趙祥異 李春祥 曹黎媛

摘要：為了更好地發(fā)揮串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器（ Tuned Tandem Mass Dampers-Inerters，TTMDI）的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步提高其有效性和魯棒性，使其能夠廣泛地應(yīng)用于實(shí)際工程中，提出了連接阻尼器為非線性液體黏滯阻尼器的串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器（ Nonlinear Fluid Viscous DamperTuned Tandem Mass Dampers Inerters，NFVDTTMDI）。在頻域內(nèi)推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)NFVDTTMDI系統(tǒng)的動(dòng)力放大系數(shù)半解析解，進(jìn)而定義了NFVDTTMDI系統(tǒng)的最優(yōu)化準(zhǔn)則。采用迭代法進(jìn)行等效線性化并使用FMINCON算法進(jìn)行尋優(yōu)，研究了不同阻尼指數(shù)v對(duì)NFVDTTMDI系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)、減振有效性以及魯棒性和質(zhì)量塊沖程的影響，并在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行了驗(yàn)證。數(shù)值結(jié)果表明，相較于線性TTMDI，NFVD-TTMDI不僅具有相似的較高控制性能，而且當(dāng)u

關(guān)鍵詞：振動(dòng)控制;調(diào)諧質(zhì)量阻尼器;非線性液體黏滯阻尼器;慣質(zhì);等效線性化

中圖分類號(hào)：TB535;TU311.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：10044523（ 2022）01-005509

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.006

引 言

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（ Tuned Mass Damper，TMD）是一種附加在主結(jié)構(gòu)上的被動(dòng)減振裝置，其研究已有上百年歷史。TMD的減振原理是：通過準(zhǔn)確調(diào)整TMD系統(tǒng)的頻率與阻尼參數(shù)，將主結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)移到TMD并由其耗散，從而抑制主結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)。目前，TMD已經(jīng)在世界范圍內(nèi)廣泛應(yīng)用于柔性和低阻尼結(jié)構(gòu)，如大跨度橋梁[1-2]和高層建筑[3]。

在TMD的基礎(chǔ)上，許多學(xué)者針對(duì)新型TMD及其減振性能開展了研究。汪志昊等[4]提出擺式TMD頻率調(diào)節(jié)方法，可以實(shí)現(xiàn)TMD頻率的雙向調(diào)節(jié);羅一帆等[5]研究了電磁集能式調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制優(yōu)化參數(shù)及其減振性能。為了進(jìn)一步提高TMD的有效性和魯棒性，多個(gè)TMD調(diào)諧控制的方法被研究提出[6-10]。而在Smith[11]提出慣質(zhì)（Inerter，也稱慣容）的概念后學(xué)者們開展了各種帶有慣質(zhì)的耗能減振裝置研究，如調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器（ Tuned Viscous Mass Damper.TVMD）[12]、調(diào)諧慣容器阻尼器（ Tuned Inerter Damper，TID）[13]、調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器（ Tuned Mass Damper Inerter，TMDI）[14]、串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器（ TunedTandem Mass Dampers-Inerters. TTMDI）[15]。在上述研究中，連接阻尼器均假定為線性，但目前黏滯阻尼器市場(chǎng)以非線性黏滯阻尼器為主流，一般而言，非線性黏滯阻尼器的減振效果較線性黏滯阻尼器的更好，而且制作簡易更為經(jīng)濟(jì)[16]。因此非線性黏滯阻尼器被許多學(xué)者進(jìn)一步研究并應(yīng)用到實(shí)際中[17，19];Huang等[20]提出了連接阻尼器為非線性液體黏滯阻尼器的TVMD，發(fā)現(xiàn)其可以獲得和線性TVMD相當(dāng)?shù)目刂菩Ч⒛茱@著減少所需阻尼系數(shù)。

本文在此基礎(chǔ)上提出了連接阻尼器為非線性液體黏滯阻尼器的串并聯(lián)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器慣容器，研究了阻尼指數(shù)分別為0.2，0.5，1.0，1.5，2.0情況下的控制性能。針對(duì)非線性黏滯阻尼器，采用迭代法進(jìn)行等效線性化尋找等效阻尼比。在迭代的過程中與優(yōu)化同時(shí)進(jìn)行，最終得到裝置的最優(yōu)參數(shù)和對(duì)應(yīng)主結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

