李春 王少峰 劉明春, 彭志波 聶石啟

（1.金龍聯(lián)合汽車工業(yè)（蘇州）有限公司，蘇州 215026；2.南昌大學(xué)，南昌 330031）

主題詞：自動(dòng)駕駛 軌跡跟蹤 模型預(yù)測(cè)控制 多目標(biāo)優(yōu)化

1 前言

自動(dòng)駕駛車輛橫向運(yùn)動(dòng)控制主要實(shí)現(xiàn)車輛對(duì)參考軌跡的穩(wěn)定跟蹤，其控制效果與車輛的安全性、穩(wěn)定性和舒適性密切相關(guān)。根據(jù)是否使用車輛模型，可以將橫向控制方法分為無(wú)模型的方法和基于模型的方法，基于模型的橫向控制方法又分為基于車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和基于車輛動(dòng)力學(xué)模型的方法。經(jīng)典的PID 控制是一種無(wú)模型控制方法。文獻(xiàn)[2]提出一種針對(duì)車輛-道路動(dòng)力學(xué)模型的魯棒PID控制器，在非結(jié)構(gòu)路面上具有較好的軌跡跟蹤效果，并且具有較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[3]提出基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)PID控制器，該控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在硬件中容易實(shí)現(xiàn)，抗干擾能力強(qiáng)且能夠快速收斂。PID 適用于較簡(jiǎn)單的被控對(duì)象，對(duì)于復(fù)雜的、大滯后、大慣性的對(duì)象控制效果有待提升，并且控制效果對(duì)控制對(duì)象參數(shù)的變化較為敏感，不能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制。針對(duì)這些問(wèn)題，研究人員提出了線性二次型規(guī)劃控制器（Linear Quadratic Regulator，LQR）。LQR 求解基于狀態(tài)線性反饋的控制規(guī)律，構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，但這類跟蹤控制器難以處理多約束問(wèn)題，具有一定的局限性。模型預(yù)測(cè)控制（Model Predictive Controller，MPC）基于預(yù)測(cè)模型，能夠有效處理多約束控制問(wèn)題，并提高控制的精確性。文獻(xiàn)[6]～文獻(xiàn)[8]以跟蹤精度為主要控制目標(biāo)，提高了軌跡跟蹤能力。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了集成前輪轉(zhuǎn)向和差動(dòng)制動(dòng)的MPC 控制器，實(shí)現(xiàn)了車輛的橫向穩(wěn)定控制。上述控制器主要以提高車輛安全性或穩(wěn)定性為目標(biāo)，在控制變量可行性及綜合性能方面考慮不足，難以滿足車輛多目標(biāo)性能的優(yōu)化需求。

本文基于模型預(yù)測(cè)控制理論，設(shè)計(jì)一種自動(dòng)駕駛車輛軌跡跟蹤控制器。在以跟蹤精度為主要控制目標(biāo)的基礎(chǔ)上，考慮輪胎側(cè)偏角約束、前輪轉(zhuǎn)角約束等約束條件，以提高車輛行駛穩(wěn)定性和控制可行性，通過(guò)Simulink-CarSim 聯(lián)合仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的線性時(shí)變模型預(yù)測(cè)控制器（Linear Time-Varying Model Predictive Controller，LTV-MPC）的有效性，并與熟練駕駛員操縱結(jié)果及LQR控制器的效果進(jìn)行性能對(duì)比分析。

2 車輛動(dòng)力學(xué)建模

為了降低控制算法的復(fù)雜程度，采用車輛3自由度動(dòng)力學(xué)模型對(duì)自動(dòng)駕駛車輛進(jìn)行簡(jiǎn)化。本文假設(shè)：路面平坦，忽略車輛的垂向運(yùn)動(dòng)；忽略車輛的懸架特性以及耦合特性；忽略輪胎橫向、縱向力的耦合特性；不考慮輪胎的橫向載荷轉(zhuǎn)移；輪距相對(duì)于轉(zhuǎn)彎半徑忽略不計(jì)；使用相對(duì)簡(jiǎn)單的單軌車輛模型來(lái)描述車輛狀態(tài)；忽略空氣阻力的影響?；谏鲜黾僭O(shè)，平面運(yùn)動(dòng)車輛只具有縱向、橫向和橫擺3個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，其動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 3自由度車輛動(dòng)力學(xué)模型

