隋曉萌，何澤浩，曹良才，金國(guó)藩

（清華大學(xué) 精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，精密儀器系，北京100084）

1 引 言

現(xiàn)階段以平板顯示為主的顯示技術(shù)主要受限于顯示器件與顯示觀感。在顯示器件方面，LED 與液晶面板等應(yīng)用廣泛，但其發(fā)展受元件加工技術(shù)瓶頸的影響，限制了顯示分辨率與視場(chǎng)角的進(jìn)一步提升。在顯示觀感方面，基于雙目視差的顯示方案占據(jù)主流市場(chǎng)，但其無法提供真實(shí)三維觀感的聚焦離焦效果，并在長(zhǎng)時(shí)間觀看后容易帶來視覺疲勞?，F(xiàn)有前沿顯示技術(shù)研究以突破顯示器件參數(shù)與顯示觀感的上限為主要目標(biāo)，其技術(shù)路徑可分為近眼顯示與裸眼顯示兩類。近眼顯示研究面向可穿戴顯示設(shè)備的市場(chǎng)需求，采用視差屏幕、視網(wǎng)膜投影等技術(shù)，現(xiàn)已陸續(xù)產(chǎn)生融合虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）、增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）與混合現(xiàn)實(shí)（MR）等概念的高級(jí)顯示設(shè)備［1］。裸眼顯示研究面向大場(chǎng)景沉浸式的顯示用戶需求，已產(chǎn)生激光投影、全景LED 顯示等技術(shù)方案，并成功用于北京冬奧會(huì)等超清顯示場(chǎng)景。兩種技術(shù)路徑均以實(shí)現(xiàn)具有超高數(shù)據(jù)量、真實(shí)觀感的三維顯示為終極目標(biāo)［2］。

傳統(tǒng)的光學(xué)全息（Holography）技術(shù)包括記錄和重建兩個(gè)過程［3］。記錄過程利用光的干涉原理，將相干光擴(kuò)束準(zhǔn)直為平面波前并分束為物光與參考光，物光照射物體并記錄復(fù)振幅，參考光與物光發(fā)生干涉。物光波的振幅和相位攜帶著物體表面特征的相關(guān)信息，物光和參考光干涉產(chǎn)生的條紋則包含了物光波的振幅和相位并被記錄在感光材料上。重建過程利用光的衍射原理，使相干平面波照射感光材料，在特定的衍射深度重建出被記錄物體的振幅與相位。包含記錄與重建的光學(xué)全息在提出時(shí)便引起廣泛關(guān)注，在國(guó)防軍工、文化娛樂、工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用前景［4］。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)與數(shù)字化編碼器件的發(fā)展，傳統(tǒng)全息中的干涉記錄過程可以在計(jì)算機(jī)中通過數(shù)值計(jì)算實(shí)現(xiàn)，即計(jì)算全息技術(shù)（Computer-generated Holography，CGH）［5-7］。計(jì)算全息繼承了傳統(tǒng)光學(xué)全息技術(shù)中衍射重建真三維復(fù)振幅波前的優(yōu)勢(shì)，并將繁瑣的全息光學(xué)實(shí)驗(yàn)操作轉(zhuǎn)變?yōu)椴ㄇ坝?jì)算、波前編碼與波前重建3 個(gè)過程。波前計(jì)算即通過矩陣計(jì)算的方法實(shí)現(xiàn)物光波的數(shù)值化波前傳播，得到該復(fù)振幅波前在全息圖平面的數(shù)學(xué)描述。波前編碼將全息圖平面的復(fù)振幅分布編碼為與顯示媒介數(shù)值格式相匹配的計(jì)算全息圖。波前重建即計(jì)算全息圖的光學(xué)重建過程，全息圖被加載至波前調(diào)制器件［8-9］，通過相干光照射與衍射傳播重建出物光波前。計(jì)算全息使用計(jì)算機(jī)來模擬光學(xué)的全息記錄過程，極大地簡(jiǎn)化了全息圖的生成步驟。同時(shí)計(jì)算全息技術(shù)使得全息三維重建擺脫了記錄介質(zhì)的限制，使全息圖的數(shù)字化記錄、編碼與傳播成為可能。計(jì)算全息技術(shù)的產(chǎn)生為諸多傳統(tǒng)光學(xué)領(lǐng)域注入了新的活力，如計(jì)算全息的光鑷陣列［10-11］可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)并行的光學(xué)操縱，基于計(jì)算全息設(shè)計(jì)的衍射光學(xué)元件［12］能夠?qū)崿F(xiàn)更為精準(zhǔn)靈活的光束整形，計(jì)算全息與光子晶體結(jié)合能夠?qū)崿F(xiàn)海量數(shù)據(jù)的光學(xué)存儲(chǔ)與加密［13］。同時(shí)，計(jì)算全息也推動(dòng)了前沿光學(xué)領(lǐng)域的研究，產(chǎn)生了很多新興方向，如超表面全息［14-15］、計(jì)算全息激光加工［16］、計(jì)算全息光場(chǎng)調(diào)控［17］等。

