劉俊鋒，俞翔，萬海波

1 海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033

2 海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033

0 引 言

受強(qiáng)背景噪聲、設(shè)備轉(zhuǎn)速、摩擦和負(fù)載的影響，滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)往往呈現(xiàn)信噪比低、非線性、非平穩(wěn)等特點(diǎn)，故導(dǎo)致其故障特征難以識(shí)別[1-2]。為解決此類問題，相關(guān)學(xué)者將短時(shí)傅里葉變換(short-time Fourier transform，STFT )[3]、Winger-Ville分布[4]、小波變換[5]、希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform, HHT)[6]、變分模態(tài)分 解(variation mode decomposition，VMD)[7-8]等方法應(yīng)用于滾動(dòng)軸承故障診斷領(lǐng)域。然而，由于Heisenberg 測不準(zhǔn)原理的限制，短時(shí)傅里葉變換的分辨率較低；Winger-Ville 分布則會(huì)產(chǎn)生無法消除的二次交叉項(xiàng)干擾；HHT 是一種自適應(yīng)的高效時(shí)頻分析方法，包括經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition，EMD）和希爾伯特譜分析兩個(gè)部分，但EMD 存在模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)等問題[9]。

在此基礎(chǔ)上，相關(guān)學(xué)者提出了大量改進(jìn)方案。Wu 等[10]提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD)方法，Smith[11]提出了局部均值分解(local mean decomposition，LMD)方法，程軍圣等[12]提出了局部特征尺度分解（local characteristic-scale decomposition，LCD）方法。但是，這類算法存在因極值點(diǎn)擬合所導(dǎo)致的模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)以及缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等問題。雖然VMD 方法可以通過搜尋約束變分模型的最優(yōu)解來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的自適應(yīng)分解，但其受預(yù)設(shè)模態(tài)數(shù)量和懲罰參數(shù)的影響較大，且計(jì)算復(fù)雜、耗時(shí)，故效率較低[13]。

Singh 等[14]基于傅里葉理論提出了一種基于零相位濾波器組的自適應(yīng)時(shí)頻分析方法，即傅里葉分解方法（Fourier decomposition method，F(xiàn)DM），其通過高頻到低頻或低頻到高頻的邊界頻率搜索，可以將一個(gè)有限長度的非線性和非平穩(wěn)數(shù)據(jù)分解為若干個(gè)傅里葉本征模態(tài)函數(shù)（Fourier intrinsic mode function，F(xiàn)IMF）之和。FDM 具有自適應(yīng)性、局部性、完備性和正交性等優(yōu)點(diǎn)，但在實(shí)際強(qiáng)背景噪聲下，其存在邊界頻率偏移、信號(hào)過分解、有效FIMF 選取困難等問題。鄭近德等[15]通過改進(jìn)FDM 的邊界頻率搜索方法，提出了自適應(yīng)經(jīng)驗(yàn)傅里葉分解（adaptive empirical Fourier decomposition，AEFD），但仍然存在耗時(shí)長、敏感分量選取困難等問題。

當(dāng)滾動(dòng)軸承發(fā)生表面損傷型故障時(shí)，其沖擊作用將誘發(fā)系統(tǒng)的高頻固有振動(dòng)成分，而低頻部分在強(qiáng)背景噪聲下的信噪比則較低[16]。為此，本文擬提出一種基于改進(jìn)傅里葉模態(tài)分解和頻帶熵的滾動(dòng)軸承故障診斷方法：首先，利用頻帶熵（frequency band entropy，F(xiàn)BE）分析確定敏感頻帶的中心頻率并確定敏感區(qū)間邊界；然后，在敏感頻帶區(qū)間內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行帶限傅里葉模態(tài)分解；接著，根據(jù)FIMFs 與原信號(hào)的FBE 區(qū)域從屬關(guān)系，選取可以反映故障特征的敏感FIMFs；最后，對(duì)選取的FIMFs 進(jìn)行包絡(luò)譜分析和故障特征提取，并開展?jié)L動(dòng)軸承仿真和實(shí)驗(yàn)，用以驗(yàn)證該方法的有效性和精確性。

1 理論分析

1.1 改進(jìn)傅里葉模態(tài)分解

改進(jìn)傅里葉模態(tài)分解（modified fourier mode decomposition，MFMD）方法是在FDM 的基礎(chǔ)上，通過引入FBE 分析等方法來確定敏感頻帶，進(jìn)而設(shè)置頻率搜索的初始邊界并在各區(qū)間內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化的帶限傅里葉模態(tài)分解。MFMD 可以將任意能量有限的非線性和非平穩(wěn)信號(hào)x(t)自適應(yīng)分解為一系列FIMF之和，即x(t)=yi(t)+rI(t)，其中：t為時(shí)間；yi(t)為 FIMFs，i=1, 2, ···，I，其中I為模態(tài)個(gè)數(shù)；rI(t)為殘留信號(hào)。