可得動(dòng)力學(xué)方程為：

式中，為車輛質(zhì)量；、分別為車輛坐標(biāo)系下的縱向位移和側(cè)向位移；為橫擺角；、分別為前、后輪受到的縱向力；、分別為前、后輪受到的側(cè)向力；為前輪轉(zhuǎn)角；I為車輛繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為前輪側(cè)偏角；、分別為質(zhì)心到前、后軸的距離；、分別為慣性坐標(biāo)系下的縱向位移和側(cè)向位移。

基于車輛前輪側(cè)偏角的小角度假設(shè)和線性輪胎模型，考慮輪胎滑移率，得到車輛縱向力及側(cè)向力方程：

式中，、分別為前、后輪胎的滑移率；、分別為前、后輪的縱向剛度；、分別為前、后輪的側(cè)偏剛度。

將式（2）代入式（1）得到簡(jiǎn)化后的車輛動(dòng)力學(xué)模型：

式中，v、v分別為車輛坐標(biāo)系下的縱向車速和側(cè)向車速。

3 軌跡跟蹤控制器

基于多約束LTV-MPC 的軌跡跟蹤控制總體方案如圖2 所示?？刂破髦饕深A(yù)測(cè)模型、系統(tǒng)約束、目標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)求解組成。車輛狀態(tài)變量作為預(yù)測(cè)模型的輸入，控制器根據(jù)參考軌跡和車輛狀態(tài)，基于目標(biāo)函數(shù)和約束條件求解出一系列最優(yōu)控制量，將第一個(gè)控制分量作為控制量施加到被控車輛上，將車輛的輸出狀態(tài)作為下一次求解目標(biāo)函數(shù)的輸入，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的滾動(dòng)優(yōu)化。

圖2 LTV-MPC控制原理

3.1 線性誤差模型的設(shè)計(jì)

自動(dòng)駕駛車輛對(duì)控制器的實(shí)時(shí)性要求較高，有必要對(duì)式（4）所表示的非線性模型進(jìn)行線性化處理，以提高算法的實(shí)時(shí)性。

式（4）中的車輛動(dòng)力學(xué)模型可表示為：

式中，為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)；為系統(tǒng)的輸出函數(shù)；為系統(tǒng)的輸出矩陣。

采用泰勒展開(kāi)和一階差商對(duì)式（5）進(jìn)行線性離散化處理，得到線性時(shí)變離散方程：

為采樣時(shí)間間隔。

將式（6）作如下轉(zhuǎn)換：

式中，為控制量維度。

得到線性誤差表達(dá)式：

為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)A=A,B=B,=1,2,…,+-1，得到預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的系統(tǒng)預(yù)測(cè)輸出表達(dá)式：

式中，為系統(tǒng)的輸出向量；、、為系統(tǒng)中定義的參數(shù)矩陣；為系統(tǒng)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的輸入偏差向量；為系統(tǒng)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的偏差向量。

3.2 目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)

在自動(dòng)駕駛車輛跟蹤目標(biāo)軌跡的過(guò)程中，需要將安全性、穩(wěn)定性、可行性等性能作為優(yōu)化目標(biāo)。安全性表現(xiàn)為車輛對(duì)目標(biāo)軌跡的跟蹤精度，穩(wěn)定性表現(xiàn)為軌跡跟蹤過(guò)程中前輪轉(zhuǎn)角增量的大?。纯刂圃隽浚尚行员憩F(xiàn)為前輪轉(zhuǎn)角保持在約束范圍內(nèi)?；诖耍O(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)為：

