秦 思，田 琳

（伊犁師范大學 電子與工程學院，新疆 伊寧 835000）

在當今時代，油氣資源是不可缺少的必需品。一方面，它滲透在人們生活所需的方方面面，推動著工業(yè)和經(jīng)濟向前發(fā)展；另一方面，它與國家安全密切相關，保障著腳下土地的一方和平。在勘探油氣資源時，所進行的地震勘探容易受到外來因素影響，比如天氣、風聲、腳步聲等，會給地震數(shù)據(jù)帶來偏差。還有有限的經(jīng)濟成本制約，使得結果并不盡如人意。

地震數(shù)據(jù)重建，即從不完整或缺失的地震數(shù)據(jù)重建出完整規(guī)則的地震數(shù)據(jù)?？偠灾?，對地震數(shù)據(jù)進行重建使其盡可能地恢復為規(guī)則數(shù)據(jù)，具有很重要的意義。如果不進行抗假頻的插值重建，壓制欠規(guī)則缺失道引起的空間假頻，則會影響后續(xù)的地質(zhì)資料處理，如：多次波去除、偏移、成像和振幅隨偏移距變化的分析。如果選擇合適的方法進行插值重建，能夠降低費用，更能夠逼真地還原成像。隨著技術的發(fā)展，人們致力于追求一種高效簡單的地震數(shù)據(jù)重建方法，重建出精度更高、無限接近規(guī)則采樣地震數(shù)據(jù)的方法。

由于現(xiàn)有地震數(shù)據(jù)重建綜述類文章少，而重建方法眾多，只憑少量單一介紹某種方法重建的文章不足以快速了解該方向研究進展。在此基礎上，文章分析整理了近些年來基于信號處理，用于地震數(shù)據(jù)重建的方法，梳理了各方法的研究進展及其成果，便于快速了解和研究地震數(shù)據(jù)重建處理。

1 地震數(shù)據(jù)重建研究現(xiàn)狀

近些年來，隨著科學技術不斷發(fā)展，地震數(shù)據(jù)重建技術也不停發(fā)展，當下主要流行的幾種重建方法包括：基于壓縮感知的地震數(shù)據(jù)重建方法、基于深度學習的地震數(shù)據(jù)重建方法。在壓縮感知理論下，又分為基于低秩約束的地震數(shù)據(jù)重建方法和基于稀疏約束的地震道重建方法。一般情況下，基于稀疏約束的地震數(shù)據(jù)重構方法，需要將地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到稀疏域。稀疏變換主要有傅里葉變換、曲波（Curvelet）變換、小波變換、剪切波（Shearlet）變換等。常借助的算法為正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP），平行矩陣分解（Parallel Matrix Factorization，PMF）算法，交替最小化（Alternative Minimization，AM），交替方向乘子法（Alternating Direction Method Of Multipliers，ADMM）算法，正交秩-1矩陣追蹤（Orthogonal Rank-One Matrix Pursuit，OR1MP）算法，自適應性矩估計（Adaptive momentum，Adam）算法，L1范數(shù)譜投影梯度（Spectral Projected-Gradient ForL1Minimization，SPGL1），低秩張量補全算法（Low-rank Tensor Completion by Parallel Matrix Factorization，TMac），張量核范數(shù)（Tensor Nuclear Norm，TNN），塊坐標松弛（Block Coordinate Relaxation，BCR）算法，匹配追蹤（Matching Pursuit，MP），不動點連續(xù)（Fixed Point Continuation，F(xiàn)PC），Wrap算法（Wrapping-Based Transfrom），極大極小算法（Majorization-Minimization，MM），快速不動點連續(xù)（Fast Fixed Point Continuation，F(xiàn)FPC），凸集投影算法（Project Onto Convex Sets，POCS），快速字典學習算法（Fast Dictionary Learning，F(xiàn)DL）等。深度學習方法重建地震數(shù)據(jù)主要用到的網(wǎng)絡為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（Convolutional Neural Networks，CNN），殘差網(wǎng)絡，生成對抗網(wǎng)絡（Generative Adversarial Network，GAN），條件生成對抗網(wǎng)絡（Conditional Generative Adversarial Networks，cGANs），遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡（Recurrent Neural Network，RNN），長短期記憶（Long Short-Term Memory，LSTC）網(wǎng)絡，UNet網(wǎng)絡，Res-UNet網(wǎng)絡等。

