含轉(zhuǎn)子位置信息的永磁超環(huán)面電機(jī)終端滑?？刂?/h1>
2022-04-08 05:56王曉遠(yuǎn)
空軍工程大學(xué)學(xué)報 2022年1期
劉 欣，栗 迪, 王曉遠(yuǎn)
(1. 天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電設(shè)備技術(shù)重點實驗室，天津，300387； 2.天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津，300072)
永磁電機(jī)以其功率密度大、轉(zhuǎn)矩電流比大和動態(tài)響應(yīng)快等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域[1-4]。永磁超環(huán)面電機(jī)是將永磁電機(jī)、行星蝸桿電磁驅(qū)動和控制技術(shù)有機(jī)結(jié)合的新型空間電機(jī),它具有結(jié)構(gòu)緊湊和功能集成等特點[5-7]。永磁超環(huán)面電機(jī)適應(yīng)了機(jī)電驅(qū)動集成設(shè)計的發(fā)展方向，不僅可用于航空航天、軍事和車輛等要求結(jié)構(gòu)緊湊的領(lǐng)域，還可用于機(jī)器人控制和飛行器制導(dǎo)等控制要求高的技術(shù)領(lǐng)域[8-9]。
當(dāng)前國內(nèi)外對永磁超環(huán)面電機(jī)的研究主要集中在電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化，僅靠改變結(jié)構(gòu)參數(shù)來改善輸出性能是有限的，對該電機(jī)控制策略的研究是實現(xiàn)其高性能輸出的關(guān)鍵。為了獲得較好的輸出性能，設(shè)計高性能控制算法就顯得尤為重要。文獻(xiàn)[10]中的切換函數(shù)用飽和函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)，削弱了滑?？刂破魉鸬亩墩?，但瞬態(tài)響應(yīng)并未提高。文獻(xiàn)[11]在設(shè)計滑模面時選擇了積分滑模面，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但滑模面失去了降階特性。文獻(xiàn)[12]設(shè)計了終端滑?？刂破?，有效降低了由系統(tǒng)不確定上界引起的抖振現(xiàn)象，該控制器具有良好的跟蹤性能，對參數(shù)變化不敏感且魯棒性好。終端滑模控制器在傳統(tǒng)滑模的基礎(chǔ)上引入了非線性項，改善了系統(tǒng)的收斂特性，具有動態(tài)響應(yīng)速度快、有限時間收斂等優(yōu)點[13-16]。文獻(xiàn)[17]設(shè)計了基于二階終端滑模優(yōu)化的電流滑模控制器，提高了電流穩(wěn)態(tài)精度，獲得了更好的調(diào)速性能且具有良好的魯棒性。文獻(xiàn)[18]提出了自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂品椒ǎ摲椒ㄔ诒ＷC快速收斂和跟蹤精度情況下，明顯削弱了抖振，具有較強的魯棒性。文獻(xiàn)[19]提出一種基于魯棒微分估計器的新型終端滑?？刂品椒ǎ摲椒▋?yōu)化了系統(tǒng)的響應(yīng)速度、無超調(diào)量和魯棒性等性能。
本文由超環(huán)面電機(jī)特殊的空間結(jié)構(gòu)和工作原理，分析該電機(jī)的電磁參數(shù)，推導(dǎo)含有時變參數(shù)的超環(huán)面電機(jī)數(shù)學(xué)模型。利用狀態(tài)空間法分析超環(huán)面電機(jī)在輸出性能上的周期波動特性。設(shè)計基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破?，引入因行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動項，將閉環(huán)反饋得到的轉(zhuǎn)子位置信息補償?shù)娇刂破髦?，以削弱時變參數(shù)帶來的影響。最后搭建基于終端滑模的矢量控制仿真模型，通過與PI控制對比分析，結(jié)果表明該控制策略確實可以提高超環(huán)面電機(jī)的輸出性能。
1 超環(huán)面電機(jī)結(jié)構(gòu)原理
1.1 基本結(jié)構(gòu)
永磁超環(huán)面電機(jī)的蝸桿內(nèi)定子上有一個外環(huán)面，環(huán)面外定子上有一個內(nèi)環(huán)面，所以稱為超環(huán)面。永磁超環(huán)面電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，它主要由蝸桿內(nèi)定子1、行星輪2、環(huán)面外定子3和行星架轉(zhuǎn)子4組成。
圖1 超環(huán)面電機(jī)結(jié)構(gòu)
蝸桿內(nèi)定子外環(huán)面上均勻分布螺旋狀凹槽，槽內(nèi)安放有電樞繞組以形成螺旋旋轉(zhuǎn)磁場，與行星輪上永磁齒進(jìn)行電磁嚙合；環(huán)面外定子是由若干個NS極相間的螺旋永磁梁組成。行星輪在內(nèi)定子旋轉(zhuǎn)磁場和環(huán)面外定子固定磁場的共同作用下公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，行星輪的公轉(zhuǎn)驅(qū)動行星架轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，實現(xiàn)動力的輸出。
根據(jù)永磁超環(huán)面電機(jī)的工作原理，采用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法分析其行星蝸桿傳動關(guān)系，得到行星輪自轉(zhuǎn)和外定子間的轉(zhuǎn)速比：
(1)
式中：ω2為行星輪自轉(zhuǎn)角速度；z2為行星輪永磁齒齒數(shù)，ω1為行星輪公轉(zhuǎn)角速度，即行星架的角速度；z3為環(huán)面外定子齒數(shù)。由式(1)可得，行星輪自轉(zhuǎn)機(jī)械角度θm2和公轉(zhuǎn)機(jī)械角度θm1之比：
