史鑫磊， 張貞凱

(江蘇科技大學(xué)，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

0 引言

DOA(Direction Of Arrival)估計(jì)是陣列信號(hào)處理研究的一個(gè)重要問題，近幾十年發(fā)展迅速，在通信、雷達(dá)、聲吶、軍事、天文等多個(gè)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用且效果良好[1-3]。有關(guān)DOA估計(jì)的研究大致可以分成兩類：陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)化，即稀疏陣列，是近年來提出的一種新型陣列流型，其中包括了互質(zhì)陣列[4-5]、嵌套陣列[6]和最小冗余陣列[7]，與傳統(tǒng)的均勻陣列相比，稀疏陣列有著更高的自由度，可估計(jì)的信源數(shù)大于實(shí)際的陣元數(shù)[8]；測(cè)向算法優(yōu)化，是針對(duì)稀疏陣列的虛擬化算法[9-11]，也是近年來DOA估計(jì)中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

伴隨著壓縮感知技術(shù)的崛起，學(xué)者們提出了許多性能較好的稀疏信號(hào)重構(gòu)算法，其中最經(jīng)典的是L1范數(shù)方法[12]，但由于其極高的計(jì)算復(fù)雜度，該算法的實(shí)用性不強(qiáng)。隨后提出的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Sparse Bayesian Learning,SBL)方法[13]，在降低算法復(fù)雜度的同時(shí)擁有與L1范數(shù)方法相近的性能。

傳統(tǒng)的DOA估計(jì)方法都是假設(shè)遠(yuǎn)場信號(hào)的波達(dá)角落在事先定義好的離散角度網(wǎng)格上，如果網(wǎng)格間距過大會(huì)導(dǎo)致算法的性能顯著下降，網(wǎng)格間距過小則會(huì)導(dǎo)致算法復(fù)雜度增加，針對(duì)這一問題，有學(xué)者提出了離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(Off-Grid Sparse Bayesian Learning,OGSBL)方法[14]，有效解決了網(wǎng)格劃分問題，從而提高了算法的角度估計(jì)性能。

目前，一些基于UCA的DOA估計(jì)算法已經(jīng)發(fā)展得比較成熟，如基于波束空間的UCA-RB-MUSIC算法[15]，基于波束空間的二維秩損算法[16]，基于大規(guī)模UCA的互相關(guān)算法[17]，以及基于UCA的ESPRIT算法[18]等。這些算法在理想情況下能取得較好的效果，但實(shí)際中往往存在許多非理想因素[19]，比如陣元數(shù)有限、陣元間距小引起互耦效應(yīng)、噪聲誤差等，導(dǎo)致這些理想模型下的算法得不到高精度的角度估計(jì)性能，而且無法實(shí)現(xiàn)欠定的DOA估計(jì)。

近年來，有學(xué)者將稀疏的思想引入到圓陣中。BASI-KOLO等在2016年提出了一種嵌套稀疏圓陣(Nested Sparse Circular Array,NSCA)結(jié)構(gòu)[20]，在2019年又提出了一種超嵌套稀疏圓陣(Super Nested Sparse Circular Array,S-NSCA)結(jié)構(gòu)[21]。目前，針對(duì)嵌套稀疏圓陣DOA估計(jì)的研究還處于起步階段，文獻(xiàn)[22]提出了一種稀疏信號(hào)恢復(fù)算法，文獻(xiàn)[23]在此基礎(chǔ)上提出了一種基于矩陣填充的稀疏信號(hào)恢復(fù)算法以提高精度。然而，目前的算法主要還是建立在L1-SVD 的基礎(chǔ)上，求解這種凸優(yōu)化問題時(shí)會(huì)引起極高的復(fù)雜度，且存在超參數(shù)的快速取值問題[24-25]。

針對(duì)以上問題，本文采用離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法實(shí)現(xiàn)了改進(jìn)嵌套稀疏圓陣下的欠定DOA估計(jì)，與現(xiàn)有方法相比，所提方法提升了陣列稀疏性，降低了計(jì)算復(fù)雜度，模型超參數(shù)可自適應(yīng)調(diào)整，且能獲得較好的角度估計(jì)性能。

