彭 皓，柏仕坤

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶,401331

近年來由于分?jǐn)?shù)階模型更能準(zhǔn)確地模擬現(xiàn)實(shí)世界的問題，從而掀起了研究的熱潮。如在文獻(xiàn)[1]中作者描述了對流擴(kuò)散反應(yīng)中的一個(gè)分?jǐn)?shù)階邊值問題模型:

其中1<α≤2,0<ε≤1,γ∈,CDα是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。分?jǐn)?shù)階微積分及其模型的詳細(xì)介紹,可參考專著[2-4]。

另一方面,我們注意到時(shí)滯微分方程產(chǎn)生于物理和數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。顯然，與毫不遲延的方程相比，這種方程在一定程度上更準(zhǔn)確地反映了物理現(xiàn)實(shí)。近年來許多學(xué)者致力于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯方程的研究,參見文獻(xiàn)[5-16] 及其所附參考文獻(xiàn)。 例如在文獻(xiàn)[5]中,作者借助度理論研究了如下分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程解的存在性、唯一性和多解性:

其中δ∈(1,2),Dδ是Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)。

在文獻(xiàn)[6]中，借助著名的Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，作者獲得了如下分?jǐn)?shù)階時(shí)滯問題正解的存在性:

其中3<β≤4,0

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),本文借助不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論研究如下帶有時(shí)滯效應(yīng)的(n-1,1)-型分?jǐn)?shù)階共軛多點(diǎn)邊值問題:

(1)

其中α∈(n-1,n] (n∈,

是α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，f,ai,ξi(i=1,2,…,m-2(m∈,m≥3))滿足如下的條件:

(H1)f∈C([0,1]×+,+)

在非線性項(xiàng)滿足超線性和次線性增長條件下，借助Green函數(shù)滿足的一些不等式，獲得該問題正解的存在性,并說明該方法亦適合于更為復(fù)雜的積分邊值問題。

1 預(yù)備知識

定義1[2-4]函數(shù)f的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為：

其中n=[α]+1,[α]是α的取整函數(shù)。

定義2[4]函數(shù)f的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分為：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈,i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小整數(shù)。

首先計(jì)算出與(1)等價(jià)的積分方程。為此,先給出一個(gè)結(jié)論。

引理5[18]若α如問題(1)，令h(t)∈C[0,1]是一給定的函數(shù),則邊值問題(2)：

(2)

有唯一解，且可表示為:

其中

H(t,s)=

(3)

引理6若(H0)滿足,α,h如引理5,則如下邊值問題

有唯一解,且可表示為:

其中

(4)

證明根據(jù)引理4可得:

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n

在上式中代入t=1和t=ξi(i=1,2,…,m-2)可得:

解得:

注釋7在文獻(xiàn)[19]中,Bai考慮了問題(1)的特殊情形(α∈(1,2]):

(5)

其中βηα-1,η∈(0,1)。在該文中得到的格林函數(shù)是:

GBai(t,s)=

(6)

若β=0,則(5)退化成(2)(注意到此時(shí)j=0),結(jié)合引理5和引理6,比較這兩個(gè)問題可得:

顯然討論函數(shù)H(t,s)即可得到較之更為復(fù)雜的函數(shù)GBai(t,s)的性質(zhì),此亦告訴我們不需要構(gòu)造新的格林函數(shù),只需在原有基礎(chǔ)上添加擾動(dòng)項(xiàng)即可研究較難的多點(diǎn)邊值問題。

引理8[18]函數(shù)H有以下性質(zhì):

(R1)H(t,s)=H(1-s,1-t),t,s∈[0,1]

(R2)tα-1(1-t)s(1-s)α-1≤Γ(α)H(t,s)≤(α-1)s(1-s)α-1,t,s∈[0,1]

(R3)tα-1(1-t)s(1-s)α-1≤Γ(α)H(t,s)≤(α-1)tα-1(1-t),t,s∈[0,1]。

引理9令φ(t)=t(1-t)α-1,t∈[0,1],則

證明根據(jù)(4)和引理8,可得G滿足如下不等式:

(7)

另一方面

(8)

由此可得:

根據(jù)引理6知問題(1)等價(jià)于方程(9):

(9)

若存在u(u∈C[0,1],u(t)>0,t∈(0,1])使得(9)中第二個(gè)等式成立,則該u是問題(1)的正解。從而以下尋求(9)正解的存在性。

令E:=C[0,1],‖u‖:=maxt∈[0,1]|u(t)|,P:={u∈E:u(t)≥0,t∈[0,1]},則(E,‖·‖)是一 Banach空間,P是E上的錐。