式中，、、分別為安全性權(quán)重矩陣、穩(wěn)定性權(quán)重系數(shù)和可行性權(quán)重系數(shù)；為權(quán)重系數(shù)；為松弛因子；為參考輸出矩陣。

式（10）等式右側(cè)的第1 項(xiàng)反映了系統(tǒng)對(duì)參考軌跡的快速跟蹤能力，即安全性；第2 項(xiàng)反映了系統(tǒng)對(duì)控制增量平穩(wěn)變化的要求，即穩(wěn)定性；第3 項(xiàng)反映了系統(tǒng)對(duì)控制量最值的要求，即可行性；第4 項(xiàng)可避免待優(yōu)化問(wèn)題在規(guī)定時(shí)間內(nèi)無(wú)可行解的情況。

3.3 約束條件的建立

考慮控制過(guò)程中的控制量極限約束和控制增量約束，其約束表達(dá)式為：

式中，(+)、(+)分別為控制量的下限值和上限值；Δ(+)、Δ(+)分別為控制量增量的下限值和上限值。

此外，為了避免車輛在復(fù)雜工況下出現(xiàn)側(cè)滑導(dǎo)致跟蹤失敗的情況，應(yīng)對(duì)輪胎側(cè)偏角添加約束。輪胎側(cè)偏角與狀態(tài)量及控制量存在如下關(guān)系：

式中，、分別為前輪側(cè)偏角和后輪側(cè)偏角。

在時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)量已知時(shí)，輪胎側(cè)偏角的求解公式為：

式（13）是關(guān)于狀態(tài)量和控制量的非線性連續(xù)函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行線性化和離散化處理可得：

基于此，添加輪胎側(cè)偏角約束：

式中，、分別為前輪側(cè)偏角的下限值和上限值；、分別為后輪側(cè)偏角的下限值和上限值。

汽車的動(dòng)力性能受輪胎與地面附著條件制約，因此有必要添加對(duì)車輛附著條件的約束。當(dāng)車輛縱向勻速行駛時(shí)，側(cè)向加速度a滿足：

式中，為路面附著系數(shù)；為重力加速度。

將該約束設(shè)定為軟約束：

式中，a、a分別為側(cè)向加速度的下限值和上限值。

綜合目標(biāo)函數(shù)和約束條件，軌跡跟蹤控制器在每個(gè)控制周期內(nèi)要解決如下優(yōu)化問(wèn)題：

式中，、分別為硬約束輸出的下限值和上限值；、分別為軟約束的下限值和上限值。

在每個(gè)控制周期完成求解后，可得到控制時(shí)域內(nèi)的一系列控制輸入增量和松弛因子：

將求解出的控制序列中的第1 個(gè)元素作為實(shí)際控制增量作用于系統(tǒng)：

循環(huán)求解、滾動(dòng)優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的跟蹤。

4 熟練駕駛員數(shù)據(jù)采集及分析

4.1 駕駛員數(shù)據(jù)采集方案

建立CarSim/Simulink 聯(lián)合仿真平臺(tái)，驗(yàn)證LTVMPC控制器的性能。本文車輛參數(shù)如表1所示。

表1 車輛模型參數(shù)

基于國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 3888-1:1999建立雙移線仿真場(chǎng)景，道路附著系數(shù)為0.8，場(chǎng)景如圖3 所示?；诹_技G29套件搭建駕駛員模擬操縱平臺(tái)，如圖4所示。10位駕駛員分別適應(yīng)性操作一段時(shí)間后，記錄他們?cè)陔p移線工況中的熟練操縱數(shù)據(jù)及車輛狀態(tài)數(shù)據(jù)。

