姜 岳

（中國船舶重工集團公司第七一五研究所，浙江 杭州 310023）

0 引言

孔隙介質(zhì)在人們的日常生活中非常常見，比如砂礫、巖石等，在許多工程領(lǐng)域也隨處可見它們的身影[1]。相較于流體，孔隙介質(zhì)本身有著非常明顯的非線性性質(zhì)[2]。因此，人們常常利用非線性科學(xué)的方法考察孔隙介質(zhì)的性質(zhì)?？紫督橘|(zhì)聲學(xué)是一門研究聲波在飽和孔隙介質(zhì)中的傳播性質(zhì)，并可通過測量彈性波速度衰減反演聲學(xué)參數(shù)的學(xué)科[3]。比奧于1956 年連續(xù)發(fā)表了兩篇關(guān)于流體飽和孔隙介質(zhì)中低、高頻彈性波彈性波傳播的文章[4-5]，這是一項具有劃時代意義的工作，標(biāo)志著流體飽和孔隙介質(zhì)線性聲學(xué)理論初步創(chuàng)立。但是當(dāng)有限振幅波在孔隙介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)的非線性特性是一個繞不開的問題。比奧于1973 年提出了流體飽和孔隙介質(zhì)中固相骨架的有限形變理論[6]，認為孔隙介質(zhì)的非線性行為主要來源于骨架的形變及其物理特性?；谏鲜隹紤]，比奧引入了3 個物理參數(shù)來描述孔隙介質(zhì)的非線性特性。隨后，大量的專家學(xué)者對飽和孔隙介質(zhì)中的非線性聲傳播開展了相關(guān)的理論及試驗研究[7]。DAZEL 于2010 年應(yīng)用比奧理論考察了非線性波傳播[8]，并將其拓展運用到松散顆粒介質(zhì)中。TURSTON（1964 年）指出[9]，各向同性彈性介質(zhì)的空間非線性特性需要用到3 個非線性參數(shù)加以描述，WINKLER 于1996 年運用前者的理論通過試驗取得了大量的干燥巖石的3 個非線性參數(shù)[10]。然而，非線性比奧理論中的孔隙介質(zhì)通常被視為僅由完全各向同性的單一材料所組成，這一近似有著先天的理論缺陷。TONG 于2017 年指出了其中的問題[11]，并引入了另外3 個非線性參數(shù)來考察孔隙介質(zhì)中固、液兩相的耦合非線性特性，其考察了一維有限振幅縱、橫波源在無限大介質(zhì)中激發(fā)的非線性聲場。然而，TONG 等給出的彈性能公式僅僅引入6 個非線性參數(shù)來描述非線性聲場特性，忽略了由固相骨架剪應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性項。GRINFELD 于1996 年考察了流體飽和孔隙介質(zhì)的非線性理論[12]，給出了更為完備的彈性能公式，其中包括7 個非線性參數(shù)。彈性能的線性部分源自比奧1962 年的工作[13]，非線性部分來源于固、液相形變梯度矢量及兩者之間的耦合。

本文基于GRINFELD 提出的完備的彈性能公式，重點考察非線性部分中除固相骨架部分以外的非線性項對非線性聲場的影響，即通過依次控制單一流體及流固耦合所構(gòu)成的非線性項中，單純與液相形變相關(guān)的非線性項系數(shù)γ1，固相骨架體積應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性項系數(shù)γ2，固相骨架切應(yīng)變與液相體積應(yīng)變耦合的非線性項系數(shù)γ3以及固相骨架剪應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性項系數(shù)γ4這4 種非線性參數(shù)的有無，來分別觀察其所在的非線性項對一維縱、橫波源在飽和孔隙地層中激發(fā)聲場的影響。

1 飽和孔隙地層的控制方程

理想飽和孔隙地層彈性能函數(shù)可寫為如下形式：

式中：λc和μ為拉梅常數(shù)，I1，I2，I3為固相應(yīng)變張量，ζ為液相體積漲縮量。式（1）第一行代表彈性能線性部分，第二行代表非線性部分。式（1）引入了6 個非線性參數(shù)，其中l(wèi)，m，n代表孔隙介質(zhì)固相非線性參數(shù)，參數(shù)γ1僅與液相有關(guān)，γ2、γ3、γ4則為流體與固相骨架的耦合非線性參數(shù)，用以表示兩相飽和孔隙地層的耦合特性。