則P0也是E上的錐。

引理10A(P)?P0。

證明任意的u∈P,注意到G和f的非負(fù)性,由(7)可得:

2 正解的存在性

為了方便，先給出如下常數(shù):

接著給出關(guān)于非線性項(xiàng)f的增長性條件:

定理14若(H0)-(H3)成立，則(1)至少有一個(gè)正解。

證明根據(jù)(H3),存在ε1>0,c1>0使得:

f(t,y)≥([α(α+1)ωκ1Nτ]-1+ε1)y-c1,?y∈+,t∈[0,1]

(10)

定義集合M1={u∈P:u(t)=(Au)(t)+λφ(1-t),λ≥0,t∈[0,1]},往證集合M1是P中的有界集。 事實(shí)上,若u∈M1,則結(jié)合(10)有:

注意到φ(1-t)∈P0,從而由引理10知:若u∈M1,則u∈P0，因而有

(11)

為分析(11),運(yùn)用引理13可計(jì)算該式中的積分:

注意到d1的定義,解(11)可得:

(12)

i(A,BR1∩P,P)=0

(13)

另一方面,由 (H3) 知存在ε2∈(0,ωα2Γ2(α)×[κ2MτΓ(2α+2)]-1),r1∈(0,R1)使得:f(t,y)≤(d2-ε2)y,?y∈[0,r1],t∈[0,1],其中d2=ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1,R1由(13)定義。 下證:

u≠λAu,?u∈?Br1∩P,λ∈[0,1]

(14)

事實(shí)上,若(14)式不成立,則存在u∈?Br1∩P,λ∈[0,1]使得u=λAu。

從而

在上式兩端同時(shí)乘以φ(t),并在0到1上積分，由引理9可得:

注意到引理10,有:

i(A,BR1∩P,P)=1

(15)

結(jié)合(13)和(15),可計(jì)算得:

定理15若(H0),(H1),(H4),(H5)成立,則(1)至少有一個(gè)正解。

證明根據(jù)(H4)存在ε3>0,r2>0使得:

f(t,y)≥([α(α+1)ωκ1Nτ]-1+ε3)y,y∈[0,r2],t∈[0,1].

令d3=[α(α+1)ωκ1Nτ]-1+ε3,下證。

(16)

其中φ(t)=φ(1-t),t∈[0,1]。 事實(shí)上,若(16)不成立,則存在u∈?Br2∩P,λ≥0使得:

在上式兩端同時(shí)乘以φ(t),并在0到1上積分，借助引理9可得:

i(A,Br2∩P,P)=0

(17)

另一方面,將證明集合M2={u∈P:u=λAu,λ∈[0,1]}是P中的有界集。 根據(jù)(H5)存在ε4∈(0,ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1),c2>0使得:

f(t,y)≤(ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1-ε4)y+c2,y∈+,t∈[0,1]。

令d4=ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1,若u∈M2則有:

在上式兩端同時(shí)乘以φ(t),并在0到1上積分,運(yùn)用引理9可得:

解此不等式可得:

u≠λAu,u∈?BR2∩P,λ∈[0,1],

從而根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的同倫不變性(引理12)可得:

i(A,Br2∩P,P)=1

(18)

結(jié)合(17)和(18),可計(jì)算得:

注釋16:(i) 若考慮的問題沒有時(shí)滯(即(1)中的τ=0),定理14和定理15仍然成立。

(ii)可以將問題(1)中的ξi(i=1,2,...,m-2)重新排序,則可知:

此處的積分被稱作Riemann-Stieltjes積分。 鑒于此,本文雖是研究多點(diǎn)邊值問題，但對于積分邊值問題亦是適用的。

3 結(jié) 論

本文運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論研究帶有時(shí)滯效應(yīng)的(n-1,1)-型分?jǐn)?shù)階共軛多點(diǎn)邊值問題正解的存在性，通過研究發(fā)現(xiàn)若將時(shí)滯效應(yīng)看成原問題的擾動(dòng)，進(jìn)而可以使用非線性項(xiàng)超線性增長和次線性增長條件獲得該問題的正解，并且該結(jié)論可直接運(yùn)用到無時(shí)滯效應(yīng)的問題。最后，鑒于多點(diǎn)邊值問題可以轉(zhuǎn)化為Riemann-Stieltjes積分邊值問題，所以這里的方法可以推廣到研究分?jǐn)?shù)階積分邊值問題的情形。