近年來，以空間光調(diào)制器為代表的動(dòng)態(tài)光學(xué)編碼器件發(fā)展迅速，由此產(chǎn)生了數(shù)字化器件實(shí)時(shí)調(diào)制的動(dòng)態(tài)重建物光波模式。現(xiàn)有空間光調(diào)制器根據(jù)調(diào)制方式可以分為振幅型與相位型兩類。振幅型空間光調(diào)制器通過改變振幅透過率函數(shù)調(diào)制入射光的振幅，如數(shù)字微鏡器件（Digital Micromirror Device，DMD）通過高速數(shù)字式反射光開關(guān)陣列的時(shí)域響應(yīng)形成多樣的振幅積分。相位型空間光調(diào)制器通過改變光程差調(diào)制入射光的相位，如硅基液晶（Liquid Crystal on Silicon，LCoS）通過液晶分子旋向調(diào)整有效折射率控制光程差［18］。為使全息圖數(shù)據(jù)格式能夠與編碼器件相匹配，物光波在全息圖平面的復(fù)振幅分布需要轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的振幅型全息圖或相位型全息圖。

振幅型全息圖的波前編碼通過計(jì)算機(jī)模擬光學(xué)全息的干涉記錄過程，將編碼物光波的干涉場(chǎng)轉(zhuǎn)換為振幅透過率函數(shù)。由于以DMD為代表的振幅型空間光調(diào)制器具有較高的刷新頻率（～10 kHz），振幅型全息圖也因此具有較高的時(shí)間帶寬，并允許在光學(xué)重建中犧牲部分時(shí)間帶寬從而實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展視場(chǎng)角［19］、抑制散斑［20］、引入運(yùn)動(dòng)視差［21］等效果。但由于振幅型全息圖在重建時(shí)參考光照明的全息圖為實(shí)函數(shù)，由全息圖衍射生成的圖像上方會(huì)出現(xiàn)未聚焦的共軛像引起的噪聲。為解決共軛像問題，振幅型全息圖的波前編碼與光學(xué)重建過程需要引入傾斜角度的物光照明［22］或單邊濾波［23-24］，從而分離或消除共軛像。

相位型全息圖的波前編碼是通過計(jì)算機(jī)模擬物光波衍射過程，將攜帶物體振幅信息的衍射場(chǎng)轉(zhuǎn)化為具有均勻強(qiáng)度分布的全息圖函數(shù)。以LCoS 為代表的大多相位型空間光調(diào)制器具有相對(duì)較低的刷新速率（～10 Hz），限制了相位型全息圖的動(dòng)態(tài)效果與功能擴(kuò)展。但相位型全息圖不受共軛像噪聲影響，重建光能利用率高，因而也成為全息顯示不可忽視的技術(shù)方向。由于全息圖振幅項(xiàng)均勻化，自然物體的相位型全息圖低頻成分受到抑制，重建時(shí)的圖像損失背景成分。為解決低頻成分的缺失問題，相位型全息的編碼需引入隨機(jī)物體相位或優(yōu)化過程［25-27］。同時(shí)，由于復(fù)振幅全息圖可以通過一定的近似數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)化為相位型全息圖，復(fù)振幅編碼的全息圖也可以通過相位型空間光調(diào)制器重建［28］。其中較為廣泛應(yīng)用的此類復(fù)振幅編碼與轉(zhuǎn)換方法包括雙相位分解、誤差擴(kuò)散等。

