戴清霞，馬米花

（閩南師范大學 數學與統計學院，福建 漳州 363000）

近年來，機械系統的控制已經引起了很多領域的廣泛關注，其中，機械臂可以根據要求模擬人類的手臂活動，幫助人類完成很多復雜多樣的任務，比如高效地完成組裝傳輸等任務，因此，機械臂在工業(yè)生產、制造業(yè)、醫(yī)療等領域有著愈來愈重要的應用[1-3]。在這些應用中，設計精確的控制器確保機械臂有效安全地工作已經成為一個重要的課題。例如，文獻[4]提出存在模型不確定性和外部干擾的機械臂的分數階自適應反步控制，文獻[5]通過在常用的PID控制器中添加非線性比例項和導數項，提出非線性比例積分導數控制器。

上述提到的與機械臂有關的控制策略都是基于關節(jié)空間分析的。實際上，設計一種控制器確保任務空間中機械臂末端執(zhí)行器的位置可以跟蹤到期望的軌道更具有挑戰(zhàn)性。大多數情況下，對于工業(yè)機器人來說，所進行的傳輸、焊接、裝配等任務都要求機械臂末端執(zhí)行器在任務空間中跟蹤到期望的軌道。例如，文獻[6]提出使用傅立葉級數展開對機械臂的自適應任務空間控制，文獻[7]將比例微分方程應用于機械臂任務空間控制，文獻[8]提出一種基于觀測器的剛性連桿機器人自適應輸出反饋跟蹤控制器。

雖然關于機械臂在任務空間的控制問題已經有很多成果，但是大部分考慮的是連續(xù)控制。實際操作中，由于不對稱性的信息、個體感知能力及成本消耗等影響，連續(xù)控制往往很難實現。根據文獻[9]可知，不連續(xù)控制策略比連續(xù)控制更有效且成本更低。而脈沖動力學是由連續(xù)和離散相結合的動力學行為，通過脈沖約束或脈沖力產生脈沖效應可使智能體的廣義位移或速度發(fā)生瞬時改變[10-12]。因此，脈沖控制已成為一種有效的不連續(xù)控制方法。有關脈沖控制的研究成果也有不少[13-16]，比如文獻[13]探討非線性脈沖動力系統的漸近穩(wěn)定性問題并為混沌系統設計脈沖控制器，文獻[14]提出將脈沖控制用于混沌同步的研究，文獻[15]提出基于脈沖控制的機械臂系統在關節(jié)空間中可以同步到期望的軌道，文獻[16]結合事件觸發(fā)機制提出事件觸發(fā)脈沖控制器。可是，目前似乎還未見脈沖控制策略用于研究任務空間中機械臂系統跟蹤問題的相關成果。所以，本文提出用于任務空間中機械臂跟蹤問題的脈沖控制策略，即在任務空間中給定一個期望的時變軌道，機械臂末端執(zhí)行器能夠在設計的脈沖控制器下跟蹤到該期望的軌道，并且將跟蹤誤差控制在期望的范圍內。最后將所得到的理論結果用于實現雙連桿機械臂的跟蹤控制。

1 機械臂系統模型

在沒有摩擦和其他干擾的條件下，n連桿機械臂系統在關節(jié)空間中的動力學表達式可以用如下的拉格朗日方程描述[17-19]為

對于系統（2），關節(jié)空間速度q?是有界的。選擇一個李雅普諾夫函數W(t)=q?TM(q)q?，W(t)沿著系統（2）的軌線求導得到

2 脈沖控制策略

在任務空間中，機械臂系統（1）末端執(zhí)行器的位置被要求跟蹤到期望的軌道，即給定一個期望的時變軌道xd(t)∈Rn，本研究的目標是設計脈沖控制器τ使得機械臂系統末端執(zhí)行器的位置可以跟蹤到期望的時變軌道xd(t)，并且具有理想誤差界。為此，定義跟蹤誤差為x?(t)=x(t)-xd(t)，基于實用穩(wěn)定性定義，引入如下的實用跟蹤定義。

定義1 任意給定機械臂系統(1)的一個初始條件以及給定h> 0，如果存在常數T0∈R+使得?t>T0時，有

成立，則稱機械臂系統（1）末端執(zhí)行器的位置可以跟蹤到期望的時變軌道，并且稱h為期望的跟蹤誤差界。

顯然，取τ=g(q)無法使機械臂系統（1）達到跟蹤控制，下面我們將設計脈沖跟蹤控制律來實現機械臂系統（1）在任務空間中的跟蹤控制。從物理觀點來看，脈沖力或者脈沖約束都會產生脈沖效應，從而導致系統狀態(tài)的突然改變。此外，狄拉克函數能夠很好地描述這種瞬時改變系統狀態(tài)的演化過程。因此，對機械臂系統（1）設計如下脈沖跟蹤控制律

