董文豪 汪靜怡 宋志勇 付強

（國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院ATR國防重點實驗室，湖南長沙 410073）

1 引言

脈沖多普勒（Pulse Doppler，PD）雷達是多普勒量測和脈沖雷達的產(chǎn)物，通過脈沖壓縮和脈間快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）可測量目標(biāo)的距離和速度，在強雜波背景和存在箔條干擾或者其他干擾的情況下也可實現(xiàn)對目標(biāo)的探測［1］。PD雷達需要根據(jù)應(yīng)用背景實時調(diào)整波形參數(shù)，其中一個重要參數(shù)就是脈沖重復(fù)頻率（Pulse Repetition Frequency，PRF），常用的有低重頻、中重頻和高重頻三種模式，無論哪種模式，都不可避免地面臨距離模糊或者多普勒速度模糊問題，如若模糊問題解決不當(dāng)，將會導(dǎo)致大量的虛警和漏檢，大大影響目標(biāo)探測性能［2］。

傳統(tǒng)的解模糊方法主要有中國余數(shù)定理［3］、聚類算法［4］、Hovanessian 算法［5］和殘差查找表［6］等，這類方法通過發(fā)射多個參差PRF，然后對不同PRF 下的量測值進行相關(guān)處理來解模糊。當(dāng)對弱小目標(biāo)進行探測時，需要設(shè)置較低門限以保證目標(biāo)能被檢測到，這會導(dǎo)致產(chǎn)生大量虛警，使用傳統(tǒng)方法進行相關(guān)解模糊需要處理大量模糊點跡，造成極大的運算復(fù)雜度而無法處理。為此，考慮增加時間輸入，基于目標(biāo)運動規(guī)律進行積累，同時輸出檢測和跟蹤結(jié)果，文獻［7］將該方法稱為聯(lián)合檢測跟蹤（Joint Detection and Tracking，JDT）或者檢測前跟蹤（Track Before Detect，TBD），該文獻并將測量模型分為檢測器輸出測量模型和強度測量模型，前者模型是指經(jīng)過低門限判決，弱小目標(biāo)信號大概率通過門限的同時會帶來大量虛警，后者模型是指未經(jīng)門限判決的原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，部分文獻認為TBD 是基于強度測量模型，但基于Hough 變換的TBD 采用的是門限判決后的數(shù)據(jù)［8］，因此本文對JDT 和TBD 并不加以區(qū)分。TBD直接使用未經(jīng)門限判決的原始數(shù)據(jù)或者低門限判決后的檢報數(shù)據(jù)，保留了弱小目標(biāo)信息，可有效提高檢測和估計性能［9-10］，考慮將TBD 與解模糊結(jié)合，可有望實現(xiàn)檢測到弱小目標(biāo)的同時準確估計目標(biāo)距離和速度真值。常用的TBD 算法有動態(tài)規(guī)劃［11］（Dynamic Programming，DP），Hough 變 換［12］，粒子濾波［13］（Particle Filter，PF）等，文獻［14］將動態(tài)規(guī)劃TBD 應(yīng)用到低重頻監(jiān)視雷達中，它將目標(biāo)速度模糊數(shù)建模為一個狀態(tài)變量，實現(xiàn)狀態(tài)變量估計的同時也完成了目標(biāo)速度解模糊。國內(nèi)的劉睿針對低重頻監(jiān)視雷達中的多普勒模糊問題也提出了一種DP-TBD 算法，該算法能有效地抑制后驗密度多模態(tài)的鬼影軌跡，并能正確估計真實的鬼影軌跡，但僅使用了單個PRF 來解模糊［15］。文獻［16］分別對每個PRF 利用動態(tài)規(guī)劃獲取距離模糊序列，然后再利用中國余數(shù)定理進行解模糊，該方法降低了數(shù)據(jù)利用率和跟蹤效果。為了解決近空間高超聲速目標(biāo)距離模糊問題，劉林提出了一種基于Hough 變換TBD 的解模糊算法，該算法處理各個PRF 測量得到的模糊數(shù)據(jù)獲得目標(biāo)航跡，同時可解決距離模糊問題［17］，但是該方法只能用于檢測直線運動。文獻［18］將PF-TBD 應(yīng)用到多目標(biāo)距離模糊和多普勒模糊背景中，可實現(xiàn)聯(lián)合檢測跟蹤與解模糊，但需要大量粒子保證算法性能，運行時間較長。除了以上常規(guī)TBD 方法，文獻［19］提出了變步長多重頻多幀TBD 算法，該算法在分析過閾值航跡特性的基礎(chǔ)上，可有效地消除由測量模糊度引起的偽航跡，同時完成目標(biāo)運動狀態(tài)估計和多重頻模糊度解算。文獻［20］根據(jù)每個PRF 獲得一組模糊測量值，并設(shè)計了TBD 邊界搜尋準則用以產(chǎn)生每組PRF 對應(yīng)的模糊序列，最后聯(lián)合解模糊，其性能優(yōu)于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波解模糊算法。文獻［21］首先使用一種新的迭代算法來對快速運動目標(biāo)解模糊，然后利用一種新的協(xié)方差矩陣估計技術(shù)，采用自適應(yīng)檢測方法對速度小的目標(biāo)解模糊，最后將具有不同特征的脈沖序列關(guān)聯(lián)起來以提高檢測性能，這幾種TBD 方法都需要對每個PRF 單獨處理，然后聯(lián)合解模糊，降低了數(shù)據(jù)率。

