李 冰，楊 超，李 超

（蘭州理工大學(xué) 石油化工學(xué)院，蘭州 730050）

0 引言

渦旋式壓縮機(jī)由于具有高效低噪等優(yōu)良特性，被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際各領(lǐng)域。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的拓寬，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)渦旋壓縮機(jī)的相關(guān)研究也隨之深入，渦旋壓縮機(jī)的泄漏是影響壓縮機(jī)性能的關(guān)鍵因素之一，目前，李力等[1]建立了渦旋壓縮機(jī)針對(duì)徑向間隙的泄漏數(shù)學(xué)模型，計(jì)算分析了壓縮機(jī)熱力過(guò)程和不同的徑向間隙對(duì)壓縮機(jī)泄漏的影響；楊驊等[2]全面的分析并比較了近幾年來(lái)在渦旋壓縮機(jī)泄漏方面模型的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了今后渦旋壓縮機(jī)泄漏研究的方向；劉興旺[3]分析了渦旋盤幾何參數(shù)間的相互關(guān)系，提出了幾何參數(shù)影響摩擦損失功率和泄漏損失功率；李超等[4]針對(duì)回轉(zhuǎn)半徑固定式曲軸結(jié)構(gòu)的渦旋壓縮機(jī)進(jìn)行研究，得出了存在較大的自轉(zhuǎn)角時(shí)，渦旋齒長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)轉(zhuǎn)容易疲勞斷裂的結(jié)論；強(qiáng)建國(guó)[5]通過(guò)通用型線理論，用有限元模擬研究分析了渦旋齒的作用載荷、應(yīng)力和變形的基本規(guī)律；宋紅滾[6]歸納了渦旋壓縮機(jī)的研究概況，分析幾何公差等方面的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，對(duì)渦旋壓縮機(jī)的裝配特點(diǎn)和影響裝配的關(guān)鍵幾何公差進(jìn)行了重點(diǎn)分析；劉紅燕等[7-8]分析并找出了機(jī)構(gòu)誤差對(duì)切向泄漏間隙、泄漏量及泄漏率的影響。

這些已有的研究對(duì)提高壓縮機(jī)性能和指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)起到了積極推動(dòng)作用。然而，由于實(shí)際加工制造和裝配等因素，渦旋壓縮機(jī)防自轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)間隙的客觀存在，使得動(dòng)渦旋產(chǎn)生自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，引起了動(dòng)靜渦旋徑向嚙合間隙發(fā)生改變。徑向間隙變大會(huì)增加泄漏損失，而徑向間隙減小會(huì)產(chǎn)生摩擦，導(dǎo)致渦旋齒側(cè)壁面間應(yīng)力增大。這嚴(yán)重影響了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行和使用壽命，因此，本文對(duì)十字滑環(huán)防自轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)配合間隙對(duì)渦旋壓縮機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響進(jìn)行了分析研究，確定了該間隙可允許的最大范圍，可為渦旋壓縮機(jī)的設(shè)計(jì)提供理論參考。

1 動(dòng)靜渦旋徑向間隙數(shù)學(xué)模型

1.1 單一型線理論基礎(chǔ)

渦旋壓縮機(jī)的型線種類有很多種，但在工程實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛的渦旋型線是圓漸開線。以漸開線展角φ作為參變量，圓的漸開線型線方程在直角坐標(biāo)系下可表示為[9]：

1.2 靜渦旋盤內(nèi)外側(cè)型線方程

渦旋齒內(nèi)外側(cè)型線的起始點(diǎn)發(fā)生線與x軸形成2個(gè)大小為α的夾角，結(jié)合公式的推導(dǎo)過(guò)程可知靜渦旋齒內(nèi)外側(cè)壁面型線參數(shù)方程為：

