薛亞宏，王 嘉，程喜林

（1.甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院 經(jīng)管學院，甘肅 天水 7410252；2.蘭州大學 信息科學與工程學院，蘭州 7300003；3.西北大學 城市與環(huán)境學院，西安 741069）

方差分析（Analysis of variance，ANOVA）是英國統(tǒng)計學家兼遺傳學家Gitbert提出的一種分析方法，在林業(yè)遺傳、科學試驗、醫(yī)學研究等眾多領域有極其廣泛的應用[1]。方差是統(tǒng)計量分析中的一類，是假設檢驗與區(qū)間估計的推廣和延伸，由于試驗樣本的成因方式不同，一般采用的分法方法也有所差異，在統(tǒng)計學界，通常用單因子（one-way）、復因子（double-way）或多因子（N-way）方法。

主成分分析是根據(jù)已有數(shù)據(jù)推斷假設數(shù)據(jù)受某主要因素影響程度的一種分析方法，其本質(zhì)仍為假設檢驗[2]。通常需要提供理論樣本結(jié)果和實測樣本結(jié)果，兩者通過矩陣排列得到回歸模型，最終得到影響總體數(shù)據(jù)分布的主要因素及數(shù)值，一般要采用二維或三維曲線進行二次以上模擬，在誤差允許范圍內(nèi)滿足達到精度即終止計算。

1 復合因子方差分析

復因子分析即有兩個影響因子。通常應用于醫(yī)學療效的驗證，其一般的分析步驟為：首先將病人隨機（一般、等距、整群）分為k組，每組有x人，將每位病人的療效監(jiān)測指標記為tm,n，其中下標m、n分別表示第m組，（i=1,2,…,k），n表示某組內(nèi)病人的診療編號，（n=1,2,…,w），則第m組的第n個病人的監(jiān)測指標即為tm,n。按照MATLAB特有的表達式記號，記第k組所有病人的所有監(jiān)測指標為tm，或各組的第w位病人的監(jiān)測標為tn，則這樣計算出向量，這涉及算術(shù)平均數(shù)的范籌，如此則構(gòu)造出標準方差分析表，并根據(jù)所給出的監(jiān)測數(shù)據(jù)找出效果分析數(shù)據(jù)。

以上所采用藥物作為分組的依據(jù)，稱為復因子（Complex factor），它們的差異均值稱為復水平。其中m值與p值較為關鍵，直接影響概率值p＜a的置信度及拒絕假設目標H0，否則假設不成立，療效分析驗證為假。

在MATLAB中，anoval0、anova2可分別進行單因子、復因子分析，并有效地給出較為精確的結(jié)果，其基本格式為[p,Tab,Stats]=anova1(Q)[3]，其中，Q為需要分析的數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)是一個k×w矩陣，其行對應于分組號，運算結(jié)果會返回檢驗值s，以及檢測數(shù)據(jù)表Tab；該函數(shù)還將打開兩個主程序窗口viewer和power，分別以表式、盒式結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)。

1.1 單因子分析（療效分析方向）

案例1：以非嗎啡類中樞型鎮(zhèn)痛藥物鹽酸曲馬多（Tramadol）為例[4]，現(xiàn)將40個病人（醫(yī)學低于30為小樣本）樣本分為6組，每組5人，患者（patient）使用同一藥物（假定無其他輔助藥物），記錄從用藥到痊愈時間（h），觀測所用藥物的療效是否存在顯著差異，觀測數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 痊愈時間觀測數(shù)據(jù)表

算法設計：

基于以上監(jiān)測數(shù)據(jù)，現(xiàn)構(gòu)造出一個5×6型矩陣，命名為矩陣Q，對各組數(shù)據(jù)采用復因子方差分析，得出以下分析結(jié)果：

在程序運行過程中，anoval（）會自動呈現(xiàn)兩個窗口，分別是盒式圖、分析表，同時顯示概率值p，其中a=0.03或0.04，表示置信水平，顯然從結(jié)果來看應拒絕假設，即藥物對痊愈時間有顯著影響。

1.2 雙因子分析（植物培育方向）

案例2：以巖松、油松、赤松3種松樹樹種在甘肅省天水市小隴山林區(qū)黨川、利橋、草川、草灘4地（林場）的生長情況為例，每地每類樹種選擇6株，測量其胸徑，并進行雙因子方差分析，觀測數(shù)據(jù)如表2所示：

表2 甘肅省小隴山林區(qū)巖松等3類松樹生長觀測數(shù)據(jù)

Q算法設計：

基于以上監(jiān)測數(shù)據(jù)，現(xiàn)調(diào)用anoval2（）函數(shù)，命名為矩陣H，對各組數(shù)據(jù)采用雙因子方差分析，anoval2（）命令及矩陣列排列如下：

