韓二東，李占強(qiáng)

洛陽師范學(xué)院 商學(xué)院，河南 洛陽 471934

為打破直覺模糊集中專家對于方案在各屬性下的隸屬度和非隸屬度的和不能超過1的約束，Yager等[1]推廣了直覺模糊集，提出了能夠描述隸屬度和非隸屬度之和超過1，而兩者的平方和不超1的Pythagorean模糊集，從而更為精確地描述專家對各方案關(guān)于各屬性的評價偏好，不僅比直覺模糊集表達(dá)的模糊現(xiàn)象范圍更廣、刻畫和表達(dá)模糊信息的能力更強(qiáng)，而且提高了多屬性決策應(yīng)用的靈活性[2]。

自提出Pythagorean模糊集以來，基于Pythagorean模糊集以及各類型擴(kuò)展形式的決策理論與方法受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，相關(guān)研究主要分為3大類，首先是對其運(yùn)算法則、得分函數(shù)、精確函數(shù)、信息測度等基礎(chǔ)理論的研究，Zhang等[3]定義了Pythagorean模糊集的加法、乘法、數(shù)乘和冪運(yùn)算，給出其得分函數(shù)與相互比較的基本方法，并提出了Pythagorean模糊集的相似測度；Gou等[4]研究了Pythagorean模糊集的連續(xù)性和可導(dǎo)性；劉衛(wèi)鋒等[5]考慮到隸屬度和非隸屬度之間可能存在的交叉影響，重新定義Pythagorean模糊數(shù)的運(yùn)算法則，使得相關(guān)運(yùn)算結(jié)果更為穩(wěn)健，也更加符合常理；文獻(xiàn)[6]針對基于代數(shù)積和代數(shù)和運(yùn)算法則的局限性，定義了Pythagorean模糊Hamacher運(yùn)算，并研究運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)；李德清等[7]研究了Pythagorean模糊集的距離測度；Garg[8]定義了Pythagorean模糊集的信息能量、相關(guān)指標(biāo)及相關(guān)系數(shù)，并與已有的其他類型模糊集相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較分析；劉衛(wèi)鋒等[9]受此啟發(fā)，在定義Pythagorean猶豫模糊集的信息能量、相關(guān)指標(biāo)的基礎(chǔ)上，提出Pythagorean猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)及加權(quán)相關(guān)系數(shù)，從專家對不同方案評價的整體視角得到各方案的優(yōu)劣次序，凸顯Pythagorean猶豫模糊集表達(dá)決策者猶豫不決偏好信息的顯著優(yōu)勢；此外，文獻(xiàn)[10]定義了Pythagorean模糊集的熵和包含測度。