1.3 正常工作時(shí)動(dòng)渦旋盤的型線方程

動(dòng)渦旋盤是由靜渦旋盤旋轉(zhuǎn)180°且相對(duì)偏置一定距離得到的（偏置距離為主軸偏心距Ror），則：

動(dòng)渦旋盤基圓中心的坐標(biāo)值（m，n）分別為：

正常工作時(shí)，動(dòng)渦旋盤的內(nèi)外壁面型線方程為：

式中 2——下標(biāo)，動(dòng)盤；

i，o——下標(biāo)，渦旋齒內(nèi)側(cè)和外側(cè)型線。

1.4 動(dòng)渦旋盤發(fā)生自轉(zhuǎn)后型線方程

當(dāng)坐標(biāo)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)相當(dāng)于坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。參見(jiàn)圖1，以動(dòng)渦旋盤基圓中心O2建立的直角坐標(biāo)系X'O'Y'，通過(guò)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ'得到直角坐標(biāo)系X"O"Y"。設(shè)坐標(biāo)平面上任意點(diǎn)C，在X'O'Y'坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（x'，y'），在 X"O"Y"坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（x"，y"）。

圖1 坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Fig.1 Counterclockwise rotation of the coordinate system

經(jīng)分析可知，處于2個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)具有下列關(guān)系：

代入靜渦旋齒內(nèi)外側(cè)壁面方程，可得到動(dòng)渦旋盤發(fā)生自轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)外壁面型線方程為：

其中，動(dòng)渦旋盤發(fā)生自轉(zhuǎn)時(shí)的外壁面型線方程可知展開角與自轉(zhuǎn)角的關(guān)系式：

式中 a——基圓半徑；

φ——漸開線展角；

α——漸開線發(fā)生角。

1.5 自轉(zhuǎn)角與嚙合位置的變化關(guān)系

如圖2所示，已知O1A1與x軸的夾角為φ1，O2A2與x軸的夾角為φ2，O2B1與 x'軸的夾角為，O2B2與x'軸的夾角為，則點(diǎn)C，D，E在靜渦旋盤內(nèi)側(cè)漸開線上，即φ＝φC、φ2＝φD且φ1＝φE。點(diǎn) C'，D'，E'在正常工作的動(dòng)渦旋盤內(nèi)側(cè)漸開線上，即點(diǎn)C"，D"，E"在動(dòng)渦旋盤發(fā)生自轉(zhuǎn)后的外側(cè)漸開線上，即

圖2 渦旋齒自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)示意Fig.2 Schematic diagram of rotary motion of the scroll tooth

假設(shè)動(dòng)盤發(fā)生順時(shí)針自轉(zhuǎn)θ'后，動(dòng)盤上任意一點(diǎn)E'到達(dá)嚙合點(diǎn)C"位置的同時(shí)，原嚙合位置處的點(diǎn)C'到達(dá)點(diǎn)D"位置。判斷動(dòng)盤自轉(zhuǎn)的變化規(guī)律，就是確定點(diǎn)C"與點(diǎn)C的位置關(guān)系。

據(jù)坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方程可知E'與C"的關(guān)系：

根據(jù)RtΔO1A1E'與RtΔO1AE"全等，可知A1E'＝AC"，同理 AC'＝A2D"。

因?yàn)镋'和C'都在正常工作時(shí)的動(dòng)渦旋盤外側(cè)漸開線上，則φE＞φC。根據(jù)幾何關(guān)系可知切線A1E'＞AC'，且AC"與AC在同一條直線上，即此時(shí)自轉(zhuǎn)后嚙合位置仍處于平行于動(dòng)靜渦旋盤中O1，O2連線的切線AC上，但間隙縮小。

所以AC'＝AC"，即點(diǎn)C"與點(diǎn)C重合，可推出假設(shè)成立，則動(dòng)渦旋盤順時(shí)針自轉(zhuǎn)θ'后點(diǎn)E'到達(dá)嚙合點(diǎn)C。

1.6 不同展開角對(duì)應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角θ'

當(dāng)時(shí)θ'＝θ'max，靜渦旋盤內(nèi)側(cè)漸開線與發(fā)生自轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)渦旋盤外側(cè)漸開線剛好卡死（即嚙合），此時(shí)這2條漸開線有且僅有一個(gè)嚙合點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)存在以下關(guān)系：

