馬虎亮，王燕青，楊勝強，呂明

（太原理工大學 機械與運載工程學院, 太原 030024）

NURBS（非均勻有理B樣條）曲線目前作為自由曲線的通用表達方式，由于其靈活性、易操作性等優(yōu)點被廣泛應用在機械設計領域[1]。NURBS曲線相對于一般直線、圓弧等常用曲線和Bezier、B樣條等控制曲線相對復雜，計算效率不高。因此，NURBS曲線的插補計算也成為機械加工領域的重點和難點之一。

NURBS曲線的插補計算主要有3種方法：使用遞推公式的直接計算法、矩陣法和De-Boor算法。學者們從不同的角度進行了研究：文獻[2-4]分別引入Newton-Rapson、Runge-Kutta和牛頓迭代法來計算下一步的插補點；孔祥宏等[5]利用遞推公式的顯示方程改進計算過程；馮高杰等[6]用分段插補來調(diào)節(jié)加減速的自適應插補算法；王國勛等[7]提出了基于矩陣法的插補點快速求導方法。上述方法中NURBS曲線求解插補點的過程相對于一般曲線來說還是過于復雜，求取參數(shù)較多，計算量較大，并且對于樣條曲線的刀補軌跡計算沒有深入分析。

當前對于NURBS曲線的加工主要采用周期采樣法,通過上位機粗插補和下位機精插補的結(jié)合提高加工精度，上位機根據(jù)采用周期采集曲線上的點。文獻[8-11]研究了NURBS曲線插補中上位機實現(xiàn)加減速控制的方法。這些方法使用曲線上的點的數(shù)量較少，總的計算量不大，具有很高的速度控制功能，但精度較低，不適用與對精度要求高的場合。文獻[12-15]是學者們采用插補或者補償?shù)确椒▽τ诓煌瑧脠龊蠝p小誤差所做的探索。

本文提出的參數(shù)跟蹤法是一種通用曲線插補方法，應用在NURBS曲線的插補計算中，可以在保證精度的前提下減少計算量。首先介紹了參數(shù)跟蹤法的基本原理，然后將其應用到NURBS曲線的插補計算中，隨后將其擴展到曲線的刀具補償和處理過程，最后研究了NURBS曲線的坐標補償方法。

1 參數(shù)跟蹤法的基本原理和計算過程

參數(shù)跟蹤法以曲線的參數(shù)方程為研究對象，首先確定各個軸的參數(shù)表達式并進行歸一化處理，使參數(shù)u的取值范圍限制在[0，1]，然后以曲線的導矢為依據(jù)，對下一步的插補點進行計算，得到下一步插補點的坐標和當前步的插補結(jié)果，最后循環(huán)計算至終點。參數(shù)跟蹤法得到的結(jié)果屬于脈沖增量式，即單步插補結(jié)果是各個軸單步運動，插補精度高。

1.1 參數(shù)跟蹤法的方程

參數(shù)跟蹤法首先用到曲線的參數(shù)方程，表達式為

式中u為曲線的參數(shù)，u∈[0,1]。

對于參數(shù)范圍不在[0，1]的參數(shù)曲線，需要對其參數(shù)值進行歸一化，并且對參數(shù)方程進行調(diào)整。

在計算下一個插補點時，需要使用曲線的參數(shù)微分方程，即

1.2 下一個插補點的計算

所有針對NURBS曲線的插補計算都是參數(shù)u從0到1的過程，每步插補計算參數(shù)的增加值稱為跨步步長 Δu。不同的插補方法計算得到的跨步步長不同。根據(jù)二階泰勒公式曲線任意點的坐標計算公式為

式中u0為對應參考點的參數(shù)值。在脈沖增量式的插補運算中，各軸的單個脈沖增量為 Δl，因此取Δl=f(u)?f(u0)； Δl的取值通常可以達到 0.1 ~ 1 μm，這樣導致 Δu=u?u0，因此略去高階導數(shù)，只使用一次項，得到