其次是Pythagorean模糊信息集成算子及其決策應(yīng)用研究。Yager[11]提出了Pythagorean模糊加權(quán)平均算子（PFWA）和有序加權(quán)平均算子（PFOWG）；考慮到隸屬度和非隸屬度之間的關(guān)聯(lián)和相互影響[5]，提出了Pythagorean模糊交叉影響加權(quán)平均算子（PFIWA）、交叉影響有序加權(quán)平均算子（PFIOWA）、交叉影響幾何平均算子（PFIWG）及交叉影響有序加權(quán)幾何平均算子（PFIOWG），并給出各算子的具體計算公式；針對屬性間存在相互關(guān)聯(lián)的多屬性決策問題，彭定洪等[12]提出了Pythagorean模糊Heronian算子及加權(quán)算子，并討論算子的性質(zhì)；Garg[13]定義Pythagorean模糊Einstein運(yùn)算下的一系列算子；考慮到Hamacher t-模和t-余模既是對代數(shù)積和代數(shù)和的推廣，也是對Einstein積和Einstein和的推廣，將Hamacher積和Hamacher和拓展到Pythagorean模糊環(huán)境[6]，定義了Pythagorean模糊Hamacher加權(quán)平均算子（PFHWA）、Hamacher有序加權(quán)平均算子（PFHOWA）、Hamacher加權(quán)幾何算子（PFHWG）、Hamacher有序加權(quán)幾何算子（PFHOWG）；常娟等[14]考慮各屬性信息分布的疏密程度，提出Pythagorean密度集成算子；還涉及到Pythagorean模糊冪平均算子[15]、Pythagorean模糊冪Bonferroni集成算子[16]、Pythagorean模糊Choquet積分算子[17]、對稱Pythagorean模糊加權(quán)平均算子[18]、Pythagorean模糊BM算子[19]、廣義Pythagorean模糊算子等[20]算子，能夠用于解決屬性關(guān)聯(lián)的多屬性決策問題。此外，將Pythagorean模糊集與其他類型的模糊集結(jié)合，針對其拓展形式提出了一系列的信息集成算子，例如，Zhang[21]和Peng等[22]提出Pythagorean區(qū)間模糊集，并將QUALIFLEX方法應(yīng)用于解決Pythagorean區(qū)間模糊多屬性群決策問題；將Pythagorean模糊集由離散集合拓展到連續(xù)集合，杜玉琴等[23]探討了基于Pythagorean三角模糊語言的Hamacher集成算子；范建平等[24]提出三角Pythagorean模糊集并研究了相關(guān)算子及性質(zhì)；Khan等[25]將優(yōu)先級平均算子（PA）與Pythagorean模糊集結(jié)合，提出了Pythagorean模糊優(yōu)先級集結(jié)算子，隨后翟運(yùn)開等[26]定義猶豫Pythagorean模糊語言優(yōu)先級集結(jié)算子，并由此構(gòu)建解決屬性間存在優(yōu)先級關(guān)系的多屬性決策方法；彭新東等[27]定義了Pythagorean模糊語言集和Pythagorean模糊軟集，隨后文獻(xiàn)[28]在定義Pythagorean猶豫模糊語言集的基礎(chǔ)上，提出相應(yīng)的加權(quán)平均算子、加權(quán)幾何算子及有序算子；李鵬等[29]基于Heronian算子提出Pythagorean模糊不確定語言加權(quán)Heronian平均算子（PFULWHM）和Pythagorean模糊不確定語言加權(quán)幾何Heronian平均算子（PFULWGHM）。

第三是將傳統(tǒng)多屬性決策方法拓展到Pythagorean模糊環(huán)境，提出基于Pythagorean模糊評價的多屬性決策方法。Zhang等[3]提出Pythagorean模糊TOPSIS法；Chen[30]構(gòu)建Pythagorean模糊VIKOR法；Liang等[31]提出基于理想解的Pythagorean模糊三支決策方法；李美娟等[32]提出一種基于新得分函數(shù)和累積前景理論的Pythagorean模糊TOPSIS法；后續(xù)研究還涉及到Pythagorean模糊QUALIFLEX法[33]、基于信息熵的Pythagorean模糊LINMAP法[34]、帶有可能度的區(qū)間Pythagorean模糊決策方法[35]、基于前景理論的Pythagorean模糊TODIM法[36]、基于前景理論和新距離測度的Pythagorean模糊決策方法[37]、基于前景理論的Pythagorean猶豫模糊不確定語言ELECTRE決策方法[38]、Pythagorean模糊投影法等[39]；李娜等[40]定義區(qū)間Pythagorean模糊數(shù)的相對熵并提出一種基于相對熵的AQM多屬性決策方法，并考慮決策者的后悔規(guī)避和失望規(guī)避心理行為，基于構(gòu)建的Pythagorean模糊熵提出風(fēng)險型多屬性決策方法。所提出的多種類型多屬性決策方法已應(yīng)用于投資決策、風(fēng)險評估、醫(yī)療診斷、綠色供應(yīng)商選擇、人力資源選拔推薦等領(lǐng)域，取得了良好決策效果。

