甘麗娟 周 瑩 李欣欣

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,541006)

Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件是一款集“制作素材”與“輔助教學(xué)”為一體的動(dòng)態(tài)教育技術(shù)工具,具備制作可操控動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)積件、測(cè)量動(dòng)態(tài)數(shù)值、控制動(dòng)態(tài)參數(shù)、處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)、模擬隨機(jī)過(guò)程、跟蹤對(duì)象軌跡等功能[1].軟件可以展示對(duì)象運(yùn)動(dòng)或變化過(guò)程,呈現(xiàn)對(duì)象變化或運(yùn)動(dòng)軌跡,實(shí)時(shí)觀測(cè)對(duì)象相關(guān)參數(shù),化靜為動(dòng),化虛為實(shí),解決傳統(tǒng)教學(xué)中的“成像”難題,減輕教師教學(xué)苦點(diǎn),撫平學(xué)生學(xué)習(xí)痛點(diǎn),極大地提高課堂教學(xué)的效率.

本文以 “正弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù),讓學(xué)生在正弦定理相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中內(nèi)化和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

1.問(wèn)題情境

如圖1所示,某漁船B在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出求救信號(hào).海上巡視軍艦A獲悉后,立刻向4.2海里外的指揮部C請(qǐng)求救援指令.經(jīng)觀測(cè),知∠BAC為45°,∠ACB為105°,已知軍艦航速為18海里/小時(shí),則遇險(xiǎn)漁船需要堅(jiān)持多久才能獲救?

設(shè)計(jì)意圖選取“海上救援問(wèn)題”作為背景引入,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生“搶險(xiǎn)救災(zāi)”的緊張氛圍和積極行動(dòng)心理,讓學(xué)生躍躍欲試.

2.問(wèn)題抽象

分析已知三角形中AC的長(zhǎng)度及∠BAC和∠ACB的大小,求AB的長(zhǎng)度,問(wèn)題抽象為“已知三角形其中的兩個(gè)角和一條邊,求另外兩邊的邊長(zhǎng)”——問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是三角形邊和角的數(shù)量關(guān)系.

問(wèn)題1由于解直角三角形的知識(shí)無(wú)法直接運(yùn)用到斜三角形上,初中學(xué)過(guò)的三角形“大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角”一般性質(zhì)也無(wú)法滿(mǎn)足解決問(wèn)題的需求,能否把三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確量化呢?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活,引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)情境抽象為數(shù)學(xué)模型與問(wèn)題,滲透數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力.

二、問(wèn)題驅(qū)動(dòng),探究新知

問(wèn)題2要量化三角形的邊角關(guān)系,可以從熟識(shí)的直角三角形入手.請(qǐng)大家回憶一下直角三角形中(圖2)有哪些邊角關(guān)系?(具體關(guān)系略)

問(wèn)題3觀察上述式子,挖掘共同點(diǎn),能否找到某些等量關(guān)系式?

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)觀察直角三角形的三角函數(shù),分析它們內(nèi)在聯(lián)系,尋找數(shù)量關(guān)系,變形轉(zhuǎn)化,初嘗正弦定理公式,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

三、直觀感知,抽象概念

師:同樣也可以利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)觀測(cè)在一般三角形中的情況.

對(duì)邊a=3.1b=1.8c=2.5角∠A=90°∠B=36°∠C=54°對(duì)邊sin(角)asin A=3.1bsin B=3.1csin C=3.1

對(duì)邊a=1.9b=3.9c=2.6角∠A=23°∠B=124°∠C=33°對(duì)邊sin(角)asin A=4.7bsin B=4.7csin C=4.7

活動(dòng)2操作動(dòng)態(tài)積件(任意拖動(dòng)點(diǎn)A、點(diǎn)B或點(diǎn)C,改變?nèi)切蜛BC的形狀和大小,如圖4所示,掃碼參見(jiàn)詳情),讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)欄數(shù)值變化情況,總結(jié)歸納共同點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù),對(duì)三角形形狀大小及其參數(shù)變化進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測(cè),化抽象為具體,讓學(xué)生直觀感知正弦定理,并從具體的數(shù)值規(guī)律中抽象概括出本節(jié)課的概念,促進(jìn)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)發(fā)展.

問(wèn)題4通過(guò)前面具體數(shù)值測(cè)量計(jì)算,我們知道正弦定理在一般的三角形中也成立,但如何證明呢?

設(shè)計(jì)意圖拋出疑問(wèn)——如何進(jìn)行一般性證明,引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考探究,培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用與遷移能力、分析與圖形構(gòu)造能力,為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提供基礎(chǔ)條件.

