竇 寅，張梅香，周玲霞

(揚(yáng)州大學(xué) 信息工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009)

0 引言

量子計(jì)算機(jī)的問(wèn)世，使得傳統(tǒng)加密體系受到嚴(yán)重威脅,人們將目光聚集到新興的量子加密領(lǐng)域。作為量子通信兩大重要分支之一，量子密鑰分發(fā)(QKD)為未來(lái)的加密通信提供了可靠的理論支撐。量子密鑰分發(fā)按照相干態(tài)信息的類型可以分為2大類：連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)(CVQKD)和離散變量量子密鑰分發(fā)(DVQKD)。由于初始技術(shù)發(fā)展受限，研究DVQKD，單光子的檢測(cè)更為容易，但制備成本較高。零差和外差檢測(cè)技術(shù)[1]的誕生，使得連續(xù)的光束作為相干態(tài)信息被引入系統(tǒng)，CVQKD擁有更好的發(fā)展?jié)摿2]。

傳統(tǒng)的CVQKD中，需要利用多維協(xié)調(diào)[3]來(lái)提高性能。在后處理部分[4]，接收端為了恢復(fù)接收到的碼字信息，需要發(fā)送端提供必要的輔助參數(shù)。然而,這些參數(shù)的傳輸為信息泄露留下了隱患。本文分析了后處理的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)流程，利用虛擬信道模型分析，成功證明了輔助譯碼參數(shù)|y|的傳輸是非必要的，并給出了新的傳輸方案。

1 相干態(tài)CVQKD協(xié)議

相干態(tài)的CVQKD系統(tǒng)是由BB84協(xié)議[5-6]演變而來(lái)，是基于準(zhǔn)備和測(cè)量的相干態(tài)QKD協(xié)議。此外，基于糾纏態(tài)的QKD協(xié)議[7]為通信雙方Alice和Bob提供絕對(duì)安全的通信，且可以抵御來(lái)自竊聽(tīng)者Eve的攻擊。在相干態(tài)的CVQKD系統(tǒng)中，按照協(xié)議內(nèi)容可以分為3個(gè)部分[8]：量子傳輸、信息協(xié)調(diào)和隱私放大。

量子傳輸階段，Alice和Bob利用量子信道進(jìn)行相干態(tài)信息傳遞，由Alice首先發(fā)送一連串的光束，作為初始的量子信息|qk+ipk。Bob利用檢測(cè)技術(shù)隨機(jī)地檢測(cè)來(lái)自Alice的qk和pk，得到{y1,y2，…，ys}，并與Alice溝通，Alice通過(guò)y篩選出合適的qk和pk，選定雙方的相干態(tài)信息，完成相干態(tài)協(xié)議。在量子信息傳輸過(guò)程中，當(dāng)存在竊聽(tīng)者Eve時(shí)，Bob通過(guò)參數(shù)估計(jì)，從接收信息中檢測(cè)到異常，從而放棄本次通信，確保整個(gè)系統(tǒng)的安全。

信息協(xié)調(diào)階段，初始時(shí)采用正向協(xié)調(diào)技術(shù)[9]，即Alice作為發(fā)送端，Bob作為接收端的收發(fā)模式，但一直存在著-3 dB的技術(shù)限制。隨后提出了反向協(xié)調(diào)技術(shù)[10]，成功克服了-3 dB的技術(shù)限制[11]，即Bob作為信息協(xié)調(diào)的發(fā)送端，Alice作為接收端。在后處理階段，常用的技術(shù)包括多維協(xié)調(diào)、球面映射和信道編譯碼。其中，影響系統(tǒng)性能的因素主要包括2點(diǎn)[12]：① 多維協(xié)調(diào)選用的維數(shù)，最高為8；② 采用的信道編譯碼的糾錯(cuò)能力。可以看出，對(duì)于整個(gè)CVQKD系統(tǒng)，后處理階段存在著重要的地位。本文研究主要圍繞后處理階段展開(kāi)。

隱私放大[13]階段，在完成密鑰協(xié)調(diào)后，為了擴(kuò)大通信雙方的密鑰量，進(jìn)一步增強(qiáng)安全性。采用哈希函數(shù)進(jìn)行全域散列，使得雙方的密鑰更長(zhǎng)，安全性更高。

2 后處理的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)過(guò)程

2.1 傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案

圖1 基于反向協(xié)調(diào)的多維協(xié)調(diào)CVQKD系統(tǒng)框圖

(1)

系統(tǒng)使用反向協(xié)調(diào)方案。首先由Bob隨機(jī)生成一串序列u|u1,u2,…,uk|作為初始的信息序列。對(duì)u進(jìn)行信道編碼得到碼字c，在本文的CVQKD系統(tǒng)中，使用極化碼[14]作為信道編碼。對(duì)編碼后的碼字c進(jìn)行球面映射，得到映射后的碼字c′，計(jì)算過(guò)程如下：

(2)