文獻［7］將隨機有限集（Random Finite Set，RFS）框架下的最優(yōu)單目標(biāo)伯努利濾波器應(yīng)用到中重頻雷達解距離模糊和多普勒模糊中，實現(xiàn)了單目標(biāo)聯(lián)合檢測跟蹤與解模糊，但是該算法只能應(yīng)用到單目標(biāo)背景中。基于隨機有限集統(tǒng)計理論的TBD由于避免數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)而被廣泛用于多目標(biāo)跟蹤中，發(fā)展得到的多目標(biāo)濾波器有概率假設(shè)密度（Probability Hypothesis Density，PHD）濾波器［22］，集勢概率假設(shè)密度（Cardinalized PHD，CPHD）濾波器［23］和多伯努利濾波器。Vo 針對多伯努利濾波器中存在的正向偏置問題，提出了勢均衡多伯努利濾波器［24］（Cardinality Balanced Multi-target Multi-Bernoulli，CBMeMBer），并給出了相應(yīng)的序貫蒙特卡羅（Sequential Monte Carlo，SMC）實現(xiàn)方式，適用于解決多目標(biāo)模糊問題這類極端非線性情況，F(xiàn)ISST 的最新研究進展可參考文獻［25］。

本文利用CBMeMBer 濾波器對距離-多普勒模糊雷達中的多目標(biāo)進行聯(lián)合檢測與估計。具體過程是：交替發(fā)射兩個PRF，并將其建模到觀測模型中，同時考慮了虛警和漏檢等影響因素。此外，還對觀測時間內(nèi)多目標(biāo)的出現(xiàn)和消失進行仿真，提出了一種自適應(yīng)新生密度來產(chǎn)生新生粒子，并基于SMC 實現(xiàn)了距離-多普勒模糊雷達的CBMeMBer濾波。通過仿真實例驗證了該濾波器的有效性，表明該濾波器在估計目標(biāo)數(shù)目的同時可對距離和多普勒解模糊。將本文基于自適應(yīng)新生密度的SMC-CBMeMBer 濾波器與文獻［26］提出的SMCCPHD 濾波器進行比較，結(jié)果表明，本文算法檢測估計性能在優(yōu)于SMC-CPHD 的同時大大降低了計算復(fù)雜度。本文其他內(nèi)容安排如下。第2 節(jié)介紹目標(biāo)狀態(tài)RFS 和量測RFS，并給出了CBMeMBer 濾波器的時間更新方程和量測更新方程。第3 節(jié)給出了基于自適應(yīng)新生密度的SMC-CBMeMBer 算法實現(xiàn)步驟。第4 節(jié)介紹了仿真設(shè)置及結(jié)果分析。第5 節(jié)對全文進行總結(jié)，并提出了今后的研究方向。