對(duì)任意滿足Dirichlet 條件的有限長的非線性和非平穩(wěn)的零均值實(shí)信號(hào)x(t)（t∈[t0,t0+T]，其中t0為起始時(shí)間，T為周期）：

1）構(gòu)造x(t)的周期延拓并對(duì)其進(jìn)行快速傅里葉變換。令xT(t)=x(t-kT)，其中k∈[-∞,∞]，k為周期個(gè)數(shù)。使得x(t)=xT(t)w(t)，其中：當(dāng)t0≤t≤t0+T時(shí)，w(t)=1， 其 他 則w(t)=0。因 此，xT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開的復(fù)數(shù)形式為

式中：n∈[-∞,∞]，n為波數(shù)；j為虛數(shù)單位；角頻率ω0=2π/T；cn=xT(t)exp(-jnω0t)dt。通過對(duì)xT(t)進(jìn)行快速傅里葉變換，即可得到其復(fù)系數(shù)F(f)=∫x(t)e-iftdt，其中f為頻率。

2） 頻率邊界的準(zhǔn)確性將直接影響傅里葉模態(tài)的分解結(jié)果，而FDM 邊界頻率搜索受背景噪聲的影響較大，為了取得理想的分解效果，本文提出一種基于FBE 的邊界頻率搜索方法，其確定頻率邊界集的步驟如下：

（1） 首先，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行FBE 分析和短時(shí)傅里葉變換，選取區(qū)域熵值最小點(diǎn)作為中心頻率，而敏感頻帶邊界則由離中心頻率最近的頻帶熵包絡(luò)極大值點(diǎn)所確定。

（2） 然后，依據(jù)敏感頻帶邊界，劃分整個(gè)待搜索頻帶內(nèi)的初始邊界頻率集{Bs}=[fs-1,fs)=[0,Fs/2)，其中：s=1, 2,···，S，S為初始區(qū)間個(gè)數(shù)；最小值f0=0；最大值fS=Fs/2 ， 其中Fs為頻率上限。

（3） 根據(jù)初始邊界頻率集，在各區(qū)間內(nèi)進(jìn)行邊界頻率二次搜索，判斷標(biāo)準(zhǔn)為在滿足瞬時(shí)幅值ai(t)≥0 和 瞬時(shí)頻率fi(t)≥0的情況下獲取最小數(shù)量的解析FIMFs。設(shè)定最終優(yōu)化的頻率邊界集{Bi}=[fi-1,fi)=[0,Fs/2)， 其中最小值f0=0，最大值fI=Fs/2，然后依據(jù)邊界頻率對(duì)其復(fù)系數(shù)的實(shí)部Re{F(f)}進(jìn)行自適應(yīng)分割。

3） 對(duì)信號(hào)在區(qū)間Bi=[fi-1,fi)內(nèi)進(jìn)行逆快速傅里葉變換，得到每個(gè)區(qū)間Bi內(nèi)的解析FIMF分量Ii(t)=ai(t)exp(jφi(t))， 其中：ai(t)為瞬時(shí)幅值；φi(t)為瞬時(shí)相位。

因此，原始信號(hào)可以表示為

其離散形式為

式中，x[n]，ai[n]， φi[n]分 別為xT(t)，ai(t) ， φi(t)的離散形式，其中n=1,2,···,N，N為離散信號(hào)長度。

4） 每個(gè)FIMF 的瞬時(shí)幅值ai(t)和瞬時(shí)頻率fi(t)均為有關(guān)時(shí)間的函數(shù)，故定義三維時(shí)頻能量分布 {t,fi(t),ai(t)}為傅里葉希爾伯特譜，記為H(f,t)， 其邊際希爾伯特譜h(f)為

1.2 頻帶熵

頻帶熵是一種時(shí)頻分析和信息熵相結(jié)合的信號(hào)分析方法[17]，基于幅值譜熵的頻帶熵計(jì)算方法如下：

1） 首先，對(duì)信號(hào)y(z)（z=1, 2, ···,Z，其中Z為信號(hào)長度）做短時(shí)傅里葉變換，得到其時(shí)頻分布TER為