本文從基于液晶空間光調(diào)制器的全息圖編碼算法出發(fā)，從優(yōu)化求解相位型全息圖方法與復(fù)振幅全息圖轉(zhuǎn)換編碼方法兩個(gè)方面對(duì)波前編碼原理進(jìn)行分類，對(duì)其數(shù)學(xué)理論與研究進(jìn)展進(jìn)行概述，并對(duì)計(jì)算全息波前編碼方法的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行展望。

2 優(yōu)化求解相位型全息圖方法

2.1 相位型全息圖的計(jì)算原理

相位型全息圖求解的基本問題可以描述為找到符合約束條件的全息圖函數(shù)H=Aei?，如圖1 所示，該函數(shù)經(jīng)由衍射傳播能夠得到物函數(shù)h=aeiφ.全息圖函數(shù)的求解應(yīng)滿足3個(gè)基本約束［29］：

圖1 相位型全息圖計(jì)算原理Fig.1 Principle of computation for phase-type holograms

(i)a2=Iobj， （1）

(ii)ΔH＜∞， （2）

(iii)A2=|E|， （3）

其中，條件（i）代表物體平面的強(qiáng)度約束，即全息圖重建強(qiáng)度等于目標(biāo)物體強(qiáng)度；條件（ii）代表全息圖帶寬約束，即全息圖具有有限的帶寬分布；條件（iii）代表全息圖自身的強(qiáng)度約束，即相位型全息圖具有均一強(qiáng)度分布。由此可得，在全息圖平面與物平面之間僅有物體相位φ為浮動(dòng)變量，相位型全息圖的求解可以轉(zhuǎn)變?yōu)橛?jì)算能夠滿足約束條件的相位φ。

相位型全息圖的編碼能夠通過直接定義物體相位實(shí)現(xiàn)。1969 年，Lesem 等人提出了相息圖（Kinoform）［5］，使用隨機(jī)相位作為物體相位φ模擬光學(xué)散射，同時(shí)增強(qiáng)物體低頻成分的擴(kuò)散。但在光學(xué)重建中，隨機(jī)相位引入散斑噪聲，降低重建質(zhì)量。1996 年，Aagedal 等人提出使用特定二次球面相位作為物體相位從而使物光在傳播中匯聚并在全息圖平面滿足帶寬約束［30］，但在重建中二次相位在圖像周圍造成偽影，也為全息圖的高質(zhì)量重建帶來一定干擾。

為解決直接定義物體相位引起的重建噪聲，優(yōu)化算法被引入相位型全息圖的計(jì)算中。由于全息圖重建復(fù)振幅與重建強(qiáng)度之間的病態(tài)關(guān)系，存在多個(gè)有限帶寬的相位型全息圖其重建強(qiáng)度近似等于目標(biāo)物體強(qiáng)度，因此全息圖的求解可以通過非凸優(yōu)化實(shí)現(xiàn)。全息圖優(yōu)化算法將相位型全息圖的計(jì)算過程轉(zhuǎn)換為逆問題求解，依據(jù)全息圖的約束條件與物體相位的浮動(dòng)，優(yōu)化得到該問題的一個(gè)局部最優(yōu)解。目前較為廣泛應(yīng)用的計(jì)算全息優(yōu)化算法可以分為交替投影算法與非線性最小化算法。

2.2 相位型全息圖優(yōu)化：交替投影算法

交替投影算法（Alternating Projection Iteration Algorithm）通過在不同約束構(gòu)成的集合之間投影迭代來更新求解的全息圖函數(shù)。1972年，Gerchberg和Saxton 提出一種基于正逆傅里葉變換的交替投影算法［31］，簡(jiǎn)稱為G-S 算法（圖2）。該算法將物函數(shù)置于空域，將全息圖置于頻域，算法在迭代過程中分別在空域與頻域施加相關(guān)約束條件。如圖2 所示，迭代投影由空域開始，分別輸入目標(biāo)振幅與定義相位作為起始物函數(shù)；隨后對(duì)該物函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換得到其頻域復(fù)振幅分布，對(duì)該復(fù)振幅分布施加全息圖帶寬約束（ii）與強(qiáng)度約束（iii），并以約束后的復(fù)振幅分布作為全息圖；將全息圖進(jìn)行逆傅里葉變換，從而得到新的重建物函數(shù)并對(duì)其施加物平面強(qiáng)度約束（i）使目標(biāo)振幅替代重建振幅，完成一次循環(huán)。

