張靜

【摘要】繼“問題的解決”之后，“數(shù)學理解”已成為世界數(shù)學教育界如今所關(guān)注的又一中心話題.筆者基于英國數(shù)學教育家R·斯根普提出的兩種數(shù)學理解模式，對“正弦定理”教學進行了實踐.闡明教師如何教會學生自主合作探究，如何讓學生親歷數(shù)學知識的形成和發(fā)現(xiàn)過程，從而突出數(shù)學本質(zhì)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，激發(fā)學生對數(shù)學知識探索.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學理解；正弦定理；教學設(shè)計

一、正弦定理教學實踐及評析

（一）創(chuàng)設(shè)情境

映入眼簾的是雄偉的天山（新疆的象征）（教師展示PPT），但天山也給南北疆的交通帶來了不便.如果我們想縱橫天山修一條隧道，就需要取得相關(guān)的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)有些是可以測得的，有些數(shù)據(jù)是要通過計算獲得的，怎樣準確測量，又怎樣計算？今天我們將要學習的正弦定理，將有助于這類問題的解決.

【設(shè)計意圖】通過創(chuàng)設(shè)學生熟悉的問題情境，引發(fā)探究新知的欲望，學生認識到，數(shù)學和我們的生活是息息相關(guān)的.

（二）正弦定理的發(fā)現(xiàn)

1.第一次發(fā)現(xiàn)

問題1：下面請同學們看日常生活中我們常見的一個問題，房屋與地面的距離為3 m，要對屋頂進行維修，需要沿著與地面成40°夾角的梯子登到屋頂上，請大家思考，梯子長至少為多少米？如何用數(shù)學語言來描述呢？

針對問題1師生活動如下：

生：用3比sin40°，這個問題其實是解直角三角形.用符號語言可以表述如下：已知，在△ABC中，B=40°，C=90°，b=3 m，求c.

師：很好，其實這個生活中的小問題就是我們數(shù)學中是已知△ABC的“角角邊”，要求其中一角的對邊.請同學們進一步思考下面的問題.

問題2：由于地基不穩(wěn)，房屋發(fā)生了傾斜，墻面與地面夾角為93°，需要沿著與地面成40°夾角的梯子登到屋頂上，大家想想梯子長至少為多少米？

師生活動如下：

師：你來說說，你想到什么辦法算出梯子的長了呢？

生：這個題和剛才一樣，也是解三角形，可以先把他轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型，只不過……它不是直角三角形，我不知道怎么辦了.

師：轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型即，已知在△ABC中，B=40°，C=93°，b=3 m，求c=？請大家對照圖1，h是我們房屋……

生：老師，我知道啦！和第一個問題一樣，首先c=hsinB，而h是未知的，所以再用一次解直角三角形，sin∠DCA=hb，就可以求出h，h=bsin∠DCA代入c=hsinB=bsin∠DCAsinB，就算出來了.

師：真棒！這個式子左邊是一邊，右邊是比值的形式，并且有邊有角，大家能不能整理一下，讓這個式子清晰、明了？

（很快，有學生說，可以cb=sin∠DCAsinB，有學生說，csin∠DCA=bsinB）

師：大家說的都很好，我們可以把上面的式子化成是等號左右兩邊對稱的式子，你認為哪一種更美、更對稱呢？

生：第二種，第二種更對稱.

問題3：好，我們也可以把上式寫成csinC=bsinB.請同學們猜想一下，在一般三角形中這個性質(zhì)成立嗎？

師生活動如下：

師：無論成立不成立，是不是要通過證明呢？誰來說說，我們要證什么？

生（齊聲）：asinA=bsinB=csinC.

師：很好，也就是說，我們需要證明asinB=bsinA，asinC=csinA（一邊放ppt）.

生：哦，asinB，bsinA均表示△ABC的邊AB上的高，從而asinB=bsinA成立.

師：很好，我們用同樣的方法，也可以證明asinC=csinA成立.所以我們說在任意角形中，都有asinA=bsinB=csinC.

【設(shè)計意圖】教師沒有開門見山地將定理的內(nèi)容告訴學生，而是借用銳角三角函數(shù)，通過實例中地基變化將直角三角形中的問題，自然地引申到任意三角形中，并逆向使用這個過程推得定理.通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明過程，使學生感受“類比—猜想—證明”的科學研究問題的思路和方法.同時引導學生發(fā)現(xiàn)正弦定理在形式上具有對稱美.

2.第二次發(fā)現(xiàn)

問題1：我們知道，在直角三角形ABC中，邊和其所對的角的正弦值之比的幾何意義是斜邊c.那么在一般的三角形中，我們猜想，邊和其所對的角的正弦值之比是否也等于某一固定值，并且也具有某種幾何意義呢？

師生活動如下：

師：我們試想，在一般的三角形中，也存在與之相應的比值k使asinA=bsinB=csinC=k，那么請同學們考慮一下這個固定的比值k是由△ABC中那些元素唯一確定呢？

生：由△ABC的一條邊和一個角確定的.

師（追問）：哪個角呢？

生：這條邊的對角.

師：很好，那么請大家思考當△ABC的一條邊及其對角的大小確定時，這個三角形的形狀是不是唯一確定的？

生：不確定.