2 基于壓縮感知的地震數(shù)據(jù)重建方法

2.1 基于低秩約束的地震數(shù)據(jù)重建方法

馬堅偉提出了基于塊紋理變換的三維地震數(shù)據(jù)低秩重建，該方法基于核范數(shù)最小化，利用了低秩矩陣擬合的快速矩陣補全算法，該算法避免了奇異值分解的計算，通過對合成數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)的實證研究表明，該方法與傳統(tǒng)的凸集投影比較，有良好的性能［1］。馬堅偉等將欠規(guī)則地震數(shù)據(jù)構建成一個近似低秩矩陣，并提出了核范數(shù)最小化來重構矩陣的方法，數(shù)值實驗表明，與其他模型相比，基于核范數(shù)最小化模型具有更高的數(shù)據(jù)恢復效率和性能。文獻同時比較了加速近似梯度法與低秩矩陣擬合的計算量［2］。劉麗娜利用矩陣完備方法重構隨機缺失地震數(shù)據(jù)，其核心思想為：把向量正交匹配追蹤算法延伸到矩陣中，在迭代過程中，需要對殘差進行奇異值分解，計算量較大；接下來發(fā)展了基于冪法的秩-1匹配追蹤算法，用冪法代替奇異值分解；由于上述方法要儲存大量的基，對上述方法改進，迭代過程進儲存新估計矩陣和本次迭代得到的秩-1矩陣，得到了改進的秩-1匹配追蹤算法［3］。傳統(tǒng)方法將高階張量展開為長條形矩陣，高建軍等提出了平行平方矩陣分解張量補全方法（Parallel Square Matrix Factorization Algorithm，PSMF），該方法將高階張量沿每一維展開為一個平方矩陣，然后對該平方矩陣實施矩陣分解降秩。與傳統(tǒng)方法比較，在采樣點數(shù)更少的情況下，能恢復出相同的低秩張量［4］。劉慧梅等對求解低秩張量補全的核范數(shù)最小化模型的現(xiàn)有算法進行了綜述，對張量的基本知識以及張量核范數(shù)最小化模型進行了說明，列出了幾種主流算法，包括簡單低秩張量補全、高精度低秩張量補全、核心張量核范數(shù)的張量補全等，并提出了研究發(fā)展方向［5］。張飛籠將頻域數(shù)據(jù)構造成Hankel矩陣，建立了基于Hankel張量核范數(shù)正則化的目標函數(shù)，尋找變量的解使用交替方向乘子法，減小時間復雜度依靠隨機張量奇異值分解方法，選取奇異值的個數(shù)借助阻尼截斷的方法，提出了基于Hankel張量核范數(shù)正則化的地震信號恢復方法；文獻還給出了第二種地震數(shù)據(jù)插值方法：在張量字典學習中首次引入張量乘積方法，形成目標函數(shù)。在時域和頻域計算稀疏系數(shù)使用交替迭代算法，訓練張量字典借助拉格朗日對偶的方法，再迭代改善稀疏系數(shù)與張量字典，提出了基于字典學習正則化稀疏表示的地震信號恢復方法。兩種方法分別適合于處理低秩性比較好的數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)缺失較少的情況，可用于高維地震數(shù)據(jù)［6］。