1 結(jié)構(gòu)-TTMDI系統(tǒng)的動(dòng)力方程

單白由度結(jié)構(gòu)-NFVD-TTMDI在簡諧激勵(lì)下的力學(xué)模型如圖1所示。TTMDI包括兩個(gè)質(zhì)量塊：TMD1和TMD2，它們通過各白的慣容器連接到地面;同時(shí)，在TMD1和TMD2之間設(shè)置一個(gè)連接阻尼器，該策略可以有效降低兩個(gè)質(zhì)量塊的沖程大小，并且可以使系統(tǒng)的控制有效性進(jìn)一步提高，此外設(shè)置連接阻尼器后會(huì)令c1和f2的阻尼系數(shù)為0，簡化了系統(tǒng)，使得其更易于在實(shí)際T程中實(shí)現(xiàn)[15]。為便于與線性阻尼器區(qū)分，兩個(gè)質(zhì)量塊之間的非線性液體黏滯阻尼器用紅色表示。單白由度結(jié)構(gòu)-TTMDI在簡諧激勵(lì)作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為：

通過公式（8）～（10）可以分別推導(dǎo)出從簡諧激勵(lì)到結(jié)構(gòu)-TTMDI系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)、TMDI和TMD2的相對(duì)位移傳遞函數(shù)：

2 非線性液體黏滯阻尼器的研究方法

非線性液體黏滯阻尼器的阻尼力通常可以用以下方程來描述：式中 cd表示非線性阻尼器的阻尼系數(shù)，v表示阻尼指數(shù)，變化范圍在0--2之間。v=0時(shí)表示摩擦阻尼器;而v=1時(shí)表示線性黏滯阻尼器，TTMDI即是NFVD-TTMDI在v=1.0時(shí)的特殊情況。

對(duì)于含有非線性黏滯阻尼器的系統(tǒng)，一般的研究方法是將非線性阻尼力轉(zhuǎn)化為線性表達(dá)式，然后以線性系統(tǒng)的形式分析阻尼力。通過耗能相等定理[21]，簡諧激勵(lì)下非線性阻尼力可以用含等效阻尼系數(shù)Ce的線性阻尼力代替，Ce的一般表達(dá)式為[20]：

公式（20）表明，TTMDI的等效阻尼比取決于諧波激勵(lì)的幅值、頻率和未知的Rd。在這種情況下，Huang等[20]提出了迭代法來確定每一給定激勵(lì)下的等效阻尼比和相應(yīng)的Rd。圖2顯示了上述迭代方案的逐級(jí)流程圖。值得一提的是，優(yōu)化可以和迭代過程同時(shí)進(jìn)行，即使用優(yōu)化算法結(jié)合迭代方法來尋找最優(yōu)參數(shù)。

3 數(shù)值分析

為對(duì)NFVD-TTMDI系統(tǒng)的參數(shù)f1，f2，ξ1，ξ2，Cd，η1進(jìn)行優(yōu)化，定義目標(biāo)函數(shù)（即優(yōu)化準(zhǔn)則）為：

R=min .max.Rs s.t.Llb≤L≤Lub

（21）式中 L=[f1 f2 ξ1 ξ2 Cd η1]，Llb為參數(shù)取值下界，Lub為參數(shù)取值上界。目標(biāo)函數(shù)式（21）表示：首先，得到目標(biāo)函數(shù)（公式（13））中位移動(dòng)力放大系數(shù)Ra的最大值，再在參數(shù)范圍內(nèi)，使最大的Rs最小化。目標(biāo)函數(shù)代表了NFVD-TTMDI的減振有效性，目標(biāo)函數(shù)值越小則有效性越高，優(yōu)化算法通過該目標(biāo)函數(shù)白動(dòng)尋優(yōu)得到裝置的最優(yōu)參數(shù)值。

數(shù)值模擬中，設(shè)定主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為ms=40 t，剛度為ka=2139.6 kN，因此白然頻率為fn=1.164 Hz。簡諧荷載的幅值P0=6000 N，激勵(lì)頻率的范圍為Ofa～2fn?？紤]目標(biāo)函數(shù)式的復(fù)雜性，在MATLAB軟件平臺(tái)上采用多元約束優(yōu)化算法（FMINCON函數(shù)）進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化參數(shù)及其范圍如表1所示。