隨后，Bob通過(guò)已有的信息進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，即將映射后的碼字c′與相干態(tài)信息y′進(jìn)行加密處理，計(jì)算過(guò)程如下：

(3)

式中,αi(y′,c′)=(Aiy′,c′)，Ai是d維正交矩陣的族[15]。

(4)

傳統(tǒng)的分析模型[16]中,信道噪聲可以用ε表示，由式(4)可以看出：

(5)

ε～N(0,σ′2)，

(6)

(7)

在極化碼譯碼階段，需要計(jì)算出接收碼字對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)似然比(LLR)：

(8)

可以看出，為了計(jì)算LLR值，Alice需要Bob提供M(y′，c′),輔助譯碼參數(shù)d，|y|,以及極化碼碼字長(zhǎng)度N，信息長(zhǎng)度K，極化碼凍結(jié)位的位置信息Ac。參數(shù)|y|在每一次循環(huán)中均不相同，需要Bob反復(fù)計(jì)算，消耗了大量的計(jì)算資源，也影響著通信雙方的工作效率。

2.2 虛擬信道模型的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案

本文提出了一種新的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案，并從理論上證明了Bob提供的輔助譯碼參數(shù)中，參數(shù)|y|的傳遞是非必要的。

文獻(xiàn)[17]從傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)框架出發(fā)，嘗試一種新的數(shù)學(xué)模型。建立虛擬信道模型，以Bob的c′為輸入，Alice的v為輸出，直接分析虛擬信道的噪聲參數(shù)。虛擬信道模型的系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2的虛擬信道可以理解為，輸入c′輸出v的一次傳輸?shù)年P(guān)系，模型概念如圖3所示。

圖2 所建立的虛擬信道在CVQKD系統(tǒng)中的位置

圖3 c′為輸入，v為輸出的虛擬信道模型

按照?qǐng)D3的示意，模型的輸入和輸出的差值是虛擬信道的噪聲：

(9)

用ε′和ε來(lái)區(qū)分虛擬信道分析和傳統(tǒng)信道分析模型中的噪聲參數(shù)：

(10)

(11)

將式(10)進(jìn)行規(guī)范化處理，得到：

(12)

依據(jù)式(12)，得到：

(13)

通過(guò)式(13)發(fā)現(xiàn)，信道噪聲參數(shù)與多維協(xié)調(diào)的維度d存在著很大關(guān)系，這也符合系統(tǒng)性能隨著多維協(xié)調(diào)維度d的增加得到改善的結(jié)論。

將式(6)與式(13)聯(lián)立，可以看出t分布于正態(tài)分布之間存在著一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。再參考文獻(xiàn)[19],通過(guò)研究學(xué)生-t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)以及概率密度函數(shù)，給出了二者的轉(zhuǎn)換公式。

自由度為n的學(xué)生-t分布t(n)的概率密度函數(shù)為：

(14)

自由度為n的學(xué)生-t分布的分布函數(shù)為：

(15)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：

(16)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)：

(17)

文獻(xiàn)[19]通過(guò)對(duì)式(14)～(17)進(jìn)行研究分析，略去o(n-8)，得出t分布的概率密度函數(shù)：

(18)

當(dāng)學(xué)生-t分布的自由度n趨近于+∞，f(t,n)等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布φ(t)。圖4給出了不同自由度的學(xué)生-t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線。從圖中可以看出,隨著自由度的增加，學(xué)生-t分布逐漸與正態(tài)分布的密度函數(shù)趨于一致。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和學(xué)生-t分布的概率密度曲線

將文獻(xiàn)[19]中的結(jié)論與本文的多維協(xié)調(diào)維數(shù)相結(jié)合，可以近似出不同維數(shù)d時(shí)的正態(tài)分布噪聲參數(shù)。計(jì)算結(jié)果如下：

(19)

將式(19)的結(jié)論帶入式(13)，可以得到：

(20)

取出式(20)的方差并與式(7)聯(lián)立，可以近似估算出輔助譯碼參數(shù)|y|。不同維數(shù)d的輔助譯碼參數(shù)|y|估算結(jié)果如下：

(21)

可以得出結(jié)論，Bob分享的輔助譯碼參數(shù)中，|y|的傳輸是非必要的，Alice可以通過(guò)多維協(xié)調(diào)的維數(shù)d估算出|y|的值。

將傳統(tǒng)方案與本文方法的存儲(chǔ)器開(kāi)銷對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在傳統(tǒng)方案中，每次循環(huán)，為重新計(jì)算|y|，需要進(jìn)行N次乘法以及N-1次加法。本文提出的估算方案，只需要在最初依據(jù)維數(shù)進(jìn)行一次估算，之后的循環(huán)過(guò)程中，可以直接調(diào)用存儲(chǔ)器里的估算數(shù)值，其運(yùn)算存儲(chǔ)器的開(kāi)銷可以忽略不計(jì)。

3 性能分析

通過(guò)前面的介紹發(fā)現(xiàn)，信息處理階段，輔助譯碼參數(shù)|y|的傳輸是非必要的。為了進(jìn)一步論證這一觀點(diǎn)，進(jìn)行了多次的仿真實(shí)驗(yàn)。

仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比了不同碼長(zhǎng)、不同碼率下的傳統(tǒng)模型和本文模型的性能，并給出了分析。本文分別仿真了碼長(zhǎng)為28和210的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并對(duì)比了相同碼長(zhǎng)下，碼率為1/2和1/4的性能。系統(tǒng)中的信道編碼的譯碼算法均使用串行抵消(SC)譯碼算法[14]。

文獻(xiàn)[12]成功證明了多維協(xié)調(diào)的維數(shù)d對(duì)于系統(tǒng)性能的影響，即維數(shù)d越大，系統(tǒng)性能越好。所以本文的仿真實(shí)驗(yàn)以維數(shù)8作為基礎(chǔ)參數(shù)進(jìn)行。

實(shí)驗(yàn)1：反向協(xié)調(diào)的CVQKD系統(tǒng)，多維協(xié)調(diào)維數(shù)d=8，極化碼的碼率R=1/2，碼長(zhǎng)N分別為256，1 024的仿真性能對(duì)比。

圖5對(duì)比了3種協(xié)調(diào)方案下，碼長(zhǎng)N=256，碼率R=1/2的仿真性能。圖6對(duì)比了碼長(zhǎng)N=1 024，碼率R=1/2的仿真性能。

(a)碼長(zhǎng)256、碼率1/2，誤碼率比較

(a)碼長(zhǎng)1 024、碼率1/2，誤碼率比較

由圖5和圖6可以看出，碼率為1/2時(shí)，即使默認(rèn)|y|=1，CVQKD系統(tǒng)依然能保持較為良好的譯碼性能。而本文提出的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案，在不傳輸參數(shù)|y|的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步估算出|y|的值，成功減少了性能損耗，與傳統(tǒng)數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案的性能更為接近。

本文更換了極化碼的碼率進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)2。與實(shí)驗(yàn)1相比，實(shí)驗(yàn)2降低了信道編碼的碼率，為系統(tǒng)帶來(lái)了更好的性能增益，也更為貼合實(shí)際的CVQKD系統(tǒng)需求。

實(shí)驗(yàn)2：反向協(xié)調(diào)的CVQKD系統(tǒng)，多維協(xié)調(diào)維數(shù)d=8，極化碼的碼率R=1/4，碼長(zhǎng)N分別為256，1 024的仿真性能對(duì)比。

圖7對(duì)比了3種協(xié)調(diào)方案，碼長(zhǎng)N=256，碼率R=1/4時(shí)的仿真性能。圖8中對(duì)比了碼長(zhǎng)N=1 024，碼率R=1/4時(shí)的仿真性能。

(a)碼長(zhǎng)1 024、碼率1/4，誤碼率比較

由圖7和圖8可以看出，隨著碼率的下降，無(wú)論是傳輸|y|的傳統(tǒng)數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案還是估算|y|的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案的性能都獲得了進(jìn)一步的提升。說(shuō)明信道編碼為CVQKD系統(tǒng)帶來(lái)的增益依然適用于本文提出的協(xié)調(diào)方案。

通過(guò)上述的性能仿真可以看出，忽略|y|的協(xié)調(diào)方案在性能上與傳統(tǒng)協(xié)調(diào)方案存在差距，本文通過(guò)估算|y|的數(shù)值，成功減少了這個(gè)性能差距。信息協(xié)調(diào)階段，輔助譯碼參數(shù)|y|的傳輸是非必要的，可以利用數(shù)學(xué)推理，擬合出參數(shù)|y|的近似值，成功減少了輔助譯碼參數(shù)，使得系統(tǒng)的可靠性進(jìn)一步提升，并且降低了缺少|(zhì)y|對(duì)系統(tǒng)性能造成的影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了CVQKQ的后處理計(jì)算流程，通過(guò)建立虛擬信道的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建虛擬信道噪聲參數(shù)，得知了虛擬信道噪聲服從自由度為d的學(xué)生-t分布。并對(duì)比了傳統(tǒng)后處理計(jì)算數(shù)學(xué)信道噪聲模型，聯(lián)立2次模型的結(jié)果，成功將參數(shù)|y|擬合為常量。由于多維協(xié)調(diào)的影響，使用不同維數(shù)進(jìn)行協(xié)調(diào)時(shí)，虛擬信道的噪聲參數(shù)有所不同，所擬合的參數(shù)存在差異。本文仿真了八維協(xié)調(diào)的CVQKD系統(tǒng)性能，并與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)方案進(jìn)行對(duì)比，仿真表明，傳輸信道中輔助譯碼參數(shù)|y|是非必要的。通過(guò)2組仿真實(shí)驗(yàn)，說(shuō)明信道編碼的性能增益依然適用于本文提出的方案。接下來(lái)考慮設(shè)計(jì)適用于本方案的信道譯碼方案以進(jìn)一步提升性能。