下面給出用固相位移u和流固相對位移w表示的三維飽和孔隙地層的控制方程如下：

式中：ρ和ρf分別表示孔隙介質(zhì)平均密度和孔隙孔道內(nèi)流體密度。m'=αρf/n0及α為比奧參數(shù)，n0為孔隙度，η為流體粘滯系數(shù)，k為滲透率常量，F(xiàn)和ε分別代表形變梯度矢量和應(yīng)力張量。鑒于三維情況下控制方程求解的復(fù)雜性，下面將控制方程退化為一維問題進行求解討論。

一維情況下，式（2）可拓展為如下形式：

式（3）可拓展為如下形式：

式（4）、式（5）中的非線性項保留到三階。

2 一維有限振幅波激發(fā)的非線性聲場

2.1 縱波源情況

考察飽和孔隙介質(zhì)中一維有限振幅縱波源激發(fā)的非線性聲場情形，一維縱波源可以激發(fā)出倍頻聲波，設(shè)w2(a,t)=w3(a,t)=0，u2(a,t)=u3(a,t)=0，則由式（4）、式（5）可導(dǎo)出一維有限振幅縱波源激發(fā)的位移場方程為：

此處應(yīng)用攝動理論求解上述方程，假定上述方程的解有如下形式：省略二次及以上高階項，一維有限振幅縱波源激發(fā)的線性方程組為：

進一步地，一維有限振幅縱波源在理想孔隙地層激發(fā)的非線性方程組也可以給出：

在推導(dǎo)式（9）的過程中已將高階項省略，接下來對一維有限振幅縱波源激發(fā)的聲場方程進行求解。設(shè)線性方程組的解為。將其代入式（8）中，并與式（9）聯(lián)立，可整理出一個四階非齊次偏微分方程：

無界空間中，當(dāng)存在無反射的情況時，式（10）的解由3 個對應(yīng)的特解相加表示：

式中：

2.2 橫波源情況

考察一維有限振幅橫波源在飽和孔隙地層內(nèi)部激發(fā)非線性聲場的情況，令，由此根據(jù)式（4）及式（5），一維有限振幅橫波源激發(fā)的位移場為：

此處應(yīng)用攝動理論求解上述方程，假定上述方程的解有如下形式：那么一維有限振幅橫波源激發(fā)的線性方程組為：

進一步地，一維有限振幅橫波源在理想孔隙地層激發(fā)的非線性方程組也可以給出：

接下來對一維有限振幅橫波源激發(fā)的聲場方程進行求解。設(shè)一維有限振幅橫波源頻率為ω，則有與式（13）、式（14）式聯(lián)立，與縱波源的情況相似，此處同樣可整理出類似形式的四階非齊次偏微分方程。無界空間中，當(dāng)存在無反射的情況時，橫波源對應(yīng)的偏微分方程的解可表示為：

3 理想飽和孔隙地層非線性參數(shù)的確定

通過一些特殊情況假設(shè)理論確定理想飽和孔隙地層非線性參數(shù)γ1，γ2，γ3，γ4的具體數(shù)值。如果孔隙介質(zhì)退化為單一流體，此時孔隙度等于1，此時的彈性能公式退化為：

根據(jù)比奧對參數(shù)M的定義，當(dāng)n0=1 時M=1/c，其中c為流體壓縮率。另外，當(dāng)n0=1 時，還可得出ζ=-divU=δf，此時δf=Δρf/ρf。將M和ζ代入式（16）得到：

流體壓力可被推導(dǎo)出：

通過與ZHU 等[14]關(guān)于流體壓力的工作比較，非線性參數(shù)γ1可被確定為：

將動態(tài)協(xié)調(diào)關(guān)系應(yīng)用到比奧的工作，假設(shè)流固相對位移為0，此時，一維情況下：

為確定非線性參數(shù)γ3，考慮飽和孔隙介質(zhì)固相骨架為剛體的極端情況，此時u=0。對于一維問題，有：

4 數(shù)值仿真

分別考察一維有限振幅縱、橫波源激發(fā)的非線性聲場，其包含有理想飽和孔隙地層非線性參數(shù)γ1，γ2，γ3，γ4在內(nèi)的非線性項。針對當(dāng)前非線性參數(shù)的必要性分析通過控制其有無來加以對照分析，保留其他參數(shù)所在的非線性項。