(2)
電角度和機(jī)械角度的關(guān)系滿足θe=pnθm，pn為極對數(shù)。行星輪公轉(zhuǎn)方向極對數(shù)p=k/2，k為行星輪個數(shù)；自轉(zhuǎn)方向的極對數(shù)p2=z2/2。結(jié)合式(2)可得行星輪自轉(zhuǎn)電角度θ2和公轉(zhuǎn)電角度θ1之比：
(3)
1.2 電磁參數(shù)
永磁超環(huán)面電機(jī)運行時行星輪自轉(zhuǎn)會使永磁齒和蝸桿內(nèi)定子之間的氣隙發(fā)生周期性變化，為了分析蝸桿內(nèi)定子螺旋電流產(chǎn)生磁鏈以及電感參數(shù)，以蝸桿內(nèi)定子A相繞組的電流i為例，將該電流分解為沿蝸桿內(nèi)定子軸向截面切線方向的電流分量i1；沿蝸桿內(nèi)定子周向截面切線方向的電流分量i2，如圖2所示。
圖2 電磁嚙合處電流分解
LAA=Ls0(k1+k2)-Ls2(k1cos 2θ1+k2cos 2mθ1)
(4)
式中：k1=cosλ，k2=sinλ，λ為蝸桿內(nèi)定子繞組螺旋角；Ls0和Ls2分別為A相自感平均值和二次諧波幅值。
由行星蝸桿傳動原理，可知蝸桿內(nèi)定子繞組螺旋角滿足：
(5)
式中：α為任意電磁嚙合處行星輪永磁齒中心線和內(nèi)定子喉部截面夾角；a為行星輪與蝸桿內(nèi)定子中心距；R為行星輪半徑。A相繞組自感如圖3所示。
圖3 繞組自感
由圖3可以看出，蝸桿內(nèi)定子繞組的自感以余弦規(guī)律周期性變化，自感的振幅和周期是由行星輪的公轉(zhuǎn)所決定，而每個周期內(nèi)有m個波動，每個波動周期對應(yīng)行星輪的自轉(zhuǎn)周期，波動振幅是由行星輪的自轉(zhuǎn)所決定的。
永磁超環(huán)面電機(jī)運行時行星輪的自轉(zhuǎn)會引起氣隙磁阻的變化，為了分析行星輪永磁齒和三相繞組之間的磁鏈，采用等效勵磁繞組的方法。在公轉(zhuǎn)方向上將包角范圍內(nèi)的所有磁齒等效為電流If1的勵磁繞組產(chǎn)生的磁動勢Ff1；在自轉(zhuǎn)方向上將一個磁齒等效為電流If2的勵磁繞組產(chǎn)生的磁動勢Ff2，如圖4所示。
圖4 行星輪磁齒磁動勢
由圖4在包角范圍內(nèi)的行星輪的永磁齒的磁動勢關(guān)系，可以得到公轉(zhuǎn)方向和自轉(zhuǎn)方向的磁動勢的關(guān)系滿足：
(6)
式中：G=0.5(zν-1)，zν為包角范圍內(nèi)的行星輪磁齒的個數(shù)；γ為相鄰永磁齒的夾角。為了綜合考慮行星輪公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)對永磁齒與繞組之間磁鏈的影響，現(xiàn)定義公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)方向的等效勵磁繞組的影響系數(shù)η，且0<η<1。
(7)
取公轉(zhuǎn)方向和自轉(zhuǎn)方向的等效勵磁繞組的匝數(shù)相同，根據(jù)磁路的歐姆定律F=NI，可以得到If2=ηIf1。根據(jù)互感的定義，忽略漏磁的影響，結(jié)合電磁學(xué)原理可以得到行星輪永磁齒與蝸桿內(nèi)定子A相繞組之間的互感磁鏈ψAf：
ψAf=ψf(cosθ1+ηcosmθ1)
(8)
式中：ψf為行星輪永磁齒和蝸桿內(nèi)定子繞組的磁鏈幅值，永磁齒和A相繞組間互感磁鏈如圖5所示。
圖5 永磁齒磁鏈
由圖5中可以看出永磁齒和內(nèi)定子繞組之間的互感磁鏈以余弦規(guī)律變化，磁鏈周期和幅值是由行星輪的公轉(zhuǎn)所決定。而每個周期內(nèi)的波動是由行星輪的自轉(zhuǎn)所決定，波動的幅值是行星輪的永磁齒齒數(shù)決定，當(dāng)行星輪齒數(shù)增加，行星輪自轉(zhuǎn)對互感磁鏈的影響減小，磁鏈波形中小波動的振幅也隨之減小。由式(8)看出當(dāng)包角范圍內(nèi)行星輪的齒數(shù)增加時，系數(shù)η則會減小，而磁鏈波形中波動的振幅也會減小。
2 超環(huán)面電機(jī)動態(tài)特性分析
考慮到電壓方程中由蝸桿內(nèi)定子和行星架轉(zhuǎn)子引起的時變系數(shù)，將坐標(biāo)系變換到與行星架轉(zhuǎn)子相對靜止的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。由于行星輪的坐標(biāo)系固定在行星輪上，在坐標(biāo)變換時無法消除行星輪自轉(zhuǎn)時引起的時變參數(shù)。因此永磁超環(huán)面電機(jī)的電壓方程仍是含有時變系數(shù)的微分方程，且時變系數(shù)m1θ1由行星輪的自轉(zhuǎn)所決定的。
通過坐標(biāo)變換，且不計渦流磁滯損耗以及鐵心磁飽和，可以推導(dǎo)出在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，永磁超環(huán)面電機(jī)的多變量時變非線性數(shù)學(xué)模型：
(9)
式中：m1=m-1；Te為輸出電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為阻尼系數(shù)；J為行星輪和行星架轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；ωm1為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速；uq和ud分別為蝸桿內(nèi)定子交軸和直軸電壓；iq和id分別為蝸桿內(nèi)定子交軸和直軸電流；Rq(θ1)、Rd(θ1)分別為交軸和直軸等效電阻項；ψfq(θ1)、ψfd(θ1)分別為永磁齒和繞組之間的互感磁鏈的交軸和直軸分量。等效電阻項和互感磁鏈分量如下：
(10)
式中：L3=1.5Ls2k2；Ld、Lq分別為蝸桿內(nèi)定子在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下直軸和交軸的電感分量。
(11)
式中：L1=(k1+k2)(Ls0+Ms0)；L2=1.5Ls2k1；Ms0為互感的平均值的絕對值。為了分析啟動和穩(wěn)態(tài)階段輸出性能的變化，使用狀態(tài)空間分析法，分析電機(jī)的動態(tài)特性，得超環(huán)面電機(jī)的狀態(tài)方程：
(12)