陳全提出了基于張量核范數(shù)最小化約束的新的張量補全方法，即采用張量奇異值分解直接分解高維數(shù)據(jù)，并將低秩性約束和Hankel變換結合起來，通過交替最小化算法求目標函數(shù)，提出了基于低秩張量分解的正則化方法，適用于缺失率高、本身低秩特性很好的數(shù)據(jù)重建。針對有噪和無噪數(shù)據(jù)情況，給出了不同的改進交替最小化算法，有噪算法的優(yōu)點是信噪比提高，不足之處是計算速度較慢；無噪算法的優(yōu)點是可擁有高于同類算法4~5個數(shù)量級的重構精度，還提升了計算速度［7］。李銘利用圖像處理器（Graphics Processing Unit，GPU）進行并行計算，提出了基于圖像處理器的張量Tucker分解及重構算法，實驗結果表明，該算法的加速比提高了幾倍至幾十倍。另外，實現(xiàn)了大規(guī)模三維地震數(shù)據(jù)可視化［8］。暢京博結合壓縮感知數(shù)據(jù)重建理論和張量稀疏編碼，把二維字典學習用張量乘積延伸到三維，提出了基于張量聯(lián)合稀疏編碼的重構方法［9］。張雪敏基于三種不同的預變換，發(fā)展了三種天然地震數(shù)據(jù)重建方法。第一，對二維天然地震數(shù)據(jù)，利用Hankel矩陣預變換來處理經(jīng)過傅里葉變換得到的頻率切片，得到具有低秩性的Hankel矩陣，并對Hankel矩陣奇異值分解，利用奇異譜分析算法重構地震數(shù)據(jù)；當?shù)卣饠?shù)據(jù)量變多，上述方法已經(jīng)不再適用，該文獻發(fā)展了正交秩-1 Hankel矩陣追蹤算法，再逆Hankel變換即可重構數(shù)據(jù)。第二，對三維天然地震數(shù)據(jù)做類似操作，只是將Hankel矩陣預變換替換成塊Hankel矩陣預變換，傳統(tǒng)的多道奇異譜分析算法降秩的核心還是依靠奇異值分解，這里依舊使用正交秩-1矩陣追蹤算法來進行優(yōu)化，發(fā)展出了基于低秩矩陣補全的三維天然地震信號重建。實驗結果顯示，正交秩-1矩陣追蹤算法比傳統(tǒng)的奇異譜分析算法和多道奇異譜分析算法有更高的峰值信噪比，且天然地震信號的重建也較好地實現(xiàn)。第三，對于高缺失情況下的三維天然地震數(shù)據(jù)重構，基于Hankel張量重建的準確性和魯棒性都高于基于塊Hankel矩陣重建。因此，文獻采用Hankel張量預變換。如果采用奇異值分解算法處理預變換后的Hankel張量，不僅耗時而且計算效率低，所以文獻中給出了并行矩陣分解的低秩張量補全算法對Hankel張量進行低秩矩陣分解，提出了并行矩陣分解Hankel張量重建算法。對于天然地震數(shù)據(jù)實驗結果顯示，與經(jīng)典的高階奇異值算法比較，并行矩陣分解Hankel張量重建算法運算速度更快，重構精度更高［10］。Fernanda Carozzi和Mauricio D.Sacchi認為大量的高維地震數(shù)據(jù)重建算法通常采用L2范數(shù)來測量觀測數(shù)據(jù)和重建數(shù)據(jù)之間的差異。嚴格來說，這些算法假設噪聲在理想情況下遵循高斯分布。當不穩(wěn)定噪聲污染地震道時，5維地震數(shù)據(jù)重建必須采用穩(wěn)健準則來測量觀測數(shù)據(jù)和重建數(shù)據(jù)之間的差異，文獻提出利用L1/L2作為誤差范數(shù)。文獻提出了魯棒并行矩陣分解（Parallel Matrix Factorization，PMF）方法，通過引入魯棒誤差范數(shù)來處理此類不穩(wěn)定噪聲。這種修改考慮了重建誤差幅度的差異，從而導致減少了對觀測數(shù)據(jù)的要求，并且重建數(shù)據(jù)誤差小。PMF算法由兩個階段組成。第一步，通過簡單的插補算法計算數(shù)據(jù)的新估計。第二步，展開估計數(shù)據(jù)形成的張量，然后對展開張量得到的矩陣進行降秩。在迭代算法中，通過降秩階段獲得的新數(shù)據(jù)和觀察值進行加權，以生成重構數(shù)據(jù)的當前估計。非魯棒PMF算法不考慮重建數(shù)據(jù)幅度誤差大小的差異。因此，傾向于處理含有不穩(wěn)定噪聲疊前數(shù)據(jù)。PMF算法的降秩階段可以通過多種方法實現(xiàn)。文獻采用隨機QR分解對矩陣做降秩處理。隨機QR分解放松了對展開最佳秩的精確確定，因此增加了算法的實用性。合成和現(xiàn)場數(shù)據(jù)示例檢驗了所提出的魯棒重建技術，該算法不會引入偽影［11］。劉群等考慮到多道奇異譜分析利用隨機奇異值分解直接降秩，得不到最優(yōu)解，與核范數(shù)相比，Lp范數(shù)跟秩函數(shù)更接近，于是提出非凸Lp范數(shù)Hankel矩陣重建方法，適用于三維地震數(shù)據(jù)。此方法利用地震數(shù)據(jù)頻率切片構建塊Hankel矩陣，接著將構建的塊Hankel矩陣降秩近似，引入最小Lp范數(shù)，采用加權奇異值閾值算法計算全局最優(yōu)解，由設置權重約束奇異值來迭代求解，保證了低秩性。實驗結果顯示，此方法比多道奇異譜分析方法和正交矩陣匹配追蹤Hankel重建方法更優(yōu)，信噪比更高［12］。馬文秀發(fā)展了基于平行矩陣分解算法的多維地震數(shù)據(jù)重建方法，依靠傅里葉變換將五維地震數(shù)據(jù)從時間域變換到頻率域，利用穩(wěn)健的平行矩陣分解算法對五維數(shù)據(jù)進行插值重建，用交替最小二乘算法求目標函數(shù)使其最小化，實現(xiàn)了同時重建和去噪。實驗結果顯示，該方法對地震數(shù)據(jù)不規(guī)則或稀疏分布起到了有效的解決效果［13］。鄧弢為解決高維張量恢復，提出了基于交替迭代最小化的張量感知算法，把矩陣感知延伸到三維張量，借助張量的雙線性分解和交替迭代最小化算法，把原始問題變成了交替迭代求解兩個低秩張量的問題；另外，對四維地震數(shù)據(jù)，借助截斷張量核范數(shù)和交替方向乘子法，在Curvelet域進行補全，提出了一種同步稀疏低秩張量補全算法［14］。

Feng Qian等提出了一種結構化張量補全框架地震數(shù)據(jù)的重建方法，該方法的優(yōu)勢在于同時平衡Hankel結構和低tubal秩約束。利用管狀采樣的優(yōu)勢，在結構化張量補全框架內(nèi)提出了3種張量分解方法，分別是結構張量因子分解、無奇異值分解張量因子分解和加權張量核范數(shù)，分別用于恢復輕、中、重噪聲環(huán)境下的數(shù)據(jù)。文獻開發(fā)了交替最小法算法和交替方向乘子算法來解決矩陣分解和結構化矩陣加權核范數(shù)問題。與眾所周知的降秩方法相比，文獻中的結構化張量補全利用附加了Hankel結構約束，并針對不同的噪聲環(huán)境構建優(yōu)化的張量模型，從而獲得更好的同時重建和去噪結果。合成數(shù)據(jù)和三組現(xiàn)場數(shù)據(jù)能用來證明在缺失數(shù)據(jù)補全和信噪比方面的性能改進［15］。Liu Qun等提出了一種有效的二維地震數(shù)據(jù)重建方法，該方法基于塊張量的框架，首先將地震數(shù)據(jù)矩陣重排為三階塊張量，將紋理塊折疊為張量。通過張量補全算法降秩重建地震數(shù)據(jù)，將地震數(shù)據(jù)重建問題轉(zhuǎn)化為低秩張量補全問題，并使用低秩張量補全和并行矩陣分解兩種經(jīng)典方法實現(xiàn)了張量補全。合成和實際地震數(shù)據(jù)測試驗證了其有效性，該方法的優(yōu)點在于避免了破壞空間結構，并充分保留了地層下的有用信息［16］。Zhang Wanjuan等分析了核范數(shù)最小化實現(xiàn)重建地震數(shù)據(jù)的弊端，提出了基于紋理塊矩陣的截斷核范數(shù)正則化地震重建新方法，并進一步提供了截斷核范數(shù)正則化方法中估算秩的策略，該策略可以有效地降低計算成本。在合成數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)上進行的數(shù)值實驗表明，該算法的重建質(zhì)量優(yōu)于基于奇異值閾值算法和低秩因子分解模型（低秩矩陣擬合）的重建質(zhì)量［17］。

