張慧慧，李 鑫，張 良*，趙曉敏，孫 克

（1.合肥經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.合肥工業(yè)大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

得益于汽車制造和技術(shù)的飛速發(fā)展，乘客對汽車駕駛舒適性和汽車運(yùn)行穩(wěn)定性提出了更高的要求，這促進(jìn)了各種電子控制技術(shù)在汽車領(lǐng)域的應(yīng)用和發(fā)展。由于道路條件和車輛行駛過程的復(fù)雜性，如何獲得車輛的最佳性能一直是汽車底盤設(shè)計(jì)中的一個(gè)難題。而懸架是汽車底盤中很重要的一部分，車輛的平順性和操穩(wěn)性受汽車懸架參數(shù)變化的直接影響，在平順性提升的時(shí)候，一定程度上使操穩(wěn)性有降低趨勢，反之亦然。汽車行駛平順性和操穩(wěn)性是非常重要的兩項(xiàng)性能，懸架系統(tǒng)對這2 個(gè)性能有著決定性的影響。橫置板簧懸架[1]近年已出現(xiàn)成功應(yīng)用案例，國外的企業(yè)看準(zhǔn)了橫置板簧的優(yōu)勢，很早就投入了市場。橫置板簧通過調(diào)節(jié)力臂長度，剛度可實(shí)現(xiàn)在3～6 倍范圍內(nèi)變化[2-5]。

目前，汽車懸架系統(tǒng)優(yōu)化中的復(fù)雜仿真模型一般采用ADAMS 等軟件建立復(fù)雜的仿真模型[6-7]，這種方法容易造成較大的累積誤差，造成結(jié)果偏差比較大；另外，有的把穩(wěn)定性或駕駛舒適性作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)指標(biāo)之一[8-9]，把其他性能指標(biāo)作為獲得最優(yōu)結(jié)果的條件，一般來說，最優(yōu)解往往是某個(gè)指標(biāo)：駕駛舒適性或操縱穩(wěn)定性，偏重和大小無法確定?；诖耍疚慕⒘塑囕v操穩(wěn)性與行駛平順性數(shù)學(xué)模型，將兩個(gè)性能評價(jià)指標(biāo)同時(shí)作為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，提出了1 種多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，該方法在不同性能偏好下，能得到不同的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果。開發(fā)人員根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，根據(jù)彈簧載荷質(zhì)量的變化，去自由的根據(jù)自己喜好的去選擇相應(yīng)的剛度和阻尼數(shù)值。

1 建立整車懸架系統(tǒng)振動(dòng)模型

要對汽車懸架系統(tǒng)進(jìn)行操穩(wěn)性和平順性的分析和優(yōu)化，需要分別對汽車的平順性和操穩(wěn)性的進(jìn)行建模，從單一的自由度到空間多維自由度，從單一平面模型到一個(gè)空間模型，然后分別對兩個(gè)模型進(jìn)行頻域相關(guān)特性的求解。在工程問題上，建立車輛振動(dòng)系統(tǒng)的多自由度數(shù)學(xué)模型是十分必要的。在一般工程問題中，有必要根據(jù)實(shí)際情況采用多自由度模型對車輛懸架系統(tǒng)進(jìn)行分析。本節(jié)主要介紹了一種常見的汽車整車七自由度振動(dòng)模型，并分別列出平順性和操穩(wěn)性的求解過程。建立整車懸架系統(tǒng)振動(dòng)模型，如圖1 所示。

圖1 懸架動(dòng)力學(xué)模型

圖1 中：m1、m2分別為前、后車輪質(zhì)量，m5為車身質(zhì)量；c5、c6分別為前、后懸架減振器阻尼；k1、k2分別為前、后輪胎的垂直剛度，k5、k6分別為前、后懸架彈簧的剛度；Ix、Iy分別為車身繞橫軸和縱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；q1、q2、q3、q4分別為路面對左前輪、左后輪、右前輪、右后輪的激勵(lì)；z1、z2、z3、z4為左前、左后、右前和右后車輪的位移，z5為車身垂直方向的相對位移，θ為車身俯仰角位移，φ為車身側(cè)傾角位移；d為左右車輪之間的輪距。