綜上所述，當(dāng)前關(guān)于Pythagorean模糊集決策理論與方法的研究取得了較為顯著的研究成果。其中，關(guān)于算子理論及應(yīng)用的研究，一類是在屬性間相互獨(dú)立、互不關(guān)聯(lián)的假設(shè)前提下，提出基于Pythagorean模糊集的加權(quán)平均算子、加權(quán)幾何算子、有序算子、廣義算子或混合型算子，證明了各類算子的具體表達(dá)式，并詳細(xì)討論各算子的置換不變性、冪等性、單調(diào)性、有界性等性質(zhì)，提出相應(yīng)的多屬性決策方法；另一類是針對屬性間存在冗余、互補(bǔ)、偏好關(guān)系等關(guān)聯(lián)性的多屬性決策問題，將Choquet積分、Heronian平均算子、冪Bonferroni平均算子、Hamacher平均算子等擴(kuò)展到Pythagorean模糊環(huán)境，提出了一系列信息集成算子及多屬性決策方法，部分算子具有較強(qiáng)的一般性，通過討論算子所含參數(shù)取值的變化對方案排序結(jié)果的影響進(jìn)行靈敏度分析和對比分析，從而驗(yàn)證決策方法的有效性與可行性，參數(shù)取值變化體現(xiàn)出決策者的風(fēng)險偏好或主觀態(tài)度，此類算子具備良好的動態(tài)性和靈活性；但此類研究偏重于集成算子的定義、計算公式推導(dǎo)、性質(zhì)、應(yīng)用范圍及特點(diǎn)分析，少部分算子的計算結(jié)果缺乏封閉性，所提出的決策方法往往假設(shè)決策者權(quán)重或?qū)傩詸?quán)重完全已知，較少涉及如何確定決策權(quán)重的問題。其次，所提出的Pythagorean模糊多屬性決策方法中使用到的距離測度往往是對直覺模糊集的歐式距離、Hamming距離等的平行推廣，當(dāng)對各備選方案與正理想解、負(fù)理想解或其他參考點(diǎn)進(jìn)行偏差度量時，容易造成逆序情形的發(fā)生，即通過計算各備選方案與正理想解的距離測度所得排序結(jié)果，同各備選方案與負(fù)理想解的距離測度所得排序結(jié)果并不一致，甚至兩種優(yōu)劣次序存在較為明顯的差異。再次，模糊熵尚未充分?jǐn)U展到Pythagorean模糊多屬性決策方法中，已有研究通過定義Pythagorean模糊熵確定屬性權(quán)重，亦或是根據(jù)各方案與正、負(fù)理想方案的相對熵，構(gòu)建所有方案滿意度最大化的規(guī)劃模型確定屬性權(quán)重，但基于Pythagorean模糊熵的偏差度量仍然會產(chǎn)生逆序問題，也在一定程度上造成決策信息的損失。

鑒于以上分析，本文通過定義Pythagorean模糊對稱交叉熵取代歐式距離等距離測度來度量各方案與正、負(fù)理想方案的偏差，有效規(guī)避兩種方案排序結(jié)果不一致的不合理現(xiàn)象，將Pythagorean模糊數(shù)之間的對稱交叉熵納入灰色關(guān)聯(lián)貢獻(xiàn)度的計算，以確定各屬性權(quán)重；通過各備選方案到正、負(fù)理想方案的標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影，由雙向投影構(gòu)造貼近度獲取各方案優(yōu)劣次序，從而提出一種基于Pythagorean模糊對稱交叉熵及標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影的多屬性決策方法。

1 基本概念

（1）若s(α1)＞s(α2)，則α1＞α2；

（2）若s(α1)＜s(α2)，則α1＜α2；

（3）若s(α1)=s(α2)，則 比 較π1和π2的 大 小，當(dāng)π1＞π2，則α1＜α2；當(dāng)π1＜π2，則α1＞α2。

該得分函數(shù)兼顧決策參與者的從眾心理，同時將隸屬度、非隸屬度和猶豫度納入Pythagorean模糊數(shù)之間大小的比較，無需通過精確函數(shù)進(jìn)行二次比較，避免出現(xiàn)與直覺相悖的比較結(jié)果，具有較強(qiáng)的區(qū)分能力。

2 Pythagorean模糊對稱交叉熵

根據(jù)Pythagorean模糊集A、B的定義，易知H(A,B)≥0，H(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B；但很顯然，A到B的Pythagorean模糊交叉熵并不滿足對稱性，即H(A,B)一般不等于H(B,A)，因此，H(A,B)雖可作為兩個Pythagorean模糊集A、B之間差異程度的度量，但H(A,B)并不是兩個Pythagorean模糊集之間真正的距離。在定義4的基礎(chǔ)上，同理可定義如下Pythagorean模糊集B到A的模糊交叉熵：