問題2：顯然當△ABC的一條邊及其對角的大小確定時，這個三角形的形狀并不是唯一確定的.請大家觀察大屏幕（演示課件），同時請大家思考思考：當△ABC的一條邊BC的大小和位置固定，并且其對角A的大小也確定時，這個三角形的形狀會發(fā)生什么樣的變化？頂點A的軌跡是什么呢？

生：會隨著頂點A的位置的變化而變化，A由低變高，再變低，我猜A的軌跡可能是一條圓弧.

生：對，可以利用角A確定，BC邊確定，根據(jù)BC邊所對的角A是相等的，而在圓中同弧所對的圓周角也是相等的.

師：很好，我們來看大屏幕，頂點A的運動軌跡是一段圓弧.請大家結(jié)合三角形的這個外接圓思考，這個比值k等于什么呢？（演示課件）

生：當頂點A運動到△ABC是直角三角形時，這個比值k正好是這個三角形外接圓的直徑.

師：很好，和剛才發(fā)現(xiàn)正弦定理一樣，我們通過類比直角三角形，又獲得了一個重要的發(fā)現(xiàn)：asinA=bsinB=csinC=2R.

【設(shè)計意圖】本設(shè)計中教師重視引導學生通過觀察、類比、歸納、實驗、檢驗，從而讓學生自然而然地理解正弦定理的比值為什么等于外接圓的直徑.

（三）正弦定理的應用及小結(jié)

下面我們就用正弦定理來解決上課開始提出的問題.

為了測定天山某預修隧道A地到C地的距離，在其附近選定1公里長的基線AB，并測得B=120°，C=45°，如何求A，C兩點的距離？（請學生思考并回答.）

學生總結(jié)：1.應用正弦定理可以解決什么樣的三角形問題？

2.本節(jié)課你學到了哪些數(shù)學思想方法？

思考題：1.“已知三角形的三條邊（SSS）或邊角邊（SAS），如何求其余邊與角？”

2.課后利用網(wǎng)絡(luò)資源，查詢數(shù)學史上，數(shù)學家是怎樣發(fā)現(xiàn)正弦定理的.

【設(shè)計意圖】通過學生總結(jié)本節(jié)課的兩次知識發(fā)生的過程，使學生頭腦中形成關(guān)于本課內(nèi)容的一個清晰的知識結(jié)構(gòu)，同時體會歸納—類比數(shù)學思想的認識.提出的思考，即對所解決的問題進行變式，為后面要學習的余弦定理作鋪墊.補充讓學生查詢正弦定理發(fā)現(xiàn)的歷史過程，可以促進學生全面、系統(tǒng)地理解正弦定理.

二、幾點思考

綜觀上述案例，突出數(shù)學本質(zhì)，促進學生探究發(fā)現(xiàn)方面，有以下三點精彩之處.

（一）在課堂中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力，讓學生在學數(shù)學的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美

案例中教師通過引導學生感受任意三角形中的正弦定理具有的對稱性，使學生認識到數(shù)學中的對稱和和諧無處不在，從而加深學生對數(shù)學美的認識.

（二）注重數(shù)學定理的形成過程，讓學生親歷知識“再發(fā)現(xiàn)”的過程，深刻認識數(shù)學的本質(zhì)

本節(jié)課最后，教師布置學生利用網(wǎng)絡(luò)資源查詢數(shù)學家發(fā)現(xiàn)正弦定理的發(fā)現(xiàn)，這其實是數(shù)學史在數(shù)學課堂中的隱性滲透，不僅可以加深對于正弦定理的理解，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，更重要的是，幫助學生更好地體會數(shù)學定理的產(chǎn)生和發(fā)展過程，認識到數(shù)學發(fā)展既有來自數(shù)學外部的實際需求，也有來自數(shù)學內(nèi)部邏輯理論的需要.

（三）注重數(shù)學思維的培養(yǎng)，培養(yǎng)學生獨立思考的能力

在該教學設(shè)計中，教師通過不斷刺激學生的認知結(jié)構(gòu)，使得學生根據(jù)問題情境進行自我組織，通過自己探索發(fā)現(xiàn)，最終順理成章的發(fā)現(xiàn)正弦定理并得到正弦定理的比值為2R.培養(yǎng)了學生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)新性，并在發(fā)現(xiàn)過程中體驗了成功的愉快感.

三、基于R·斯根普提出的“數(shù)學理解類型”對本節(jié)課的再思考

R·斯根普認為，學生在學習數(shù)學知識的過程中，通常有兩種含義迥然不同的數(shù)學理解模式：工具性理解和關(guān)系性理解.就數(shù)學知識的學習而言，斯根普明確指出，更多的理解應當定位于“關(guān)系性理解”即最終我們應當讓學生獲得的是“關(guān)系性理解”.

通過教學實踐發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學課堂中，“工具性理解”的教學形式是比較容易獲得明顯的教學效果，卻對數(shù)學思想、數(shù)學思維方法、學生的情感關(guān)注度較少，不利于學生在數(shù)學學習中知識遷移的發(fā)生，也不利于他們對整個知識體系的掌握和理解，更不利于其長期數(shù)學能力的培養(yǎng)和提高.但數(shù)學中更多帶有普遍意義的是概念、定理形成的背景、數(shù)學思想方法、數(shù)學思維過程、問題解決與知識間相互關(guān)聯(lián)的實質(zhì)，這些往往都可以通過“關(guān)系性理解”的教學方式來學習，這對學生弄清楚概念、定理、命題的來龍去脈，真正理解數(shù)學知識的本質(zhì)及長遠的數(shù)學學習是有益的.