根據(jù)式(12)，對狀態(tài)方程進(jìn)行動態(tài)求解，以三相交流供電時的負(fù)載啟動過程為例。電機(jī)參數(shù)設(shè)置為：ψf=0.175 Wb，R=3 Ω，z3=38，k=8，Ls0=0.01 H，Ls0=0.001 H，TL=5 N·m，J=0.001 kg/m2。動態(tài)求解結(jié)果如圖6所示。
由圖6可以看出永磁超環(huán)面電機(jī)在負(fù)載啟動時，輸出轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩都有較大超調(diào)量，在過渡階段，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩均存在較大的波動，達(dá)到穩(wěn)態(tài)的調(diào)整時間為0.2 s。穩(wěn)態(tài)階段時，輸出轉(zhuǎn)速存在5%的周期波動，電磁轉(zhuǎn)矩存在80%的周期波動。永磁超環(huán)面電機(jī)在穩(wěn)態(tài)階段時輸出性能上存在的周期波動，是由行星輪的自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的時變參數(shù)引起的。通過將圖6中轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩在穩(wěn)態(tài)階段的波動周期與圖3中繞組電感參數(shù)波動的周期對比發(fā)現(xiàn)，兩個波動周期是一致的，因此輸出性能的周期波動確實由行星輪的自轉(zhuǎn)引起的。
圖6 負(fù)載啟動時的動態(tài)分析
3 超環(huán)面電機(jī)終端滑模控制
3.1 矢量控制
目前在矢量控制中，PI控制是現(xiàn)在較為成熟的控制方法。PI控制器具有算法簡單、可靠性高的優(yōu)點，本文采用基于id=0的轉(zhuǎn)子磁場定向控制策略，其轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)均采用PI控制器[20]。
(13)
將式(13)的極點配置到期望的閉環(huán)帶寬tβ。通過拉氏變換可以得到轉(zhuǎn)速環(huán)相對于q軸電流的傳遞函數(shù)為：
(14)
由式(13)、(14)可以得到永磁超環(huán)面電機(jī)的有功阻尼系數(shù)：
(15)
采用傳統(tǒng)PI控制器，則轉(zhuǎn)速環(huán)控制器表達(dá)式：
(16)
(17)
采用有功阻尼的概念設(shè)計PI控制器參數(shù)，確保了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且參數(shù)調(diào)整與系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)關(guān)系明確。經(jīng)過參數(shù)整定后，將行星輪轉(zhuǎn)子的位置信息補償?shù)絇I控制器中，可以削弱由于行星輪自轉(zhuǎn)引起的時變參數(shù)帶來的內(nèi)部干擾。
3.2 時變終端滑?？刂?/h3>
由于行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動，使電機(jī)輸出性能存在較大的周期波動，為了提高超環(huán)面電機(jī)的輸出性能，現(xiàn)設(shè)計基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破鱽硐魅鯀?shù)攝動的影響。由式(9)可得超環(huán)面電機(jī)的數(shù)學(xué)模型：
(18)
取永磁超環(huán)面電機(jī)的狀態(tài)變量：
(19)
(20)
為了保證系統(tǒng)狀態(tài)可以根據(jù)滑模運動最終滑動到原點。建立永磁超環(huán)面電機(jī)的滑模面函數(shù)時，選取終端滑模面函數(shù)：
(21)
式中：x∈R，β>0，且q1(22)
當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到滑模面后，狀態(tài)變量做滑模運動逐漸趨近到原點。由式(22)可得通過調(diào)整滑模面參數(shù)β大小可以控制x1趨于原點的速度，β越大趨近速度越快。對滑模面函數(shù)求導(dǎo)得到：
(23)
為了保證永磁超環(huán)面電機(jī)的控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)品質(zhì)，采用指數(shù)趨近律：
(24)
式中：ε>0;q>0。
當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時，s較大，指數(shù)趨近率中qs起決定作用，可以調(diào)整q的大小來調(diào)整趨近運動的速度；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)運動到滑模面附近時s較小，在滑模面上趨近原點時由等速項εsgn(s)起主要作用，選擇合適的ε可以減小系統(tǒng)抖振。結(jié)合式(23)和式(24)，可以得到交軸的參考電流：
(25)
利用Lyapunov穩(wěn)定定律驗證時變終端滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性和存在性。設(shè)計的時變終端滑模面存在，且系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)收斂到給定軌跡。
所設(shè)計的基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破?，將行星輪自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的參數(shù)攝動補償?shù)浇K端滑?？刂破髦?。通過這種參數(shù)補償可以根據(jù)時變的數(shù)學(xué)模型，實時對控制器函數(shù)做出相應(yīng)調(diào)整，以此削弱電機(jī)參數(shù)攝動帶來的影響，提高了系統(tǒng)的抗內(nèi)部干擾的能力。
3.3 控制系統(tǒng)仿真分析