從結(jié)果來看，由于PA=0.01393，所以應該拒絕H1假設。可以初步推斷，列數(shù)據(jù)對監(jiān)測結(jié)果有顯著影響，即小隴山林區(qū)下轄黨川等4地3類松樹樹種對其胸徑有顯著影響。

以下計算均值，以反映不同樹種在同一林場生長差異：

根據(jù)結(jié)果分析，赤松胸徑明顯大于巖松和油松。PH與PHQ的差距較大，從而判斷假設為真，故接受假設[5]。即黨川等4地各自對3類松樹樹種的胸徑有輕微影響，不同區(qū)域（林場）對不同松樹樹種胸徑成長無顯著影響。

2 主成分分析

主成分分析是一種常見的多因素分析方法，在信息模擬、疾病預防、地理信息采集、工程造價測算、農(nóng)作物產(chǎn)量分析等領域有著廣泛應用[6]。通常采用SPSS、R等平臺進行分析，但由于原數(shù)據(jù)類型的多樣性，輸出圖形特征的兩極分化（異端非同步）現(xiàn)象較為普遍，經(jīng)與實際監(jiān)測比對出現(xiàn)較大偏差，結(jié)論不穩(wěn)定，因此不具有代表性。在這種情況下，利用MATLAB在數(shù)據(jù)降維處理方面的精度、效度以及在圖象表現(xiàn)上的多維仿真優(yōu)勢，通過調(diào)用Corr（）函數(shù)，建立協(xié)方差矩陣及特征向量、主成分貢獻率及累計貢獻率、建立變量指標方程組對數(shù)據(jù)進行降維處理，實現(xiàn)源數(shù)據(jù)分析從多維到低維的轉(zhuǎn)化。

2.1 基于MATLAB的主成分分析算法原理

首先建立協(xié)方差矩陣

再根據(jù)R計算出特征向量ei及特征值，做反序處理；

最后，通過轉(zhuǎn)換變量（降維），構(gòu)建平面坐標方程zi=azi+bzi+Ri，獲取主體變量影響因素間的關系構(gòu)成，即主成分分析的基本表達式。

2.2 三元主成分分析（高程測量方向）

案例3：以甘肅省天水市李子園鉛鋅礦第四紀淺層地貌特征分析為例，某測量點三維坐標參數(shù)分別為 x=ωcos2ω, y=ωsin2ω, z=0.887x+3.463y，現(xiàn)通過MATLAB生成一維數(shù)組，并輸出以2個測量數(shù)位為基本單位矢量模擬表達式。

算法設計如下：

顯然，基于對降維矢量輸出原理的分析，進一步利用空間坐標變換，對三維原數(shù)據(jù)做放樣投影，得到二維數(shù)組[7]。

執(zhí)行以上命令，輸出結(jié)果為：

值得注意的是，結(jié)果中的σ向量、e向量非測量高程測序排列，要通過fliplr（）函數(shù)和real（）函數(shù)執(zhí)行反序和翻轉(zhuǎn)輸出，目地是使特征值按常規(guī)測序呈現(xiàn)，為RNSS測繪系統(tǒng)數(shù)據(jù)導入做必要的前期配置。

具體語句如下：

轉(zhuǎn)換后的3×3矩陣提供二維數(shù)據(jù)（z列為0）如下：

故新坐標系可表示為：

該坐標方程實現(xiàn)了對三維高程測量數(shù)組的降維（縱向投影），通過坐標轉(zhuǎn)化使RNSS源數(shù)據(jù)壓縮于二維平面上，一方面能準確表現(xiàn)該區(qū)域第四紀地貌分布特征，另一方面在同類型礦區(qū)主要作業(yè)區(qū)域地形圖繪制（表層、淺層）中提供了滿足繪制精度要求的一種新的計算途徑，其誤差范圍與多基點均勻采樣在同一水平[8]，但其在數(shù)據(jù)生成原理、仿真形式以及中間變量轉(zhuǎn)換等多個方面集成了ArcGIS、C++的優(yōu)勢，有效降低了測圖成本。

3 結(jié)語

基于MATLAB的復合因子方差分析與主成分分析計算原理清晰，算法邏輯性強，語法調(diào)用靈活。在實踐中，以應用統(tǒng)計學基本計算理論為基礎，結(jié)合矩陣運算、坐標變換等數(shù)學手段，最終通過MATLAB實現(xiàn)對樣本數(shù)據(jù)的終端處理，有效彌補了SPSS、R等分析工具在圖像擬合優(yōu)度與坐標維度無法兼顧的不足，特別是三維數(shù)字測圖、工程概預算、造價分析等領域內(nèi)能大大地降低數(shù)據(jù)交叉，有效降低項目成本，有較強的實用意義。