圖3 仿真場(chǎng)景

圖4 駕駛員模擬器

4.2 駕駛員數(shù)據(jù)處理及分析

10 位駕駛員的數(shù)據(jù)（包括轉(zhuǎn)向盤(pán)操縱數(shù)據(jù)及車輛狀態(tài)數(shù)據(jù)）如圖5所示，可見(jiàn)對(duì)于熟練駕駛員而言，上述數(shù)據(jù)具有共同的變化趨勢(shì)，且不同時(shí)刻車輛的位置變化、轉(zhuǎn)向角變化、橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角等狀態(tài)具有較好的一致性?；诖?，對(duì)10 位駕駛員的數(shù)據(jù)取平均值，以便于統(tǒng)一分析熟練駕駛員的操縱特性，“熟練駕駛員”即為平均值結(jié)果。

圖5 駕駛員數(shù)據(jù)采集結(jié)果

由圖5 可知，在熟練駕駛員操縱下，車輛橫向偏差變化較為平穩(wěn)，橫擺角速度變化合理，質(zhì)心側(cè)偏角變化趨于穩(wěn)定。與其他駕駛員駕駛相比較，在熟練駕駛員操縱下，車輛前輪轉(zhuǎn)角變化無(wú)明顯的極值，轉(zhuǎn)角變化范圍合理，車輛行駛更加穩(wěn)定。因此，10位駕駛員的平均值可以較好地反映駕駛員的操作特性。

5 仿真結(jié)果及性能評(píng)價(jià)

5.1 控制器參數(shù)選取

控制器參數(shù)與控制器性能密切相關(guān)。過(guò)大的采樣周期將導(dǎo)致系統(tǒng)反應(yīng)慢，而過(guò)小的則會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的計(jì)算量增加；預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)較大時(shí)，可以預(yù)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)，但會(huì)產(chǎn)生較大的累計(jì)誤差，過(guò)小的將可能造成車輛的軌跡跟蹤失??；過(guò)小的控制時(shí)長(zhǎng)將削弱車輛的控制效果，而較大的（如與相等）則會(huì)導(dǎo)致只有前一部分的控制時(shí)域才會(huì)獲得較好的控制效果，而后一部分的控制時(shí)域則收效甚微，而且將產(chǎn)生大量的計(jì)算開(kāi)銷。權(quán)重矩陣增大將使MPC控制器能夠更快速地跟蹤參考軌跡，提高安全性；權(quán)重系數(shù)增大將使MPC動(dòng)態(tài)響應(yīng)更趨于平滑，提高轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性，但可能降低跟蹤參考軌跡的安全性；權(quán)重系數(shù)增大將使MPC控制器更側(cè)重于轉(zhuǎn)向的操作可行性，即確保轉(zhuǎn)向盤(pán)在其容許轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)執(zhí)行，避免轉(zhuǎn)向操作出現(xiàn)超過(guò)轉(zhuǎn)角約束值的情況。松弛因子過(guò)大，設(shè)定的軟約束較寬松，將導(dǎo)致跟蹤參考軌跡時(shí)車輛的側(cè)向加速度過(guò)大，影響舒適性；過(guò)小的松弛因子則使得軟約束過(guò)窄，運(yùn)算過(guò)程中容易求解失敗。

基于上述分析及大量調(diào)參測(cè)試，得到綜合性能優(yōu)良的控制器參數(shù)，如表2所示。

表2 控制器參數(shù)

5.2 仿真方案及結(jié)果分析

通過(guò)與駕駛員和LQR 控制器的操縱數(shù)據(jù)對(duì)比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證本文建立的LTV-MPC 控制器的性能。參照文獻(xiàn)[13]在同樣的仿真環(huán)境下建立LQR控制器，設(shè)地面附著系數(shù)為0.8，車輛縱向速度10 m/s。采集車輛在LTV-MPC 控制、LQR 控制、熟練駕駛員操作下的數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖6所示。

