：兩根電纜型號都為LIFY_0qmm75，長為4 m，發(fā)射線和接收線處于同一水平面上，近端負(fù)載和遠(yuǎn)端負(fù)載都為50 Ω，根據(jù)上述模型參數(shù)運用本文介紹的方法仿真計算不同高度和不同線間距下兩線間的近端串?dāng)_耦合系數(shù)，仿真的頻率范圍為1 kHz～2 MHz，將基于本文介紹方法的仿真結(jié)果與實際測試結(jié)果，以及基于電磁拓?fù)浞ǖ姆抡娼Y(jié)果進(jìn)行對比，見圖7。

圖7 不同高度及不同間距仿真及實測結(jié)果對比

其中實際測試采用RIGOL DG1032型號的信號發(fā)生器來作為干擾源，采用RIGOL DS2102E型號示波器來采集接收線近端電壓，計算得到實際近端串?dāng)_耦合系數(shù)，實際測試頻率范圍同樣為1 kHz～2 MHz。

同時運用電磁拓?fù)浞ㄓ嬎阆嗤瑓?shù)下的近端串?dāng)_耦合系數(shù)。對比本文方法的計算結(jié)果、電磁拓?fù)浞ǖ挠嬎憬Y(jié)果以及實際測試結(jié)果可以看出，本文方法的計算結(jié)果與實際測量值在主要頻段上基本吻合，相比于電磁拓?fù)浞ǖ挠嬎憬Y(jié)果具有更高的精度。通過對比驗證了本文介紹的模型及算法在分析不同高度及不同間距的電纜間串?dāng)_問題時都能具有較高的精確性。

3.2 不同接地方式仿真分析

對于屏蔽電纜不同接地方式下串?dāng)_耦合系數(shù)的仿真，首先以單層屏蔽電纜為例，計算了單層屏蔽電纜在屏蔽層浮地、單端接地及雙端接地三種情況下的串?dāng)_耦合系數(shù)。其中接收線采用實際中常用的RG58型單層屏蔽同軸電纜。仿真計算兩線間的近端串?dāng)_耦合系數(shù)，考慮實際鐵路現(xiàn)場中鋪設(shè)的電纜往往都比較長，同時電纜中傳輸?shù)男盘栴l率主要在1 MHz以下，這里設(shè)置發(fā)射線及接收線長度都為1 000 m，近端負(fù)載和遠(yuǎn)端負(fù)載都為50 Ω，屏蔽層直接接地，仿真范圍為100 Hz～1 MHz。在電磁仿真軟件CST中依照相同的參數(shù)搭建模型進(jìn)行對比仿真，將基于本文介紹方法的仿真結(jié)果與CST的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，見圖8。

圖8 單層屏蔽電纜不同接地方式仿真結(jié)果對比

由圖8可以看出,在1 kHz以下較低的頻段屏蔽層是否接地對于電纜串?dāng)_耦合系數(shù)的影響不大；隨著頻率的增大，屏蔽層接地抑制了容性耦合，屏蔽層接地時的耦合系數(shù)低于屏蔽層不接地時的耦合系數(shù)；同時，可以看出屏蔽層單端接地的耦合系數(shù)與雙端接地的耦合系數(shù)相差不大，而雙端接地的耦合系數(shù)下降明顯，這表明此時電纜間串?dāng)_以感性耦合為主，雙端接地同時還抑制了感性耦合。當(dāng)頻率升高到使傳輸線相對于信號波長為電長傳輸線時[1]，本文介紹的串?dāng)_分析方法不再適用，因此結(jié)果不具有參考意義。

同時,本文介紹的方法的計算值和CST的仿真結(jié)果在屏蔽層不同接地方式時都具有較高的重合度，進(jìn)一步驗證了本文介紹的模型及算法在分析電纜串?dāng)_問題時具有較高的精確性。但是商業(yè)仿真軟件CST的價格昂貴，同時在使用CST進(jìn)行仿真時需要在軟件中建立實際系統(tǒng)的等效模型，花費的時間要遠(yuǎn)大于本文介紹的方法。