通過(guò)Matlab運(yùn)算可知，該隱式方程有2個(gè)不同解，根據(jù)實(shí)際情況，選取最小的解為可允許的最大自轉(zhuǎn)角，其中，順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。

1.7 徑向間隙變化量的確定

由于防自轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的干涉，導(dǎo)致自轉(zhuǎn)后嚙合點(diǎn)位置不能徹底到達(dá)點(diǎn)C，即同處在切線AC上，但C"與C無(wú)法重合。

則徑向間隙的變化量可以通過(guò)聯(lián)立以下公式求出：

則自轉(zhuǎn)后的最小嚙合間隙：

最小間隙變化量為：

2 滑環(huán)間隙與徑向間隙的關(guān)系

2.1 十字環(huán)與動(dòng)渦旋盤的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)關(guān)系

如圖3所示，將靜坐標(biāo)XO1Y選在支架體上，其坐標(biāo)原點(diǎn)與電機(jī)轉(zhuǎn)子中心重合。因?yàn)閯?dòng)渦旋盤的十字滑環(huán)槽與十字環(huán)凸鍵A，B相連，所以十字環(huán)的中心與動(dòng)渦旋盤在Y方向的運(yùn)動(dòng)保持同步，且只能在Y方向上進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

圖3 動(dòng)靜盤與十字環(huán)相對(duì)運(yùn)動(dòng)Fig.3 Schematic diagram of relative motion between orbiting and stationary scroll discs and the Oldham ring

2.2 十字滑環(huán)允許的最大自轉(zhuǎn)角

Om到十字環(huán)的距離可以算為：

Om到O2的距離為：

因?yàn)榛酆褪汁h(huán)間隙很小，則可近似看作：

2.3 滑槽間隙與徑向間隙的關(guān)系

結(jié)合實(shí)際，十字滑環(huán)防自轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)能夠有效防止渦旋壓縮機(jī)產(chǎn)生自轉(zhuǎn)，可知十字滑環(huán)間隙產(chǎn)生的最大自轉(zhuǎn)角不能大于渦旋齒可允許的最大自轉(zhuǎn)角，即的取值范圍為。則十字滑環(huán)槽的間隙最終確定了徑向間隙的變化量。

2.4 自轉(zhuǎn)后的壓縮腔容積變化

如圖4所示，設(shè)壓縮腔順序編號(hào)由里到外分別為第一壓縮腔、第二壓縮腔以及第三壓縮腔。

圖4 某嚙合時(shí)刻所形成的壓縮腔室示意Fig.4 Schematic diagram of the compression chamber formed at a certain meshing time

3 Matlab實(shí)例計(jì)算

已知基圓半徑為 a＝3.5 mm，回轉(zhuǎn)半徑 Ror＝6.49 mm，漸開線發(fā)生角α＝0.643 rad，十字滑環(huán)內(nèi)外徑分別為120，142 mm。通過(guò)動(dòng)盤基圓中心O2的位置判斷m和n的正負(fù)符號(hào)。

設(shè)定主軸轉(zhuǎn)角為0時(shí)吸氣結(jié)束開始?jí)嚎s，根據(jù)上述推導(dǎo)的公式進(jìn)行迭代運(yùn)算，可知3個(gè)壓縮腔變化趨勢(shì)相似，所允許的最大自轉(zhuǎn)角隨著主軸轉(zhuǎn)角的變大而縮小。

由于第三壓縮腔漸開線發(fā)生線長(zhǎng)度最大，即在相同的自轉(zhuǎn)角度下，第三壓縮腔轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度最長(zhǎng)自轉(zhuǎn)的距離最大，所以需確定第三壓縮腔漸開線展角與其對(duì)應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角。

如圖5所示，第三壓縮腔中嚙合點(diǎn)C可允許的最大自轉(zhuǎn)角θ'max求解出了2個(gè)值，正負(fù)值表示自轉(zhuǎn)的方向。

圖5 第三壓縮腔最大自轉(zhuǎn)角變化規(guī)律Fig.5 Variation law of maximum rotation angle of the third compression chamber

