岑達(dá)康，汪志波

（廣東工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東 廣州 510520）

近年來分?jǐn)?shù)階微分方程(Fractional Differential Equation, FDEs)的應(yīng)用越來越普遍，如模擬反常擴(kuò)散過程、波傳播、湍流、生物系統(tǒng)等[1-2]。目前除了少數(shù)簡單的FDEs外，大部分FDEs還不能找到其解析解[3]。因此，針對FDEs提出簡單高效的數(shù)值算法是十分必要的。

求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法主要包括有限差分法、有限元法、級數(shù)逼近法(變分迭代法、Adomian分解法、同倫攝動法等)、移動網(wǎng)格法、矩陣轉(zhuǎn)化法等。有限差分法[4-5]、有限元法[6-7]將方程離散化，從而得到方程的近似數(shù)值解。與它們相比，變分迭代法(Variational Iteration Method, VIM)不需要進(jìn)行變換和數(shù)值逼近，是一種重要的近似解析方法。1978年，Inokuti等 [8]提出廣義拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier, LM)?；贚M方法，何吉?dú)g[9]于1997年提出了VIM方法。目前，VIM方法已廣泛應(yīng)用于非線性微分方程的近似逼近問題。尹偉石等[10]應(yīng)用VIM方法求解Riesz分?jǐn)?shù)階偏微分方程。基于VIM方法，高秀麗等[11]成功模擬了Whitham-Broer-Kaup方程和mKdV方程兩類非線性數(shù)學(xué)物理方程的行波解。姜兆敏等[12]用VIM求解二階常微分方程組邊值問題，并給出2個具體應(yīng)用實(shí)例。

許多數(shù)學(xué)家和生態(tài)學(xué)家對捕食者?食餌(Predator-Prey, P-P)系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究，建立了一系列數(shù)學(xué)模型，如Volterra模型、帶自身阻滯作用logistic項(xiàng)的改進(jìn)Volterra模型、Lotlak-Volterra模型等。分?jǐn)?shù)階微積分的非局部性質(zhì)使其在模擬遺傳性和記憶性現(xiàn)象上更具優(yōu)勢。因此，分?jǐn)?shù)階P-P模型越來越受到研究者的關(guān)注。El-Shahed等[13]研究了一類分?jǐn)?shù)階廣義P-P模型的正平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性和極限環(huán)。王虎等[14]討論了具有階段結(jié)構(gòu)的時滯分?jǐn)?shù)階P-P模型的穩(wěn)定性，得到了平衡點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性條件和參數(shù)穩(wěn)定區(qū)間。關(guān)于P-P模型的VIM方法研究，汪維剛等[15]利用一組泛函，選取拉格朗日乘子，用修正的變分方法，得到了相應(yīng)模型的近似解。但是其并未對VIM迭代格式進(jìn)行收斂性分析。由于分?jǐn)?shù)階模型的VIM方法研究相對較少，本文研究式(1)～(2)的分?jǐn)?shù)階捕食者?食餌模型的VIM方法及其收斂性。

式(1)～(2)中：u和v分別為捕食者和食餌的種群密度，t為時間，T是t的最大時間。 α，β 分別為Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。r1為 食餌種群增長率，r2為捕食者種群死亡率，N1為 食餌種群環(huán)境容納量，N2為捕食者種群環(huán)境容納量， σ1為 供給比率， σ2為消耗比率。1 ＜α，β＜2；u(0)，v(0)，u′(0)，v′(0)已知。

式中：Γ是Gamma函數(shù)，τ為積分運(yùn)算變量。

由式(3)可得式(1)～(2)的等價模型為

式中：

假設(shè)F，G滿 足Lipschitz條件，存在常數(shù)C，使

1 變分迭代格式

對模型(4)～(5)構(gòu)造式(6)～(7)的限制泛函。

2 收斂性分析

定 理1取u0(t)=?(t)，v0(t)=φ(t) ，其 中?(0)=u(0) ，φ (0)=v(0)。由迭代格式(8)～(9)得到的近似解序列 {un(t)}和{vn(t)}收斂于模型(4)～(5)的精確解u(t)和v(t)。

證明易知u(t)、v(t)滿足

記en(t)=un(t)?u(t) ，εn(t)=vn(t)?v(t)。由迭代格式(8)～(9)，可得誤差方程(10)～(11)。

顯然有

計(jì)算可得

代入式(12)，有

由Lipschitz條件，有

3 數(shù)值模擬

例 1 考慮如下時間分?jǐn)?shù)階logistic模型

式中：f(t)=Γ(2.5)?0.2t1.5+0.1t3， 初值條件為u(0)=0，u′(0)=0； 精確解為u(t)=t1.5。

取u0(t)=0，得

表1列出了u0(t)，u1(t)與精確解的絕對誤差。

表1 例1的數(shù)值誤差結(jié)果Table1 Numerical error results for Example 1

例 2 考慮如下時間分?jǐn)?shù)階捕食者?食餌模型

式(14)～(15)中：

初值條件為u(0)=v(0)=0，u′(0)=v′(0)=0，精確解為u(t)=t1.4。

v(t)=t1.6， 取u0(t)=0，v0(t)=0，算得

表2列出了u0(t)，u1(t)，v0(t)，v1(t)與精確解的絕對誤差。

表2 例2的數(shù)值誤差結(jié)果Table2 Numerical error results for Example 2

4 結(jié)論

本文重點(diǎn)研究了一類分?jǐn)?shù)階捕食者?食餌模型。依據(jù)變分理論，對此類方程建立變分迭代格式，并嚴(yán)格地證明所建立格式的收斂性。最后，對2個模型進(jìn)行數(shù)值模擬。模擬結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。