3 代數跟蹤判據

為了實現機械臂系統在任務空間的脈沖跟蹤控制，本節(jié)導出了一些代數通用準則，并設計適當的控制增益μ、反饋增益α和脈沖時間間隔δ使得機械臂系統（1）末端執(zhí)行器的位置在脈沖跟蹤控制律（5）的作用下可以跟蹤到期望的時變軌道。下面給出本研究的重要定理。

定理1 若控制增益μ、脈沖時間間隔δ和反饋增益α滿足

4 應用例子及數值模擬

本節(jié)通過數值模擬驗證前面提出的脈沖控制器的有效性。以雙連桿機械臂作為本文的應用例子，如圖1所示。根據文獻[9]，它的動力學行為可以由拉格朗日方程（1）來描述。

圖1 雙連桿機械臂[9]Figure 1 Double link manipulator[9]

圖1中機械臂關節(jié)空間位置定義為q=(q1,q2)T，兩個連桿的質量分別定義為m1和m2，下桿和上桿的慣量分別記為I1和I2，其長度分別為l1和l2，而連接點到桿質心的長度分別記為lc1和lc2。拉格朗日方程中的慣量矩陣、矩陣C和廣義有勢力分別為

根據注1，定理1的條件是充分非必要的。為了說明這個情況，取脈沖時間間隔δ= 0.5，而其他數據和圖2中的數據相同，這時定理1的條件顯然不滿足，但是模擬結果表明在脈沖控制器的作用下機械臂末端執(zhí)行器的位置仍然可以跟蹤到期望的軌道xd(t)，如圖4和5所示。和圖2相比，圖4顯示當t> 3時，跟蹤誤差界仍然小于0.02。因此，正如注1所述，定理1的條件是充分非必要的，這就使得本研究設計的脈沖控制器更加具有實用性。

如果取脈沖時間間隔δ= 1，而其他數據和圖2中的數據相同，跟蹤誤差模擬結果如圖6所示，機械臂末端執(zhí)行器的位置仍然可以跟蹤到期望的軌道xd(t)，和圖2或圖4相比，需要更長的時間才能實現跟蹤誤差控制界h≤0.02。因此，在工程上可以根據需要選取適當的控制參數使得機械臂系統在脈沖跟蹤控制律（5）的作用下實現對期望軌道的跟蹤控制。

圖2 取α = 1.6、μ = 0.98和δ = 0.03時跟蹤誤差‖x( t )- xd( t )‖的時間演化Figure 2 Evolution of‖x( t )- xd( t )‖with α = 1.6，μ = 0.98 and δ = 0.03

圖3 取α = 1.6、μ = 0.98和δ = 0.03時末端執(zhí)行器的位置x =(x1,x2)T跟蹤到期望軌道Figure 3 The end-effector position x =(x1,x2)T can track the desired trajectory when α=1.6，μ=0.98 and δ=0.03

圖4 取α = 1.6、μ = 0.98和δ = 0.5時跟蹤誤差‖x( t )- xd( t )‖的時間演化Figure 4 Evolution of‖x( t )- xd( t )‖with α = 1.6，μ = 0.98 and δ = 0.5

圖5 取α = 1.6、μ = 0.98和δ = 0.5時末端執(zhí)行器的位置x =(x1,x2)T跟蹤到期望軌道Figure 5 The end-effector position x =(x1,x2)T can track the desired trajectory when α=1.6 μ=0.98 and δ=0.5

圖6 取α = 1.6、μ = 0.98和δ = 1.0時跟蹤誤差‖x( t )- xd( t )‖的時間演化Figure 6 Evolution of‖x( t )- xd( t )‖with α = 1.6，μ = 0.98 and δ = 1.0

5 結論

本研究設計了脈沖控制實現機械臂系統在任務空間中的跟蹤控制。在任務空間中，給定期望的時變軌道，機械臂系統末端執(zhí)行器能在設計的脈沖控制器下跟蹤到期望的位置。通過脈沖控制，機械臂系統不用連續(xù)接收期望軌道的信息，只需要在脈沖時刻接收期望軌道的信息。將其應用于雙連桿機械臂的跟蹤控制，仿真結果表明了本研究提出的脈沖控制策略和代數判據是有效且可行的。