圖2 G-S 迭代算法Fig.2 Principle of G-S algorithm

G-S 算法構(gòu)成了計(jì)算全息交替投影算法的基本框架，其運(yùn)算操作簡(jiǎn)單，因而在其原理之上產(chǎn)生了許多修正與改進(jìn)算法。1978 年，F(xiàn)ienup 等人基于G-S 的交替投影框架提出誤差下降算法（圖3）［32］。誤差下降算法在空域引入反饋約束機(jī)制：

圖3 誤差下降算法Fig. 3 Error-reduction algorithm

其中C代表滿足約束的物點(diǎn)集合，ρ為反饋系數(shù)。

誤差下降算法針對(duì)重建物函數(shù)中不同物點(diǎn)采取不同約束條件，能夠有效提升重建圖像質(zhì)量并加快迭代收斂。

受誤差下降算法思路影響，后續(xù)迭代算法產(chǎn)生了一系列在優(yōu)化過程中使用與輸出值相關(guān)的反饋約束或使用隨迭代次數(shù)發(fā)生變化的軟約束條件的方法［33］。其中，Wyrowski 等人提出在迭代中引入物函數(shù)平面的條件約束與全息圖平面的軟約束結(jié)合來使全息圖函數(shù)平緩過渡至滿足約束條件的局部最優(yōu)解［34］。該算法在物函數(shù)平面預(yù)留信號(hào)區(qū)域與冗余區(qū)域，使用條件約束限定物函數(shù)的振幅替換區(qū)域：

其中，ang[ ]· 為取相位算符，Wsig為信號(hào)窗內(nèi)的物點(diǎn)集合。條件約束的使用允許物函數(shù)中的冗余區(qū)域來容納重建噪聲，實(shí)現(xiàn)信號(hào)區(qū)域的高質(zhì)量重建。同時(shí)，在全息圖平面引入隨迭代次數(shù)變化的軟約束：

Hn+1=ε|E|ei?+(1-ε)|H'|ei?， （6）

其中ε∈[0，1]為軟約束系數(shù)，隨迭代次數(shù)增加由0 漸變至1。

經(jīng)由條件約束與軟約束的配合，以及迭代中能量守恒系數(shù)γ對(duì)物函數(shù)平面與全息圖平面能量關(guān)系的調(diào)控，混合約束的迭代傅里葉變換算法（圖4）能夠在實(shí)現(xiàn)較高精度的二維全息圖重建。二次相位等緩變初始相位的引入也使該算法的二維強(qiáng)度重建日趨完善，逐步實(shí)現(xiàn)消除散斑、抑制偽影的效果［35-36］。

圖4 混合約束的迭代傅里葉變換算法Fig.4 Principle of iterative Fourier transform algorithm with mix constraints

交替投影算法因其靈活性在三維物體的全息圖運(yùn)算中也有廣泛的應(yīng)用（圖5）。三維交替投影的全息圖優(yōu)化算法可以分為相干疊加法、全局優(yōu)化法與順序優(yōu)化法。

圖5 交替投影算法優(yōu)化三維物體全息圖Fig.5 Optimization of holograms for 3D objects using alternative projection iteration algorithms

相干疊加法在不同深度的物體層與其對(duì)應(yīng)的全息圖平面之間交替優(yōu)化，將優(yōu)化后每一層物體的全息圖平面相干疊加并取出其相位分量［30］。相干疊加法能夠通過分層優(yōu)化使物體滿足帶寬約束（ii），但強(qiáng)度約束（iii）會(huì)隨疊加發(fā)生改變。疊加類算法能夠最大程度保留物體深度信息，完整重建每一層物體的聚焦與離焦效果，適用于全息顯示。

