◎ 海南省?？谑泻Ｄ先A僑中學(xué) 李紅慶

中學(xué)數(shù)學(xué)研討學(xué)教法主要源于筆者個(gè)人專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)的經(jīng)歷，受啟發(fā)于作坊教育和基于對(duì)當(dāng)前中外中學(xué)數(shù)學(xué)教育的比較性思考。從1987年開(kāi)始，本人一直立足于中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐，以課堂為現(xiàn)場(chǎng)，以教學(xué)為中心，從實(shí)際出發(fā)，不斷深入開(kāi)展研討學(xué)教法課堂教學(xué)實(shí)踐。經(jīng)過(guò)多年的摸索與研究，逐步將“高中數(shù)學(xué)研討學(xué)習(xí)法”“高中數(shù)學(xué)研討教學(xué)法”轉(zhuǎn)變升華為“中學(xué)數(shù)學(xué)研討學(xué)教法”，從“教學(xué)法”到“學(xué)教法”，不僅僅是“學(xué)”與“教”互換位置，課堂教學(xué)過(guò)程中的主客關(guān)系也發(fā)生了本質(zhì)性變化。把“學(xué)”提升到教學(xué)主體地位，不僅有利于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性，激發(fā)深藏在學(xué)生骨子里的學(xué)習(xí)潛能，營(yíng)造濃厚的研討學(xué)氛圍，而且能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生創(chuàng)新能力，從而產(chǎn)生生成性的教學(xué)效果。而教師作為教學(xué)過(guò)程的頂層設(shè)計(jì)者，在組織教學(xué)、問(wèn)題診斷、是非甄別、發(fā)現(xiàn)實(shí)證、質(zhì)疑批判等方面都要發(fā)揮其專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的引領(lǐng)作用。在研討學(xué)教法中，“學(xué)”與“教”形成了一種和諧的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。本文主要介紹中學(xué)數(shù)學(xué)研討學(xué)教法課堂教學(xué)的模式研究。

一、研討學(xué)教法課堂教學(xué)一般模式

研討學(xué)教法課堂教學(xué)一般模式是研討學(xué)教法的基本結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。它是針對(duì)課堂教學(xué)的有效性、科學(xué)性和前瞻性特點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)實(shí)踐與研究的結(jié)果，是對(duì)課堂教學(xué)規(guī)律充分認(rèn)識(shí)與思考基礎(chǔ)上，通過(guò)科學(xué)抽象而得到的基本思維和操作流程。構(gòu)建模式可由圖1解析：

圖1

研討學(xué)教法課堂教學(xué)一般以單元教學(xué)或微專(zhuān)題教學(xué)為主，把各模塊分成若干單元，又將單元分解為幾個(gè)課題或微專(zhuān)題，然后根據(jù)課題或微專(zhuān)題的內(nèi)容、性質(zhì)、應(yīng)用等，搜索相關(guān)的教材（不限于當(dāng)版教材）、資料、文獻(xiàn)，并整理成課程素材。接著擬定研討提綱，將“課題研討提綱下達(dá)與課程素材反饋雙向卡”（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“雙向卡”）提前發(fā)放給學(xué)生，通過(guò)分析研討學(xué)教法課堂的研討過(guò)程（常規(guī)變式、引申、鞏固性訓(xùn)練）形成淺層次教學(xué)資源，這是研討學(xué)教法的一條常規(guī)路徑。研討學(xué)教法還有一條教學(xué)生成性路徑，這是它的獨(dú)特之處。即：通過(guò)對(duì)淺層次教學(xué)資源進(jìn)行思考、質(zhì)疑、批判、改進(jìn)，從而生成新素材，再進(jìn)入核心環(huán)節(jié)研討學(xué)教法課堂進(jìn)行研討，通過(guò)研討過(guò)程再度增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)，通過(guò)歸檔與歸納，不僅有利于生成深層次教學(xué)資料，而且還能充實(shí)課堂素材，便于推陳出新。

二、研討學(xué)教法解題教學(xué)一般模式

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是無(wú)法回避的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，尤其是畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)。研討學(xué)教法倡導(dǎo)科學(xué)性、階段性、一般性的解題教學(xué)，不是在淺層次的層面上花大量時(shí)間刷題而得到機(jī)械解題方法，而是在深層次層面上，通過(guò)規(guī)律摸索、課堂研討得到一般性、適應(yīng)性、簡(jiǎn)捷性的解題方法。在長(zhǎng)期的研討學(xué)教法課堂教學(xué)中，本人逐漸摸索出了研討學(xué)教法解題教學(xué)的一般模式（如圖2）：