為了驗證經(jīng)過參數(shù)整定的PI控制器和基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑模控制器的有效性，以及終端滑?？刂破鲗ο魅踺敵霾▌拥哪芰?，對所設(shè)計的控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真建模如圖7所示。
圖7 時變終端滑?？刂葡到y(tǒng)
對PI控制器和SMC控制器建模仿真時，超環(huán)面電機(jī)參數(shù)設(shè)置如表1所示。
由圖7可以看出，永磁超環(huán)面電機(jī)的矢量控制系統(tǒng)中，將系統(tǒng)反饋得到的轉(zhuǎn)子位置信息補償?shù)浇K端滑?？刂破骱蚉I電流環(huán)中，以此來削弱行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動對控制系統(tǒng)的影響。電流環(huán)輸出的電壓信號，經(jīng)由SVPWM模塊輸出相應(yīng)的PWM信號，實現(xiàn)對逆變器的驅(qū)動，逆變器輸出的三相電流實現(xiàn)對永磁超環(huán)面電機(jī)的驅(qū)動控制[22-24]。
表1 永磁超環(huán)面電機(jī)仿真模型參數(shù)設(shè)置
圖8 空載啟動時PI和SMC控制的輸出性能
圖9 SMC控制的電流響應(yīng)
在圖8基于PI控制中，超環(huán)面電機(jī)空載啟動輸出轉(zhuǎn)速的超調(diào)量達(dá)到14%，電磁轉(zhuǎn)矩在啟動時存在較大沖擊；在過渡階段，電磁轉(zhuǎn)矩的波動較大，調(diào)整時間為0.7 s。在施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)4%的瞬態(tài)波動，恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間為0.03 s。在穩(wěn)態(tài)階段，轉(zhuǎn)速存在2%的周期波動；電磁轉(zhuǎn)矩的周期波動的幅值為60%。由于行星輪自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的時變參數(shù)，導(dǎo)致永磁超環(huán)面電機(jī)在輸出性能上存在的周期性波動。
在圖8基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑模控制中，永磁超環(huán)面電機(jī)空載啟動時，啟動轉(zhuǎn)矩沖擊明顯減小，輸出轉(zhuǎn)速達(dá)到了無超調(diào)的快速響應(yīng)，調(diào)整時間較PI控制縮短了20%。在突然施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時與PI控制相比，輸出轉(zhuǎn)速瞬態(tài)波動減小了3%，重新恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間減少了50%；在穩(wěn)態(tài)階段輸出轉(zhuǎn)速的波動較PI控制降低了3%，電磁轉(zhuǎn)矩存在6%的波動，較PI控制時削弱了54%，表明該控制對時變參數(shù)的攝動具有較強的魯棒性，輸出性能的周期波動也明顯下降。
由圖9看出永磁超環(huán)面電機(jī)的空載啟動時，啟動電流最大為7 A。而在突然施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，電機(jī)的三相電流會有較小的超調(diào)量，但調(diào)節(jié)時間較短，在穩(wěn)態(tài)階段，電流呈毛刺狀周期變化。
負(fù)載啟動時仿真條件設(shè)置：啟動時施加負(fù)載TL=5 N·m，在0.1 s時將負(fù)載改為TL=2 N·m，其他設(shè)置不變。負(fù)載啟動時控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖10所示。
圖10 負(fù)載啟動時電機(jī)的輸出性能
由圖10的仿真結(jié)果可知， 基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破髋cPI控制器相比，在負(fù)載啟動時，輸出轉(zhuǎn)速實現(xiàn)了無超調(diào)的快速響應(yīng)，電磁轉(zhuǎn)矩沖擊明顯減小，且可以平穩(wěn)過渡到穩(wěn)態(tài)階段。突然改變負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，終端滑?？刂频妮敵鲛D(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)平穩(wěn)的無超調(diào)過渡，表明該控制策略對外部干擾具有強魯棒性。在穩(wěn)態(tài)階段，滑?？刂频霓D(zhuǎn)速波動較PI控制有明顯降低；轉(zhuǎn)矩波動較PI控制低削弱了58%。
通過仿真結(jié)果分析，將反饋得到的轉(zhuǎn)子位置信息補償?shù)娇刂葡到y(tǒng)的內(nèi)外環(huán)控制器中，確實可以有效地削弱永磁超環(huán)面電機(jī)參數(shù)攝動的影響，同時基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破骺梢杂行У南魅蹼姍C(jī)在輸出性能上存在的周期波動。
4 結(jié)語
本文在傳統(tǒng)終端滑模控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計了基于行星輪轉(zhuǎn)子位置信息的終端滑?？刂破?。通過引入行星輪轉(zhuǎn)子的位置信息，將行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動補償?shù)交？刂破髦?，使控制器狀態(tài)與電機(jī)的運動狀態(tài)相關(guān)聯(lián)，從而削弱行星輪自轉(zhuǎn)引起的內(nèi)部擾動對系統(tǒng)輸出的影響。仿真結(jié)果表明該控制策略對參數(shù)攝動的具有強魯棒性、較好的抗外部擾動能力以及良好的響應(yīng)速度，并且能有效地削弱電機(jī)輸出特性的周期波動，提高永磁超環(huán)面電機(jī)的輸出性能。研究結(jié)果可為后續(xù)永磁超環(huán)面電機(jī)控制策略的研究提供理論依據(jù)，也可為提高其輸出性能奠定堅實的理論基礎(chǔ)。