從而得到如下包含H(A,B)和H(B,A)且滿足對稱性的Pythagorean模糊對稱交叉熵：

定理1Pythagorean模糊集A與B的對稱交叉熵D(A,B)滿足如下性質(zhì)：

（1）D(A,B)≥0，D(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B；

（2）D(A,B)=D(B,A)；

（3）D(A,B)≤6n。

證明首先，根據(jù)Pythagorean模糊對稱交叉熵的定義，顯然D(A,B)≥0；若已知D(A,B)=0，則必有H(A,B)=0且H(B,A)=0，從而可得A=B；反過來，若A=B，則有H(A,B)=H(B,A)=0，那么D(A,B)=0。其次，根據(jù)式（2）～式（4），顯然有D(A,B)=D(B,A)成立，從而（1），（2）得證。下面證明（3），由于：

同理，可得H(B,A)≤3n，因此可得D(A,B)≤6n，從而（3）得證。

由Pythagorean模糊集A與B的對稱交叉熵D(A,B)的定義及性質(zhì)，可知D(A,B)不僅是A與B之間偏差程度的度量，且滿足對稱性和有界性，能夠避免出現(xiàn)A或B→{ 0,1),…,(0,1)}（或{(1,0),…,(1,0)}）時交叉熵的值趨向于無窮大的情況。

定理2Pythagorean模糊集A與B的加權(quán)對稱交叉熵Dω(A,B)滿足如下性質(zhì)：

（1）Dω(A,B)≥0，Dω(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B；

（2）Dω(A,B)=Dω(B,A)；

（3）Dω(A,B)≤6。

證明其中（1）、（2）與定理1類似，顯然成立。對性質(zhì)（3），有：

即（3）成立。

3 基于Pythagorean模糊對稱交叉熵及標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影的多屬性決策方法

3.1 基于Pythagorean模糊對稱交叉熵及灰關(guān)聯(lián)確定屬性權(quán)重

針對決策專家給出的Pythagorean模糊決策矩陣M，設(shè)效益型屬性集為I1，成本型屬性集為I2，且C=I1?I2，對各屬性評價信息進(jìn)行規(guī)范化處理，可得：

在PF-TOPSIS法、PF-VIKOR法或其他衡量備選方案差異的多屬性決策方法中，往往采用歐氏距離作為距離測度度量不同方案與理想解的差異程度，容易出現(xiàn)與正理想解距離更近的方案同時與負(fù)理想解的距離也更近，也即通過備選方案與正理想解、負(fù)理想解的距離測度所得兩種方案排序結(jié)果存在差異，導(dǎo)致排序結(jié)果并不能真實(shí)反映各備選方案的優(yōu)劣程度。與此相反，由于方案Ai與正理想方案A+、負(fù)理想方案A-的Pythagorean模糊對稱交叉熵滿足對稱性、有界性及三角不等式，排除備選方案Ai本身是正理想方案或負(fù)理想方案的特殊情況，通過各方案與正理想方案A+的Pythagorean模糊對稱交叉熵所得方案優(yōu)劣次序，和各方案與負(fù)理想方案A-的Pythagorean模糊對稱交叉熵所得方案優(yōu)劣次序保持一致，能夠避免出現(xiàn)逆排序的決策結(jié)果。因此，將Pythagorean模糊對稱交叉熵替換歐式距離等作為兩個或多個Pythagorean模糊集（數(shù)）距離測度的度量具有顯著優(yōu)勢。以下將Pythagorean模糊對稱交叉熵納入灰色關(guān)聯(lián)貢獻(xiàn)度分析，并以此確定各屬性權(quán)重。

在式（7）基礎(chǔ)上，定義方案Ai與正理想方案A+關(guān)于單個屬性Cj的Pythagorean模糊對稱交叉熵為：

計算方案Ai與正理想方案A+關(guān)于屬性Cj的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)為：

其中，ρ∈[0,1]為分辨系數(shù)，通常取值為0.5，其作用在于提高方案Ai與正理想方案A+關(guān)于不同屬性評價所得關(guān)聯(lián)系數(shù)之間的差異顯著性。