1 改進(jìn)嵌套稀疏圓陣

考慮一個(gè)如圖1所示的嵌套線陣。

圖1 嵌套線陣Fig.1 Nested linear array

圖1中，兩個(gè)子陣的陣元數(shù)分別為N1，N2，總陣元數(shù)N=N1+N2，陣元間距分別為d1=d，d2=(N1+1)d，令d=λ，λ表示波長，并將其首尾相接成一個(gè)圓，圓的半徑為R，以增強(qiáng)稀疏性，降低陣元間的互耦效應(yīng)，如圖2所示。

圖2 改進(jìn)嵌套稀疏圓陣Fig.2 The improved nested sparse circular array

陣元位置用d歸一化后的實(shí)際陣元位置矢量為

(1)

假設(shè)空間中有K個(gè)窄帶信源從遠(yuǎn)場輻射到改進(jìn)嵌套稀疏圓陣上，第k(k=1,2,…,K)個(gè)信源的角度為(θk,φk)。假設(shè)俯仰角θk固定為90°，則該陣列的導(dǎo)向矢量a(φk)可以表示為

(2)

x(t)=As(t)+n(t)

(3)

式中：A=[a(φ1)…a(φk)]，為該陣列的方向矩陣；n(t)為陣列接收到的噪聲。接收信號(hào)x(t)的協(xié)方差矩陣為

Rxx=E[x(t)xH(t)]

(4)

將該協(xié)方差矩陣向量化可以得到

(5)

(6)

圖3展示了N1=N2=3，Nv=23的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣的虛擬陣列陣元位置。

圖3 改進(jìn)嵌套稀疏圓陣虛擬陣元位置Fig.3 The position of virtual array elements of theimproved nested sparse circular array

由圖3可知，改進(jìn)嵌套稀疏圓陣虛擬陣列陣元數(shù)與傳統(tǒng)均勻圓陣相比大大增加，有更多自由度，且注意到，改進(jìn)嵌套稀疏圓陣的虛擬陣元位置隨空間入射信號(hào)方向變化，但其自由度始終遠(yuǎn)大于6，因此，在多信源情況下對(duì)改進(jìn)嵌套稀疏圓陣運(yùn)用相關(guān)測(cè)向方法能獲得更好的角度估計(jì)性能，且能估計(jì)的信源數(shù)也更多。

2 基于離格的DOA估計(jì)模型

為了有效解決網(wǎng)格劃分問題，將式(5)改寫為

Z=ΦS+E

(7)

(8)

(9)

(10)

3 離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法

噪聲模型為

(11)

式中，α0=σ-2，代表噪聲精度。均值為μ、協(xié)方差為Σ的(圓對(duì)稱)復(fù)高斯分布隨機(jī)變量u的概率密度函數(shù)為

(12)

式中，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置，由此可得

(13)

假設(shè)噪聲精度α0=σ-2未知，有一個(gè)超先驗(yàn)是高斯分布的共軛先驗(yàn)

p(α0;c,d)=Γ(α0|c,d)

(14)

離網(wǎng)格距離模型：假設(shè)β的一個(gè)統(tǒng)一先驗(yàn)為

(15)

通過結(jié)合分層貝葉斯模型的階段，聯(lián)合概率密度函數(shù)是

p(S,Z,α0,α,β)=
p(Z|S,α0,β)p(S|α)p(α)p(α0)p(β)。

(16)

很容易看出S的后驗(yàn)分布是復(fù)雜的高斯分布

p(S|Z,α0,α,β)=CN(S|μ,Σ)

(17)

μ=α0ΣAv(β)Hz

(18)

Σ=(α0Av(β)HAv(β)+Λ-1)-1

(19)

計(jì)算Σ和μ需要知道超參數(shù)α,α0,β的估計(jì)值，它們可以通過最大化概率密度函數(shù)p(α0,α,β|Z)來估計(jì)。由于p(Z)與超參數(shù)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，因此，最大化p(α0,α,β|Z)等價(jià)于最大化概率密度函數(shù)p(Z,α0,α,β)=p(α0,α,β|Z)p(Z)。有一種期望最大化算法可以將該問題轉(zhuǎn)化為最大化E{lnp(S,Z,α0,α,β)}問題，它將S當(dāng)成隱藏變量，E{·}代表S的后驗(yàn)期望。由此可以更新α,α0，即