根據(jù)整車振動(dòng)模型，運(yùn)用牛頓定律得到整車振動(dòng)模型的運(yùn)動(dòng)微分方法[10]如下：

其中：M 為質(zhì)量矩陣，C 為阻尼矩陣，K 為剛度矩陣，Kt為輪胎剛度矩陣，激勵(lì)向量Q=[q1q2q3q4]T，Z、、分別為位移、速度、加速度向量。

1.1 操穩(wěn)性方程的求解

與操縱穩(wěn)定性有關(guān)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

其中：v是車輛質(zhì)量中心的速度，r為橫擺角速度；β為車輛質(zhì)量中心上的側(cè)傾角，θ為方向盤轉(zhuǎn)角，α 為轉(zhuǎn)向柱與z 軸夾角，δ 為前輪轉(zhuǎn)角；h為車輛懸架的橫搖臂，即懸架上質(zhì)心與側(cè)傾中心高度差，a、b 分別為汽車前、后軸到車身質(zhì)心的水平距離，Dw為輪胎回臂；Kφf、Kφr分別為前、后懸架總的側(cè)傾角剛度，Kw為轉(zhuǎn)向系對車身的剛度；Cφf、Cφr分別為前、后懸架的阻尼；m 為整車的質(zhì)量；Iz為整車橫擺慣量，Iw為前輪繞主銷轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Fyf為前橋轉(zhuǎn)彎力，F(xiàn)yr為后軸轉(zhuǎn)彎力，T 為方向盤扭矩輸入；i為轉(zhuǎn)向系統(tǒng)傳動(dòng)比，Cw為轉(zhuǎn)向阻力系數(shù)。

操穩(wěn)性數(shù)學(xué)模型無法直接求出，因此用龍格庫塔法求解操縱穩(wěn)定性運(yùn)動(dòng)微分方程。

1.2 平順性方程的求解

對懸架平順性進(jìn)行分析[11]時(shí)，根據(jù)路面不平度的輸入功率譜，和由車輛懸架系統(tǒng)參數(shù)得到的頻率響應(yīng)函數(shù)，對振動(dòng)微分方程（1）兩邊同時(shí)進(jìn)行傅里葉變換，得頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)：

其中：ω為車身振動(dòng)圓頻率，矩陣H(ω)中第i行第j 列元素Hij表示第j 個(gè)車輪處路面輸入到車輛系統(tǒng)第i 個(gè)自由度的頻率響應(yīng)函數(shù)。

振動(dòng)模型中第i 個(gè)自由度響應(yīng)點(diǎn)的位移響應(yīng)自功率譜密度Gzi(ω)和加速度功率譜密Gzi(ω)為：

其中：Hi(ω)為頻率響應(yīng)矩陣H(ω)第i 行，“*”表示共軛矩陣，Gq(ω)為四輪輸入情況下路面不平度功率譜矩陣。

第i個(gè)自由度響應(yīng)點(diǎn)的加速度均方根值為：

其中：ω2、ω1分別為頻率的上、下限。

2 建立多目標(biāo)優(yōu)化模型

2.1 確定目標(biāo)函數(shù)

為改善車輛行駛平順性，選取σz最小作為第1 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)；為改善汽車操縱穩(wěn)定性，取max φ最小作為第2 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，建立如下目標(biāo)函數(shù)[12]：

其中：X為優(yōu)化設(shè)計(jì)向量，f1(X)、f2(X)分別為建立的2 個(gè)目標(biāo)函數(shù)，σz為車身加速度均方根值，max φ 為汽車轉(zhuǎn)向行駛時(shí)車身側(cè)傾角的最大值。

所述優(yōu)化設(shè)計(jì)變量X為：

2.2 確定約束條件

將本文提出的非支配排序遺傳算法（nondominated sorting genetic algorithm -II，NSGA-Ⅱ）和反向傳播（back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的多目標(biāo)優(yōu)化方法應(yīng)用于整車懸架模型上。根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)及設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，選擇各約束合適的上、下界以保證車輛性能。綜上所述，在v＝50～60 km/h的車速范圍，建立優(yōu)化模型如下：

其中，F(xiàn)(x)為目標(biāo)函數(shù)向量，β為質(zhì)心側(cè)偏角，r/δ為瞬態(tài)不足轉(zhuǎn)向增益，T/ay為規(guī)定力輸入下側(cè)向加速度方向盤力矩梯度。接著的2 個(gè)不等式為阻尼約束。