可得屬性Cj的灰靶貢獻(xiàn)度為：

單個屬性的灰靶貢獻(xiàn)度越大，則該屬性對方案排序的貢獻(xiàn)越大，對方案評價結(jié)果的重要程度越大。因此，可依據(jù)各屬性的灰靶貢獻(xiàn)度來衡量各屬性的權(quán)重大小，灰靶貢獻(xiàn)度越大的屬性，其權(quán)重也越大，從而得到屬性Cj的權(quán)重為：

3.2 基于標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影的Pythagorean模糊排序方法

則備選方案Ai在正理想方案A+上的投影可定義為：

其中，K(Ai,A+)表示備選方案Ai與正理想方案A+的相關(guān)系數(shù)。

更進(jìn)一步，考慮到多屬性決策問題中各屬性權(quán)重的差異，從而定義備選方案Ai在正理想方案A+上的加權(quán)投影為：

其中，|Ai|ω表示備選方案Ai作為Pythagorean模糊集的加權(quán)模，K(Ai,A+)表示備選方案Ai與正理想方案A+的加權(quán)相關(guān)系數(shù)，具體表達(dá)式如下：

由投影理論在模糊多屬性決策中的應(yīng)用，可知投影值計算結(jié)果可能會出現(xiàn)WPrjA+(A+)＜WPrjA+(Ai)，而從直覺和實(shí)際出發(fā)，正理想方案A+到自身的投影值應(yīng)該更大，顯然該結(jié)果是不合理的。因此，將式（12）標(biāo)準(zhǔn)化處理，提出如下備選方案Ai在正理想方案A+上的標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影。

同理，備選方案Ai在負(fù)理想方案A-上的標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影定義為：

根據(jù)以上Pythagorean模糊加權(quán)投影和標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影的定義，可知E WPrjA+(Ai)越大，方案Ai與正理想方案A+越接近；EWPrjA+(Ai)越小，方案Ai與正理想方案A+越遠(yuǎn)離。同時，EWPrjA-(Ai)越大，方案與負(fù)理想方案A-越接近；EWPrjA-(Ai)越小，方案Ai與負(fù)理想方案A-越遠(yuǎn)離。由此，定義貼近度為：

貼近度G(Ai)越大，方案Ai越優(yōu)，從而得到各備選方案的優(yōu)劣次序。

3.3 決策步驟

步驟1針對決策者以Pythagorean模糊數(shù)對各備選方案關(guān)于各屬性開展評價的多屬性決策問題，由式（5）對Pythagorean模糊決策矩陣M進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，針對規(guī)范化的Pythagorean模糊決策矩陣，由式（1）計算方案Ai(i=1,2,…,m)在屬性Cj(j=1,2,…,n)下Pythagorean模糊值的得分函數(shù)，從而由式（6）確定正理想方案A+和負(fù)理想方案A-。

步驟2由式（2）～式（4）及式（7）、式（8）計算方案Ai與正理想方案A+的對稱交叉熵，進(jìn)而由式（9）得到方案Ai與正理想方案A+關(guān)于屬性Cj的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)。

步驟3根據(jù)式（10）計算屬性Cj的灰靶貢獻(xiàn)度，進(jìn)一步由式（11）對灰靶貢獻(xiàn)度歸一化處理，并確定各屬性權(quán)重。

步驟4由求得的各屬性權(quán)重，通過式（12）計算各備選方案在正理想方案上的加權(quán)投影值WPrjA+(Ai)，并由式（13）得到標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影值EWPrjA+(Ai)；進(jìn)一步，由式（14）計算各備選方案在負(fù)理想方案上的標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影值EWPr jA-(Ai)。