豆蔻等提出了基于張量鏈分解的核心張量模型，該模型的原理：張量鏈分解能夠?qū)⒏唠A張量分解成一組三階核心張量，并且能有效降維。該方法采用張量核范數(shù)最小化方法求優(yōu)化解，對缺失張量的低秩補全問題進行了探討，該方法與傳統(tǒng)方法比較，在運行速度、收斂性、補全結果方面有優(yōu)勢［18］。

李言言等提出了基于對數(shù)函數(shù)的非凸張量模型，首先對三維地震數(shù)據(jù)的頻率切片進行Hankel變換，通過降秩地震數(shù)據(jù)插值重建，由于最小化秩是一個NP-難的問題，用對數(shù)函數(shù)代替秩函數(shù)，借助交替方向乘子法求目標函數(shù)的優(yōu)化解用于實驗，結果表明，與傳統(tǒng)的基于塊Hankel變換的多道奇異譜分析方法和基于凸松弛的低秩張量補全方法對比，該方法重建精度更高［19］。

2.2 基于稀疏約束的地震道重建方法

李海山在二維地震數(shù)據(jù)插值重建時，利用形態(tài)分量分析（Morphological Component Analysis，MCA）方法，同時選用二維非抽樣離散小波變換字典和Curvelet字典，以此來對地震數(shù)據(jù)的局部奇異部分和線狀變化部分進行稀疏表示，采用塊坐標松弛算法計算目標函數(shù)，發(fā)展了基于形態(tài)分量分析的二維地震數(shù)據(jù)插值重建方法；面對三維地震數(shù)據(jù)，選擇二維雙樹復小波字典對切片數(shù)據(jù)進行稀疏表示，選擇引入信息缺失算子的L1范數(shù)最優(yōu)化問題，采用迭代軟閾值算法求解目標函數(shù)，發(fā)展了基于二維雙樹復小波變換的三維插值重建方法［20］。王本峰選用Dreamlet變換將欠規(guī)則數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到稀疏域，選擇L0范數(shù)作為正則項，通過凸集投影算法得到優(yōu)化解，進而實現(xiàn)地震數(shù)據(jù)插值，迭代過程閾值采用指數(shù)函數(shù)。該研究表明Dreamlet變換相對Curvelet變換在去混疊方面表現(xiàn)好［21］。王本峰基于Curvelet變換，根據(jù)迭代硬閾值（Iterative Hard Thresholding，IHT）推導出凸集投影算法公式，然后結合加權凸集投影法（Weighted Projection Onto Convex Sets，WPOCS），發(fā)展了對地震數(shù)據(jù)同時插值和去噪的改進的凸集加權投影法（Improved Weighted Projection Onto Convex Sets，IWPOCS）［22］。孔德輝對比了小波變換和Curvelet變換，發(fā)現(xiàn)小波變換無方向敏感性，而Curvelet變換包含幾何多分辨率特性能有效獲取方向信息，所以選擇Curvelet變換進行稀疏表示，通過迭代收縮閾值（Iterative Shrinkage Threshold，IST）算法求解目標函數(shù)，進行了缺失道插值處理實驗，實驗結果表明使用該方法處理的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)吻合度較高［23］。張良等基于信號的稀疏性，在欠采樣的情形下，依照地震數(shù)據(jù)的缺失情況構建采樣矩陣，利用剪切波變換進行稀疏化，在Shearlet域借助正交匹配追蹤算法求解稀疏系數(shù)，最后通過剪切波反變換實現(xiàn)地震數(shù)據(jù)重建。該方法與基于壓縮感知技術的傅里葉變換、離散余弦變換、小波變換、Curvelet變換作比較，重建精度更高，該方法對計算機要求較高，有望減少運算時間［24］。王本峰把含噪聲的欠規(guī)則采樣數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成Curvelet復數(shù)形式的系數(shù)，采用凸集投影算法求解優(yōu)化解，在時域，主頻率域，主頻率-波數(shù)域，都取得了較好的地震數(shù)據(jù)重建效果，研究表明該方法精確和有效，該方法在2維數(shù)據(jù)上實現(xiàn)，有望拓展到高維數(shù)據(jù)處理［25］。