2 多目標(biāo)RFS描述

2.1 狀態(tài)RFS

考慮k時刻存在Mk個目標(biāo)，則k時刻狀態(tài)集可表示為，第i個目標(biāo)的狀態(tài)矢量定義為，其中r為目標(biāo)真實距離，v為目標(biāo)徑向運動而引起的多普勒速度。當(dāng)前時刻的目標(biāo)可能以PS，k+1(xk，i)的概率存活到下一時刻，或者以1 -PS，k+1(xk，i)的概率消亡，不考慮當(dāng)前時刻的目標(biāo)衍生情況，下一時刻的新目標(biāo)以PB，k(xk，i)的概率新生，假定PS，k+1(xk，i)和PB，k(xk，i)均與目標(biāo)狀態(tài)無關(guān)，即：

則k+1時刻目標(biāo)RFS可表示為：

其中Bk+1表示k+1 時刻由新生密度函數(shù)而演化生成的新生目標(biāo)RFS，Sk+1|k(Xk，i)表示k時刻第i個存活目標(biāo)由狀態(tài)Xk，i經(jīng)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)演化而來的RFS，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型表示為：

其中，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，M為過程噪聲系數(shù)矩陣，ωk～N(0，1)為服從零均值高斯分布的過程噪聲。采用CV 模型來描述，因此距離、速度關(guān)系可表示為：

式（4）中，噪聲ωc為有目標(biāo)徑向加速度引起的零均值高斯白噪聲，ωc～N(0)。

則存活目標(biāo)的馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度可表示為：

2.2 觀測RFS

PD 雷達回波信號經(jīng)零門限或者低門限判決后得到Nk個量測，則k時刻的觀測集可表示為Zk=考慮標(biāo)準多目標(biāo)觀測模型，即一個目標(biāo)可能以PD，k(xk，i)的概率生成一個量測，或者以1 -PD，k(xk，i)的概率漏檢，假定檢測概率與目標(biāo)狀態(tài)無關(guān)，即：

虛警過程可表示為一個泊松RFS：

數(shù)目上服從參數(shù)為λ的泊松分布，空間分布服從c(z)的均勻分布，強度函數(shù)為：

k時刻第j個觀測矢量可表示為zk，j=[rk，j，vk，j]T，其中rk，j為距離觀測值，vk，j為觀測視在多普勒速度，觀測方程可表示為：

其中mod 為取余運算，ruk=c/(2Fk)為k時刻的不模糊距離，F(xiàn)k為k時刻的PRF，vuk=Fkλ/4 為k時刻的最大不模糊速度，λ=c/f0為載波波長，c為光速，f0為載波頻率?？蛇x用兩個或兩個以上PRF 以不同規(guī)則分配到不同時刻，用于解距離模糊和多普勒模糊。μr，μv為相互獨立的零均值高斯測量噪聲，其標(biāo)準差分別為σr，σv，則來自于目標(biāo)的觀測似然函數(shù)可以表示為：

2.3 CBMeMBer濾波

本算法基于CBMeMBer 濾波器框架實現(xiàn)，傳遞多伯努利參數(shù)，即：

其中Mk表示航跡個數(shù)為第i個目標(biāo)航跡的存在概率，且有表示第i個航跡的概率密度分布，CBMeMBer 濾波器通過時間更新方程和觀測更新方程來傳遞這兩個參數(shù)，由文獻［25］第13章給出CBMeMBer濾波器的預(yù)測和更新方程。

步驟1 時間更新：

預(yù)測目標(biāo)多伯努利RFS表示為：

步驟2 觀測更新：

設(shè)k+1 時刻目標(biāo)預(yù)測目標(biāo)多伯努利RFS 表示為：

則更新目標(biāo)多伯努利RFS可近似表示為：

3 基于自適應(yīng)新生密度的SMC-CBMeMBer濾波實現(xiàn)

其中，δ(·)是狄利克雷函數(shù)。

3.1 基于自適應(yīng)新生密度的預(yù)測

在給定k時刻的目標(biāo)軌跡的RFS 后，預(yù)測目標(biāo)航跡RFS 如式（12）所示，對于第i個存活目標(biāo)有：

式中

式中

（4）由馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得新生粒子：

其中Lr=floor(rmax/ru，min)，Lv=floor(vmax/vu，min)，rmax為最大目標(biāo)距離，ru，min是不同PRF 中最小的不模糊距離，vmax為最大目標(biāo)多普勒速度，vu，min是不同PRF 中最小的不模糊多普勒速度。