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劉 欣，栗 迪, 王曉遠(yuǎn)
(1. 天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電設(shè)備技術(shù)重點實驗室，天津，300387； 2.天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津，300072)
永磁電機(jī)以其功率密度大、轉(zhuǎn)矩電流比大和動態(tài)響應(yīng)快等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域[1-4]。永磁超環(huán)面電機(jī)是將永磁電機(jī)、行星蝸桿電磁驅(qū)動和控制技術(shù)有機(jī)結(jié)合的新型空間電機(jī),它具有結(jié)構(gòu)緊湊和功能集成等特點[5-7]。永磁超環(huán)面電機(jī)適應(yīng)了機(jī)電驅(qū)動集成設(shè)計的發(fā)展方向，不僅可用于航空航天、軍事和車輛等要求結(jié)構(gòu)緊湊的領(lǐng)域，還可用于機(jī)器人控制和飛行器制導(dǎo)等控制要求高的技術(shù)領(lǐng)域[8-9]。
當(dāng)前國內(nèi)外對永磁超環(huán)面電機(jī)的研究主要集中在電磁結(jié)構(gòu)優(yōu)化，僅靠改變結(jié)構(gòu)參數(shù)來改善輸出性能是有限的，對該電機(jī)控制策略的研究是實現(xiàn)其高性能輸出的關(guān)鍵。為了獲得較好的輸出性能，設(shè)計高性能控制算法就顯得尤為重要。文獻(xiàn)[10]中的切換函數(shù)用飽和函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)，削弱了滑?？刂破魉鸬亩墩?，但瞬態(tài)響應(yīng)并未提高。文獻(xiàn)[11]在設(shè)計滑模面時選擇了積分滑模面，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但滑模面失去了降階特性。文獻(xiàn)[12]設(shè)計了終端滑?？刂破?，有效降低了由系統(tǒng)不確定上界引起的抖振現(xiàn)象，該控制器具有良好的跟蹤性能，對參數(shù)變化不敏感且魯棒性好。終端滑模控制器在傳統(tǒng)滑模的基礎(chǔ)上引入了非線性項，改善了系統(tǒng)的收斂特性，具有動態(tài)響應(yīng)速度快、有限時間收斂等優(yōu)點[13-16]。文獻(xiàn)[17]設(shè)計了基于二階終端滑模優(yōu)化的電流滑模控制器，提高了電流穩(wěn)態(tài)精度，獲得了更好的調(diào)速性能且具有良好的魯棒性。文獻(xiàn)[18]提出了自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂品椒ǎ摲椒ㄔ诒ＷC快速收斂和跟蹤精度情況下，明顯削弱了抖振，具有較強的魯棒性。文獻(xiàn)[19]提出一種基于魯棒微分估計器的新型終端滑?？刂品椒ǎ摲椒▋?yōu)化了系統(tǒng)的響應(yīng)速度、無超調(diào)量和魯棒性等性能。
本文由超環(huán)面電機(jī)特殊的空間結(jié)構(gòu)和工作原理，分析該電機(jī)的電磁參數(shù)，推導(dǎo)含有時變參數(shù)的超環(huán)面電機(jī)數(shù)學(xué)模型。利用狀態(tài)空間法分析超環(huán)面電機(jī)在輸出性能上的周期波動特性。設(shè)計基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破?，引入因行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動項，將閉環(huán)反饋得到的轉(zhuǎn)子位置信息補償?shù)娇刂破髦?，以削弱時變參數(shù)帶來的影響。最后搭建基于終端滑模的矢量控制仿真模型，通過與PI控制對比分析，結(jié)果表明該控制策略確實可以提高超環(huán)面電機(jī)的輸出性能。
1 超環(huán)面電機(jī)結(jié)構(gòu)原理
1.1 基本結(jié)構(gòu)
永磁超環(huán)面電機(jī)的蝸桿內(nèi)定子上有一個外環(huán)面，環(huán)面外定子上有一個內(nèi)環(huán)面，所以稱為超環(huán)面。永磁超環(huán)面電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，它主要由蝸桿內(nèi)定子1、行星輪2、環(huán)面外定子3和行星架轉(zhuǎn)子4組成。
圖1 超環(huán)面電機(jī)結(jié)構(gòu)
蝸桿內(nèi)定子外環(huán)面上均勻分布螺旋狀凹槽，槽內(nèi)安放有電樞繞組以形成螺旋旋轉(zhuǎn)磁場，與行星輪上永磁齒進(jìn)行電磁嚙合；環(huán)面外定子是由若干個NS極相間的螺旋永磁梁組成。行星輪在內(nèi)定子旋轉(zhuǎn)磁場和環(huán)面外定子固定磁場的共同作用下公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，行星輪的公轉(zhuǎn)驅(qū)動行星架轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，實現(xiàn)動力的輸出。
根據(jù)永磁超環(huán)面電機(jī)的工作原理，采用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法分析其行星蝸桿傳動關(guān)系，得到行星輪自轉(zhuǎn)和外定子間的轉(zhuǎn)速比：
(1)
式中：ω2為行星輪自轉(zhuǎn)角速度；z2為行星輪永磁齒齒數(shù)，ω1為行星輪公轉(zhuǎn)角速度，即行星架的角速度；z3為環(huán)面外定子齒數(shù)。由式(1)可得，行星輪自轉(zhuǎn)機(jī)械角度θm2和公轉(zhuǎn)機(jī)械角度θm1之比：
(2)