張巖利用地震數(shù)據(jù)Curvelet系數(shù)的相關性，構建了地震數(shù)據(jù)和噪聲信號的Curvelet變換父子系數(shù)聯(lián)合分布模型，在Curvelet域通過貝葉斯最大后驗概率估計建立雙變量閾值函數(shù)；根據(jù)Curvelet變換最高尺度和鄰域窗口分布特點確定參數(shù)，通過Landweber迭代算法求解稀疏約束正則化模型，提出基于Curvelet域的貝葉斯估計閾值函數(shù)的地震數(shù)據(jù)重建方法；由于用波原子變換系數(shù)能更加有效地稀疏表示地震數(shù)據(jù)，該文獻還創(chuàng)立了基于壓縮感知框架的波原子域稀疏約束正則化模型；波原子缺乏平移不變性會引起重建地震數(shù)據(jù)的失真，該方法利用循環(huán)平移技術，克服了這一問題，并抑制了地震數(shù)據(jù)重建的噪聲；利用指數(shù)閾值收縮模型去除缺失道引起的噪聲；該方法不僅能夠較好地重建了缺失地震道，還能夠較好地重建同向軸中的紋理［26］。劉爭光通過小波變換稀疏地震數(shù)據(jù)，其測量矩陣由隨機高斯矩陣構成，在此基礎上，分別采用匹配追蹤算法、不動點連續(xù)算法、快速不動點連續(xù)算法等多種方法進行重建，實驗結果對比顯示，快速不動點連續(xù)算法不但重建精度最高，而且耗時最短［27］。楊志權研究了欠規(guī)則采樣的淺層地震數(shù)據(jù)重建，依靠Wrap算法對數(shù)據(jù)進行Curvelet變換，通過Curvelet變換建立稀疏變換域，借助雙曲正弦函數(shù)作為0-范數(shù)的逼近函數(shù)來構建目標函數(shù)，通過迭代得出最優(yōu)解，提出了0-范數(shù)逼近的稀疏變換重建算法。實驗結果顯示該方法能很好地重建隨機缺失地震數(shù)據(jù)［28］。

曹靜杰和楊志權等以Curvelet變換為稀疏變換，利用雙曲正切函數(shù)構造了0-范數(shù)的逼近函數(shù)，建立了稀疏反演模型，提出了一種針對二維隨機缺失地震數(shù)據(jù)快速求解的重建方法。測試驗證了文獻中提出的方法對于低信噪比的欠規(guī)則采樣淺層地震數(shù)據(jù)重建是可行的，與基于頻率切片的低秩矩陣擬合方法和迭代軟閾值方法兩種比較，文獻給出的方法重建效果更好［29］。王錦妍等發(fā)展了基于頻率切片對數(shù)函數(shù)稀疏約束的地震數(shù)據(jù)重建方法，該方法的處理對象是二維隨機缺失數(shù)據(jù)，采用傅里葉變換得到頻率切片，利用對數(shù)函數(shù)作為稀疏約束項，把重構問題變?yōu)榉峭拱攵ㄒ?guī)劃問題，再將此問題用極大極小算法轉(zhuǎn)換成凸半定規(guī)劃問題，然后借助交替方向乘子算法迭代求優(yōu)化解，該方法與基于頻率切片的低秩矩陣擬合方法和迭代軟閾值方法相比，具有更高的重建精度［30］。楊冠雨等利用Shearlet變換，在L1正則化模型中引入廣義全變分（Total Generalized Variation，TGV）約束，建立了基于L1和TGV的雙正則化模型，并使用交替方向乘子法計算該模型，發(fā)展了基于Shearlet變換的雙正則化模型的重建方法。實驗表明，該方法對隨機采樣缺失地震道重建效果較好，對于連續(xù)缺失數(shù)據(jù)有一定的重建效果［31］。

段中鈺等提出了一種基于字典學習的稀疏表示地震缺失重建方法，該方法基于平方正則交替乘子方向算法，平方正則交替乘子方向算法的優(yōu)勢在于加入了平方正則項，而且能夠自適應地選取參數(shù)平衡因子，該方法能適用于三維地震數(shù)據(jù)重建［32］。閆海洋等提出了一種分段隨機采樣不規(guī)則地震數(shù)據(jù)的重構方法，該方法的優(yōu)勢在于：相對于呈白噪譜的全局采樣因子，分段隨機采樣因子的頻譜有效頻帶混疊小，且該方法優(yōu)于全局隨機采樣的重建效果［33］。張恒琪等對比了時間切片和頻率切片地震數(shù)據(jù)重建方法，時間切片地震數(shù)據(jù)重建方法是對時域數(shù)據(jù)利用Curvelet變換和凸集投影算法進行插值重建；基于此，提出直接對頻率切片進行數(shù)據(jù)重建的思想。實驗結果顯示，對缺失數(shù)據(jù)進行時間切片和頻率切片處理的方式均能很好地重建，其中頻率切片處理效果更優(yōu)［34］。張恒琪［35］采用Curvelet變換和凸集投影算法構造稀疏約束重建方法，重構隨機欠采樣三維地震數(shù)據(jù)體，當三維數(shù)據(jù)沿炮點方向隨機欠采樣后，二維共炮點道集與共偏移距道集地震數(shù)據(jù)重建比較，共偏移距道集域重建效果更好。將稀疏變換由Curvelet變換變成傅里葉變換，對三維欠采樣地震數(shù)據(jù)進行重建，共偏移距—中心點域重建效果比共炮點—檢波點域好。

經(jīng)典K-SVD算法稀疏編碼時得不到全局最優(yōu)解，李婷婷和段中鈺提出了基于快速字典學習的地震數(shù)據(jù)重構方法，使用快速字典學習算法稀疏表示數(shù)據(jù)，在稀疏編碼時結合稀疏約束上限和字典相干性，獲取自適應稀疏約束上限，用塊坐標下降法求目標函數(shù)最優(yōu)解，與K-SVD算法和Curvelet變換兩種方法作比較，該算法性能好，耗時短，重建振幅與原始數(shù)據(jù)最相近［36］。