3.1 控制有效性

圖3為在不同阻尼指數(shù)v和不同總質(zhì)量比μ的情況下，NFVD-TTMDI主結(jié)構(gòu)在頻率范圍內(nèi)的最大DMF（ min.max.Rs）隨總慣容質(zhì)量比μI變化趨勢(shì)。從圖中可以看出NFVD-TTMDI的有效性對(duì)阻尼指數(shù)并不敏感，隨著阻尼指數(shù)的增大，有效性略有提升，表明NFVD-TTMDI在阻尼指數(shù)大于1.0時(shí)可以實(shí)現(xiàn)比線性TTMDI更好的控制效果。此外，當(dāng)μI值一定時(shí)，不同阻尼指數(shù)下NFVD-TTMDI系統(tǒng)的有效性都會(huì)隨著μI的增大而提高，其主要原因在于慣容器增加了虛擬質(zhì)量于控制系統(tǒng)中，極大地提高了其有效慣性質(zhì)量，從而獲得高效的控制效果。值得注意的是，當(dāng)μI超過0.02時(shí)，增大μ對(duì)NFVD-TTMDI系統(tǒng)的控制效果的提升不再明顯，而增大μI仍可以有效提高裝置的控制效果。因此，適當(dāng)?shù)膽T容質(zhì)量可以使NFVD-TTMDI保持較高減振效果的同時(shí)，進(jìn)一步減小質(zhì)量塊對(duì)質(zhì)量的需求，從而達(dá)到控制系統(tǒng)輕質(zhì)化。

3.2 最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼系數(shù)

本節(jié)研究NFVD-TTMDI系統(tǒng)最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼系數(shù)，表2給出了對(duì)于不同μ和v值，NFVD-TTMDI系統(tǒng)最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼系數(shù)隨μ1的變化趨勢(shì)。從表中可以看出：當(dāng)μ值一定時(shí)NFVD-TTMDI系統(tǒng)中最優(yōu)頻率比f1和f2隨著μI增大而增大。此外還能看出不同阻尼指數(shù)下的f1幾乎相等，而f2略有差異，在v=0.2時(shí)最小，在v=2.0時(shí)最大。由此可得出結(jié)論，NFVD-TTMDI系統(tǒng)的最優(yōu)頻率比對(duì)阻尼指數(shù)v不是很敏感，其中f2會(huì)隨著阻尼指數(shù)的增大而略微增大。

另一方面，在NFVD-TTMDI系統(tǒng)中，TMDI和TMD2的最優(yōu)阻尼系數(shù)均為零。主要原因是TMDI和TMD2所需求的阻尼都通過連接阻尼來實(shí)現(xiàn)。換而言之，連接阻尼代替TMDI和TMD2中的阻尼消耗了來白結(jié)構(gòu)的能量，從而使得NFVD-TTMDI達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，因此利用該特性可以很好地簡化系統(tǒng)。此外，NFVD-TTMDI系統(tǒng)所需的總阻尼系數(shù)隨μI的增大而增大，隨著μ減小而減小。不同阻尼指數(shù)情況下，所需阻尼系數(shù)隨著阻尼指數(shù)的增大而增大。并且隨著μI的增大，v< 1.0時(shí)最優(yōu)阻尼系數(shù)增長趨勢(shì)明顯小于v≥1.0時(shí)的情況。由此可以得出結(jié)論：v< 1.0的NFVD-TTMDI系統(tǒng)可以顯著降低所需阻尼系數(shù)，更容易實(shí)現(xiàn)，也更加經(jīng)濟(jì)。

3.3 質(zhì)量塊沖程

為了分析阻尼指數(shù)v對(duì)NFVD-TTMDI系統(tǒng)中質(zhì)量塊沖程的影響，定義TMDI和TMD2最大DMF（max.R1和max.R2）作為質(zhì)量塊沖程的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。圖4給出了對(duì)于不同μ和不同v值，NFVD-TT-MDI系統(tǒng)中質(zhì)量塊的沖程隨μI的變化趨勢(shì)。由圖可知：由于附加慣容器的作用，NFVD-TTMDI系統(tǒng)質(zhì)量塊沖程隨著μI的增大而顯著減小;與此同時(shí)，NFVD-TTMDI系統(tǒng)中TMD1和TMD2質(zhì)量塊沖程幾乎相等，分布比較均勻。NFVD-TTMDI中質(zhì)量塊沖程對(duì)阻尼指數(shù)v也不敏感，質(zhì)量塊TMDI和TMD2沖程隨著阻尼指數(shù)的增大都略有增大。v