步驟5通過式（15）計算各備選方案的貼近度G(Ai)，并依據(jù)貼近度大小對方案排序擇優(yōu)。

4 實(shí)例分析

自我國進(jìn)入新發(fā)展階段，亟需落實(shí)新發(fā)展理念、構(gòu)建新發(fā)展格局，這就要求新時代的經(jīng)濟(jì)特區(qū)要堅定不移實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，抓住粵港澳大灣區(qū)建設(shè)重大歷史機(jī)遇積極作為，在經(jīng)濟(jì)特區(qū)發(fā)展中作出新貢獻(xiàn)。假設(shè)經(jīng)濟(jì)特區(qū)內(nèi)某政府、高校、科研院所和大型企業(yè)，聯(lián)合開展規(guī)劃設(shè)計并謀求合作，從而促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展，其中較為重要的實(shí)施途徑是開展一系列的R&D項(xiàng)目?，F(xiàn)假設(shè)有6個R&D項(xiàng)目可供選擇，記為Ai(i=1,2,…,6)，決策專家擬從技術(shù)水平C1、公司和戰(zhàn)略規(guī)劃C2、監(jiān)管機(jī)構(gòu)設(shè)置狀況C3、市場發(fā)展水平及趨勢C4、財務(wù)狀況C5、項(xiàng)目應(yīng)用前景C6這6個指標(biāo)展開評估，擬以Pythagorean模糊數(shù)給出各備選R&D項(xiàng)目在所有指標(biāo)下的評價信息，具體如表1所示。

表1 專家提供的Pythagorean模糊評價信息Table 1 Pythagorean fuzzy evaluation information provided by expert

4.1 決策步驟

步驟1由于各屬性均為效益型屬性，無需進(jìn)行規(guī)范化處理，直接由式（1）計算所有Pythagorean模糊評價值的得分函數(shù)，并由式（6）得到該決策矩陣的正理想方案A+和負(fù)理想方案A-分別為：

步驟2為將Pythagorean模糊交叉熵與灰關(guān)聯(lián)分析相結(jié)合確定各屬性權(quán)重，由式（2）計算方案Ai到正理想方案A+的關(guān)于屬性Cj的交叉熵H(αij,α+j)，其構(gòu)成的交叉熵矩陣記為H1；同時由式（3）計算正理想方案A+到方案Ai關(guān)于屬性Cj的交叉熵H(α+j,αij)，其構(gòu)成的交叉熵矩陣記為H2，從而可得：

由式（4）、式（7）及式（8）計算方案Ai與正理想方案A+關(guān)于屬性Cj對稱交叉熵D(αij,α+j)，其構(gòu)成的交叉熵矩陣D為：

進(jìn)一步，由式（9）得到各方案與正理想方案A+關(guān)于屬性Cj的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)r+ij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，其構(gòu)成的矩陣R+為：

4.2 比較分析

首先，在上述決策步驟4分別計算各備選方案在正理想方案和負(fù)理想方案上的加權(quán)投影時，使用到各備選方案與正理想方案、負(fù)理想方案的加權(quán)相關(guān)系數(shù)，其計算結(jié)果分別為：

備選方案與正理想方案的加權(quán)相關(guān)系數(shù)越大，方案越優(yōu)，所得方案排序結(jié)果為A5?A4?A3?A1?A6?A2；相反，備選方案與負(fù)理想方案的加權(quán)相關(guān)系數(shù)越小，方案排序越靠前，所得方案排序結(jié)果為A5?A4?A6?A1?A3?A2。兩種方案排序結(jié)果中，前者與本文決策方法在所得結(jié)果在A1、A6的排序上存在差異；后者與本文所得結(jié)果在A1、A3、A6的排序上存在差異，但最優(yōu)方案始終是A5且最劣方案始終為A2，驗(yàn)證了本文決策方法的有效性與合理性。

其次，將文獻(xiàn)[3]提出的PF-TOPSIS法、文獻(xiàn)[31]提出的基于理想解的Pythagorean模糊三支決策方法以及文獻(xiàn)[32]提出的基于新得分函數(shù)和累積前景理論的TOPSIS法用于解決本文算例，由各備選方案的貼近度獲取的方案排序結(jié)果如表2所示。

表2 不同決策方法下各備選方案的貼近度及排序結(jié)果Table 2 Closeness degree and ranking results of all alternatives under different decision-making methods

由上述對比分析結(jié)果可知，本文決策方法所得排序結(jié)果與文獻(xiàn)[31]、文獻(xiàn)[32]完全一致，與文獻(xiàn)[3]只在方案A1、A6的先后次序上存在差異，其余方案優(yōu)劣次序也保持一致，相比于這3種決策方法，本文方法在度量各方案與正理想解或負(fù)理想解的距離時，采用Pythagorean模糊交叉熵代替歐式距離等距離測度，使得依據(jù)所有備選方案與正理想解、負(fù)理想解的Pythagorean模糊交叉熵所得兩種排序結(jié)果保持一致，不會造成某些方案逆排序現(xiàn)象的發(fā)生，決策結(jié)果更加科學(xué)合理。