2.3 確定車輛參數(shù)和變量初始值

整車主要參數(shù)選取見表1 所列，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量初始值及上下限見表2 所列。

表2 變量初始值及上下限

3 多目標(biāo)優(yōu)化模型的求解

將BP 算法用于具有非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，理論上可以逼近任何非線性映射關(guān)系，這一優(yōu)勢使得多層前饋網(wǎng)絡(luò)得到越來越廣泛的應(yīng)用[13-15]。NSGA-II 是模擬自然界遺傳機(jī)制和生物進(jìn)化論而成的一種并行隨機(jī)搜索最優(yōu)化方法。NSGA-II 算法使用了快速非支配排序法、用擁擠度的方法代替了需指定共享半徑的適應(yīng)度共享策略等先進(jìn)策略[16-18]，是一種得到廣泛認(rèn)可的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

根據(jù)建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型可以寫出2 個(gè)程序，2 個(gè)程序的輸入均為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量X，輸出分別為σz、max φ。由于2 個(gè)程序中包含大量數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)行耗時(shí)比較大，因此利用2 個(gè)程序各自產(chǎn)生一部分輸入輸出數(shù)據(jù)集，然后用BP 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練好后用BP 網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測。最后結(jié)果顯示：在Windows 10 系統(tǒng)、處理器為Intel(R) Core(TM)i7-8550U CPU@1.80GHz 2.00 GHz 的情況下，僅使用NSGA-II 算法總程序運(yùn)行時(shí)間為3.363 h，而使用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合NSGA-II 算法的總程序運(yùn)行時(shí)間為1.477 h，總程序運(yùn)行時(shí)間縮短56.08%，算法總的運(yùn)行速度得到很大提高。

構(gòu)建2 個(gè)BP 網(wǎng)絡(luò)，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)都是4-9-1，即輸入層有4 個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱含層有9 個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層有1 個(gè)節(jié)點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)均為k5、k6、c5、c6，網(wǎng)絡(luò)的輸出分別為σz.5.、max φ。2 個(gè)網(wǎng)絡(luò)各自隨機(jī)采集4×106組樣本數(shù)，用來訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，其中一部分樣本數(shù)用來驗(yàn)證網(wǎng)絡(luò)。最后驗(yàn)證結(jié)果如圖2 所示。

由圖2 可知：網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與實(shí)際值相比，誤差小于10-3，即網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值可精確到小數(shù)點(diǎn)后3 位，符合要求，網(wǎng)絡(luò)具有很好的預(yù)測能力，完全能夠作為NSGA-II 的目標(biāo)函數(shù)。NSGA-II 算法原理流程圖如圖3 所示。

圖2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值誤差

圖3 NSGA-II 算法流程圖

4 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

設(shè)定交叉概率為0.9，種群規(guī)模為100，進(jìn)化代數(shù)為500，得出目標(biāo)函數(shù)值的Pareto 最優(yōu)解分布如圖4 所示。

圖4 目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解集

其中：f1(X)最小為0.383 m/s2，此時(shí)f2(X)取最大值，最大值為3.522°；f2(X)最小為2.239°，此時(shí)f1(X)取最大值，最大值為0.576 m/s2。

在最優(yōu)解集的分布范圍內(nèi)，開發(fā)者可以根據(jù)自己的不同需求和偏好選擇最優(yōu)解。為了確保選擇不受其中一個(gè)目標(biāo)的支配，在選擇之前對2 個(gè)目標(biāo)值進(jìn)行歸一化。可以根據(jù)不同的偏好選擇最優(yōu)折中方案，見表3 所列?；奢d質(zhì)量增大即多乘客乘車時(shí)，可有意選擇偏重操縱穩(wěn)定性懸架參數(shù)；簧載質(zhì)量比較小的時(shí)候，可為了乘坐舒適性去有意選擇平順性懸架參數(shù)。

表3 最優(yōu)妥協(xié)解（7 名乘客（1 905 kg）時(shí)）

選取中位數(shù)偏好為(0.35,0.65)的解為最優(yōu)妥協(xié)解，對比優(yōu)化前后性能指標(biāo)，對比結(jié)果見表4 所列。由表4 可知，優(yōu)化后側(cè)傾角有所減小，σz有一定程度增大，優(yōu)化后的方案比原方案在側(cè)傾角降低14.56%，加速度均方根值增大4.3%，犧牲小部分平順性，增大了操穩(wěn)性指標(biāo)，平順性和操穩(wěn)性的多目標(biāo)優(yōu)化效果明顯。