圖6 MPC、LQR與駕駛員操縱性能的對(duì)比

由圖6a 可知，LTV-MPC 控制器的軌跡跟蹤精度優(yōu)于LQR控制器，更接近參考軌跡，在轉(zhuǎn)向工況下其跟蹤性能接近熟練駕駛員，在直行工況下，跟蹤精度優(yōu)于熟練駕駛員。由圖6b和圖6d可知，添加了多約束的MPC控制器的前輪轉(zhuǎn)角增量相較于LQR控制器和熟練駕駛員，變化更加穩(wěn)定且不存在數(shù)值突變；而前輪轉(zhuǎn)角的變化也更加平穩(wěn)，其前輪轉(zhuǎn)角最大值為2.81°，小于LQR控制器的4.42°和駕駛員操縱的3.51°。由圖6c可知，MPC控制器的橫擺角速度接近熟練駕駛員且優(yōu)于LQR控制器，曲線更加平滑，說(shuō)明在MPC控制下車輛的舒適性更好。由圖6e 可知，MPC 控制器的質(zhì)心側(cè)偏角相較于LQR 控制器，更接近于熟練駕駛員，最大值僅為0.87°，且在直行工況下變化更加平穩(wěn)，優(yōu)于熟練駕駛員。

5.3 性能評(píng)價(jià)

為了更客觀地評(píng)價(jià)各控制器的性能，基于歐式距離的相似度算法，分別將熟練駕駛員的駕駛軌跡、MPC控制器的跟蹤軌跡、LQR控制器的跟蹤軌跡和參考軌跡進(jìn)行相似度比較。如圖7所示，二維平面上的點(diǎn)M、N、Q和D分別為參考軌跡、MPC 跟蹤軌跡、LQR 跟蹤軌跡和熟練駕駛員駕駛軌跡在點(diǎn)P處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。計(jì)算兩點(diǎn)間的歐氏距離：

圖7 計(jì)算車輛相對(duì)位置

式中，R為D與M坐標(biāo)的二范數(shù)歐氏距離；T為Q與M坐標(biāo)的二范數(shù)歐氏距離；W為N與M坐標(biāo)的二范數(shù)歐氏距離。

軌跡間的距離可表示為：

計(jì)算每條軌跡與參考軌跡的距離和，結(jié)果如表3所示。

表3 軌跡距離

該指標(biāo)反映了跟蹤參考軌跡的能力，由表3 可知，MPC 控制器軌跡的歐式距離最小，說(shuō)明跟隨參考軌跡的能力最優(yōu)。

進(jìn)一步地，為了評(píng)價(jià)車輛穩(wěn)定性能，基于回歸分析中的擬合優(yōu)度算法，對(duì)橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行相似度分析。根據(jù)3 自由度的車輛模型計(jì)算出期望橫擺角速度和期望質(zhì)心側(cè)偏角：

擬合優(yōu)度指回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度。度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計(jì)量是可決系數(shù)（亦稱確定系數(shù)）。的值越接近1，說(shuō)明回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度越好。其計(jì)算公式為：

分別計(jì)算3條軌跡的橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角的實(shí)際值與和期望值的擬合優(yōu)度，結(jié)果如表4和表5所示。

表4 橫擺角速度擬合優(yōu)度

表5 質(zhì)心側(cè)偏角擬合優(yōu)度

由表4、表5 可知，MPC 控制器的橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角的擬合優(yōu)度相比于LQR控制器和熟練駕駛員的擬合優(yōu)度更接近于1，說(shuō)明MPC控制器的實(shí)際值更接近期望值，其跟蹤期望軌跡的性能更好，穩(wěn)定性更佳。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)自動(dòng)駕駛車輛的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，基于3自由度車輛動(dòng)力學(xué)模型，本文以車輛的安全性、穩(wěn)定性和可行性為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了一種多約束LTV-MPC 控制器。通過(guò)搭建MATLAB/Simulink 和CarSim 聯(lián)合仿真模型，建立雙移線仿真工況，與LQR 控制器、熟練駕駛員操縱數(shù)據(jù)進(jìn)行了橫向?qū)Ρ取＝Y(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的控制器能夠使自動(dòng)駕駛車輛更好地跟蹤參考軌跡，并具備優(yōu)良的安全性、穩(wěn)定性和可行性。