圖2

下文以微專(zhuān)題教學(xué)——求圓錐曲線(xiàn)切點(diǎn)弦方程為例解析上述模式的含義。

問(wèn)題1：已知點(diǎn)P(3,2)，圓C:x2+y2=5,自點(diǎn)P(3,2)向圓C引兩切線(xiàn)PT、PQ，其中T、Q為切點(diǎn)，求直線(xiàn)TQ的方程。

問(wèn)題2：已知點(diǎn)P(x0,y0)是圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）外一點(diǎn)，自點(diǎn)P(x0,y0)向圓C引兩切線(xiàn)PT、PQ，其中T、Q為切點(diǎn)，求直線(xiàn)TQ的方程。

顯然實(shí)施方法1是不能解決問(wèn)題2的，必須尋找新的方法。

方法2：設(shè)點(diǎn)T(x1,y1)，Q(X2,Y2)，則于是得到圓C以T為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為x1x+y1y+因?yàn)辄c(diǎn)P(X0,Y0)在直線(xiàn)PT上，于是得F=0——②，等式②說(shuō)明了點(diǎn)T(x1，y1)在直線(xiàn)③上，同理點(diǎn)Q(x2,y2)在直線(xiàn)③上，所以直線(xiàn)TQ的方程③。

方法2雖然解決了圓的切點(diǎn)弦方程的一般性求法，但并沒(méi)有解決圓錐曲線(xiàn)的一般情形，需要找到解決圓錐曲線(xiàn)的切點(diǎn)弦的一般性方法，才能真正地求解問(wèn)題。

問(wèn)題3：已知點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓C(a＞b＞O)外一點(diǎn)，自點(diǎn)P(x0,y0)向橢圓C引兩切線(xiàn)PT、PQ，其中T、Q為切點(diǎn)，求直線(xiàn)TQ的方程。

方法3：在方法2的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，方法2求切線(xiàn)的斜率時(shí)，應(yīng)用了圓的特殊性質(zhì)，切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直。其他圓錐曲線(xiàn)具備這個(gè)性質(zhì)，設(shè)圓C以T為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y-y1=k(x-x1)，與圓C的方程聯(lián)立整理成關(guān)于x-x1的一元二次方程為（b2+a2k2)（x-x1)2+2(b2x1+a2ky1)(x-x1)=0，因?yàn)橄嗲?，則判別式△=4(b2x1+a2ky1)2=0，于是得所以圓C以T為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為b2x1x+a2y1y-a2b2=0，以下與方法2相同，從而得到直線(xiàn)TP的方程為b2x0x+a2y0y-a2b2=0，方法3就是解決此類(lèi)問(wèn)題的最佳的一般性方法。若圓錐曲線(xiàn)C的方程為F(x,y)=0，根據(jù)偏導(dǎo)的幾何性質(zhì)或直線(xiàn)參數(shù)方程，可得到在點(diǎn)T(x1，y1)處的切線(xiàn)方程為0，自點(diǎn)P(X0,Y0)向C引一束動(dòng)割線(xiàn)TKQK（K=1，2，…，n，…），線(xiàn)段TKQK的中點(diǎn)M(x,y)軌跡方程為切點(diǎn)弦TQ的方程可表示為（y-y0）]=0，化簡(jiǎn)為0（見(jiàn)圖3）。

圖3

研討學(xué)教法解題教學(xué)有三個(gè)認(rèn)識(shí)境界。

第一個(gè)境界是感性認(rèn)識(shí)境界，見(jiàn)題解題，對(duì)題目不作任何發(fā)散性思考與條件追究，僅滿(mǎn)足常規(guī)性教學(xué)境界。第二個(gè)境界，作簡(jiǎn)單變式與含參討論，不作一般性研究，滿(mǎn)足小發(fā)現(xiàn)小創(chuàng)新。第三個(gè)境界，遵循認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律：①先獲得感性認(rèn)識(shí)。②把感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。③運(yùn)用理性認(rèn)識(shí)來(lái)指導(dǎo)具體實(shí)踐。這是解題的最高境界，不僅能整體把握事物發(fā)展的規(guī)律，而且達(dá)到深層次解題教學(xué)的終極目標(biāo)。

