董 挺 張 偉

(北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部,機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100124)

雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)包括非對稱、反對稱等類型,具備較強(qiáng)的承載、變形能力和良好的輕質(zhì)性,正日益成為航空航天領(lǐng)域關(guān)注的研究對象。在殘余應(yīng)力和幾何非線性共同作用下,非對稱鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板在固化之后會產(chǎn)生兩個穩(wěn)定的平衡構(gòu)型和一個不穩(wěn)定的平衡構(gòu)型,從而形成了雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板。兩個穩(wěn)定平衡構(gòu)型不需要持續(xù)的能量輸入就能被維持并且在輸入特定能量的情況下可以通過跳躍(snap-through) 實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)換。本文以六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板為研究對象,分析了雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板在動態(tài)激勵作用下發(fā)生的周期振動、概周期振動、混沌振動和動態(tài)跳躍現(xiàn)象。

雙穩(wěn)態(tài)板殼結(jié)構(gòu)有望被應(yīng)用于減振器[1-2]、飛行器[3]和能量采集器[4]等。Cantera 等[5]通過在四個角處施加垂直機(jī)械力研究了雙穩(wěn)態(tài)板的靜態(tài)跳躍過程。Vogl 等[6]利用瑞利李茲技術(shù)和哈密頓原理研究了非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的自由振動問題。Arrieta 等[7]建立了非對稱雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的單穩(wěn)態(tài)低階非線性動力學(xué)模型。Taki 等[8]利用瑞利李茲技術(shù)和哈密頓原理建立了表面鋪設(shè)壓電層的非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的動力學(xué)模型。Bilgen 等[9]詳細(xì)研究了雙穩(wěn)態(tài)翼形復(fù)合材料層合板的氣動響應(yīng)。Arrieta 等[10]對非對稱機(jī)翼狀雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的動態(tài)響應(yīng)和氣動特性進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究。Zhang 等[11-12]研究了非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板在基礎(chǔ)激勵作用下的動態(tài)跳躍現(xiàn)象、非線性振動、雙激勵多穩(wěn)定性、Shilnikov 型多脈沖跳躍混沌振動及亞穩(wěn)態(tài)混沌振動。

目前有關(guān)雙穩(wěn)態(tài)板動態(tài)跳躍的研究主要以實(shí)驗(yàn)研究為主,而針對雙穩(wěn)態(tài)板的理論研究基本都是圍繞某一個穩(wěn)定平衡狀態(tài)的局部動力學(xué)研究。本文通過理論建模的方式研究了六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的動態(tài)跳躍和非線性振動。

1 動力學(xué)模型

本文的研究對象為六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板,如圖1 所示。邊界條件為中心固支和四邊自由,如圖1(a) 所示。雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的兩個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)如圖1(b) 所示。鋪設(shè)順序?yàn)榉菍ΨQ鋪設(shè)順序(0/0/0/90/90/90),即前三層纖維的鋪設(shè)角度θ= 0?,后三層纖維的鋪設(shè)角度θ= 90?,如圖1(c) 所示。在板的中心處建立直角坐標(biāo)系oxyz。板的幾何尺寸長、寬和厚度分別為2Lx,2Ly和2H。每層纖維的厚度為h。作用在支撐桿件上的基礎(chǔ)激勵為Y。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板模型Fig.1 The model of the bistable composite laminated plate

根據(jù)Reddy 三階剪切變形板理論,非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的位移場可以寫成

其中u0,v0和w0分別表示六層非對稱雙穩(wěn)態(tài)板中面上任意一點(diǎn)沿x,y和z方向的位移,?x和?y分別為中面橫向法線繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角。

基于幾何非線性理論,得到非線性應(yīng)變位移關(guān)系為

其中

每層的本構(gòu)關(guān)系可以表示為

其中其中,αxx和αyy分別表示雙穩(wěn)態(tài)板沿x軸和y軸的熱膨脹系數(shù),θ表示纖維的鋪設(shè)角度,Qij代表剛度系數(shù),并表示為

其中,E11表示縱向彈性模量,E22表示橫向彈性模量,v12和v21表示泊松比,G12和G13表示剪切模量。

根據(jù)Hamilton 原理,可以得到六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的非線性偏微分控制方程