把各軸的微分方程代入式（4）計算可以得到各個軸的跨步步長，但由于各個軸的導數(shù)不同，因此各軸對應的 Δu也不同，這里取多個 Δu的最小值為跨步步長。再根據(jù)u=u0+Δu得到下一個插補點的參數(shù)值并可以計算各軸坐標值。

1.3 插補過程

參數(shù)跟蹤法的運算流程如圖1所示。

圖1 參數(shù)跟蹤法的運算流程

參數(shù)跟蹤法的運算流程具體步驟如下：

步驟1 參數(shù)跟蹤法在獲取到曲線幾何信息后，設置初始參數(shù)u=0，初始點坐標Q(xs,ys)。

步驟2 根據(jù)曲線參數(shù)微分方程式（4）求出各軸關于參數(shù)的導數(shù)，按照式（4）計算出各軸參數(shù)差值取最小值為跨步步長 Δu，更新參數(shù)值u=(u0+Δu)。計算新點的坐標Q(xm,ym)，然后根據(jù)新舊坐標的差值ΔQ(Δx,Δy)得到插補結(jié)果。插補結(jié)果多為單步和雙步。

步驟3 循環(huán)步驟2 ，直到u=1，曲線到達終點。

由于每次獲取插補結(jié)果都是以參數(shù)值對應點的坐標為目標，故名其為參數(shù)跟蹤法。參數(shù)跟蹤法每次插補目標都為曲線上的值，完成插補后的坐標誤差都在單步之內(nèi)。計算過程簡單，只需要使用參數(shù)方程及其一階導數(shù)。

2 NURBS 曲線的參數(shù)跟蹤法計算

NURBS曲線的表達式符合參數(shù)跟蹤法的計算要求，并且參數(shù)范圍是[0，1]，不需要進行歸一化處理。參數(shù)跟蹤法可以用于NURBS曲線的插補計算。

2.1 NURBS曲線的計算基礎

參數(shù)跟蹤法的插補過程需要計算曲線上的點和導矢。NURBS曲線上點的表達式為

式中：wi為權因子；Pi為曲線的控制點；Ni,k(u)為與u相關的基函數(shù)。從式（5）來看，分子A(u)可以等同加權控制點wiPi的B樣條曲線表達式，分母W(u)可以等同為權因子wi的B樣條表達式。因此，NURBS曲線的計算可以轉(zhuǎn)換為加權控制點的計算結(jié)果除以權因子的B樣條函數(shù)計算結(jié)果。使用De-Boor算法可以快速計算B樣條曲線上的點。

NURBS曲線上各點的導矢計算式為

式中：A′(u) 為A(u)的的導數(shù)，即加權控制點wiPi的B樣條函數(shù)導數(shù)；W′(u) 為W(u)的導數(shù)，即權因子wi的B樣條函數(shù)導數(shù)。

式（6）是由式（5）對參數(shù)u進行求導所得，C(u)和W(u)在式（5）中已算出。

根據(jù)B樣條曲線的性質(zhì)，p次B樣條曲線的導矢等于p?1次B樣條曲線，其控制點表達式為

式中ui為對應的節(jié)點向量。將加權控制點wiPi和權因子wi代入可求得p?1次B樣條曲線的控制點，再對節(jié)點向量進行對應處理即可計算得到A′(u)和W′(u)，最后根據(jù)式（6）得到 NURBS 曲線的任意點的導矢值。

2.2 參數(shù)跟蹤法計算NURBS曲線實例

以NURBS曲線實例來說明NURBS的參數(shù)跟蹤插補方法的計算過程。三次NURBS曲線的控制點和權因子如表1 所示。節(jié)點向量V=[0, 0, 0, 0,0.143, 0.286, 0.429, 0.571, 0.714, 0.857, 1, 1, 1, 1]，單個脈沖增量為 1 μm。

表1 NURBS 曲線控制點和權因子

NURBS曲線的插補計算過程：

步驟1 設定P1(0.5,1.0)為初始點，且u=0；

步驟2 根據(jù)式（7）計算當前點的導矢，得到dx/du和 dy/du的值，令 dx=dy=0.001 mm，計算X軸和Y軸對應的du，取較小值為跨步步長 Δu。然后更新參數(shù)u的值，根據(jù)式（6）計算當前點坐標，最后根據(jù)當前點坐標得到當前步的插補結(jié)果。