全局優(yōu)化法則將不同深度衍射波前的相干疊加操作嵌套在單次迭代優(yōu)化過程中［37］，并在全息圖平面施加嚴(yán)格的帶寬約束（ii）與強(qiáng)度約束（iii）。全局優(yōu)化算法中三維物體的零強(qiáng)度點(diǎn)與非零強(qiáng)度點(diǎn)共同組成物體的強(qiáng)度約束（i），因此該方法優(yōu)化所得的相位型全息圖無法在聚焦深度處保留其余深度的離焦圖像，其重建效果與真實(shí)世界的觀感相悖。全局優(yōu)化法由于能夠重建單一深度振幅信息并打破層間串?dāng)_，在光學(xué)存儲(chǔ)與加密［38］、光遺傳技術(shù)［39］等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。

順序優(yōu)化法將分層的三維物體沿深度依序完成衍射計(jì)算，由前一層優(yōu)化相位與約束強(qiáng)度得到計(jì)算層的復(fù)振幅［40］。順序優(yōu)化法在深度表現(xiàn)上與全局優(yōu)化法類似，強(qiáng)度零點(diǎn)構(gòu)成暗像素阻擋其他層光線的傳播。但由于全息圖按深度順序傳播，遠(yuǎn)離全息圖的物體層受靠近全息圖的物體層重建誤差影響，重建圖像質(zhì)量下降。因此在順序優(yōu)化法的重建結(jié)果中，距離全息圖最近的物體強(qiáng)度具有較高的重建精度。

2.3 相位型全息圖優(yōu)化：非線性最小化算法

非線性最小化算法由Zhang 等人于2017 年引入計(jì)算全息領(lǐng)域［41］，如圖6 所示，其優(yōu)化原理為定義求解相位型全息圖逆問題的損失函數(shù)，通過求解損失函數(shù)對(duì)于全息圖的導(dǎo)數(shù)，搜索損失函數(shù)梯度下降的方向并尋找相對(duì)應(yīng)的全息圖解。

圖6 非線性最小化逆問題模型Fig.6 Inverse problem for nonlinear minimization

相位型全息圖的求解可定義為優(yōu)化問題：

其中I為全息圖重建強(qiáng)度，Iobj為物函數(shù)強(qiáng)度。非線性最小化算法的優(yōu)越性表現(xiàn)在損失函數(shù)L的靈活選擇。由于全息圖重建存在目標(biāo)值，l2范數(shù)能夠使物函數(shù)滿足強(qiáng)度約束（i），成為了較為廣泛應(yīng)用的損失函數(shù)之一，其表達(dá)式為：

式中，γ為依據(jù)能量守恒控制全息圖重建強(qiáng)度的系數(shù)，其表達(dá)式為

除l2范 數(shù) 外，0-1 損 失、SSIM 損 失 函 數(shù) 等 也對(duì)特定的物體強(qiáng)度具有突出的優(yōu)化效果。在此以l2范數(shù)為例展示導(dǎo)數(shù)求解傅里葉全息圖過程。

為搜索損失函數(shù)的梯度下降方向，依據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t求解損失函數(shù)對(duì)于全息圖的導(dǎo)數(shù)，展開為：

展開式中第一項(xiàng)為l2范數(shù)對(duì)全息圖重建強(qiáng)度的導(dǎo)數(shù)，求解為：

導(dǎo)數(shù)展開式第二項(xiàng)為全息圖重建強(qiáng)度對(duì)全息圖復(fù)振幅分布的導(dǎo)數(shù)，將全息圖重建的傳播過程轉(zhuǎn)換為矩陣運(yùn)算，即可得到：

其中F代表傅里葉變換矩陣，[·]H為共軛轉(zhuǎn)置算符。

導(dǎo)數(shù)展開式第三項(xiàng)為全息圖復(fù)振幅分布對(duì)相位型全息圖求導(dǎo)，根據(jù)歐拉公式展開復(fù)振幅表達(dá)式，可以得到該項(xiàng)為：

其中，WH為窗函數(shù)，它限制全息圖的帶寬并使全息圖滿足帶寬約束條件（ii）?；谝陨线\(yùn)算，結(jié)合梯度下降類型優(yōu)化算法，即可實(shí)現(xiàn)在約束條件限制的集合內(nèi)搜索全息圖的局部最優(yōu)解。較為廣泛應(yīng)用的算法包括準(zhǔn)牛頓算法［42-43］、Wirtinger flow［44］、隨機(jī)梯度下降［45］等。