三、研討學(xué)教法概念教學(xué)一般模式

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是課堂教學(xué)中很重要的環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)概念形成也要基于以問(wèn)題為導(dǎo)向，以需求為牽引，通過(guò)研討學(xué)教的方法幫助學(xué)生形成正確、辯證、本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念，尤其對(duì)于較抽象的數(shù)學(xué)概念更要突出這三點(diǎn)，概念教學(xué)既研討學(xué)教法課堂教學(xué)的一般性，也研究它的特殊性。它的一般模式是（圖4）：

圖4

第一階段：課前準(zhǔn)備。教師要認(rèn)真研討《中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》與數(shù)學(xué)現(xiàn)行教材，上網(wǎng)查找相關(guān)文獻(xiàn)資料，學(xué)習(xí)借鑒其他版本教材如何處理概念等問(wèn)題，類(lèi)比參考相關(guān)已知內(nèi)容，撰寫(xiě)研討學(xué)教法課堂教學(xué)雙向卡，課前提供給學(xué)生。

第二階段：課堂教學(xué)。這是研討學(xué)教法課堂的核心階段。教師在對(duì)教材進(jìn)行思考、批判、改進(jìn)等方面的處理中，形成符合學(xué)生認(rèn)知、符合客觀(guān)規(guī)律的數(shù)學(xué)概念。師生共同參與課堂研討學(xué)教過(guò)程，通過(guò)概念的引申、辨析、遷移，從而幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)概念深層次的理解。

第三階段：課后功課。主要落實(shí)三方面任務(wù)：學(xué)生要完成歸納小結(jié)，做適當(dāng)鞏固性訓(xùn)練題，跟同學(xué)分享學(xué)習(xí)心得；教師要跟進(jìn)輔導(dǎo)，即時(shí)解答學(xué)生的存疑，指導(dǎo)學(xué)生每天寫(xiě)一問(wèn)一議的筆記；單元教學(xué)結(jié)束時(shí)，學(xué)生需要完成單元檢測(cè)試題或撰寫(xiě)小論文。

譬如“全概率公式與貝葉斯公式”的教學(xué)，先認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，課程標(biāo)準(zhǔn)要求“結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率。了解貝葉斯公式?！辈⒔ㄗh“在概率的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例”，理解全概率公式的內(nèi)涵與外延，查閱他版教材（新增內(nèi)容還需要查閱大學(xué)教材）并與當(dāng)版教材的概念引入、例題設(shè)計(jì)、公式推導(dǎo)做比較，做好“雙向卡”提前發(fā)給學(xué)生。下面例說(shuō)全概率公式和貝葉斯公式教學(xué)。

引例：如圖5，某人從罐A1、A2、A3中任取一罐，從中任取一球，取得深色球的概率為多少？

圖5

根據(jù)古典概型，可設(shè)事件Ai=取到第i（i=1、2、3）罐，事件B=取出的球是深色球。

并且學(xué)生知道A1+A2+A3=Ω，A1、A2、A3互斥，B=A1B+A2B+A3B，根據(jù)乘法公式，可得P(AiB)=P（Ai）P(B|Ai)，于是易得全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)，即P(B|Ai)，也可以依古典概型全概率公式表示為，這樣表述學(xué)生更能理解，而全概率公式是需要在條件概率的基礎(chǔ)上來(lái)定義與推導(dǎo)，先把樣本空間Ω拆分成n個(gè)隨機(jī)事件Ai（i=1，2，…，n），根據(jù)拆分含義，就能得到兩個(gè)條件：A1∪A2∪…∪An=Ω；Ai∩Aj=Ф（1≤i≠j≤n），稱(chēng)事件A1，A2，…，An是一個(gè)完備事件組，也可稱(chēng)Ω一個(gè)劃分，如圖6，全概率公式貝葉斯公式亦稱(chēng)為逆概率，即為逆向“問(wèn)責(zé)”，在事件B發(fā)生的條件下，求事件A（i=1，2，…，n）發(fā)生概率，貝葉斯公式很復(fù)雜，如果從條件概率去理解與推導(dǎo)，就便于理解與記憶，即，從維恩圖觀(guān)察（如圖6），就是AiB的面積與B的面積之比。

圖6

在研討學(xué)教法過(guò)程中充分利用研討過(guò)程激發(fā)學(xué)生參與討論的積極性，讓學(xué)生感悟到全概率公式使用情形，把事件B看作某一過(guò)程的結(jié)果，把事件A1，A2，…，An看作該過(guò)程的若干原因，每個(gè)原因發(fā)生的概率都是已知P(Ai)，它們概率的和為1，并且每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的影響也是已知P(B|Ai)，事件B在每原因中發(fā)生概率是P(Ai,B)，由加法原理即得

