穩(wěn)基礎(chǔ) 重能力 求本質(zhì)
——2021年新高考I卷評析*
2022-04-21 14:20顧曉峰江蘇省錫山高級中學(xué)214174
中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年4期
顧曉峰 (江蘇省錫山高級中學(xué) 214174)
在經(jīng)歷“八省聯(lián)考數(shù)學(xué)”的“驚心動魄”后，2021年新高考數(shù)學(xué)I卷最終回歸平靜．沒有讓學(xué)生發(fā)懵的三項數(shù)列遞推，沒有陌生的臺體公式，也沒有抽象難懂的曲率，試卷命題遵循新課標(biāo)的“四基”要求，秉持“立德樹人”的核心目標(biāo)，在繼承2020年新高考I卷(山東卷)命題風(fēng)格的同時也作出了一些創(chuàng)新．試卷的諸多亮點(diǎn)值得品味與反思，其中呈現(xiàn)出的新動向與新變化也將深刻影響2022年高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)．
1 試卷分析
2021年新高考I卷由教育部考試中心命制，為山東、河北、湖北、湖南、江蘇、廣東、福建七省使用．同2020年新高考I卷一樣，試卷不分文理，且以2017版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為本確定考試范圍，在試卷結(jié)構(gòu)上大體保持一致，但也出現(xiàn)了一些變化：
(1)多選題分值由原來“部分選對得3分”調(diào)整為“部分選對得2分”，增加了該題型的區(qū)分度；
(2)壓軸填空題變?yōu)殡p空題，既擴(kuò)大了考查知識的范圍，也利于學(xué)生逐步探究并盡量得分，在豐富命題形式的同時照顧到了學(xué)生心態(tài)；
(3)未出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良的開放性試題；
(4)除立體幾何題外，解答題中其余考點(diǎn)的位置均發(fā)生了變化，其中三角函數(shù)題由原來第一題后移至第三題，變化較大．
考試內(nèi)容整體分布合理，試題堅持體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的特點(diǎn)，難度把握上科學(xué)調(diào)控，具有很好的選拔性，本文將分三個層面對試題進(jìn)行評析．
2 試題評析
2.1 穩(wěn)固基礎(chǔ)——立足主干知識方法的覆蓋
2
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1
考點(diǎn)分布2021年新高考I卷必修和選擇性必修考點(diǎn)分布如表1、表2所示．
表1 2021年新高考I卷必修考點(diǎn)分布
主題單元試題分布主題一 預(yù)備知識集合1常用邏輯用語相等關(guān)系與不等關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程與一元二次不等式主題二 函數(shù)函數(shù)概念與性質(zhì)13冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)4,6,10,19主題三 幾何與代數(shù)平面向量及其應(yīng)用10復(fù)數(shù)2立體幾何初步3,20主題四 概率與統(tǒng)計概率8統(tǒng)計9
表2 2021年新高考I卷選擇性必修考點(diǎn)分布
主題單元試題分布主題一 函數(shù)數(shù)列16,17一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用7,15,22主題二 幾何與代數(shù)空間向量與立體幾何12,20平面解析幾何5,11,14,21主題三 概率與統(tǒng)計計數(shù)原理概率18統(tǒng)計主題四 數(shù)學(xué)建模活動與探究活動數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動16
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考點(diǎn)分析與2020年新高考I卷對比，試卷加大了對三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)、概率和空間向量與立體幾何的考查，體現(xiàn)命題對核心主干知識的回歸．如解析幾何涉及了四題，且分別考查了圓、橢圓、雙曲線與拋物線，考查形式涵蓋了所有題型，難度設(shè)置從容易到中檔再到較難．試卷不再對相等與不等關(guān)系、初等函數(shù)和計數(shù)原理進(jìn)行單獨(dú)考查，弱化了統(tǒng)計、立體幾何初步的相關(guān)內(nèi)容，表明命題考慮到了知識的作用，凸顯出預(yù)備知識與部分基礎(chǔ)知識的工具性，符合新課標(biāo)的要求．
試題不僅對基礎(chǔ)知識覆蓋全面，也強(qiáng)化了對數(shù)學(xué)基本思想方法與技能的考查：分類與整合(第4,12,15,19題等)，數(shù)與形結(jié)合(第7,11,12,16題等)，化歸與轉(zhuǎn)化(第5,7,10,19題等)，函數(shù)與方程(第7,19,21,22題等)．試題的解決以通性通法為主，淡化特殊技巧，其中第1～6,9～10,13～14,17～18和19～22題的第(1)問均屬于容易題，側(cè)重考查了知識、公式、概念和基本性質(zhì)的直接應(yīng)用．縱觀整張試卷，其穩(wěn)健固本、立足基礎(chǔ)的特點(diǎn)顯現(xiàn)得淋漓盡致．