非線性最小化類型算法與交替投影算法相比，運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，計(jì)算量較大。但其搜索過程中覆蓋到的解函數(shù)范圍略大于交替投影算法，因而在同等全息圖參數(shù)與衍射重建模型下，非線性最小化算法時(shí)常能夠得到重建準(zhǔn)確度更高、噪聲更低的結(jié)果。

2.4 相位型全息圖優(yōu)化：優(yōu)化相位掩膜法

相位型全息圖在物體平面與全息圖平面之間僅有物體相位φ為浮動(dòng)變量，由此Br?uer 等人于1991 年提出可以通過優(yōu)化物體相位掩膜求解相位型全息圖［29］。通過預(yù)先的相位掩膜優(yōu)化使透過掩膜傳播的物體窗函數(shù)近似滿足全息圖約束，隨后將該相位掩膜作為物體相位分量計(jì)算得到全息圖。優(yōu)化后的相位掩膜能夠使物體經(jīng)過一步運(yùn)算［46］或快速收斂迭代［47］得到具有較高重建精度的相位型全息圖，在很大程度上縮減了全息圖優(yōu)化所耗的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)。

為使相位掩膜能夠配合物體衍射產(chǎn)生具有較高重建質(zhì)量的相位型全息圖，掩膜優(yōu)化算法（圖7）通過設(shè)計(jì)不同的初始相位得到不同重建特性的全息圖。使用隨機(jī)相位作為初始優(yōu)化得到的相位掩膜能夠模擬物體散射表面［48］，具有符合自然物體表現(xiàn)的重建聚焦與離焦效果，適用于三維物體重建。但由于有限帶寬的隨機(jī)相位存在奇點(diǎn)與相位渦旋，其重建強(qiáng)度受散斑噪聲影響。使用二次球面相位作為初始優(yōu)化得到的相位掩膜能夠避免散斑噪聲［49］，產(chǎn)生較高的重建精度，但其相位緩變導(dǎo)致全息圖編碼容錯(cuò)率低，重建視場(chǎng)角受限，多用于二維圖像的全息投影。

圖7 相位掩膜優(yōu)化算法原理Fig.7 Principle of optimized phase mask algorithm

3 復(fù)振幅轉(zhuǎn)換編碼方法

由于現(xiàn)有空間光調(diào)制器大多僅能調(diào)制振幅或相位，隨之產(chǎn)生了將復(fù)振幅通過一定近似轉(zhuǎn)換為相位或振幅型全息圖的復(fù)振幅編碼方法。其中復(fù)振幅-相位的轉(zhuǎn)換方法因其轉(zhuǎn)化誤差低、運(yùn)算效率高，在計(jì)算全息中應(yīng)用較為廣泛。

3.1 雙相位全息圖

雙相位全息圖（Double Phase Hologram）于1978 年提出，其編碼方法是基于歐拉公式將歸一化復(fù)振幅分量分解成為兩個(gè)具有相同均勻振幅的分量［50］：

其 中α=cos-1A且。由 此 得 出，通過兩幅相位型全息圖的相干疊加，可恢復(fù)出全息圖平面的復(fù)振幅場(chǎng)，如圖8 所示。

圖8 均勻振幅圓內(nèi)的復(fù)振幅分解原理Fig.8 Principle of complex modulation in the unite circle

基于雙相位分解原理，演化出分解的雙相位分量逐個(gè)像素穿插排列，使得相鄰像素在衍射傳播的過程中相干疊加的復(fù)振幅編碼思路。

2002 年，Arrizón 與Sanchez-de-la-Llave 為在空間光調(diào)制器上實(shí)現(xiàn)橫縱采樣間隔一致的雙相位全息圖［51］，提出由4 個(gè)像素組成復(fù)振幅單元（圖9（a）），即為巨像素編碼方法（Macro Pixel Encoding）。在一個(gè)巨像素單元內(nèi)雙相位分量沿對(duì)角線交錯(cuò)排列，該結(jié)構(gòu)既能夠保持全息圖對(duì)復(fù)振幅場(chǎng)的水平與豎直方向采樣間隔相等，同時(shí)通過不同方向的錯(cuò)位補(bǔ)償，極大地減小了雙相位全息圖的錯(cuò)位噪聲。但由于該方法中一個(gè)復(fù)振幅的巨像素包含4 個(gè)空間光調(diào)制器像素，雙相位編碼對(duì)復(fù)振幅光場(chǎng)進(jìn)行了降采樣，空間帶寬積的利用率仍舊相對(duì)較低。