3 基于深度學習的地震數(shù)據(jù)重建

Silva Reinaldo等借助條件生成對抗網(wǎng)絡，依靠最優(yōu)映射函數(shù)的最小—最大優(yōu)化方案，實行基于條件生成對抗網(wǎng)絡的插值地震數(shù)據(jù)［37］。陳全提出了基于三維深度卷積生成對抗網(wǎng)絡的3D張量補全網(wǎng)絡，其中，張量補全是由三維卷積核完成，參數(shù)優(yōu)化采用自適應性矩估計算法和批量標準化（Batch Normalize，BN）算法完成，探索出了一種輸入缺失數(shù)據(jù)即可重建的方法，適用于低秩性較差的地震數(shù)據(jù)重構［7］。王峰利用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡，通過監(jiān)督學習策略，發(fā)展出了隨機噪聲壓制方法以及規(guī)則和不規(guī)則采樣的重建方法，適用于二維地震數(shù)據(jù)和三維地震數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了同時去噪和重建［38］。WANG Qin等在深度內(nèi)部學習方法的基礎上，利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡，使用隨機梯度下降求解器，提出了深度內(nèi)部學習的地震插值方法［39］。

Daeung Yoon等用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡算法，選擇均方誤差當目標函數(shù)，用自適應性矩估計優(yōu)化器來最小化目標函數(shù)，用帶有跳過連接的深度雙向長短期記憶進行插值［40］。Daeung Yoon等提出了一種用于地震數(shù)據(jù)插值的雙域條件生成對抗網(wǎng)絡。雙域條件生成對抗網(wǎng)絡由生成器網(wǎng)絡和鑒別器網(wǎng)絡組成，使用時域地震數(shù)據(jù)和頻域地震數(shù)據(jù)作為輸入向量。雙域條件生成對抗網(wǎng)絡的損失函數(shù)由生成性對抗損失、數(shù)據(jù)損失函數(shù)和總變化損失來決定。因此，可以更準確地訓練雙域條件生成對抗網(wǎng)絡。鑒別器用于計算插值地震數(shù)據(jù)集和完整地震數(shù)據(jù)集之間的特征差異，以驅(qū)動生成器網(wǎng)絡學習最佳參數(shù)。合成數(shù)據(jù)集和實際地震數(shù)據(jù)集驗證了插值的效果［41］。陳銳和王琴根據(jù)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡，網(wǎng)絡框架使用UNet網(wǎng)絡和殘差網(wǎng)絡，通過對地震數(shù)據(jù)的空間方向多尺度采樣、翻轉(zhuǎn)、加噪等數(shù)據(jù)增廣策略，用增廣的數(shù)據(jù)集訓練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡，提出了一種基于數(shù)據(jù)增廣的CNN地震數(shù)據(jù)重建方法［42］。WANG Qin用深度外部學習和內(nèi)部學習相結合的算法，把外部數(shù)據(jù)集的預訓練與無監(jiān)督的內(nèi)部微調(diào)相結合，通過多尺度殘差網(wǎng)絡，重建地震數(shù)據(jù)［43］。FANG Wen-qian根據(jù)UNet網(wǎng)絡和地震信號的紋理約束，利用K-means算法，提出一種基于UNet地震信號插值方法［44］。LIU Qun使用UNet網(wǎng)絡和自適應性矩估計優(yōu)化，提出了基于深度地震先驗的地震數(shù)據(jù)重建方法［45］。FANG Wen-qian等結合深度神經(jīng)網(wǎng)絡和預測誤差濾波器方法，使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡和自適應矩估計方法，提出了基于預測誤差濾波器網(wǎng)絡的地震數(shù)據(jù)插值方法［46］。

張巖等采用了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡模型，結合了時域和小波域，利用小波變換，根據(jù)二維快速小波變換計算小波系數(shù)，提出了一種基于小波分析的地震數(shù)據(jù)重建方法［47］。孟宏宇等利用殘差網(wǎng)絡，使用自適應性矩估計優(yōu)化算法，提出了無監(jiān)督深度學習地震數(shù)據(jù)重建方法，該方法只需要地震道缺失的數(shù)據(jù)和優(yōu)化的殘差網(wǎng)絡，便可重構出完整的地震數(shù)據(jù)［48］。王本鋒等結合深度殘差網(wǎng)絡（Deep residual network，ResNet）和UNet的優(yōu)勢設計了Res-UNet網(wǎng)絡，用于共檢波點道集缺失炮的智能重建。利用格林函數(shù)空間互易性自適應構建訓練集，卷積核大小由地震數(shù)據(jù)的周期和波長屬性共同決定［49］。

4 總結與展望

地震勘探野外工作是整個地震勘探生產(chǎn)的首要環(huán)節(jié)。現(xiàn)場收集的原始數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量是直接影響后續(xù)處理的關鍵因素。由于采集過程中障礙物、故障源、接收器造成的無效記錄道以及采集成本和不穩(wěn)定噪聲，會導致數(shù)據(jù)不完整并且含有噪聲。為了提高最終成像的精度，原始數(shù)據(jù)的插值和去噪非常重要。在一定程度上，去噪問題與插值問題具有許多相似的特征，這兩個問題可以在相同的算法框架中同時解決。因此，有很多地震數(shù)據(jù)重建算法在插值的同時，也能去除噪聲。地震數(shù)據(jù)重建的研究包括欠采樣數(shù)據(jù)的填充和隨機噪聲的壓制，重建方法可以包含同時數(shù)據(jù)補全和噪聲壓制，有些方法也僅補全數(shù)據(jù)。