3.2 粒子更新

更新目標(biāo)航跡RFS 如式（16）所示，對于第i個遺留目標(biāo)航跡，有：

式中

對于第j個經(jīng)觀測更新得到的目標(biāo)航跡，有：

式中

3.3 航跡合并與重采樣

由預(yù)測和更新過程可以看出，隨著時間的推移，目標(biāo)航跡會不斷增加，因此需要進行航跡合并。假定{ri，pi(x)，rj，pj(x)}的存在概率滿足ri+rj＜1，當(dāng)關(guān)聯(lián)密度滿足

其中τ為一給定門限，則可以將兩條航跡合并，有：

3.4 狀態(tài)提取

根據(jù)目標(biāo)多伯努利RFS，可得到勢分布

4 仿真

仿真時長設(shè)為100 幀，選用雙PRF 交替使用用于距離和多普勒速度解模糊。為了方便計算，奇數(shù)幀設(shè)為PRF1，對應(yīng)的不模糊距離和不模糊速度為7.5 km和150 m/s，偶數(shù)幀設(shè)為PRF2，對應(yīng)的不模糊距離和不模糊速度為5 km 和225 m/s。其中最多有6 個目標(biāo)同時存在，將新生時刻和消亡時刻用坐標(biāo)形式表示，則六個目標(biāo)的新生和消亡狀態(tài)可分別表示為：（10，100），（20，70），（20，80），（30，60），（30，80），（50，80），對應(yīng)每個目標(biāo)的初始距離和初始速度用向量形式表示為：［3000，100］，［2000，300］，［20000，-200］，［4000，200］，［10000，-100］，［9000，-300］。虛警設(shè)置為在數(shù)目上服從參數(shù)為20的泊松分布，空間上為最大不模糊距離和最大不模糊多普勒速度二維平面上的均勻分布。實驗基本參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

SMC-CBMeMBer 濾波器中最大航跡數(shù)目設(shè)為100，修剪航跡的門限設(shè)為0.001，設(shè)每條軌跡所需的最小粒子數(shù)目為300，最大粒子數(shù)目為1000，初始軌跡存在概率設(shè)為0.001；粒子的初始分布為最大距離和最大多普勒速度范圍內(nèi)的均勻分布，最大新生目標(biāo)航跡數(shù)設(shè)為4，粒子存活概率和檢測概率皆設(shè)為0.95，均與粒子狀態(tài)無關(guān)；設(shè)過程噪聲標(biāo)準差σc=0.1 m/s2，觀測噪聲標(biāo)準差σr=7.5 m，σv=1.5 m/s。

單次仿真獲取的觀測結(jié)果如圖1所示，其中‘*’表示來自目標(biāo)的觀測，在第50 幀和第60 幀之間最多存在六個目標(biāo)的觀測，‘.’表示來自虛警的觀測，在每個時刻都有大量虛警圍繞在目標(biāo)觀測周圍。虛警和目標(biāo)觀測之間雜亂無章，難以區(qū)分量測來自于目標(biāo)還是量測，更不能確認量測來自于哪一個目標(biāo)。由于相鄰時刻的PRF 不同以及距離模糊和多普勒模糊的存在，導(dǎo)致目標(biāo)量測在時間上不連續(xù)，基于傳統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃和Hough 變換的TBD 方法將不再適用，而本文算法將雙PRF 設(shè)置、距離模糊和多普勒模糊全部建模到觀測方程中，通過CBMeMBer濾波器的更新步驟區(qū)分目標(biāo)觀測和虛警，并將目標(biāo)觀測準確分配到對應(yīng)目標(biāo)軌跡。

單次仿真得到的距離和多普勒速度估計結(jié)果如圖2所示，可以看出，該濾波器都能準確估計出目標(biāo)得到真實距離和多普勒速度，只有極個別時刻出現(xiàn)了估計偏差，特別是在50～60 幀之間目標(biāo)距離軌跡嚴重交叉，該濾波器依然能夠準確估計出各個目標(biāo)的真實狀態(tài)。