步驟3 判斷u是否等于1，等于1結(jié)束，小于1循環(huán)步驟2。

插補結(jié)果共6402步，插補結(jié)果如圖2a）中所示，圖2b）為插補結(jié)果的局部放大圖。從圖中可以看出，插補結(jié)果精度高，沒有累積誤差。

圖2 NURBS 曲線插補結(jié)果

3 恒定刀具補償?shù)牟逖a計算

數(shù)控加工中NURBS曲線的獲得方式有兩種方式，一種是在機械設計中直接使用NURBS曲線進行的設計，另外一種是通過測量曲面，然后使用NURBS曲線進行擬合得到的結(jié)果。兩種方式得到的數(shù)據(jù)信息都包含了控制點、節(jié)點矢量和權因子，但都是屬于加工前的軌跡信息，在實際加工中需要轉(zhuǎn)換為加工軌跡。通常在加工中使用固定刀具加工NURBS曲線，因此加工軌跡與結(jié)果曲線相差一個刀具半徑。

3.1 恒定刀具補償?shù)挠嬎氵^程

曲線具有凹凸性，其刀具補償為曲線各點沿法線方向偏移后的軌跡。根據(jù)補償方向可分為左刀補和右刀補。NURBS曲線為參數(shù)表達式，因此曲線導矢方向與法線方向垂直，由于參數(shù)跟蹤插補方法中包含了對導矢的求值，因此利用導矢求解左右刀補后的位置。如圖3所示，根據(jù)參數(shù)微分方程可以求解曲線上點M的導矢(x′,y′)。左刀補為導矢方向逆時針旋轉(zhuǎn)90°，右刀補為導矢方向順時針旋轉(zhuǎn)90°。計算時相應的XY軸分量進行旋轉(zhuǎn)即可。

圖3 導矢與刀補關系圖

曲線上對應點的刀具中心位置計算公式為

式中：r為刀具補償值；x′、y′ 為曲線當前點的導矢分量；l為導矢長度值，為符號，左刀補時取上方符號，右刀補時取下方符號。

3.2 插補結(jié)果后處理

刀具軌跡是曲線偏移后的結(jié)果，由于曲線的凹凸性，使其偏移曲線的長度有所增減。偏向凸的一側(cè)曲線長度增加，數(shù)據(jù)點增多；偏向凹的一側(cè)曲線長度減少，數(shù)據(jù)點減少。這是偏移曲線的特點之一。

直線、圓弧和圓錐曲線等幾何元素在偏移時只考慮單個凹凸性。NURBS曲線由于其靈活性，可將多種曲線的特征包含在一條曲線中，因此其偏移后的軌跡可能既包含凹曲線也包含凸曲線的偏移結(jié)果。NURBS曲線偏移量較小時點不會重合，但偏移量如果過大時，偏移線會出現(xiàn)重合和交叉，這就是曲線偏移的自相交現(xiàn)象，應用在加工中導致發(fā)生過切。曲線自相交現(xiàn)象如圖4a）和圖4b）所示。

圖4 偏移曲線的“打結(jié)”現(xiàn)象

處理NURBS曲線偏移的數(shù)學方法比較復雜，需要重新取型值點再反算控制點，計算過程復雜，而且在打結(jié)處，通常處理方式是打斷曲線從而生成多個曲線。

本文提供了一種處理偏移曲線出現(xiàn)自相交現(xiàn)象的面向插補結(jié)果的處理辦法——坐標消結(jié)法。坐標消結(jié)法是利用了插補結(jié)果具有確定精度坐標的特性：凡是打結(jié)必然會有重合點。坐標消結(jié)法利用包含了坐標值的插補結(jié)果，首先遍歷插補點得到相同坐標的序號集合，然后對序號集合進行合并處理，最后在插補結(jié)果中去除打結(jié)段。