對地震數(shù)據(jù)進行高精度重建至關重要。從信號處理的角度出發(fā)，文章主要研究了基于壓縮感知和基于深度學習的地震數(shù)據(jù)重建方法。在壓縮感知理論下，又研究了基于低秩約束和稀疏約束的重建方法。壓縮感知的優(yōu)勢在于打破了奈奎斯特采樣定理的約束，即采樣頻率忽略兩倍最高頻率的限制，利用信號的稀疏性和低秩性，獲取少量的數(shù)據(jù)就能精確重建缺失數(shù)據(jù)。同時該方法不需要地下結構的先驗信息，易于實現(xiàn)。深度學習的優(yōu)勢在于打破了理論的限制，直接利用數(shù)據(jù)訓練，學習插值缺失數(shù)據(jù)；缺點是訓練所需樣本數(shù)量大［50］。有人將壓縮感知和深度學習結合起來，利用各自的優(yōu)點，發(fā)展了深度壓縮感知框架，提高了計算速度。在未來，深度壓縮感知將會繼續(xù)發(fā)展，成為一個發(fā)展趨勢。

地震數(shù)據(jù)重構處理的維度問題主要有二維、三維、四維和五維地震數(shù)據(jù)，五維數(shù)據(jù)是三維地震采集中的原始記錄形式，包括來自所有縱向、橫向、時間、偏移距、方位角五個維度的信息。高維重構能更好地利用空間的關聯(lián)性。高維地震數(shù)據(jù)重建已成為地震數(shù)據(jù)處理領域的主要研究課題。二維數(shù)據(jù)的重建方法拓展到三維甚至更高維是地震數(shù)據(jù)重建問題的一個發(fā)展方向。補全的地震數(shù)據(jù)有共偏移距道集，有共炮點道集，也有共接收點道集，研究表明相同的算法情況下，共偏移距道集重建效果比共炮點道集效果好。

基于低秩約束的矩陣或者張量補全問題，是利用低秩約束和已有的部分觀測元素恢復大量的缺失信息。秩最小化對于矩陣或者張量來說，是NP-hard問題，研究人員用它的凸松弛代替，現(xiàn)有的矩陣低秩約束有核范數(shù)、加權核范數(shù)，Schstten-p范數(shù)、L2，1范數(shù)，截斷核范數(shù)等，不斷出現(xiàn)新的接近秩最小化效果的范數(shù)。矩陣低秩補全的預變換由Hankel變換、塊Hankel變換和Hankel張量變換等，不斷發(fā)展變化。

張量低秩補全方法中用到的張量分解方法有：CP分解（標準分解和平行因子分解的縮寫形式）、Tucker分解、張量SVD分解、張量列、張量環(huán)等分解方法［51］。CP分解的實現(xiàn)方法為貝葉斯CP因子分解和平滑平行因子分解，其中貝葉斯CP因子分解的特點是包含潛在因子并自動確定秩，但需要較高的計算成本。平滑平行因子分解的特點是采用了具有CP分解的平滑約束，秩需要手動固定。Tucker分解現(xiàn)有的實現(xiàn)方法有三種：核范數(shù)之和、張量分解補全、基于Kronecker基的表示方法，其中核范數(shù)之和方法是凸函數(shù)且易于處理，但沒有同時利用所有維度之間的聯(lián)系；張量分解補全方法利用因子先驗來表征底層流形，Tucker秩需要適當固定；Kronecker基表示方法用Kronecker基表示度量張量稀疏性，計算量大。張量SVD分解有張量核范數(shù)和部分Tubal核范數(shù)之和等兩種方法，前一種方法的特點是對L1范數(shù)的最緊凸松弛，可能導致對較大奇異值的過度懲罰，后一種方法僅在小的奇異值上收斂，需要對Tubal秩進行正確的估計。張量鏈式分解實現(xiàn)方法基于張量序列的并行矩陣分解，特點是構造張量的良好平衡矩陣化方案，需要充分的ket增強；張量環(huán)分解實現(xiàn)方法是低秩因子的張量環(huán)，特點是對潛在張量環(huán)因子執(zhí)行核正則化，也需要ket增強。

張量低秩補全的正則化函數(shù)有張量核范數(shù)、核心張量核范數(shù)、截斷張量核范數(shù)、低tubal秩函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、CP秩、Tucker秩等，不斷發(fā)展變化。張量低秩補全以最近比較熱門的張量環(huán)式分解框架為例，相比于常用的CP分解和Tucker分解，張量環(huán)式分解處理高階張量更具有優(yōu)勢。這種分解結構可以挖掘和表達更多的數(shù)據(jù)模式，但與常用的張量分解低秩結構一樣，隨著數(shù)據(jù)張量的階數(shù)增加，找到一個合理低秩結構的難度也會相應地增加。因此出現(xiàn)張量環(huán)核范數(shù)正則化、Lpε（00）范數(shù)正則化、張量環(huán)因子核范數(shù)正則化等，在不同的算法框架下考慮張量稀疏結構，有增強重建效果等優(yōu)勢。尋找不同的正則項，優(yōu)化張量稀疏結構是張量環(huán)式分解框架研究的發(fā)展方向。

