李春明，尹曉麗，張曉玲

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島，266580；2.山東石油化工學(xué)院，山東 東營(yíng)，257061)

在工業(yè)生產(chǎn)上，往往需要控制一些關(guān)鍵參數(shù)，如溫度、壓力、氣體含量等,這屬于機(jī)械控制工程[1-3]。機(jī)械控制工程已形成了較固定而完備的理論[4]，但是在一些計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，由于學(xué)生都學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程，往往忽略一些重要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟,這給初學(xué)者帶來負(fù)擔(dān)。在一般院校，尤其是職業(yè)教育院校，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往不夠扎實(shí)，難以理解被省略的數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟，導(dǎo)致該課程的學(xué)習(xí)難度高。本文研究理論性強(qiáng)的公式、系統(tǒng)建模及其必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。

1 拉氏變換微積分步驟

由于微積分是高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，專業(yè)著作[5]中往往省略關(guān)鍵步驟。

1.1 指數(shù)函數(shù)的拉氏變換

補(bǔ)充復(fù)合函數(shù)的定積分及以下求導(dǎo)結(jié)果：

則該式的拉氏變換為

1.2 一次冪函數(shù)的拉氏變換

補(bǔ)充如下分部積分的詳細(xì)計(jì)算及求不定式的洛必達(dá)法則(L′Hopital′s rule)計(jì)算式：

則該式的拉氏變換等于以下兩項(xiàng)：

上式的第一項(xiàng)為

則該式為

1.3 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的拉氏變換

補(bǔ)充復(fù)變函數(shù)的歐拉公式及復(fù)數(shù)定義：

正弦函數(shù)的拉氏變換推導(dǎo)過程為

余弦函數(shù)的拉氏變換推導(dǎo)過程為

2 代數(shù)運(yùn)算

2.1 傳遞函數(shù)的部分分式展開法

該展開式是根據(jù)二次方程的求根公式和數(shù)學(xué)建模的待定系數(shù)法而獲得的。將函數(shù)的分子和分母分別因式分解，二次項(xiàng)因子由求根公式獲得兩個(gè)一次項(xiàng)相乘的形式，假設(shè)該函數(shù)可展開為

式中ri為待定系數(shù)，稱為留數(shù)。

留數(shù)由特殊情況確定，在s=pi時(shí)，可以將(s-pi)乘以等號(hào)兩邊，左邊能算出來，右邊為留數(shù)。由于等式仍然成立，所以可求得該待定系數(shù)。

分子的冪次如果大于分母的，則須用分母去除分子而得到合理的分式。如可補(bǔ)充多項(xiàng)式相除的豎式計(jì)算方式而獲得：

該豎式為

2.2 勞斯表及其兩個(gè)特例

計(jì)算二階行列式可采用以下簡(jiǎn)易計(jì)算式：

勞斯表是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)特殊情況：

1)在新行中，首列元素等于零。為避免被零除，該項(xiàng)須用很小的正數(shù)代替，如

2)新行的所有元素均為零。這導(dǎo)致以下所有元素均為零。將上一行所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式求導(dǎo)，由求導(dǎo)結(jié)果確定該新行。所依據(jù)的理論是洛必達(dá)法則。如

分別對(duì)應(yīng)于多項(xiàng)式：

2.3 基于二次假設(shè)將系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程

設(shè)采樣周期為T，用差分代替微分，根據(jù)后(左)向差分的定義及二次假設(shè)，變量x的一階和二階差分為[6-7]：

Δx(k)=0.5[3x(k)-4x(k-1)+x(k-2)]，

Δ2x(k)=x(k)-2x(k-1)+x(k-2)。

將以下微分方程離散化：

(m+1.5cT+kT2)x(k)+(-2m-2cT)x(k-1)+

(m+0.5c)x(k-2)=0。

經(jīng)典的轉(zhuǎn)化算法是基于兩層線性假設(shè)的，必然沒有上述基于二次假設(shè)的準(zhǔn)確。

3 數(shù)學(xué)建模

3.1 彈簧-質(zhì)點(diǎn)-干摩擦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

忽略最大靜摩擦力大于動(dòng)摩擦力的特性，圖1所示系統(tǒng)可建立如下分段方程：

圖1 彈簧-質(zhì)點(diǎn)-摩擦振動(dòng)系統(tǒng)模型

k[xi(t)-xo(t)]=0，

該方程不能用來建立傳遞函數(shù)。數(shù)值算法可處理分段形式的微分方程，而傳遞函數(shù)算法不能。

3.2 受到阻尼的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

設(shè)轉(zhuǎn)子受到阻尼力和外力矩M，則力矩平衡方程為

式中：J為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為轉(zhuǎn)子的角速度；fM為黏性力矩阻尼系數(shù)，如果半徑為r，阻尼系數(shù)為c，則該系數(shù)為cr2，目前將其定義為摩擦系數(shù)不確切。

4 結(jié)束語

S(科學(xué))T(技術(shù))E(工程背景)M(數(shù)學(xué))教學(xué)理念引領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)[8]。其中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往是各專業(yè)課所忽視的。本文補(bǔ)充的數(shù)學(xué)推導(dǎo)表面上創(chuàng)新性平常，實(shí)際上使高難度知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)易化，比一般的理論創(chuàng)新更有實(shí)踐價(jià)值。本文的理論創(chuàng)新可直接沉淀到教材，因此，也是山東省本科教育改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目(Z2020057)的研究?jī)?nèi)容。