其中,與應(yīng)變和曲率相關(guān)的應(yīng)力合力和合力矩可表示成

剛度單元和各階慣性項(xiàng)系數(shù)可以表示為

根據(jù)文獻(xiàn)[13],雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的位移可以表示為

引入無量綱表達(dá)式

由于雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的主要振動形式為橫向振動,因此,忽略式(6)中與面內(nèi)振動和扭轉(zhuǎn)振動相關(guān)的時間項(xiàng),用橫向位移w0表示面內(nèi)和扭轉(zhuǎn)位移分量u0,v0,?x和?y,將式(9)代入式(6)并利用式(10),最終得到與雙穩(wěn)態(tài)板橫向振動相關(guān)的無量綱常微分方程

為了便于分析,我們將在以下的分析中忽略無量綱方程中的無量綱符號。

2 數(shù)值模擬

為了研究雙穩(wěn)態(tài)板的動態(tài)跳躍現(xiàn)象和非線性振動,采用Runge–Kutta 算法數(shù)值求解常微分方程(11a)(11b)。以激勵幅值為控制參數(shù),得到了李雅普諾夫指數(shù)圖(圖2)、時間歷程圖(圖3) 和龐加萊截面圖(圖4)。

圖2 雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板以外激勵幅值為控制參數(shù)的李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.2 The Lyapunov exponent diagram of the bistable composite laminated plate with the base excitation amplitude as the control parameter

圖3 雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的動態(tài)跳躍現(xiàn)象Fig.3 The dynamic snap-through of the bistable composite laminated plate

我們可以通過李雅普諾夫指數(shù)圖和龐加萊截面圖確定系統(tǒng)的振動形式。由圖2 可知,雙穩(wěn)態(tài)板的非線性振動包括周期振動、概周期振動和混沌振動。由圖3 可知,雙穩(wěn)態(tài)板在發(fā)生動態(tài)跳躍的同時也發(fā)生了混沌振動,即雙穩(wěn)態(tài)板在混沌振動的過程中發(fā)生了動態(tài)跳躍。當(dāng)激勵幅值比較小時,雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板圍繞上平衡點(diǎn)做小振幅的周期振動,如圖4(a) 所示。逐步增大激勵幅值,雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板圍繞上平衡點(diǎn)做小振幅的概周期振動,如圖4(b) 所示。繼續(xù)增大激勵幅值,雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板逐漸偏離上平衡點(diǎn),在上平衡點(diǎn)附近做振幅比較大的混沌振動,如圖4(c) 所示。當(dāng)激勵幅值增大至某一范圍時,雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板不再只圍繞上平衡點(diǎn)發(fā)生振動,而是在上下兩個平衡點(diǎn)之間做大振幅的動態(tài)跳躍,如圖3 和圖4(d) 所示。當(dāng)激勵幅值超過某一值后,雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板不再發(fā)生跳躍,而是在下平衡點(diǎn)附近做振幅較小的概周期振動,如圖4(e)所示。當(dāng)激勵幅值進(jìn)一步增大時,雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板圍繞下平衡點(diǎn)做振幅較小的周期振動,如圖4(f)所示。由此可知,激勵幅值并不是越大就越好,激勵幅值過大,不一定發(fā)生動態(tài)跳躍,動態(tài)跳躍其實(shí)是激勵幅值和頻率共同作用的結(jié)果。

圖4 雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板的龐加萊截面Fig.4 The Poincar′e maps of the bistable composite laminated plate

3 結(jié)論

本文以中心固支四邊自由為邊界條件的六層非對稱正交雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板為研究對象?？紤]幾何非線性,基于三階剪切變形理論和哈密頓原理建立動力學(xué)與控制方程。研究了基礎(chǔ)激勵幅值對雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板非線性振動和動態(tài)跳躍的影響。

改變基礎(chǔ)激勵幅值,雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板發(fā)生了動態(tài)跳躍,并且分別圍繞兩個平衡點(diǎn)發(fā)生了非線性振動。動態(tài)跳躍的發(fā)生是激勵幅值和頻率共同作用的結(jié)果。雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板在整個過程中發(fā)生了周期振動、概周期振動和混沌振動?；煦缯駝邮前l(fā)生動態(tài)跳躍的有利條件。

本文的研究可以為雙穩(wěn)態(tài)能量采集器、可變體飛行器和結(jié)構(gòu)變形的壓電驅(qū)動裝置提供理論依據(jù)。