?江蘇省南通市海門區(qū)海南中學(xué) 朱愛平

1 引言

本文中以人教版八年級下冊第十八章“平行四邊形”第69頁的第14題為例，分析如何挖掘教科書上的習(xí)題，通過設(shè)置階梯問題引導(dǎo)學(xué)生進行深度思考分析，利用圖形變式提升學(xué)生遷移能力.通過一題多變、一題多解，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，給予學(xué)生帶得走的知識.

2 原題呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的角平分線CF于點F，證明：AE=EF.(提示：取AB中點G，連接EG.)

圖1

圖2

3 分析引導(dǎo)

思路分析：從結(jié)論需要證明AE=EF出發(fā)，聯(lián)想到可證明全等，觀察圖形需要構(gòu)造全等，由條件點E是BC的中點聯(lián)想取AB的中點G.如圖2，證明△AGE≌△ECF.根據(jù)練習(xí)后面給予的提示，學(xué)生能夠自行解決此問題.但如果僅僅停留在表層問題的解決，那真是入寶山而空手回了.

引導(dǎo)1：點E是BC的中點這個條件是否可以修改呢？

學(xué)生容易想到：點E為BC上任意一點.

引導(dǎo)2:如果點E為BC上任意一點，其余條件不變，如圖3，那么AE=EF還成立嗎？

引導(dǎo)3：動手畫一畫，探究一下.此時在構(gòu)造全等時，還是取AB的中點G嗎？你是怎么取的？為什么這樣取呢？

圖3

圖4

這樣的變式問題，學(xué)生能夠遷移方法，還是會去構(gòu)造△AGE≌△ECF(如圖4)，則需要AG=EC.所以在AB上截取AG=EC,連接EG，在證明∠AGE=∠ECF=135°時，需要根據(jù)等式性質(zhì)證明BG=BE，所以在作輔助線時，也可以在AB上截取BG=BE，再去證明.

設(shè)計意圖:通過畫圖簡單的變化，鍛煉學(xué)生的畫圖能力，這個過程每個學(xué)生都能夠嘗試，在學(xué)生嘗試畫圖的過程中發(fā)現(xiàn)自己又能夠嘗試去解決問題，從而增加學(xué)生嘗試探究的信心.在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，遵循了學(xué)生的認知規(guī)律，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，給足學(xué)生探究的時間，慢慢使學(xué)生敢于創(chuàng)新.

引導(dǎo)4：你還能對點E的位置做怎樣的改變？請把它畫出來，此時AE=EF還成立嗎？畫一畫，觀察嘗試一下.

學(xué)生會將點E的位置聯(lián)想到BC的延長線上或CB的延長線上，如圖5、圖6.

圖5

圖6

引導(dǎo)5:變式后的圖形看上去變得復(fù)雜，但方法還是可以遷移過來的，我們還會考慮哪兩個三角形全等？需要構(gòu)造哪個三角形？圖上標記出△ECF，想想如何構(gòu)造△AGE？同學(xué)們試試，待會請同學(xué)分享你的探究結(jié)果.

圖7

圖8

設(shè)計意圖：學(xué)生通過這樣的嘗試畫圖，如圖7和圖8，對畫圖和分類討論、遷移能力等有更深的體悟.給足學(xué)生畫圖探究的時間，學(xué)生的思維才會在經(jīng)歷的過程中留下成長的足跡.在學(xué)中做，在做中學(xué)，是學(xué)生最喜歡的成長方式.同時點G的尋找，也可以看成點E繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造等腰直角三角形而得到.

圖9

引導(dǎo)6：如圖1，構(gòu)造與△ECF全等的三角形還有其他方式嗎？這里有AE⊥EF，又需證明AE=EF，說明AE與EF是既垂直又相等，是否聯(lián)想到把△ECF繞點E旋轉(zhuǎn)90°這個思路來構(gòu)造全等三角形呢？如圖9，把點C繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點G，連接AG，是否能證明△AGE≌△FCE？

引導(dǎo)7：如圖9，易證∠AEG=∠FEC，EG=EC，其中∠ECF=135°，如何推導(dǎo)∠AGE=135°，即需要證明點A，G，C共線.進而能深入思考：由∠ECG=45°和∠ACB=45°得點A，G，C共線.如果不去證明A，G，C三點共線，而是過點E作EG⊥BC交AC于點G，那么能證明△AGE≌△FCE嗎？試一試，再分析圖10和圖11的情況.

圖10

圖11

引導(dǎo)8：我們把△AEC繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°去構(gòu)造和△ACE全等的三角形，即過點E作EG⊥BC交CF或其反向延長線于點G是否可以構(gòu)造全等三角形解決問題呢？如圖12，挑選一種進行證明.

圖12

圖13

引導(dǎo)9：能否過點F作FH⊥BC交BC的延長線于點H(如圖13)去證明AE=EF？

引導(dǎo)10：對于解決正方形、長方形、等邊三角形等特殊的幾何圖形中線段的位置或數(shù)量關(guān)系，我們也可以將圖形放入直角坐標系內(nèi)研究，運用兩直線垂直時，兩條直線的斜率之積為-1及兩點之間距離公式也可以解決這個問題.大家可以嘗試幾何問題代數(shù)化求法.

設(shè)計意圖：本題的證明可以構(gòu)造手拉手型模型、一線三等角模型等來解決，讓學(xué)生感悟模型的構(gòu)造，能用數(shù)學(xué)模型的眼光觀察幾何圖形，發(fā)現(xiàn)隱性的數(shù)學(xué)模型，從而使解題有章可循，有法可依，又能從多個角度思考問題，培養(yǎng)思維的多樣性.

分析：(1)如圖12.

圖12

(2)如圖13和圖14.

圖13圖14

①當(dāng)AD=AE時，由2x+x=30°+30°，得x=20°.

②當(dāng)AD=DE時，由30°+30°+2x+x=180°，得x=40°.

所以x的值是20°或40°.

點評：從上面的探究可以發(fā)現(xiàn)，利用方程和角之間的關(guān)系，可求解有關(guān)角的問題.

本文從形、點、線三個方面探討了三角形的新定義問題.一方面，開闊了學(xué)生的視野，從新的視角關(guān)注三角形中一些特殊的點與線段，它屬于知識新的增長點；另一方面，將舊知識融合在新知識里，發(fā)揮舊知識在解決新問題時的價值，提高了學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力.Z