為了驗證所提SMC-CBMeMBer 濾波器的檢測估計性能，將其與SMC-CPHD 濾波器進行對比，檢測性能指標(biāo)采用目標(biāo)數(shù)目估計，估計性能指標(biāo)采用最優(yōu)子模式分配（Optimal Sub Pattern Assignment，OSPA）距離，將目標(biāo)真實狀態(tài)有限集表示為X={x1，x2，...，xm}，目標(biāo)估計狀態(tài)有限集表示為假設(shè)0 ＜n≤m，則OSPA定義為：

進行100 次蒙特卡羅實驗，兩種算法的數(shù)目估計結(jié)果如圖3 所示。從圖中可以看出，由于濾波器存在延遲效應(yīng)，當(dāng)出現(xiàn)目標(biāo)新生時，兩種算法的數(shù)目估計都會出現(xiàn)延遲，但SMC-CBMeMBer 濾波器的數(shù)目估計結(jié)果更接近與真實目標(biāo)數(shù)目，而且每次目標(biāo)新生后的收斂時間更短。分別計算SMCCBMeMBer 和SMC-CPHD 兩種算法的平均OSPA 距離，結(jié)果如圖4 所示。由于延遲效應(yīng)，在第20 幀后兩種算法的平均OSPA 距離增加，而后CBMeMBer濾波器的平均OSPA 不斷減小并趨近于穩(wěn)定，而CPHD 濾波器易受目標(biāo)新生和消亡的影響，導(dǎo)致平均OSPA 距離出現(xiàn)了振蕩，且絕大多數(shù)時刻都大于CBMeMBer濾波器的平均OSPA距離。

基于自適應(yīng)新生密度產(chǎn)生新生粒子加快了CBMeMBer 濾波器收斂，可減少達到相同性能所需要的粒子數(shù)，進而減少運算復(fù)雜度，其與CPHD濾波器的平均運算時長對比結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，兩種濾波器的運算時間都隨著目標(biāo)數(shù)的增加而增加，但SMC-CPHD 算法的運算時間更易受目標(biāo)數(shù)目的影響，當(dāng)50～60幀之間目標(biāo)數(shù)目較多時，SMCCPHD算法的運算時間遠大于SMC-CBMeMBer。

為了驗證SMC-CBMeMBer算法在不同雜波率下的檢測估計性能，分別設(shè)置雜波率λ=20，40，80，120，進行100次蒙特卡羅實驗，目標(biāo)數(shù)目估計結(jié)果和平均OSPA估計結(jié)果分別如圖6、圖7所示。從圖6可以看出，隨著雜波率的增加，每次出現(xiàn)新生目標(biāo)后濾波器的收斂時間依次增加，但即使λ=120也能較為準確的估計目標(biāo)數(shù)目；圖7中平均OSPA距離隨著雜波率的增加而增加，且在開始時刻受目標(biāo)新生影響較大，待濾波器較穩(wěn)定后受目標(biāo)新生和消亡影響較小，不同雜波率下的平均OSPA 都能不斷減小到穩(wěn)定較小值，驗證了算法估計有效性。

5 結(jié)論

針對PD 雷達中的距離模糊和多普勒模糊問題，將解模糊與多目標(biāo)數(shù)目估計相結(jié)合，提出了一種基于粒子濾波的CBMeMBer 濾波方法。此外，本文還提出了一種基于新生密度的SMC 實現(xiàn)方法，在雜波率高達120 存在大量虛警的情況下，該濾波器可準確估計出目標(biāo)個數(shù)和相應(yīng)的目標(biāo)狀態(tài)。與基于自適應(yīng)新生密度的SMC-CPHD 相比，在保證檢測和估計性能更優(yōu)的同時，大大降低了計算復(fù)雜度。另外，通過將多普勒模糊數(shù)或者距離模糊數(shù)設(shè)置為零，該方法也可適用于僅存在距離模糊的高重頻PD雷達或者僅存在多普勒模糊的低重頻PD雷達。