電角度和機(jī)械角度的關(guān)系滿足θe=pnθm，pn為極對數(shù)。行星輪公轉(zhuǎn)方向極對數(shù)p=k/2，k為行星輪個數(shù)；自轉(zhuǎn)方向的極對數(shù)p2=z2/2。結(jié)合式(2)可得行星輪自轉(zhuǎn)電角度θ2和公轉(zhuǎn)電角度θ1之比：
(3)
1.2 電磁參數(shù)
永磁超環(huán)面電機(jī)運行時行星輪自轉(zhuǎn)會使永磁齒和蝸桿內(nèi)定子之間的氣隙發(fā)生周期性變化，為了分析蝸桿內(nèi)定子螺旋電流產(chǎn)生磁鏈以及電感參數(shù)，以蝸桿內(nèi)定子A相繞組的電流i為例，將該電流分解為沿蝸桿內(nèi)定子軸向截面切線方向的電流分量i1；沿蝸桿內(nèi)定子周向截面切線方向的電流分量i2，如圖2所示。
圖2 電磁嚙合處電流分解
LAA=Ls0(k1+k2)-Ls2(k1cos 2θ1+k2cos 2mθ1)
(4)
式中：k1=cosλ，k2=sinλ，λ為蝸桿內(nèi)定子繞組螺旋角；Ls0和Ls2分別為A相自感平均值和二次諧波幅值。
由行星蝸桿傳動原理，可知蝸桿內(nèi)定子繞組螺旋角滿足：
(5)
式中：α為任意電磁嚙合處行星輪永磁齒中心線和內(nèi)定子喉部截面夾角；a為行星輪與蝸桿內(nèi)定子中心距；R為行星輪半徑。A相繞組自感如圖3所示。
圖3 繞組自感
由圖3可以看出，蝸桿內(nèi)定子繞組的自感以余弦規(guī)律周期性變化，自感的振幅和周期是由行星輪的公轉(zhuǎn)所決定，而每個周期內(nèi)有m個波動，每個波動周期對應(yīng)行星輪的自轉(zhuǎn)周期，波動振幅是由行星輪的自轉(zhuǎn)所決定的。
永磁超環(huán)面電機(jī)運行時行星輪的自轉(zhuǎn)會引起氣隙磁阻的變化，為了分析行星輪永磁齒和三相繞組之間的磁鏈，采用等效勵磁繞組的方法。在公轉(zhuǎn)方向上將包角范圍內(nèi)的所有磁齒等效為電流If1的勵磁繞組產(chǎn)生的磁動勢Ff1；在自轉(zhuǎn)方向上將一個磁齒等效為電流If2的勵磁繞組產(chǎn)生的磁動勢Ff2，如圖4所示。
圖4 行星輪磁齒磁動勢
由圖4在包角范圍內(nèi)的行星輪的永磁齒的磁動勢關(guān)系，可以得到公轉(zhuǎn)方向和自轉(zhuǎn)方向的磁動勢的關(guān)系滿足：
(6)
式中：G=0.5(zν-1)，zν為包角范圍內(nèi)的行星輪磁齒的個數(shù)；γ為相鄰永磁齒的夾角。為了綜合考慮行星輪公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)對永磁齒與繞組之間磁鏈的影響，現(xiàn)定義公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)方向的等效勵磁繞組的影響系數(shù)η，且0<η<1。
(7)
取公轉(zhuǎn)方向和自轉(zhuǎn)方向的等效勵磁繞組的匝數(shù)相同，根據(jù)磁路的歐姆定律F=NI，可以得到If2=ηIf1。根據(jù)互感的定義，忽略漏磁的影響，結(jié)合電磁學(xué)原理可以得到行星輪永磁齒與蝸桿內(nèi)定子A相繞組之間的互感磁鏈ψAf：
ψAf=ψf(cosθ1+ηcosmθ1)
(8)
式中：ψf為行星輪永磁齒和蝸桿內(nèi)定子繞組的磁鏈幅值，永磁齒和A相繞組間互感磁鏈如圖5所示。
圖5 永磁齒磁鏈
由圖5中可以看出永磁齒和內(nèi)定子繞組之間的互感磁鏈以余弦規(guī)律變化，磁鏈周期和幅值是由行星輪的公轉(zhuǎn)所決定。而每個周期內(nèi)的波動是由行星輪的自轉(zhuǎn)所決定，波動的幅值是行星輪的永磁齒齒數(shù)決定，當(dāng)行星輪齒數(shù)增加，行星輪自轉(zhuǎn)對互感磁鏈的影響減小，磁鏈波形中小波動的振幅也隨之減小。由式(8)看出當(dāng)包角范圍內(nèi)行星輪的齒數(shù)增加時，系數(shù)η則會減小，而磁鏈波形中波動的振幅也會減小。
2 超環(huán)面電機(jī)動態(tài)特性分析
考慮到電壓方程中由蝸桿內(nèi)定子和行星架轉(zhuǎn)子引起的時變系數(shù)，將坐標(biāo)系變換到與行星架轉(zhuǎn)子相對靜止的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。由于行星輪的坐標(biāo)系固定在行星輪上，在坐標(biāo)變換時無法消除行星輪自轉(zhuǎn)時引起的時變參數(shù)。因此永磁超環(huán)面電機(jī)的電壓方程仍是含有時變系數(shù)的微分方程，且時變系數(shù)m1θ1由行星輪的自轉(zhuǎn)所決定的。
通過坐標(biāo)變換，且不計渦流磁滯損耗以及鐵心磁飽和，可以推導(dǎo)出在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，永磁超環(huán)面電機(jī)的多變量時變非線性數(shù)學(xué)模型：
(9)
式中：m1=m-1；Te為輸出電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為阻尼系數(shù)；J為行星輪和行星架轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量；ωm1為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速；uq和ud分別為蝸桿內(nèi)定子交軸和直軸電壓；iq和id分別為蝸桿內(nèi)定子交軸和直軸電流；Rq(θ1)、Rd(θ1)分別為交軸和直軸等效電阻項；ψfq(θ1)、ψfd(θ1)分別為永磁齒和繞組之間的互感磁鏈的交軸和直軸分量。等效電阻項和互感磁鏈分量如下：
(10)
式中：L3=1.5Ls2k2；Ld、Lq分別為蝸桿內(nèi)定子在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下直軸和交軸的電感分量。
(11)
式中：L1=(k1+k2)(Ls0+Ms0)；L2=1.5Ls2k1；Ms0為互感的平均值的絕對值。為了分析啟動和穩(wěn)態(tài)階段輸出性能的變化，使用狀態(tài)空間分析法，分析電機(jī)的動態(tài)特性，得超環(huán)面電機(jī)的狀態(tài)方程：
(12)