式中：M為頻率點(diǎn)的個(gè)數(shù)；C=Z/L，為傅里葉變換次數(shù)，其中L為步長；rM.C為信號(hào)在第C個(gè)窗口對(duì)應(yīng)局部時(shí)間內(nèi)頻率M成分的估計(jì)值。

2）將第q個(gè)頻率分量的幅值沿時(shí)間的變化定義為Xfq=(rq,1,rq,2,···,rq,C)，則單個(gè)頻率分量的頻帶熵為

式中：m=1, 2, ···,C；q=1, 2, ···,M；pm,q為 第q個(gè)頻率分量在整個(gè)頻譜中的占比；Hsq為第q個(gè)頻率分量的頻帶熵值；Fm為 頻率分量Xfq沿時(shí)間軸的譜分布。

3） 計(jì)算各頻率分量的頻帶熵值，即可得到全頻帶的頻帶熵分布Hsf為

如果頻率分量Xfq隨著時(shí)間平緩變化或規(guī)律變化，該頻率分量的頻帶熵值將較小，反之則較大，故可在故障診斷中用于尋找設(shè)備的共振頻率[18]，并為自適應(yīng)濾波參數(shù)設(shè)置提供參考。

2 仿真信號(hào)分析

本節(jié)將通過仿真信號(hào)分析驗(yàn)證改進(jìn)傅里葉分解的可行性，并通過軸承故障仿真信號(hào)分析闡明基于MFMD 和FBE 的故障診斷方法的優(yōu)越性。

2.1 改進(jìn)傅里葉模態(tài)分解

設(shè)定模擬信號(hào)為

式中：模擬信號(hào)x(t)由3 個(gè)調(diào)幅調(diào)頻的時(shí)變模態(tài)信號(hào)x1(t)，x2(t)，x3(t)疊加而成；采樣頻率Fs為4 096 Hz；n(t)為信噪比為5 dB 的高斯白噪聲。x(t)的時(shí)域波形和頻譜如圖1 所示。

圖1 模擬信號(hào)的時(shí)域波形與頻譜Fig. 1 Time domain waveform and spectrum of analog signal

分別對(duì)x(t)進(jìn)行FDM 和MFMD，其中FDM 采用低頻到高頻的頻率邊界搜索。由于MFMD 本質(zhì)上是一種帶限傅里葉分解方法，故首先依據(jù)信號(hào)頻譜確定仿真信號(hào)的初始分解頻率邊界為[40，90，200]，并在初始邊界下進(jìn)行優(yōu)化傅里葉模態(tài)分解。選取算法處理所得的前5 個(gè)分量，分別命名為FIMF1，F(xiàn)IMF2，F(xiàn)IMF3，F(xiàn)IMF4，F(xiàn)IMF5，結(jié)果如圖2 所示。受噪聲信號(hào)n(t)影響，F(xiàn)DM 搜索得到的邊界頻率有所偏移，其在低頻部分無法獲取準(zhǔn)確的信號(hào)模態(tài)信息，故分解所得的FIMFs 與預(yù)期結(jié)果的誤差較大，而MFMD 則獲取了3 個(gè)與其模態(tài)成分相對(duì)應(yīng)的FIMFs，其分解效果較為理想。

圖2 FDM 和MFMD 方法的信號(hào)分解結(jié)果Fig. 2 Signal decomposition results of FDM and MFMD methods

進(jìn)一步通過傅里葉希爾伯特譜分析其時(shí)頻分布特性，結(jié)果如圖3 所示：FDM 分解的FIMFs 整體波動(dòng)較大，在強(qiáng)背景噪聲下存在嚴(yán)重的邊界頻率識(shí)別誤差；MFMD 方法兼具傅里葉分解的完備性和正交性，其獲取的模態(tài)分量符合預(yù)期，精確度較高。

圖3 模擬信號(hào)的時(shí)頻分布Fig. 3 Time-frequency distribution of analog signals

2.2 基于MFMD 和FBE 的故障特征提取

為了驗(yàn)證MFMD 和FBE 故障特征提取方法的可行性和優(yōu)越性，設(shè)定滾動(dòng)軸承內(nèi)圈的故障仿真信號(hào)為

式中：x(t)為模擬信號(hào)；Ae為第e次沖擊的調(diào)幅信號(hào)，其中e=1, 2, ···,E，E為最大沖擊次數(shù)；τe為第e次沖擊的微小波動(dòng)；z(t)為高斯白噪聲，信噪比為-10 dB；A0為沖擊幅值；fr=28 Hz，為轉(zhuǎn)頻；h(t)為調(diào)頻信號(hào)；B=500，為系統(tǒng)衰減系數(shù)；fn=4 000 Hz，為結(jié)構(gòu)共振頻率。系統(tǒng)采樣頻率Fs=12 000 Hz，分析點(diǎn)數(shù)為12 000，內(nèi)圈故障頻率f1=1/T=80 Hz。