(20)

(21)

(22)

式中：tr表示矩陣的跡；C是獨(dú)立于β的常數(shù)；P是一個(gè)正半定矩陣，即

(23)

(24)

式中：Re{·}表示取實(shí)部；⊕代表哈達(dá)瑪乘積。由此可得

(25)

容易知道，β和s(t)是聯(lián)合稀疏的，它的非零項(xiàng)對(duì)應(yīng)于K個(gè)信源的位置，只計(jì)算β的項(xiàng)中對(duì)應(yīng)于α中K個(gè)最大項(xiàng)的位置，并將其他的設(shè)為零。然后β，P，v可以被截短為K維或K×K維。

(26)

(27)

最后通過尋找α譜峰位置來得到DOA估計(jì)，假設(shè)K個(gè)峰值的網(wǎng)格索引為ζk，k=1,…,K，則信源方位角估計(jì)值為

(28)

將上述所提嵌套稀疏圓陣欠定DOA估計(jì)的基于虛擬化的離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法實(shí)現(xiàn)步驟總結(jié)如下:

2) 根據(jù)式(6)和式(8)構(gòu)造擴(kuò)展的過完備字典Φ，根據(jù)式(10)構(gòu)造觀測(cè)矩陣Av(β)；

3) 根據(jù)式(20)和式(27)更新α和β；

5) 對(duì)α進(jìn)行譜峰搜索，根據(jù)式(28)得到信源方位角估計(jì)值。

4 仿真分析

為驗(yàn)證算法的有效性、描述算法的角度估計(jì)性能，通過1000次的蒙特卡羅仿真來評(píng)估改進(jìn)嵌套稀疏圓陣下基于虛擬化的離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法的角度估計(jì)性能。定義均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)為

(29)

假定空間有K個(gè)信源；N1，N2分別表示子陣1和子陣2的陣元數(shù)，d1=λ，d2=(N1+1)d1，分別表示子陣1和子陣2的陣元間距，J表示快拍數(shù)，最大迭代次數(shù)設(shè)置為2000，噪聲容限設(shè)置為τ=10-4，ρ=0.01。

1) 仿真1，算法有效性驗(yàn)證。

考慮有K=7個(gè)不相關(guān)窄帶信號(hào)入射至N1=N2=3的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣中，信號(hào)的俯仰角固定為90°，方位角在10°～130°之間均勻分布，J=100，SNR為0 dB，圖4展示了所提算法的空間譜，由圖4可知，本文算法能有效且精確地估計(jì)信源角度。

圖4 本文算法估計(jì)結(jié)果

2) 仿真2，不同快拍數(shù)下算法性能比較。

考慮有K=3個(gè)不相關(guān)窄帶信號(hào)入射至N1=N2=3的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣中，信號(hào)的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布。圖5展示了本文算法的性能隨快拍數(shù)變化的趨勢(shì)。由圖5可得，參數(shù)估計(jì)誤差隨信噪比的增加呈下降趨勢(shì)，快拍數(shù)越大意味著協(xié)方差矩陣越精確，因此算法性能隨著快拍數(shù)的增加而提升。

圖5 所提算法性能隨快拍數(shù)變化的趨勢(shì)Fig.5 Performance of the proposed algorithm changing with the number of snapshots

3) 仿真3，不同信源數(shù)下算法性能比較。

考慮有K個(gè)不相關(guān)窄帶信號(hào)入射至N1=N2=3的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣中，信號(hào)的俯仰角固定為90°，當(dāng)K=2時(shí)，信號(hào)的方位角為(10°，30°)；當(dāng)K=3時(shí)，信號(hào)的方位角為(10°，30°，50°)；當(dāng)K=5時(shí)，信號(hào)的方位角為(10°，30°，50°，70°，110°)。J=200，圖6展示了本文算法的性能隨信源數(shù)變化的趨勢(shì)，由圖6可知，信源數(shù)的增多會(huì)導(dǎo)致算法性能的降低。