再次，將本文決策方法與基于Pythagorean模糊集成算子的多屬性決策方法進(jìn)行對比分析，主要涉及到PFIWA算子[5]、PFHWG算子[6](γ=0.5)、PFHWA算子[6](γ=0.5)、PFEWG算子[13]、PFWG算子[20]，具體比較情況如表3所示。

由表3可知，5種類型算子所得方案排序結(jié)果與本文決策方法所得排序結(jié)果雖在部分方案的優(yōu)劣次序上存在差異，但最優(yōu)方案始終是A5，再次驗(yàn)證了本文決策方法的有效性。方案具體排序存在差異，主要是由于本文決策方法與基于不同類型Pythagorean模糊集成算子的多屬性決策方法的決策機(jī)制不同；本文方法采用Pythagorean模糊交叉熵取代歐氏距離等距離測度度量各方案與正、負(fù)理想解之間的距離，能夠使得與正理想解距離更近的備選方案一定與負(fù)理想解的距離更遠(yuǎn)，避免產(chǎn)生逆序問題，進(jìn)而基于灰色關(guān)聯(lián)貢獻(xiàn)度確定各屬性權(quán)重，計算各方案與正、負(fù)理想方案的標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影，通過構(gòu)造貼近度得到最終決策結(jié)果。而基于算子理論的決策方法是通過不同類型的Pythagorean模糊集成算子得到各方案的綜合屬性值（仍以Pythagorean模糊數(shù)表示），依據(jù)得分函數(shù)對各方案排序擇優(yōu)；例如，PFIWA算子考慮到Pythagorean模糊數(shù)中隸屬度和非隸屬度之間可能存在的交叉影響；PFHWG算子和PFHWA算子以Pythagorean模糊Hamacher運(yùn)算為基礎(chǔ)構(gòu)造，是一類范圍更廣的t-模和t-余模，是對PFEWG算子和PFWG算子的推廣，更具有一般性；各類算子所包含參數(shù)的取值變化體現(xiàn)出決策者主觀判斷或?qū)Q策對象風(fēng)險態(tài)度的變化趨勢。相比之下，本文決策方法對方案優(yōu)劣關(guān)系的判斷更為精細(xì)，所得方案優(yōu)劣次序更為穩(wěn)定，符合實(shí)際決策情境。

表3 不同集成算子下各備選方案的綜合屬性值及排序結(jié)果Table 3 Comprehensive attribute values and ranking results of each alternative under different integration operators

5 結(jié)束語

考慮到傳統(tǒng)歐式距離等距離測度的不足之處，與正理想解的距離更近的備選方案可能與負(fù)理想解的距離也更近，即通過各方案與正理想解的偏差大小所得優(yōu)劣次序和各方案與負(fù)理想解的偏差大小所得優(yōu)劣次序并不一致，導(dǎo)致排序結(jié)果并不能真實(shí)反映多個備選方案的優(yōu)劣關(guān)系。本文以各備選方案與正理想方案的Pythagorean模糊對稱交叉熵，作為各方案與正理想方案在單個屬性下的評價偏差，通過灰色關(guān)聯(lián)分析中的屬性貢獻(xiàn)度大小確定各屬性權(quán)重；計算各備選方案到正、負(fù)理想方案上的加權(quán)投影值，將所得兩類加權(quán)投影值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，通過各備選方案與正、負(fù)理想方案的標(biāo)準(zhǔn)化加權(quán)投影值構(gòu)造貼近度，最終實(shí)現(xiàn)對各方案的排序擇優(yōu)。下一步，可將Pythagorean模糊對稱交叉熵和加權(quán)對稱交叉熵擴(kuò)展到Pythagorean猶豫模糊集、Pythagorean模糊不確定語言變量等決策環(huán)境下，并針對未知的決策者權(quán)重或?qū)傩詸?quán)重，基于Pythagorean模糊對稱交叉熵構(gòu)建多屬性決策模型，解決相應(yīng)的多屬性決策問題。