接下來用本文介紹的方法對多層屏蔽電纜不同接地方式下的串?dāng)_進(jìn)行分析。在實際鐵路現(xiàn)場中使用的電纜往往含有多層屏蔽層，例如列車上使用的Profibus總線含有兩層屏蔽層，這里以雙層屏蔽電纜為例。由單層屏蔽電纜的分析可知當(dāng)屏蔽層雙端接地時電纜間的串?dāng)_耦合系數(shù)最小，因此這里令雙層屏蔽電纜的外屏蔽層雙端接地，并分析內(nèi)屏蔽電纜單端接地與雙端接地方式下的串?dāng)_情況。設(shè)置發(fā)射線及接收線長度都為1 000 m，近端負(fù)載和遠(yuǎn)端負(fù)載都為50 Ω，屏蔽層直接接地，仿真范圍為100 Hz～1 MHz，仿真結(jié)果見圖9。

圖9 雙層屏蔽電纜外屏蔽層雙端接地，內(nèi)屏蔽層不同接地方式仿真結(jié)果對比

由圖9可以看出，對于多層屏蔽電纜串?dāng)_的仿真，本文介紹的方法與CST的仿真結(jié)果同樣能達(dá)到非常高的吻合度。對于多層屏蔽電纜，在小于1 kHz較低的頻段，接地方式對于電纜串?dāng)_的影響同樣十分有限，在較高的頻段，內(nèi)屏蔽層雙端接地時的耦合系數(shù)低于單端接地時的耦合系數(shù)，但差距并不大。

4 結(jié)論

本文介紹了一種多端口網(wǎng)絡(luò)理論及矩量法相結(jié)合的電纜串?dāng)_問題分析方法。該方法運用多端口網(wǎng)絡(luò)理論對多線傳輸系統(tǒng)進(jìn)行建模，將多線傳輸系統(tǒng)進(jìn)行簡化，適用于對復(fù)雜問題的分析。該方法采用了基于矩量法的分布參數(shù)提取算法，同時運用虛擬節(jié)點理論來將分布參數(shù)轉(zhuǎn)化為模型的傳輸函數(shù)，

對比結(jié)果顯示本文介紹的分析方法對電纜間串?dāng)_的計算結(jié)果與實際測試值基本吻合。相比于電磁拓?fù)浞?，本文介紹方法的計算結(jié)果整體具有更高的精度。在對單層及雙層屏蔽電纜不同接地方式下的串?dāng)_問題的分析中，本文介紹方法的計算結(jié)果和CST的仿真結(jié)果都能達(dá)到較好的重合度。

仿真結(jié)果表明，在1 kHz以下頻率，屏蔽電纜的串?dāng)_受屏蔽層接地方式的影響很??；在1 kHz以上頻率，電纜屏蔽層雙端接地要比其他接地方式時的串?dāng)_小。但在實際的使用中，還需要根據(jù)具體情況確定屏蔽層的接地方式，例如ZPW-2000系列軌道電路的軌旁信號電纜，其屏蔽層的接地通過與貫通地線相連實現(xiàn)，如果內(nèi)屏蔽層采用雙端接地，可能會導(dǎo)致貫通地線中的部分牽引電流通過內(nèi)屏蔽層回流而燒損電纜，因此在保證具有足夠屏蔽效能的前提下，內(nèi)屏蔽層應(yīng)盡量采用單端接地方式。

由于本文介紹的方法在計算時忽略了屏蔽層厚度等因素的影響，同時在對算法奇異性處理時采用了近似等效的方法，因此計算值與實驗室測試值以及CST的仿真值之間還存在著一定的誤差。同時，本文的測試都是在實驗室環(huán)境下進(jìn)行的，缺乏計算值與現(xiàn)場環(huán)境實測值的比較。如何在建模時選取合適的等效模型將屏蔽層厚度等因素考慮進(jìn)去、尋找更優(yōu)的算法奇異性處理方法提高計算精度以及將此方法計算值與實際情況進(jìn)行對比分析是下一步的研究重點。