根據(jù)式(12)，對狀態(tài)方程進(jìn)行動態(tài)求解，以三相交流供電時的負(fù)載啟動過程為例。電機(jī)參數(shù)設(shè)置為：ψf=0.175 Wb，R=3 Ω，z3=38，k=8，Ls0=0.01 H，Ls0=0.001 H，TL=5 N·m，J=0.001 kg/m2。動態(tài)求解結(jié)果如圖6所示。
由圖6可以看出永磁超環(huán)面電機(jī)在負(fù)載啟動時，輸出轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩都有較大超調(diào)量，在過渡階段，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩均存在較大的波動，達(dá)到穩(wěn)態(tài)的調(diào)整時間為0.2 s。穩(wěn)態(tài)階段時，輸出轉(zhuǎn)速存在5%的周期波動，電磁轉(zhuǎn)矩存在80%的周期波動。永磁超環(huán)面電機(jī)在穩(wěn)態(tài)階段時輸出性能上存在的周期波動，是由行星輪的自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的時變參數(shù)引起的。通過將圖6中轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩在穩(wěn)態(tài)階段的波動周期與圖3中繞組電感參數(shù)波動的周期對比發(fā)現(xiàn)，兩個波動周期是一致的，因此輸出性能的周期波動確實由行星輪的自轉(zhuǎn)引起的。
圖6 負(fù)載啟動時的動態(tài)分析
3 超環(huán)面電機(jī)終端滑模控制
3.1 矢量控制
目前在矢量控制中，PI控制是現(xiàn)在較為成熟的控制方法。PI控制器具有算法簡單、可靠性高的優(yōu)點，本文采用基于id=0的轉(zhuǎn)子磁場定向控制策略，其轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)均采用PI控制器[20]。
(13)
將式(13)的極點配置到期望的閉環(huán)帶寬tβ。通過拉氏變換可以得到轉(zhuǎn)速環(huán)相對于q軸電流的傳遞函數(shù)為：
(14)
由式(13)、(14)可以得到永磁超環(huán)面電機(jī)的有功阻尼系數(shù)：
(15)
采用傳統(tǒng)PI控制器，則轉(zhuǎn)速環(huán)控制器表達(dá)式：
(16)
(17)
采用有功阻尼的概念設(shè)計PI控制器參數(shù)，確保了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且參數(shù)調(diào)整與系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)關(guān)系明確。經(jīng)過參數(shù)整定后，將行星輪轉(zhuǎn)子的位置信息補償?shù)絇I控制器中，可以削弱由于行星輪自轉(zhuǎn)引起的時變參數(shù)帶來的內(nèi)部干擾。
3.2 時變終端滑?？刂?/h3>
由于行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動，使電機(jī)輸出性能存在較大的周期波動，為了提高超環(huán)面電機(jī)的輸出性能，現(xiàn)設(shè)計基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破鱽硐魅鯀?shù)攝動的影響。由式(9)可得超環(huán)面電機(jī)的數(shù)學(xué)模型：
(18)
取永磁超環(huán)面電機(jī)的狀態(tài)變量：
(19)
(20)
為了保證系統(tǒng)狀態(tài)可以根據(jù)滑模運動最終滑動到原點。建立永磁超環(huán)面電機(jī)的滑模面函數(shù)時，選取終端滑模面函數(shù)：
(21)
式中：x∈R，β>0，且q1 (22) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到滑模面后，狀態(tài)變量做滑模運動逐漸趨近到原點。由式(22)可得通過調(diào)整滑模面參數(shù)β大小可以控制x1趨于原點的速度，β越大趨近速度越快。對滑模面函數(shù)求導(dǎo)得到： (23) 為了保證永磁超環(huán)面電機(jī)的控制系統(tǒng)具有較好的動態(tài)品質(zhì)，采用指數(shù)趨近律： (24) 式中：ε>0;q>0。 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時，s較大，指數(shù)趨近率中qs起決定作用，可以調(diào)整q的大小來調(diào)整趨近運動的速度；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)運動到滑模面附近時s較小，在滑模面上趨近原點時由等速項εsgn(s)起主要作用，選擇合適的ε可以減小系統(tǒng)抖振。結(jié)合式(23)和式(24)，可以得到交軸的參考電流： (25) 利用Lyapunov穩(wěn)定定律驗證時變終端滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性和存在性。設(shè)計的時變終端滑模面存在，且系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)收斂到給定軌跡。 所設(shè)計的基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破?，將行星輪自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的參數(shù)攝動補償?shù)浇K端滑?？刂破髦?。通過這種參數(shù)補償可以根據(jù)時變的數(shù)學(xué)模型，實時對控制器函數(shù)做出相應(yīng)調(diào)整，以此削弱電機(jī)參數(shù)攝動帶來的影響，提高了系統(tǒng)的抗內(nèi)部干擾的能力。 為了驗證經(jīng)過參數(shù)整定的PI控制器和基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑模控制器的有效性，以及終端滑?？