表4 優(yōu)化前后方案對比（7 名乘客時(shí)）

當(dāng)乘客人數(shù)為1～3 名時(shí)，應(yīng)當(dāng)偏重平順性，偏好可分別為（0.7,0.3），（0.65,0.35），（0.6,0.4）；當(dāng)乘客人數(shù)為5～7 名時(shí)，應(yīng)當(dāng)偏重操穩(wěn)性，偏好可分別為（0.45,0.55），（0.4,0.6），（0.35,0.65）。簧載質(zhì)量的所有情況最優(yōu)解見表5 所列，從表中可知，當(dāng)選擇不同工況時(shí)，側(cè)傾角和加速度均方根值的綜合性能均有不同程度的改善。

5 敏感度分析

5.1 分析方法

參考文獻(xiàn)［19］中改進(jìn)的Sobol 法，其主要思想是優(yōu)化計(jì)算過程使得關(guān)鍵結(jié)果一階敏感性指標(biāo)和總體敏感性指標(biāo)的計(jì)算次數(shù)大幅縮減為n(k+2)次，其中n為抽樣次數(shù)，k為考慮的參數(shù)數(shù)量。假定輸出模型y=f(x1,x2,…,xk)，則模型的總方差為：

式中：V(y)為輸出的總方差；Vi為參數(shù)xi時(shí)的方差，即為V(E(Y|xi))；Vij為V(E(Y|xi,xj))-Vi-Vj，模型中參數(shù)的敏感性指標(biāo)可表示為：

式中，Si為一階敏感性指標(biāo)，STi為總體敏感性指標(biāo)，。

5.2 分析結(jié)果

設(shè)置采樣的樣本數(shù)為3 000，自變量數(shù)目為4。使用蒙特卡洛抽樣，然后以M1矩陣第j 列置換M2矩陣中第j 列，得到矩陣N1；將矩陣M1、M2、Ni利用公式（12）和（13）計(jì)算出各參數(shù)的一階靈敏度指標(biāo)和總體靈敏度指標(biāo)，并對相應(yīng)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行評價(jià)，結(jié)果見表6 所列。

表6 分析參數(shù)的敏感度值

由表可知，在平順性分析中，c5變量敏感度權(quán)重最大，在一階敏感度和全局敏感度中分別權(quán)重占比為33.81%、39.19%，其他3 個(gè)變量也相對占據(jù)比較大的權(quán)重值，不可忽視。所以在注重平順性的分析時(shí)（簧載質(zhì)量小于等于1 605 kg），應(yīng)精細(xì)化對c5(前減震器阻尼)的控制。

在操穩(wěn)性分析中，k6變量敏感度權(quán)重最大，在一階敏感度和全局敏感度中分別權(quán)重占比為58.43%、51.65%。所以在注重操穩(wěn)性的分析中（簧載質(zhì)量大于1 605 kg），應(yīng)精細(xì)化對k6(后懸架剛度)的控制，因在全局敏感度中c6對操穩(wěn)性影響很小，權(quán)重占比僅為5.42%，從節(jié)能和穩(wěn)定的角度來看，可放棄對后減震器阻尼的控制，使其變?yōu)槌?shù)[20]。

6 小結(jié)

本文綜合考慮汽車平順性與操穩(wěn)性并以此作為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)合NSGA-II 和BP 算法進(jìn)行優(yōu)化建立整車懸架系統(tǒng)振動(dòng)模型。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后的橫置板簧懸架系統(tǒng)在不同工況下側(cè)傾角和加速度均方根值均有不同程度的改善，其中以7名乘客時(shí)改善效果最為明顯。通過Sobol 敏感度分析法可知，在對剛度和阻尼4 個(gè)變量進(jìn)行控制時(shí)需要精準(zhǔn)控制前阻尼值和后剛度值。此外后阻尼值對操穩(wěn)性影響較小，當(dāng)簧載質(zhì)量較大時(shí)，從節(jié)能和穩(wěn)定角度來看，可以讓后阻尼成為常數(shù)。