活動(dòng)3分組探究,讓部分學(xué)生證明在銳角三角形(圖5)中的情況,另一部分學(xué)生證明在鈍角三角形(圖6)中的情況?教師可啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生充分利用已有的經(jīng)驗(yàn),讓一般三角形搭上直角三角形的“順風(fēng)車(chē)”,尋找等量聯(lián)系.對(duì)于有其他想法的小組,予以鼓勵(lì)與引導(dǎo).

活動(dòng)4學(xué)生分享與交流,教師總結(jié)歸納(推導(dǎo)過(guò)程省略)

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生化一般為特殊,巧妙化解難點(diǎn),使舊知發(fā)生遷移和創(chuàng)造,既培養(yǎng)學(xué)生利用直觀圖形分析和解決問(wèn)題的能力,也讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想,推動(dòng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)悄無(wú)聲息地生長(zhǎng).

① 具有“結(jié)構(gòu)不變,字母可變”性;

② 具有“分子為‘邊’,分母為‘邊所對(duì)角的正弦’”的統(tǒng)一性、對(duì)稱(chēng)性和簡(jiǎn)潔性.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)賞析定理公式,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、對(duì)稱(chēng)美和簡(jiǎn)潔美,感受到數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)思想精神的豐富性,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、拓展提升,發(fā)展思維

1.追根溯源,了解正弦定理背后的數(shù)學(xué)文化

活動(dòng)5向?qū)W生闡述展示正弦定理的發(fā)展歷程和背后人物故事.主要講述希帕科斯的故事，解釋“正弦”這一概念的產(chǎn)生和“正弦定理”的發(fā)現(xiàn),展示不同時(shí)代定理證明的演化過(guò)程和證明的思想方法,例如，納綏爾丁的同徑證明法、韋達(dá)開(kāi)創(chuàng)性的外接圓證明法以及伍德豪斯直角三角形證法等[2][3].

設(shè)計(jì)意圖講述正弦定理的歷史發(fā)展,為下面引出正弦定理的比值意義和外接圓證明方法做鋪墊.

2.直觀感知,透析正弦定理比值意義

活動(dòng)5操作積件(拖動(dòng)變量尺改變?nèi)切蔚拇笮?外接圓隨之變化),拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)改變?nèi)切蔚男螤?如圖7所示,掃碼參見(jiàn)詳情),通過(guò)數(shù)值觀測(cè)向?qū)W生揭示:在任意三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦值的比值等于其外接圓半徑的2倍.

設(shè)計(jì)意圖借助正弦定理的歷史文化知識(shí)啟發(fā)學(xué)生,讓學(xué)生“跳一跳”就能夠得到正弦定理背后比值的意義,動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)輔助猜想,化抽象為直觀,使學(xué)生對(duì)正弦定理有更完整的認(rèn)識(shí),逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

3.課外延伸,類(lèi)比三維空間

課后探究在平面中,我們從直角三角形出發(fā),得到結(jié)論猜想,再證得正弦定理.若把二維平面類(lèi)比推廣到三維空間, 即把三角形類(lèi)比為三棱柱(如圖8), 將會(huì)得到什么類(lèi)似正弦定理結(jié)構(gòu)的結(jié)論?

設(shè)計(jì)意圖將正弦定理類(lèi)比推廣到三維空間,為學(xué)有余力的學(xué)生提供學(xué)習(xí)發(fā)展的需要.

五、應(yīng)用新知,固化提升

問(wèn)題8學(xué)完本節(jié)課的新知識(shí),現(xiàn)在你能用正弦定理估算出遇險(xiǎn)漁船需要等待多久才能獲救了嗎?

解題思路已知兩個(gè)角(∠BAC和∠ACB)以及一條邊的長(zhǎng)度(AC),挖掘隱含條件∠C,利用正弦定理可表示出AB和BC邊,然后代入已知數(shù)據(jù)便可迎刃而解.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生運(yùn)用新知嘗試計(jì)算海上救援時(shí)間問(wèn)題,既體現(xiàn)問(wèn)題設(shè)置的有效性,又符合學(xué)生運(yùn)用新知解決問(wèn)題的心理期待,學(xué)生通過(guò)動(dòng)手分析和解決問(wèn)題,有利于加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)同感和加深對(duì)正弦定理的理解,提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

變式訓(xùn)練在?ABC中,已知a=6,c=3,C=60°,求?ABC的其他各邊和各角,并計(jì)算三角形的面積.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)變式“知兩邊和一角,解三角形”,讓學(xué)生解決不同于情境 “知兩角和一邊”的問(wèn)題,學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決斜三角兩類(lèi)基本問(wèn)題,領(lǐng)會(huì)解三角的含義,并體會(huì)三角形新面積公式求解三角形面積的價(jià)值.

六、總結(jié)歸納,內(nèi)化新知(略)