李桂榮

摘要：初中數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，有助于發(fā)展初中學(xué)生的邏輯推理、對(duì)比分析和歸納總結(jié)等學(xué)科素養(yǎng).初中數(shù)學(xué)教師將概念教學(xué)內(nèi)容、方法有機(jī)結(jié)合，立足實(shí)際生活，構(gòu)建生活情境，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的技巧，讓學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)概念.同時(shí)，基于PCK分析的數(shù)學(xué)概念時(shí)教學(xué)過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、抽象概括和歸納總結(jié)等學(xué)科素養(yǎng)，也解決了相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，落實(shí)了初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目標(biāo).

關(guān)鍵詞：PCK；數(shù)學(xué)概念;教學(xué)對(duì)策

1 引言

如何對(duì)抽象、復(fù)雜的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行形象、簡(jiǎn)單的教學(xué)設(shè)計(jì)，從而有效保證教學(xué)成效呢？如何設(shè)計(jì)概念教學(xué)策略，從而有效區(qū)分概念教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，明確概念教學(xué)目標(biāo)、方向和教育價(jià)值呢？如何讓初中學(xué)生有效界定和區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)概念，深入、全面地掌握數(shù)學(xué)概念的難點(diǎn)、重點(diǎn)，收獲主次清晰的學(xué)習(xí)效果呢？

PCK是將初中數(shù)學(xué)教師的學(xué)科專業(yè)知識(shí)與教學(xué)專業(yè)知識(shí)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.本文中基于PCK分析初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)對(duì)策.

2 PCK和初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的聯(lián)系

2.1 數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念主要從思維方式上反映數(shù)學(xué)研究對(duì)象的本質(zhì)屬性.數(shù)學(xué)概念教學(xué)主要從過(guò)程上反映教師通過(guò)橫向觀察、歸納總結(jié)和抽象概括等教學(xué)活動(dòng)指導(dǎo)學(xué)生了解和掌握數(shù)學(xué)研究對(duì)象的本質(zhì)屬性.

初中數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)主要有三點(diǎn)，一是概念內(nèi)容比較抽象、繁雜，二是概念教學(xué)過(guò)程比較繁瑣，三是概念理解也比較容易產(chǎn)生偏差.初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程一般包括概念的引入、獲得和運(yùn)用三個(gè)環(huán)節(jié).其中，概念的引入主要是提出其必要性，概念的獲得是經(jīng)過(guò)新舊概念的同化形成其本質(zhì)屬性的過(guò)程，概念的運(yùn)用主要指在運(yùn)用中理解數(shù)學(xué)概念［1］.

以人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)（上）“一元一次方程”的概念教學(xué)為例.“元”為未知數(shù)，“一元”為一個(gè)未知數(shù).方程為測(cè)度實(shí)際生活情境中數(shù)量關(guān)系的模型，其本質(zhì)屬性在于構(gòu)建不同生活情境中已知變量和未知變量之間的數(shù)量關(guān)系，并且借助已知變量求解未知變量的過(guò)程.方程的概念教學(xué)是通過(guò)“不同情境中已知變量和未知變量之間的等量關(guān)系的構(gòu)建過(guò)程”的訓(xùn)練，讓學(xué)生可以抽象地概括出方程概念的本質(zhì)屬性——“構(gòu)建實(shí)際生活情境中的未知變量和已知變量之間的等量關(guān)系，并借助等式解答未知變量”，并進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)生活情境中數(shù)量關(guān)系測(cè)度模型的方程思維，從而發(fā)展學(xué)生建模思維的學(xué)科素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的教育價(jià)值.

2.2 PCK和數(shù)學(xué)概念教學(xué)的聯(lián)系

結(jié)合PCK“六要素理論”的內(nèi)涵，以及初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)和面臨的困境，筆者探究PCK教學(xué)理念和初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)聯(lián)性，以及基于PCK進(jìn)行初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的必要性和可行性分析.

初中數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容比較抽象、繁雜.立足初中數(shù)學(xué)課堂，基于PCK分析的教學(xué)理念可以將抽象、復(fù)雜的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行形象化、簡(jiǎn)單化的教學(xué)設(shè)計(jì)，從而有效地保證概念教學(xué)的成效.

初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)任務(wù)繁重，概念教學(xué)過(guò)程比較繁瑣.如果教師不能清晰地區(qū)分教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，那么，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解比較容易產(chǎn)生偏差，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的效果也會(huì)參差不齊.運(yùn)用PCK的支撐體系，幫助初中教師全面梳理教學(xué)過(guò)程中有關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延和應(yīng)用等，在深入分析上述數(shù)學(xué)概念有關(guān)的邏輯推理、歸納總結(jié)、抽象概括等思維能力培育和學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ)上，有效界定和區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性、重點(diǎn)和難點(diǎn)，指明了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方向，呈現(xiàn)出了主次清晰的概念教學(xué)效果，還幫助學(xué)生全面、深入地理解數(shù)學(xué)概念，有助于構(gòu)建全面、深入的知識(shí)框架，也讓教師進(jìn)一步明確初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目標(biāo).