仿真信號(hào)的時(shí)域波形及其包絡(luò)譜如圖4 所示，由于強(qiáng)背景噪聲的影響，頻譜包絡(luò)圖中無法直接提取故障特征頻率、倍頻或轉(zhuǎn)頻。FDM 分析結(jié)果如圖5 所示，由于過分解、邊界頻率偏移和有效FIMF 選取困難等問題，故難以提取滾動(dòng)軸承的故障特征。

圖4 軸承故障仿真信號(hào)的時(shí)域波形與頻譜Fig. 4 Time domain waveform and spectrum of bearing fault simulation signal

圖5 軸承故障仿真信號(hào)的時(shí)頻分布Fig. 5 Time-frequency distribution of bearing fault simulation signal

因此，本文提出基于MFMD 和FBE 的故障特征提取方法，其流程如圖6 所示。

圖6 故障診斷流程Fig. 6 Fault diagnosis process

通過對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行FBE 分析，即可得到窗長分別為16，32，64，128，256 時(shí)的頻帶熵分布，如圖7 所示，可知其熵值最小點(diǎn)在4 000 Hz 處，這表明軸承固有頻率也在該值附近。當(dāng)旋轉(zhuǎn)機(jī)械發(fā)生表面損傷故障時(shí)，其沖擊將誘發(fā)系統(tǒng)的高頻固有振動(dòng)成分，從而放大故障特征，因此，本文將選取以熵值最小點(diǎn)作為中心頻率的區(qū)域?yàn)槊舾蓄l帶區(qū)間，其頻率區(qū)間邊界則由離中心頻率最近的頻帶熵極大值點(diǎn)所確定。本文選取的敏感區(qū)間為3 500～4 500 Hz，并在敏感區(qū)間內(nèi)進(jìn)行信號(hào)優(yōu)化傅里葉模態(tài)分解，結(jié)果如圖8 所示。從時(shí)域波形上觀察，F(xiàn)IMF4 的周期性沖擊故障特征非常明顯。

圖7 原始信號(hào)不同窗長下的頻帶熵分析Fig. 7 Frequency band entropy analysis of original signal with different window lengths

圖8 敏感區(qū)間內(nèi)的信號(hào)分解結(jié)果Fig. 8 Signal decomposition results in the sensitive interval

為了選取敏感FIMF，進(jìn)一步對(duì)各分量做FBE 分 析，如 圖9（a）所 示，結(jié) 果 表 明：FIMF3，F(xiàn)IMF4 的頻帶熵分布在固有頻率4 000 Hz 處與原始信號(hào)存在較高的區(qū)域從屬關(guān)系，其中FIMF4 的從屬特征更明顯。為了驗(yàn)證敏感FIMFs 的選取準(zhǔn)確性并提取故障特征，對(duì)FIMFs 進(jìn)行包絡(luò)譜分析，如 圖9（b）所 示，結(jié) 果 表 明：FIMF1，F(xiàn)IMF2，F(xiàn)IMF3，F(xiàn)IMF4 均表征出基頻為f1=1/T=80 Hz 的故障特征頻率，其中FIMF4 的故障特征最為清晰，這也符合基于FBE 分析的敏感FIMFs 選取判斷結(jié)果。

圖9 FIMFs 的FBE 和包絡(luò)譜分析Fig. 9 FBE and envelope spectrum analysis of FIMFs

為了驗(yàn)證本方法在強(qiáng)背景噪聲下提取故障特征的優(yōu)越性，本文將對(duì)比應(yīng)用離散小波變換和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解處理該故障仿真信號(hào)，結(jié)果如圖10 和圖11 所示。在強(qiáng)背景噪聲下，離散小波變換和EMD 均存在有效分量選取困難和故障特征受噪聲信號(hào)影響明顯等問題，因此，基于MFMD 和FBE的故障特征提取算法具有較高的可行性和優(yōu)越性。

圖10 小波包絡(luò)譜的分析結(jié)果Fig. 10 Results of wavelet envelope spectrum analysis

圖11 EMD 分解和包絡(luò)譜的分析結(jié)果Fig. 11 Results of EMD decomposition and envelope spectrumanalysis