圖6 本文算法性能隨信源數(shù)變化的趨勢(shì)Fig.6 Performance of the proposed algorithm changing with the number of sources

4) 仿真4，與傳統(tǒng)均勻圓陣相比的角度估計(jì)性能。

考慮有K=3個(gè)不相關(guān)窄帶信號(hào)分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣和陣元數(shù)N=6，d=λ/2的均勻圓陣中，信號(hào)的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布，J=200。

由圖7可知，在低信噪比、小快拍數(shù)、多信源情況下，本文算法的角度估計(jì)性能優(yōu)于均勻圓陣下的MUSIC算法和OGSBL算法。

圖7 與傳統(tǒng)均勻圓陣相比的角度估計(jì)性能Fig.7 Angle estimation performance compared with traditional uniform circular array

5) 仿真5，與文獻(xiàn)[20]中L1-based方法相比的角度估計(jì)性能。

考慮有K=3個(gè)不相關(guān)窄帶信號(hào)分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣和N1=N2=3，d1=λ/2，d2=(N1+1)d1的嵌套稀疏圓陣中，信號(hào)的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布。從圖8可以得知，在低信噪比、小快拍數(shù)情況下，改進(jìn)嵌套稀疏圓陣下，本文算法的角度估計(jì)性能優(yōu)于文獻(xiàn)[20]中l(wèi)1-based方法。

圖8 與原嵌套稀疏圓陣相比的角度估計(jì)性能Fig.8 Angle estimation performance compared with the original nested sparse circular array

6) 仿真6，算法運(yùn)行時(shí)間隨快拍數(shù)變化曲線。

考慮有K=3個(gè)不相關(guān)窄帶信號(hào)分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣和N1=N2=3，d1=λ/2，d2=(N1+1)d1的嵌套稀疏圓陣中，信號(hào)的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布，SNR為15 dB。由圖9可知，本文算法在相同快拍數(shù)下比現(xiàn)有算法具有更低的復(fù)雜度，隨著快拍數(shù)的增加，本文算法的角度估計(jì)性能提升，算法迭代次數(shù)減少，因此算法運(yùn)行時(shí)間隨快拍數(shù)變化曲線呈下降趨勢(shì)。

圖9 算法運(yùn)行時(shí)間隨快拍數(shù)變化曲線Fig.9 Running time of the algorithm vs thenumber of snapshots

7) 仿真7，算法運(yùn)行時(shí)間隨信噪比變化曲線。

考慮有K=3個(gè)不相關(guān)窄帶信號(hào)分別入射至N1=N2=3，d1=λ，d2=(N1+1)d1的改進(jìn)嵌套稀疏圓陣和N1=N2=3，d1=λ/2，d2=(N1+1)d1的嵌套稀疏圓陣中，信號(hào)的俯仰角固定為90°，方位角在10°～50°之間均勻分布，J=300。

由圖10可知，本文算法在相同的信噪比下比現(xiàn)有算法具有更低的復(fù)雜度，隨著信噪比的增加，本文算法的角度估計(jì)性能提升，算法能夠更快收斂，運(yùn)行時(shí)間隨信噪比增加而縮短。

圖10 算法運(yùn)行時(shí)間隨信噪比變化曲線

5 結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有基于嵌套稀疏圓陣DOA估計(jì)方法計(jì)算復(fù)雜度高，超參數(shù)無法快速選取問題，本文提出了一種基于改進(jìn)嵌套稀疏圓陣的離格稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(OGSBL)方法。該方法給出了改進(jìn)嵌套稀疏圓陣模型，增強(qiáng)了稀疏性，并且結(jié)合離格模型與稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)方法實(shí)現(xiàn)欠定的DOA估計(jì)，有效提高了原嵌套稀疏圓陣的測(cè)向性能。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法降低了計(jì)算復(fù)雜度，模型超參數(shù)可自適應(yīng)調(diào)整，且在低信噪比、小快拍數(shù)和多信源情況下的均方根誤差性能優(yōu)于原嵌套稀疏圓陣和傳統(tǒng)均勻圓陣的測(cè)向算法。