2.2 重視能力——凸出關(guān)鍵能力的考查
關(guān)鍵能力是評價學(xué)習(xí)者認(rèn)識、分析與解決問題水平的核心指標(biāo)，基于數(shù)學(xué)新課程改革的核心素養(yǎng)要求以及《中國高考評價體系》的理論指引，一般將高考數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查定位于四項：閱讀理解、信息整理、語言表達(dá)與批判性思維．
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1
信息閱讀與整理例1
(全國I卷第16題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為20 dm×12 dm的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm× 6 dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S
= 240 dm，對折2次共可以得到5 dm×12 dm, 10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S
=180 dm，以此類推，則對折4次可以得到不同規(guī)格的圖形的種數(shù)為；如果對折
n
次，那么dm．本題是以中國數(shù)學(xué)文化為載體的信息題，首先列舉對折3次、4次后的情形，進(jìn)一步歸納得到對折
n
次后，共有n
+1種規(guī)格的圖形，并且每種圖形的面積都是從而這實際是一個“等差×等比型”數(shù)列，可利用錯位相減法求和．本題綜合考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，難點(diǎn)在于將文字語言(折紙的步驟方法)翻譯為圖形語言(列舉不同規(guī)格的圖形)，再整理成符號語言(數(shù)列的通項與求和)．通過對閱讀到的信息逐步整理(篩選、加工和總結(jié))，理解問題的數(shù)學(xué)意義并選擇合適的模型予以解決，是解決創(chuàng)新性問題的必備能力．2
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批判性思維批判性思維是數(shù)學(xué)理性思維的高度表現(xiàn)，它促使學(xué)生面對新問題情境時，能夠綜合運(yùn)用已有知識進(jìn)行獨(dú)立分析，多角度理解，主動尋找問題解決的途徑，并能夠?qū)徱曔^程的嚴(yán)謹(jǐn)性與合理性．
例2
(全國I卷第7題)若過點(diǎn)(a
,b
)可以作曲線y
=e的兩條切線，則( )．A．e<a
B．e<b
C．0<a
b
x
,e)，然后表示切線并轉(zhuǎn)化為關(guān)于x
的方程e(1-x
+a
)=b
有兩個不等根，再構(gòu)造f
(x
)=e(1-x
+a
)，畫其草圖研究它與直線y
=b
何時有兩個交點(diǎn)．問題的解決需要學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的幾何意義與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的知識深入理解，同時熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程的思想對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這對批判性思維能力的要求較高．其實對于一部分學(xué)生來說，還可以發(fā)現(xiàn)過(a
,b
)要能作y
=e的兩條切線，則(a
,b
)一定在曲線y
=e的下方且在x
軸上方，這就直接得0<b
例3
(全國I卷第19題)記△ABD
的內(nèi)角A
,B
,C
的對邊分別為a
,b
,c
，已知b
=ac
，點(diǎn)D
在邊AC
上，BD
sin∠ABC
=a
sinC
．(1)證明：BD
=b
；(2)若AD
=2DC
，求cos∠ABC
．本題第(1)問直接使用正弦定理便可解決，屬基礎(chǔ)題，但第(2)問將不少學(xué)生“卡住”，究其原因是無法整合已知條件．其實，BA
,BD
,BC
分別是c
,b
,a
，點(diǎn)D
為AC
邊上靠近C
的三等分點(diǎn)，目標(biāo)指向∠ABC
，這些“蛛絲馬跡”幫助我們聯(lián)想起利用向量的“定比分點(diǎn)公式”能將它們整合在一起，再于△ABC
中對∠ABC
用余弦定理，聯(lián)立各關(guān)系式最終得出a
,c
的關(guān)系．除了利用向量知識外，也可以通過作輔助線(如過D
作DE
∥BC
交AB
于E
)再算兩次余弦值(如cos∠BED
,cos∠ABC
)來獲得a
,c
關(guān)系式．本題的難點(diǎn)在于如何通過條件構(gòu)建兩個關(guān)于a
,b
,c
,∠ABC
的關(guān)系式，這要求考生能有效識別信息要素間關(guān)系，對三角、向量、平幾等知識協(xié)同應(yīng)用.