3.4 魯棒性分析

由于結(jié)構(gòu)特性的改變或?qū)Y(jié)構(gòu)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確，NFVD-TTMDI系統(tǒng)可能會(huì)隨著時(shí)間的推移而“失諧”。為此，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行攝動(dòng)，考慮對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和阻尼的原始值分別均勻地縮放來評(píng)估NFVD - TTMDI的魯棒性，縮放比例為80%-120%。為了便于比較，定義魯棒性評(píng)價(jià)指標(biāo)[20]：

LBX=（Rmax Rminmax） /Rminmax

（22）式中 Rminmax為原結(jié)構(gòu)參數(shù)為msb kso，Cso情況下優(yōu)化得到的主結(jié)構(gòu)最小DMF。Rmax為僅改變主結(jié)構(gòu)參數(shù)而NFVD-TTMDI裝置參數(shù)不變情況下求得的主結(jié)構(gòu)DMF。即用攝動(dòng)后主體結(jié)構(gòu)的最大DMF值相對(duì)于其最優(yōu)值的增量來衡量外界條件發(fā)生變化時(shí)控制系統(tǒng)有效性的降低程度[20]。主結(jié)構(gòu)參數(shù)攝動(dòng)

LBX越小，有效性降低程度越小，即NFVD-TTMDI對(duì)結(jié)構(gòu)攝動(dòng)的魯棒性越強(qiáng)。圖5給出了μI= 0.05，μ=0.005，0.01，0.02時(shí)，不同v情況下LBX隨ratio的變化趨勢(shì)。由圖5可知：對(duì)于質(zhì)量攝動(dòng)和剛度攝動(dòng)，縮放程度越小，LBX越小。然而對(duì)于阻尼攝動(dòng)，LBX隨著ratio的增大而減小。這是因?yàn)閷?duì)阻尼來說，增大ratio相當(dāng)于增加了結(jié)構(gòu)阻尼，從而提高了結(jié)構(gòu)的控制有效性。整體看來，結(jié)構(gòu)對(duì)阻尼攝動(dòng)的魯棒性最強(qiáng)，例如當(dāng)μ=0.01，ratio]=0.8時(shí)，對(duì)應(yīng)質(zhì)量、剛度、阻尼變化的LBX分別為：56.84% .27.62% .6.52%（v=0.2）; 72.76% ，43.36%，5.62%（v=0.5）;93.71%，69.65%，3.21%（v=1.0）;100.500/. 88.540/. 4.340/（v=1.5）;114.820/.106.330/，5.120/（u-2.0）。可以看出阻尼攝動(dòng)下，LBX對(duì)阻尼指數(shù)u的變化不明顯，而u對(duì)質(zhì)量攝動(dòng)和剛度攝動(dòng)影響顯著，且NFVD-TTMDI對(duì)質(zhì)量和剛度攝動(dòng)的魯棒性會(huì)隨著阻尼指數(shù)的減小而增強(qiáng)。

為了驗(yàn)證NFVD-TTMDI系統(tǒng)頻帶寬特性，圖6給出了μ=0.01，μI= 0.05時(shí)，無控、不同阻尼指數(shù)NFVD-TTMDI控制下結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線?？v坐標(biāo)DMF.Rs表示主結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)隨激勵(lì)頻率比β（0～2）的變化情況。為了更好地量化頻響控制特性，圖6局部放大窗口中注釋了抑制頻帶寬[22]（Sup_pression Bandwidth，SB）：控制系統(tǒng)控制下結(jié)構(gòu)優(yōu)于無控結(jié)構(gòu)的頻率范圍。由圖可知：隨著v的增大，SB增大，這意味著NFVD-TTMDI可以在更大的共振頻率范圍內(nèi)有效降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)，從而對(duì)外部輸入激勵(lì)頻率變化具有更好的魯棒性;并且隨著v的增大，頻響函數(shù)曲線變低且更平緩，進(jìn)一步驗(yàn)證了圖3中最大DMF即有效性隨u的變化規(guī)律。