地震道缺失數(shù)據(jù)重建方法包含兩個關鍵因素。第一，在數(shù)據(jù)采集時，由于某些客觀因素，導致數(shù)據(jù)缺失，缺失的地震道具有隨機性；第二，信號在諸如傅立葉變換、小波變換或小波變換之類的特定變換下是稀疏的。一般來說稀疏信號重建方法有兩類主要的數(shù)值方法：凸松弛和貪婪算法。基于稀疏約束的地震道重建方法根據(jù)不同變換域中不同的數(shù)據(jù)特征，轉(zhuǎn)換到相應的數(shù)據(jù)域進行處理。一般而言，地震資料是豐富的，因此，需要找到合適的稀疏變換進行稀疏表示?；谙∈杓s束地震數(shù)據(jù)重建的稀疏變換有傅里葉變換、離散余弦變換、Curvelet變換、Shearlet變換、Dreamlet變換、輪廓波（Contourlet）變換、拉東（Radon）變換、小波變換，還有新發(fā)展的非亞采樣輪廓波變換、復小波變換等。還發(fā)展了形態(tài)分量分析方法，根據(jù)地震數(shù)據(jù)的不同部分，采用多種不同的變換組合起來進行稀疏表示。基于稀疏約束地震數(shù)據(jù)重建的正則項有L0范數(shù)、L1范數(shù)最小化，發(fā)展為Huber范數(shù)最小化，L1范數(shù)和雙曲正切組成的非凸組合約束，L1和廣義全變分組合的雙正則化，運用不同的正則項，構建不同的模型，是地震數(shù)據(jù)稀疏重建的一個研究方向。聯(lián)合低秩約束，建立聯(lián)合稀疏低秩先驗模型，也是地震數(shù)據(jù)重建的一個研究方向。

深度神經(jīng)網(wǎng)絡在恢復不完整的地震數(shù)據(jù)方面顯示出相當大的前景，它的優(yōu)點是低頻成分保留得好，均方誤差的缺點是出現(xiàn)過平滑問題（與丟失高頻密切相關）；并且一些基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡的方法忽略了特定的地震數(shù)據(jù)本身的特點，只注重縮小恢復和原始信號的差異。條件生成對抗網(wǎng)絡旨在訓練一個生成器，該生成器可以將缺失數(shù)據(jù)映射到真實數(shù)據(jù)，因此該網(wǎng)絡可以從混疊地震數(shù)據(jù)獲得空間無混疊數(shù)據(jù)，它能對缺失地震數(shù)據(jù)進行極化，以消除空間混疊；該網(wǎng)絡需要測試不同的參數(shù)，以獲得最佳插值結果；因此需要設置合適的損失函數(shù)，以改進條件生成對抗網(wǎng)絡，以獲得魯棒性更好、插值性能更優(yōu)良的神經(jīng)網(wǎng)絡。UNet網(wǎng)絡體系結構包含兩個自動編碼器和跳過連接，UNet網(wǎng)絡具有提取和本地化上下文信息，并且可以有效地插值規(guī)則和不規(guī)則缺失具有小間隙的地震道。然而，由于UNet網(wǎng)絡的下采樣過程，數(shù)據(jù)的高頻分量可以丟失，導致混疊問題，運用時需要改進；并且對于連續(xù)的大間隙缺失場景，UNet的插值精度較低振幅缺失分量需要改進。ResNet網(wǎng)絡可以用來增加等距地震數(shù)據(jù)的采樣密度，該網(wǎng)絡可以利用模塊和結構相似性來增強地震插值的性能。生成對抗網(wǎng)絡運用于能夠插值規(guī)則和不規(guī)則缺失的地震數(shù)據(jù)，是通過自學習提取訓練數(shù)據(jù)的特征向量，算法不需要傳統(tǒng)插值方法線性或數(shù)據(jù)稀疏性的假設，并且可以很容易地應用于3D地震數(shù)據(jù)集。深度神經(jīng)網(wǎng)絡需要合適的框架來訓練網(wǎng)絡，添加合適的損失函數(shù)使模型正則化，以獲得精確的插值結果。卷積自動編碼器和循環(huán)生成對抗網(wǎng)絡模型的優(yōu)點是能夠插值規(guī)則和不規(guī)則缺失的地震數(shù)據(jù)。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的優(yōu)點是對連續(xù)缺失的地震道友好。自編碼器卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的優(yōu)點是可插值欠規(guī)則缺失的地震數(shù)據(jù)。

大多數(shù)現(xiàn)有基于深度學習的地震數(shù)據(jù)重建方法參考了計算機視覺視頻補全的方法，在進一步的研究中需要考慮圖像處理和地震數(shù)據(jù)處理之間的差異，即考慮豐富的地震數(shù)據(jù)特征。另一方面，地震數(shù)據(jù)采集成本高，將神經(jīng)網(wǎng)絡推廣到新數(shù)據(jù)集，必須克服依賴大量訓練樣本的挑戰(zhàn)，未來的神經(jīng)網(wǎng)絡特點是訓練樣本少，并且網(wǎng)絡要具有很好的泛化能力。