依據(jù)實(shí)際要求，本文尋找的是動(dòng)靜渦旋盤可允許轉(zhuǎn)動(dòng)的最小值，則圖中求解值2即為動(dòng)渦旋可允許的最大自轉(zhuǎn)角θ'max隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律。

主軸旋轉(zhuǎn)280°時(shí)的最大自轉(zhuǎn)范圍如圖6所示。從圖5中可以看出，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角大于280°時(shí)開始反方向旋轉(zhuǎn)，則可推出動(dòng)靜渦旋齒在主軸轉(zhuǎn)角到達(dá)280°左右時(shí)，可允許的自轉(zhuǎn)弧度最小。所以，動(dòng)渦旋齒可允許的最大自轉(zhuǎn)角的弧度為-0.000 51，即當(dāng)主軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)280°時(shí)，可允許的最大自轉(zhuǎn)角最小為0.029 2°，則是十字環(huán)凸鍵與動(dòng)渦旋盤背面滑環(huán)槽間隙所造成的自轉(zhuǎn)角應(yīng)處于[0，0.029 2°）。

圖6 主軸旋轉(zhuǎn)280°時(shí)的最大自轉(zhuǎn)范圍Fig.6 Maximum rotation range of the spindle at 280° rotation

假設(shè)十字滑環(huán)間隙為2 mm時(shí)，該十字環(huán)允許的自轉(zhuǎn)角度為：

因?yàn)?.015 4 rad已經(jīng)不屬于可允許的自轉(zhuǎn)范圍[0，0.029 2°）內(nèi)，則該十字滑環(huán)機(jī)構(gòu)已不能有效地進(jìn)行防自轉(zhuǎn)，壓縮機(jī)無(wú)法正常工作。

根據(jù)公式可算出該間隙所允許的最大間隙約為：

即十字環(huán)與渦旋盤槽之間可允許的最大間隙約為0.066 mm。此壓縮機(jī)排氣角為221.7°。

由圖7可知，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)角為221.7°，且十字環(huán)與渦旋盤槽之間設(shè)置的間隙為0.066 mm時(shí)可允許的最大自轉(zhuǎn)角弧度為0.000 486 rad，即0.027 8°，屬于渦旋齒可允許的自轉(zhuǎn)范圍，說(shuō)明十字滑環(huán)與動(dòng)盤滑槽之間的機(jī)構(gòu)間隙設(shè)置合理。

圖7 主軸旋轉(zhuǎn)221.7°時(shí)允許的自轉(zhuǎn)角范圍Fig.7 The allowable rotation angle range when the spindle rotates by 221.7°

4 結(jié)論

（1）根據(jù)壓縮腔的變化規(guī)律和幾何學(xué)理論，得到動(dòng)靜渦旋盤自轉(zhuǎn)的變化規(guī)律，確定了渦旋盤可允許的最大自轉(zhuǎn)角，推導(dǎo)出最小間隙的變化量關(guān)系式。

（2）根據(jù)十字滑環(huán)防自轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)和變化規(guī)律，獲得十字滑環(huán)槽的間隙與徑向嚙合間隙以及自轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律。

（3）推導(dǎo)出動(dòng)渦旋盤滑環(huán)槽與十字環(huán)凸鍵間隙與渦旋齒所允許的自轉(zhuǎn)角θ'關(guān)系式。

（4）為了保證壓縮機(jī)正常運(yùn)行，給出了十字滑環(huán)凸鍵與動(dòng)渦旋盤之間的機(jī)構(gòu)間隙所允許的最大范圍。

（5）通過(guò)設(shè)置a，α，Ror及十字環(huán)內(nèi)外徑等參數(shù)，結(jié)合前面推導(dǎo)的公式，運(yùn)用Maltlab進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到排氣角221.7°時(shí)，第三壓縮腔的自轉(zhuǎn)角弧度為0.027 8°，屬于渦旋齒可允許的自轉(zhuǎn)范圍，得出了該模型下十字滑環(huán)與動(dòng)渦旋盤背面滑槽之間所允許的最大間隙為0.066 mm。