圖9 空間光調(diào)制器的雙相位編碼方式Fig.9 Double-phase encoding on the spatial light modulator

2014 年，Mendoza-Yero 等 人 提 出 了 一 種 基于單像素操作與采樣的雙相位編碼方法［52］，被稱為單像素編碼方法（Single Pixel Encoding）。如圖9 所示，將分解后的雙相位分量通過互補(bǔ)的二元光柵進(jìn)行像素級(jí)采樣，該二元光柵分布為透過率0 或1 的像素棋盤格，采樣后的雙相位分量相加即為一幅相位型全息圖。

其中?(un，m) 可表示為：

?(un，m)=φ(un，m)+

( -1)n+mcos-1A(un，m) . （16）

圖10 為基于二元光柵采樣的單像素雙相位編碼方法的計(jì)算流程。編碼后的雙相位全息圖像素排布如圖9（b）所示，采樣后的雙相位分量交錯(cuò)分布。

圖10 單像素雙相位圖編碼流程圖［52］Fig.10 Encoding flow chart of the single-pixel doublephase hologram［52］

棋盤格采樣的單像素方法保證了從物體到全息圖的運(yùn)算過程中采樣點(diǎn)數(shù)始終一致，極大地降低了運(yùn)算的復(fù)雜性，提升了運(yùn)算效率，是保證雙相位全息圖能夠應(yīng)用于實(shí)時(shí)全息顯示的關(guān)鍵性一步，成為目前最廣為使用的編碼方法。但由于該方法中運(yùn)用了互補(bǔ)采樣，由雙相位恢復(fù)的復(fù)振幅受相鄰像素近似的影響，局部重建精度略低于巨像素方法。

雙相位全息圖重建質(zhì)量造成影響的主要因素，在于每個(gè)復(fù)振幅調(diào)制單元內(nèi)的雙相位分量存在空間錯(cuò)位，無法完全相干疊加［53-54］。由于雙相位全息圖噪聲與信號(hào)在頻域存在重疊，雙相位全息圖重建時(shí)需依靠空間濾波，遮擋大部分噪聲。但同時(shí)由于包絡(luò)函數(shù)分布特性，空間濾波也無法完全消除全部位移噪聲，并部分損失圖像重建細(xì)節(jié)。

雖然錯(cuò)位噪聲存在，雙相位全息圖因其能夠直接編碼復(fù)振幅，與優(yōu)化求解的相位型全息圖相比具有明顯較高的重建信噪比與運(yùn)算效率，在全息顯示上具有廣泛深入的應(yīng)用。

3.2 誤差擴(kuò)散方法

誤差擴(kuò)散方法（Error Diffusion Algorithm）最早使用于二值全息圖編碼，它將灰度圖二值化導(dǎo)致的量化誤差分散到周圍像素，從而提升二值全息圖的重建效果［55］。在相位型編碼器件出現(xiàn)后，這種方法也被用于編碼復(fù)振幅，將相位型全息圖與所編碼的復(fù)振幅分布之間的誤差擴(kuò)散到相鄰像素中。

復(fù)振幅分布轉(zhuǎn)化為相位型全息圖的過程中會(huì)產(chǎn)生誤差：

Eerr=Aei?-ei?， （17）

如圖11（b）所示，這項(xiàng)誤差可以通過不同的傳遞系數(shù)k1，k2，k3，k4傳遞至相鄰4 個(gè)像素，并更新周圍像素值：

圖11 誤差擴(kuò)散法編碼二值化全息圖［57］Fig. 11 Binary hologram encoding using error diffusion［57］

在此原理上，產(chǎn)生了多種針對(duì)誤差傳遞系數(shù)與誤差擴(kuò)散方向的改進(jìn)算法［56-57］。如2013 年，Tsang 與Poon 提出的雙向項(xiàng)誤差擴(kuò)散算法（圖12），分別沿兩個(gè)不同的方向擴(kuò)散誤差并有效提升重建質(zhì)量［58］。