刂破鲗ο魅踺敵霾▌拥哪芰?，對所設(shè)計的控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真建模如圖7所示。 圖7 時變終端滑?？刂葡到y(tǒng) 對PI控制器和SMC控制器建模仿真時，超環(huán)面電機(jī)參數(shù)設(shè)置如表1所示。 由圖7可以看出，永磁超環(huán)面電機(jī)的矢量控制系統(tǒng)中，將系統(tǒng)反饋得到的轉(zhuǎn)子位置信息補償?shù)浇K端滑?？刂破骱蚉I電流環(huán)中，以此來削弱行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動對控制系統(tǒng)的影響。電流環(huán)輸出的電壓信號，經(jīng)由SVPWM模塊輸出相應(yīng)的PWM信號，實現(xiàn)對逆變器的驅(qū)動，逆變器輸出的三相電流實現(xiàn)對永磁超環(huán)面電機(jī)的驅(qū)動控制[22-24]。 表1 永磁超環(huán)面電機(jī)仿真模型參數(shù)設(shè)置 圖8 空載啟動時PI和SMC控制的輸出性能 圖9 SMC控制的電流響應(yīng) 在圖8基于PI控制中，超環(huán)面電機(jī)空載啟動輸出轉(zhuǎn)速的超調(diào)量達(dá)到14%，電磁轉(zhuǎn)矩在啟動時存在較大沖擊；在過渡階段，電磁轉(zhuǎn)矩的波動較大，調(diào)整時間為0.7 s。在施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，轉(zhuǎn)速出現(xiàn)4%的瞬態(tài)波動，恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間為0.03 s。在穩(wěn)態(tài)階段，轉(zhuǎn)速存在2%的周期波動；電磁轉(zhuǎn)矩的周期波動的幅值為60%。由于行星輪自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的時變參數(shù)，導(dǎo)致永磁超環(huán)面電機(jī)在輸出性能上存在的周期性波動。 在圖8基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑模控制中，永磁超環(huán)面電機(jī)空載啟動時，啟動轉(zhuǎn)矩沖擊明顯減小，輸出轉(zhuǎn)速達(dá)到了無超調(diào)的快速響應(yīng)，調(diào)整時間較PI控制縮短了20%。在突然施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時與PI控制相比，輸出轉(zhuǎn)速瞬態(tài)波動減小了3%，重新恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的時間減少了50%；在穩(wěn)態(tài)階段輸出轉(zhuǎn)速的波動較PI控制降低了3%，電磁轉(zhuǎn)矩存在6%的波動，較PI控制時削弱了54%，表明該控制對時變參數(shù)的攝動具有較強的魯棒性，輸出性能的周期波動也明顯下降。 由圖9看出永磁超環(huán)面電機(jī)的空載啟動時，啟動電流最大為7 A。而在突然施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，電機(jī)的三相電流會有較小的超調(diào)量，但調(diào)節(jié)時間較短，在穩(wěn)態(tài)階段，電流呈毛刺狀周期變化。 負(fù)載啟動時仿真條件設(shè)置：啟動時施加負(fù)載TL=5 N·m，在0.1 s時將負(fù)載改為TL=2 N·m，其他設(shè)置不變。負(fù)載啟動時控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖10所示。 圖10 負(fù)載啟動時電機(jī)的輸出性能 由圖10的仿真結(jié)果可知， 基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破髋cPI控制器相比，在負(fù)載啟動時，輸出轉(zhuǎn)速實現(xiàn)了無超調(diào)的快速響應(yīng)，電磁轉(zhuǎn)矩沖擊明顯減小，且可以平穩(wěn)過渡到穩(wěn)態(tài)階段。突然改變負(fù)載轉(zhuǎn)矩時，終端滑?？刂频妮敵鲛D(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)平穩(wěn)的無超調(diào)過渡，表明該控制策略對外部干擾具有強魯棒性。在穩(wěn)態(tài)階段，滑?？刂频霓D(zhuǎn)速波動較PI控制有明顯降低；轉(zhuǎn)矩波動較PI控制低削弱了58%。 通過仿真結(jié)果分析，將反饋得到的轉(zhuǎn)子位置信息補償?shù)娇刂葡到y(tǒng)的內(nèi)外環(huán)控制器中，確實可以有效地削弱永磁超環(huán)面電機(jī)參數(shù)攝動的影響，同時基于行星輪轉(zhuǎn)子位置的終端滑?？刂破骺梢杂行У南魅蹼姍C(jī)在輸出性能上存在的周期波動。 本文在傳統(tǒng)終端滑模控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計了基于行星輪轉(zhuǎn)子位置信息的終端滑?？刂破?。通過引入行星輪轉(zhuǎn)子的位置信息，將行星輪自轉(zhuǎn)引起的參數(shù)攝動補償?shù)交？刂破髦?，使控制器狀態(tài)與電機(jī)的運動狀態(tài)相關(guān)聯(lián)，從而削弱行星輪自轉(zhuǎn)引起的內(nèi)部擾動對系統(tǒng)輸出的影響。仿真結(jié)果表明該控制策略對參數(shù)攝動的具有強魯棒性、較好的抗外部擾動能力以及良好的響應(yīng)速度，并且能有效地削弱電機(jī)輸出特性的周期波動，提高永磁超環(huán)面電機(jī)的輸出性能。研究結(jié)果可為后續(xù)永磁超環(huán)面電機(jī)控制策略的研究提供理論依據(jù)，也可為提高其輸出性能奠定堅實的理論基礎(chǔ)。3.3 控制系統(tǒng)仿真分析
4 結(jié)語
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