3.5 時(shí)程分析

本節(jié)在時(shí)域內(nèi)驗(yàn)證NFVD-TTMDI的特性，單白由度結(jié)構(gòu)-NFVD-TTMDI系統(tǒng)的動(dòng)力方程的矩陣形式為[23]：

圖7展示了μ=0.01，μI= 0.05時(shí)，圖1所示系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)P（ t）= 6000sin（t）sf作用下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)時(shí)程曲線。模型參數(shù)和前文中一致，并利用在頻域下得到的裝置優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行時(shí)域驗(yàn)證。由圖可知：NFVD-TTMDI能有效地降低無控結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。在振動(dòng)初始，阻尼器剛開始起調(diào)諧作用，振動(dòng)不穩(wěn)定，在3s時(shí) v=0.2，0.5，1.0，1.5，2.0時(shí)對(duì)應(yīng)的主結(jié)構(gòu)峰值位移響應(yīng)分別為11.4，11.7，11.8，12.2，12.7 mm，意味著v<1.0時(shí)，非線性黏滯阻尼器能較快地起調(diào)諧作用，從而抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)。3s之后位移響應(yīng)趨于穩(wěn)定，v=0.2，0.5，1.0，1.5，2.0時(shí)主結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)分為11.9，11.7，11.3，11.0和10.8 mm，說明振動(dòng)穩(wěn)定時(shí)阻尼指數(shù)越大，NFVD-TTMDI對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制效果越好，與頻域中的分析保持了一致。

4 結(jié) 論

本文提出了單白由度結(jié)構(gòu)-NFVD-TTMDI系統(tǒng)。并推導(dǎo)出系統(tǒng)的動(dòng)力放大系數(shù)半解析解，基于定義的目標(biāo)函數(shù)，使用Fmincon算法在頻域內(nèi)研究了NFVD-TTMDI的減振性能，并通過離散化狀態(tài)方程在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行驗(yàn)證。得到如下的主要結(jié)論：

（1） NFVD-TTMDI可以實(shí)現(xiàn)與TTMDI相當(dāng)甚至更好的控制效果，有效性會(huì)隨著阻尼指數(shù)的增大而略微提高。

（2） NFVD-TTMDI和線性TTMDI同樣僅通過連接阻尼消耗從結(jié)構(gòu)中傳來的能量，且在 v< 1.0時(shí)能有效降低所需阻尼系數(shù)，并且更好地抑制質(zhì)量塊沖程，有著更容易實(shí)現(xiàn)和更經(jīng)濟(jì)的優(yōu)點(diǎn)。

（3）當(dāng)結(jié)構(gòu)攝動(dòng)時(shí)，NFVD-TTMDI系統(tǒng)在v<1.0時(shí)可顯著提高系統(tǒng)的魯棒性。

（4）結(jié)構(gòu)剛開始振動(dòng)時(shí)，NFVD-TTMDI系統(tǒng)在v<1.0的情況下可以更快起到調(diào)諧作用，而當(dāng)振動(dòng)趨于穩(wěn)定后，振動(dòng)控制效果會(huì)隨著阻尼指數(shù)的增大而提高。

綜合考慮，NFVD-TTMDI可以獲得與線性TTMDI十分相近的控制效果，但是可以在v<1.0時(shí)提高結(jié)構(gòu)魯棒性和降低所需阻尼系數(shù)，這些優(yōu)勢(shì)使得其在實(shí)際工程中更加經(jīng)濟(jì)有效。最后要說明的是研究NFVD-TTMDI連接單白由度結(jié)構(gòu)，是為將裝置應(yīng)用在多白由度結(jié)構(gòu)中打下理論基礎(chǔ)，在之后的研究中會(huì)在多白由度結(jié)構(gòu)中連接NFVD-TTMDI并添加風(fēng)譜進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算。根據(jù)實(shí)際工程應(yīng)用，應(yīng)將TMDI和TMD2設(shè)置在橫向位移最大的樓層，一般是在最頂層。NFVD-TTMDI中各白的慣容器可通過設(shè)計(jì)足夠大的板開口連接到結(jié)構(gòu)的頂層以下一層或幾層，通過不同的樓層跨度來研究裝置的特性變化?？梢灶A(yù)見的是慣容器跨越樓層數(shù)越多，由于較大的加速度增量，NFVD-TTMDI在減少結(jié)構(gòu)振動(dòng)方面的效率就越高。

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