圖12 雙向誤差擴(kuò)散方法［58］Fig.12 Bidirectional error diffusion method［58］

值得注意的是，誤差擴(kuò)散方法適用于編碼相位變化平滑的復(fù)振幅分布，在計(jì)算相位變化劇烈的物體或隨機(jī)相位物體時(shí)會(huì)產(chǎn)生較為明顯的編碼噪聲，導(dǎo)致重建質(zhì)量下降。此外，誤差擴(kuò)散方法在計(jì)算相鄰像素時(shí)有著嚴(yán)格的先后關(guān)系，因此在運(yùn)算時(shí)無法并行加速，全息圖的運(yùn)算量隨采樣點(diǎn)數(shù)的增加而增加。

4 總結(jié)與展望

本文介紹了以液晶空間光調(diào)制器為調(diào)制器件、以相位型全息圖為調(diào)制函數(shù)格式的計(jì)算全息波前編碼方法，包括逆問題優(yōu)化求解的相位編碼與正向近似轉(zhuǎn)化的復(fù)振幅編碼，分析了不同編碼方案的優(yōu)勢(shì)與挑戰(zhàn)。

計(jì)算全息的波前編碼方式與調(diào)制器件的原理與參數(shù)緊密相關(guān)。隨著大尺寸液晶空間光調(diào)制器與多種新型顯示器件的發(fā)展，波前編碼的方法與形式也日趨多樣化。但波前編碼算法也始終保持著相對(duì)恒定的側(cè)重方向：

（1）高重建準(zhǔn)確度。波前編碼算法的重建強(qiáng)度準(zhǔn)確性是計(jì)算全息波前編碼所需要解決的基本問題。振幅編碼的孿生像問題、相位編碼的散斑與偽影問題、復(fù)振幅編碼的轉(zhuǎn)換誤差問題是波前編碼準(zhǔn)確性提升所面臨的重要難點(diǎn)?，F(xiàn)有算法針對(duì)這些難點(diǎn)問題提出了部分解決思路與方案，但解決方案帶來的帶寬、視場(chǎng)角、空間分辨率方面的損失也為波前編碼帶來了新的挑戰(zhàn)。

（2）高空間帶寬積。相位編碼與復(fù)振幅編碼中均存在噪聲與帶寬的取舍問題。在高質(zhì)量計(jì)算全息重建中，重建強(qiáng)度場(chǎng)的信噪比、空間分辨率、邊緣銳度、對(duì)比度等都是對(duì)其視覺效果具有關(guān)鍵作用的指標(biāo)，因此實(shí)現(xiàn)最大的空間帶寬積利用率始終是波前編碼算法追求的重要目標(biāo)。

（3）高運(yùn)算效率。相位劇烈變化物體的相位型編碼與復(fù)振幅編碼過程大多需要依賴優(yōu)化算法，其運(yùn)算耗時(shí)長(zhǎng)，實(shí)時(shí)編碼難度大。近年深度學(xué)習(xí)算法被引入計(jì)算全息領(lǐng)域，為全息圖的快速生成提供了解決途徑。但深度學(xué)習(xí)相關(guān)算法的全息圖生成準(zhǔn)確度與計(jì)算全息波前編碼模型密切相關(guān)，編碼算法的有效性仍是突破算法效率瓶頸的關(guān)鍵方向。

近年來計(jì)算全息在算法、器件與系統(tǒng)層面均取得了跨越式的發(fā)展，以優(yōu)化算法與深度學(xué)習(xí)結(jié)合為主的相位編碼方法在能量利用率與帶寬率用率上具有突出表現(xiàn)，以雙相位為主的復(fù)振幅編碼方法兼?zhèn)淞烁哌\(yùn)算效率與高重建精度，使得實(shí)現(xiàn)高分辨率、大視場(chǎng)的真三維實(shí)時(shí)全息顯示成為可能。以空間光調(diào)制器為代表的調(diào)制器件，不斷突破像素?cái)?shù)目、視場(chǎng)角、像素尺寸的上限，為下一代顯示技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)，散射介質(zhì)與超穎表面介入新一代顯示系統(tǒng)刺激了波前編碼技術(shù)的更新與迭代。針對(duì)不同的顯示應(yīng)用場(chǎng)景，采用不同的顯示器件，設(shè)計(jì)適配的顯示系統(tǒng)與運(yùn)算算法將是未來全息顯示的發(fā)展方向。