3 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

本節(jié)將針對(duì)軸承故障模擬平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)軸承進(jìn)行故障診斷，如圖12 所示。軸承型號(hào)為NSK7010C，外徑為80 mm，內(nèi)徑為50 mm，接觸角為15°，滾動(dòng)體直徑為8.7 mm，滾動(dòng)體共計(jì)19 個(gè)。軸承故障為人工模擬故障，利用激光在外圈加工了一個(gè)平行于軸承軸線，寬0.5 mm、深0.5 mm 的槽。電機(jī)轉(zhuǎn)頻為50 Hz，測試過程的采樣頻率為65 536 Hz，軸承外圈故障的理論特征頻率為412 Hz。

圖12 軸承故障模擬平臺(tái)與模型Fig. 12 Bearing fault simulation platform and model

基于該故障模擬平臺(tái)，采集實(shí)驗(yàn)軸承內(nèi)側(cè)的徑向振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)，分析點(diǎn)數(shù)為65 536。首先，對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換（STFT）和FBE 分析，如圖13 和圖14 所示，結(jié)果表明：軸承在低頻部分的振動(dòng)分量較復(fù)雜，其能量分散在較寬的頻帶范圍內(nèi)，故難以選取軸承固有頻率所在的頻帶區(qū)域；振動(dòng)信號(hào)在20 000 Hz 左右的頻帶范圍內(nèi)具有較高的能量，且頻帶熵在此范圍內(nèi)具有區(qū)域下降趨勢，這符合固有頻率的判斷標(biāo)準(zhǔn)。由此，可判斷實(shí)驗(yàn)軸承在20 000 Hz 左右具有某一階固有頻率。

圖13 軸承振動(dòng)信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換Fig. 13 Short time Fourier transform of bearing vibration signal

圖14 軸承振動(dòng)信號(hào)的頻帶熵分析Fig. 14 Frequency band entropy analysis of bearing vibration signal

根據(jù)FBE 分析，即可進(jìn)一步確定敏感頻帶區(qū)間為19 000～21 000 Hz，在此區(qū)間內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行優(yōu)化傅里葉模態(tài)分解，可以獲得4 個(gè)FIMFs，如圖15 所示。為了選取敏感FIMFs，對(duì)各分量做FBE 分 析，如 圖16(a) 所 示，結(jié) 果 表 明：FIMF1，F(xiàn)IMF2，F(xiàn)IMF3，F(xiàn)IMF4 的頻帶熵分布在20 000 Hz附近均與原始信號(hào)存在區(qū)域從屬關(guān)系，其中FIMF2 的從屬特征最明顯。為了驗(yàn)證敏感FIMFs的選取準(zhǔn)確性，對(duì)FIMFs 做包絡(luò)譜分析，如圖16(b) 所示，結(jié)果表明：FIMF1，F(xiàn)IMF2，F(xiàn)IMF3，F(xiàn)IMF4 均表征出基頻為416 Hz 的故障特征頻率，與理論結(jié)果的412 Hz 基本吻合；FIMF2 的故障特征最為清晰，可以觀察到一階和二階故障特征頻率，符合上文基于FBE 分析的敏感FIMFs 選取判斷結(jié)果。由此可見，基于MFMD 和FBE 的機(jī)械故障特征提取算法具有較高的可行性和精確性。

圖15 敏感區(qū)間內(nèi)的信號(hào)分解結(jié)果Fig. 15 Signal decomposition results in the sensitive interval

圖16 FIMFs 的FBE 和包絡(luò)譜分析Fig. 16 FBE and envelope spectrum analysis of FIMFs

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于MFMD 與FBE 的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷方法，適用于多分量和強(qiáng)背景噪聲下的滾動(dòng)軸承早期故障診斷，主要結(jié)論如下：

1） 針對(duì)傅里葉分解在整個(gè)頻率范圍內(nèi)搜索頻率邊界耗時(shí)長、精確性差、抗噪性能差和過分解等問題，提出了基于FBE 的故障特征敏感頻帶選取方法和基于初始敏感頻率區(qū)間的MFMD 算法。仿真和實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析結(jié)果證明：MFMD 的效果優(yōu)于FDM、小波變換和EMD，具有較高的有效性和精確性，同時(shí)兼具傅里葉分解的自適應(yīng)性、局部性、正交性和完備性等優(yōu)勢。

2） 針對(duì)敏感分量選取困難的問題，提出了FBE 和包絡(luò)譜分析相結(jié)合的敏感FIMFs 選取方法。首先，依據(jù)FIMFs 與原信號(hào)的頻帶熵分布在固有頻率附近的相似關(guān)系，選取敏感FIMFs；然后，通過包絡(luò)譜分析即可提取故障特征，進(jìn)而對(duì)敏感分量選取進(jìn)行驗(yàn)證。