這是對批判性思維的深度考查．多項選擇題是近兩年來在新高考中新增的題型，因其需對各選項逐個檢查判斷或進(jìn)行比對排除，故能較好地檢測學(xué)生的批判性思維能力．比如2021全國I卷第11題，一些考生習(xí)慣性地以為在選項C與D中應(yīng)該二選其一，但∠PBA
無論最大還是最小，PB
都與圓相切，這意味著PB
是相同的，故基于理性判斷應(yīng)大膽兼選．第12題可以相對容易地排除選項A和C，在不計算選項D的情況下便可選BD．2
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2
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3
語言表達(dá)如果說閱讀理解是信息的輸入過程，那么語言表達(dá)就是信息的輸出過程．高考數(shù)學(xué)的語言表達(dá)強(qiáng)調(diào)書寫的規(guī)范性、過程的條理性與結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性，閱卷教師將依據(jù)呈現(xiàn)出的內(nèi)容來判斷學(xué)生對基本知識、定理與公式的理解，對思想方法的掌握與理性思維水平的高低，因此語言表達(dá)能力顯得尤為關(guān)鍵．
圖1
例4
(全國I卷第20題)如圖1，在三棱錐A
-BCD
中，平面ABD
⊥平面BCD
，AB
=AD
，O
是BD
的中點(diǎn)．(1)證明：OA
⊥CD
；(2)若△OCD
是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E
在棱AD
上，DE
=2EA
，且二面角E
-BC
-D
的大小為45°，求三棱錐A
-BCD
的體積．本題第(1)問要求準(zhǔn)確使用面面垂直的性質(zhì)定理以及線面垂直的定義，證明過程需做到規(guī)范、簡明、邏輯鏈連續(xù)完整，這是語言表達(dá)的基本要求．第(2)問如若選擇建立空間直角坐標(biāo)系解決，則要求學(xué)生能準(zhǔn)確表述并證明建系的過程，且由于逆向設(shè)問(已知二面角大小)，需先設(shè)出A
的坐標(biāo)，通過建立方程求得AO
長，再利用體積公式求解．當(dāng)然，第(2)問也可以過點(diǎn)E
作EF
∥AO
交BD
于F
，過F
作FG
⊥BC
交BC
于G
，連結(jié)EG
，再嚴(yán)格論證∠EGF
為二面角的平面角，并結(jié)合有關(guān)平幾知識推出AO
的長．無論何種做法，都需要言明從立體幾何轉(zhuǎn)化為空間向量(或平幾)操作的合理性，且只有流暢而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)才能清晰地展現(xiàn)思維的過程和結(jié)果．2.3 追求本質(zhì)——回歸原始概念和典型問題的理解
數(shù)學(xué)是建立在原始概念基礎(chǔ)上的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)是對概念的內(nèi)涵與外延深入挖掘后再加以應(yīng)用．倘若失去對概念本質(zhì)的認(rèn)識，那么解題便成為“無本之木，無源之水”，因此高考命題不斷關(guān)注著對數(shù)學(xué)本源性的考查．
例5
(全國I卷第8題)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( )．A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立
本題考查了相互獨(dú)立事件的定義，這恰恰擊中許多學(xué)生備考中的盲點(diǎn)．依據(jù)定義，對任意兩個事件A
與B
，如果P
(AB
)=P
(A
)P
(B
)，則稱事件A
與事件B
相互獨(dú)立．從本質(zhì)上說，事件A
與B
相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)是事件A