圖4a）為最常見的交點情況，曲線只有一個交點的情況處理比較簡單，記錄A點和B點的序號去掉中間段即可。圖4b）中重復點為一段曲線，點的序號從前到后一次為A→B→C→D，A和C共點、B和D共點，去除時需要保留AB段。圖4c）和圖4d）是去除自相交部分的曲線。

圖5中補償曲線是原有NURBS曲線使用3.1節(jié)的方法偏移0.3 mm后的插補結(jié)果，顯示其中有兩處自相交。在遍歷插補點后得到的相同坐標的序號集合數(shù)量為16組，如表2中所示，需要對其進行合并處理。使用坐標消除法對插補結(jié)果處理后，需要消除的兩段為 3 90→565和 3 634→4185共728步。插補結(jié)果步數(shù)從7218步減少到6490步。處理后結(jié)果如圖5中處理曲線所示，去除掉偏移曲線的兩個結(jié)，加工中不會產(chǎn)生過切現(xiàn)象。圖5中所示處理曲線為便于觀察縱坐標上移1 mm，可以看到坐標消結(jié)法去除了偏移曲線的交叉部分。

表2 插補結(jié)果中相同坐標點集合

圖5 NURBS 刀具補償插補結(jié)果后處理

4 線性刀具補償插補計算

恒定刀具補償一般應用在銑削等加工刀具磨損量很小的場合。在電火花加工中電極隨著加工時間是有損耗的，而且加工某些材料損時電極損耗量是非?？捎^的，此時就需要對電極進行補償。由于電極損耗量在相同加工條件下是固定的，因此可以將補償隨加工時間進行線性變換。線性補償?shù)挠嬎愎綖?/p>

式中：r0為固定刀具補償值，mm；k為電極補償系數(shù)，mm/步；n為加工步數(shù)；r為刀具補償值，mm。

由于插補過程是按照周期內(nèi)步數(shù)來進行衡量的，因此電極的補償系數(shù)需要轉(zhuǎn)換成與步數(shù)相關。將式（8）中的補償半徑用式（9）計算，即可得到變補償?shù)那€插補結(jié)果。取k=?0.000 04 mm/步，通過計算得到的插補結(jié)果如圖6所示。曲線插補從左側(cè)開始補償值為0.3 mm，到右側(cè)結(jié)束時根據(jù)式（9）計算變?yōu)?.04 mm，工具電極損耗得到補償。

圖6 NURBS 曲線線性補償圖

5 坐標補償插補計算

在加工過程中，由于機床和刀具由于移動和受力等原因會在加工中產(chǎn)生振動，導致加工NURBS曲線時出現(xiàn)周期性或非周期性的坐標漂移現(xiàn)象，這是由于加工運動產(chǎn)生的坐標誤差。坐標誤差最終會反應加工后的曲線上，這種誤差可以通過三坐標測量儀等輪廓測量裝置測量。

坐標誤差可以通過坐標補償技術進行消減。具體辦法是通過試加工得到曲線，再通過測量輪廓和目標曲線進行比較得到坐標誤差表。再對坐標誤差表進行多項式擬合，將擬合后的坐標公式與NURBS曲線的插補點坐標相加來消除坐標誤差。

如圖7所示，實際曲線表示加工后的曲線，與目標曲線有坐標誤差，誤差值擬合曲線為式（10），是一條4次多項式曲線。在計算出NURBS曲線x坐標后，可以通過式（10）計算出坐標誤差的y坐標值，與曲線的y坐標值相加，最后再進行刀具補償。機補曲線是實際曲線經(jīng)過坐標補償?shù)玫降那€，與目標曲線重合。刀補曲線是機補曲線的刀具補償插補結(jié)果。

圖7 坐標補償與刀補軌跡

6 結(jié)論

參數(shù)跟蹤法可以簡潔有效地對NURBS及其偏移曲線進行插補。NURBS曲線在加工中出現(xiàn)的誤差也可以利用多種補償方法進行消除,從而提高NURBS曲線的加工精度。參數(shù)跟蹤法對于NURBS曲線的計算方法可以擴展到其他類型的參數(shù)曲線，具有簡化插補計算和提高插補效率的作用。