研討學(xué)教法跟進(jìn)過(guò)程也是非常重要的，既有常規(guī)性歸納小結(jié)、鞏固訓(xùn)練，也有思辨性存疑待解、一問(wèn)一議，更有創(chuàng)新性收獲展示、論文習(xí)作等檢驗(yàn)成效的學(xué)習(xí)活動(dòng)，每單元教學(xué)結(jié)束時(shí)，安排兩個(gè)學(xué)習(xí)小組在教室墻板展示收獲所得，主要展示問(wèn)題的創(chuàng)新解法。

研討學(xué)教過(guò)程中，如果能激活學(xué)生的學(xué)習(xí)探索潛能，令學(xué)生產(chǎn)生了前瞻性、開(kāi)創(chuàng)性的想法，那么就可以進(jìn)一步要求學(xué)習(xí)小組合作撰寫(xiě)數(shù)學(xué)小論文，這樣不僅能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功喜悅，而且提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。

四、研討學(xué)教法其他簡(jiǎn)化模式簡(jiǎn)介

學(xué)教法最大優(yōu)勢(shì)在于能充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀(guān)能動(dòng)性，提高學(xué)生的課堂教學(xué)的關(guān)注度和參與度。學(xué)教法是在目標(biāo)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，要求學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)與查找資料，按“雙向卡”上的提綱先預(yù)習(xí)后學(xué)習(xí)，并提出自己的想法與建議，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。學(xué)教法還結(jié)合新時(shí)代中學(xué)生心理特征，讓課堂成為學(xué)生展示自我的平臺(tái)，能激起學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，生生研討可促成生生思維的互相促進(jìn)，師生研討可促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生、教師的“雙發(fā)展”“雙提升”。

當(dāng)然任何教學(xué)模式都是辯證理解與應(yīng)用的，前面介紹了研討學(xué)教法課堂的一般模式，它反映了事物的共性。同時(shí)我們要針對(duì)不同的學(xué)情、內(nèi)容、學(xué)段、目標(biāo)，選擇不同研討學(xué)教模式來(lái)體現(xiàn)事物的個(gè)性，簡(jiǎn)單介紹如下：

1.“自學(xué)——研討”式教學(xué)模式。實(shí)施先自學(xué)后研討策略，通過(guò)設(shè)置任務(wù)清單，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)，梳理問(wèn)題，然后組織學(xué)生研討交流，解決疑難問(wèn)題，教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)共性問(wèn)題進(jìn)行研究，啟發(fā)學(xué)生對(duì)可思性問(wèn)題進(jìn)行拓展與引申，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升。

2.“問(wèn)題——研討”式教學(xué)模式。實(shí)施問(wèn)題導(dǎo)向教學(xué)策略，在學(xué)生參與下，把教學(xué)內(nèi)容提煉成一系列問(wèn)題，以問(wèn)題為導(dǎo)向引領(lǐng)學(xué)生研討活動(dòng)，讓學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的提升。

3.“活動(dòng)——研討”式教學(xué)模式。實(shí)施實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)策略，把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成實(shí)踐研討的對(duì)象，讓學(xué)生在實(shí)踐研討活動(dòng)中動(dòng)手、動(dòng)腦，親自經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的研討歷程，感受數(shù)學(xué)的研究過(guò)程和方法，從而在研討活動(dòng)中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)。

俗話(huà)說(shuō)，“教學(xué)有法，教無(wú)定法，貴在得法！”筆者倡導(dǎo)的中學(xué)數(shù)學(xué)研討學(xué)教法課堂教學(xué)模式是以問(wèn)題為導(dǎo)向，以研討過(guò)程為核心，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方法的靈活多樣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能，把學(xué)生骨子里的東西激發(fā)出來(lái)，使知識(shí)易于接受，問(wèn)題易于解決，在學(xué)生的積極配合下提高教學(xué)的有效性。這樣既能出教學(xué)成果，又能出科研成果。比如筆者從教以來(lái)撰寫(xiě)的許多論文的素材大多來(lái)源于研討教學(xué)中的師生共同發(fā)現(xiàn)。由此可見(jiàn)，這是一件一舉多得、一舉多贏(yíng)的事，何樂(lè)而不為呢？