(或B
)發(fā)生對事件B
(或A
)發(fā)生的概率沒有影響，其強(qiáng)調(diào)的是對概率的影響，因而在解題時應(yīng)分別檢驗兩事件各自發(fā)生的概率之乘積與同時發(fā)生的概率是否相等，也就是必須回歸到原始定義，而不能憑生活經(jīng)驗直覺判定．新高考不僅重視對原始概念的深度理解，還熱衷于對典型問題進(jìn)行再創(chuàng)新．比如2020年全國I卷壓軸題考查了直線過定點(diǎn)與“隱圓”問題，2021年全國I卷的壓軸題也有“熟悉的味道”．
例6
(全國I卷第22題)已知函數(shù)f
(x
)=x
(1-lnx
)．(1)討論f
(x
)的單調(diào)性；(2)設(shè)a
,b
為兩個不相等的正數(shù)，且b
lna
-a
lnb
=a
-b
，證明：本題第(1)問未涉及參數(shù)討論，較好處理，但第(2)問讓人望而卻步．其實條件“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”具有某種對稱感，加之目標(biāo)出現(xiàn)故對式子兩邊同除以ab
，則原式轉(zhuǎn)化為即即若設(shè)則問題轉(zhuǎn)化為在f
(x
)=f
(x
)下，求證2<x
+x
x
>2”部分的證明是“比較常規(guī)”的，可利用對稱化構(gòu)造處理(至于“x
+x
3 教學(xué)建議
2021年是全國新高考I卷命題第二年，試題呈現(xiàn)出的共性特點(diǎn)或許是未來高考數(shù)學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，試題表現(xiàn)出的動態(tài)變化也提醒我們在教學(xué)中需要與時俱進(jìn)．基于2021年與2020年全國I卷的分析，對2022年高考復(fù)習(xí)教學(xué)提出幾點(diǎn)建議：
(1)回歸教材，認(rèn)真回顧和理解概念的生成與發(fā)展，關(guān)注具有“源于教材但又高于教材”特點(diǎn)的問題．以本為本，保證主干知識復(fù)習(xí)的全面性，如解析幾何中四類曲線都有可能成為考點(diǎn)．
(2)適當(dāng)弱化新定義型問題的訓(xùn)練，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用型、數(shù)學(xué)文化型問題解題素養(yǎng)的提升．如加強(qiáng)學(xué)生閱讀理解的積極性和有效性，設(shè)置與生活文化相關(guān)的問題情境并滲透數(shù)學(xué)知識與方法，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力．
(3)2021年全國I卷中有不少試題可從多角度解決(如第4，6，7，12，13，14，19，20題等)，這要求在備考復(fù)習(xí)中規(guī)避“題海戰(zhàn)術(shù)”，給予學(xué)生充足時間思考，重視對問題的源與流進(jìn)行深入研究，甚至可以舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維．
(4)2020年、2021年全國I卷的最后三道解答題考查的知識點(diǎn)均為立體幾何、解析幾何與導(dǎo)數(shù)，在復(fù)習(xí)過程中可加強(qiáng)對這三大板塊中典型問題的研究．這兩年均在解答題的三角題與數(shù)列題中的一題上設(shè)置了些障礙(2020年數(shù)列題、2021年三角題)，學(xué)生需增強(qiáng)歸納、總結(jié)的探究能力與知識方法之間綜合應(yīng)用的能力．同時，在復(fù)習(xí)(尤其是一輪復(fù)習(xí))中重視師生互動與板演，密切關(guān)注學(xué)生口頭和書面語言表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)范性．
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