圖1 表示的是一維有限振幅縱波源激發(fā)的非線性聲場強度隨距離及頻率變化的等高線圖。圖1（a）為單純與液相形變相關(guān)的非線性參數(shù)項γ1=0的情況，圖1（b）為固相骨架體積應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ2=0 的情況，圖1（c）為固相骨架切應(yīng)變與液相體積應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ3=0 的情況，圖1（d）為固相骨架剪應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ4=0 的情況。通過4 種情形的對比，經(jīng)分析可得出，固相骨架體積應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ2的消失，將削弱一維有限振幅縱波源激發(fā)的非線性聲場強度10 dB 以上；其他非線性參數(shù)的消失，則對非線性聲場的變化貢獻很小。下面重點考察參數(shù)γ2所在非線性項對構(gòu)成非線性聲場的3 種成分波的影響。

考慮非線性參數(shù)前后對組成一維縱波源激發(fā)非線性聲場的各成分波的影響如圖2 所示。從圖中可看出，考慮非線性參數(shù)γ2以后，非線性快波uNF大約提高了6 dB，非線性互耦合波uNM大約提高 12 dB，非線性慢波uNL大約提高16 dB，整個非線性聲場u(1)聲場強度與成分波中聲場強度最大的非線性慢波uNL相當(dāng)，提高大約16 dB，這與從圖1 得出的結(jié)論相吻合。

圖1 一維縱波源激發(fā)非線性聲場情況

圖2 非線性參數(shù)γ2 對一維縱波源激發(fā)的非線性聲場成分波的影響

圖3 表示的是一維有限振幅橫波源激發(fā)的非線性聲場強度隨距離及頻率變化的等高線圖。圖3（a）為單純與液相形變相關(guān)的非線性參數(shù)項γ1=0的情況，圖3（b）為固相骨架體積應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ2=0 的情況，圖3（c）為固相骨架切應(yīng)變與液相體積應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ3=0 的情況，圖3（d）為固相骨架剪應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ4=0 的情況。通過4 種情形的對比，經(jīng)分析可得出，固相骨架剪應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ的消失，將掩蓋一維有限振幅橫波源激發(fā)的非線性聲場的高頻近距離處及低頻遠距離處的復(fù)雜聲場結(jié)構(gòu)，會忽略掉一些重要的非線性聲場特征。

圖3 一維橫波源激發(fā)非線性聲場情況

考慮非線性參數(shù)前后對組成一維橫波源激發(fā)非線性聲場的各成分波的影響如圖4 所示。從圖4 可看出，考慮非線性參數(shù)γ以后，非線性快波uNF大約降低了3 dB，非線性自耦合波uNP大約提高43 dB，非線性慢波uNL大約提高16 dB。非線性參數(shù)γ的出現(xiàn)，在距離聲源較近處，非線性快波與非線性自耦合波的強度十分接近，這使得在近距離處非線性聲場強度發(fā)生震蕩，也就形成了圖3（a）、圖3（b）、圖3（c）中的復(fù)雜聲場結(jié)構(gòu)。

5 結(jié)語

通過對比分析，依次考察4 種非線性參數(shù)的有無對一維有限振幅縱、橫波源激發(fā)的非線性聲場結(jié)構(gòu)的影響，得出的結(jié)論如下。

（1）在一維有限振幅縱波源激發(fā)的非線性聲場中，固相骨架體積應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ2的消失，將削弱非線性聲場強度16 dB，其他非線性參數(shù)的消失則對非線性聲場的變化貢獻很小。

（2）在一維有限振幅橫波源激發(fā)的非線性聲場中，固相骨架剪應(yīng)變與液相應(yīng)變耦合的非線性參數(shù)項γ4的消失，將掩蓋非線性聲場的高頻近距離處及低頻遠距離處的復(fù)雜聲場結(jié)構(gòu)，會忽略掉一些重要的非線性聲場特性。