3 基于PCK的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

基于PCK分析的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略，是初中數(shù)學(xué)教師在明確教學(xué)目標(biāo)和重點(diǎn)、難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在對(duì)初中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和年齡特點(diǎn)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，實(shí)施的初中數(shù)學(xué)概念教育.它強(qiáng)調(diào)初中學(xué)生在“實(shí)際生活運(yùn)用中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念”.

3.1 基于PCK分析保證概念教學(xué)成效

在考慮初中學(xué)生理解能力的情況下，基于PCK分析的教學(xué)理念摒棄了初中數(shù)學(xué)教師僅僅依靠自身的專業(yè)教學(xué)技能進(jìn)行反復(fù)“填鴨式”或“灌輸式”的教學(xué)方式.它指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教師對(duì)所教班級(jí)學(xué)生的特征和理解能力進(jìn)行初步摸底的基礎(chǔ)上，通過(guò)引導(dǎo)式或探究式或自主式教學(xué)，調(diào)整和優(yōu)化可以讓學(xué)生更加容易理解的教學(xué)方法.

以人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）“反比例函數(shù)”的數(shù)學(xué)概念教學(xué)為例，借助反比例函數(shù)概念來(lái)解釋函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.一般情形下，如果兩個(gè)變量x和y，二者之間的函數(shù)關(guān)系為y=kx（k=c，k≠0），則y是x的反比例函數(shù).若將上述反比例函數(shù)的一般形式進(jìn)行變形，在特殊情形下，若x，y的乘積為一個(gè)常數(shù)c，則xy=k（k=c，k≠0），從而可以更加容易理解該函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.

PCK教學(xué)理念進(jìn)一步指導(dǎo)教師構(gòu)建或創(chuàng)設(shè)生活情境，將抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念與實(shí)際生活相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的興趣和熱情.以人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）“三角形”的概念教學(xué)為例，借助生活中的三角板、三角尺、三腳架、三明治、三角粽子、小彩旗、平房的屋梁、自行車的前后輪和座子構(gòu)成的圖形等，生動(dòng)、形象地引出了三角形的數(shù)學(xué)概念——三條線段任意兩條首尾依次相接后構(gòu)建的圖形.

3.2 運(yùn)用PCK有效界定概念教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)用PCK支撐體系，教師系統(tǒng)梳理數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程中有關(guān)概念的內(nèi)涵、外延和應(yīng)用等.在領(lǐng)域交叉的教學(xué)情境中，PCK能幫助教師及時(shí)、有效地聯(lián)系其他教學(xué)情境.在深入分析上述數(shù)學(xué)概念有關(guān)的邏輯推理、歸納總結(jié)、抽象概括等思維能力培育和學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ)上，PCK能幫助教師有效界定和區(qū)分概念的本質(zhì)屬性、概念教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，并且?guī)椭處熢O(shè)計(jì)概念教學(xué)的策略.

以人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)（上）“一元二次方程”的概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例.首先，分解概念教學(xué)目標(biāo)到每一節(jié)課，并將每一節(jié)課概念的教學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)確地與教學(xué)目標(biāo)聯(lián)系起來(lái).縱向聯(lián)系七年級(jí)數(shù)學(xué)（上）的“一元一次方程”和七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）的“一元二次方程”來(lái)看，一元二次方程是“次數(shù)”的增加.同時(shí)，跨章節(jié)橫向聯(lián)系下一章的“二次函數(shù)”，一元二次方程是二次函數(shù)的基礎(chǔ).同時(shí)，跨學(xué)科橫向聯(lián)系勾股定理等幾何學(xué)科章節(jié)來(lái)看，一元二次方程是解決勾股定理的運(yùn)算工具.由此可見(jiàn)，一元二次方程概念的教學(xué)目標(biāo)是了解新概念，掌握可以解決實(shí)際生活問(wèn)題的方程模型，了解新概念的一般形式——ax2+bx+c=0（a≠0），并能將不同形式的一元二次方程進(jìn)行化簡(jiǎn).

其次，概念學(xué)習(xí)的必要性在于可以為實(shí)際生活中遇到的問(wèn)題提供解決方案，圍繞初中數(shù)學(xué)相關(guān)概念教學(xué)的主題內(nèi)容，充分發(fā)揮教師的主觀能動(dòng)性和引導(dǎo)作用，適度把握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，進(jìn)行有層次、有節(jié)奏的教學(xué)設(shè)計(jì).

為什么方程式的未知變量的次數(shù)是“二次”呢？基于PCK分析，教師面對(duì)學(xué)生提出的疑問(wèn)，并啟發(fā)學(xué)生自己尋求答案.一是讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)用已知概念構(gòu)建新概念的過(guò)程，并體會(huì)新舊概念的同化過(guò)程.二是通過(guò)構(gòu)建班級(jí)生活情境，掌握解決實(shí)際問(wèn)題的方程思維模型，了解新概念的一般形式及其不同形式的化簡(jiǎn)［2］.

例如，構(gòu)建班級(jí)生活情境：班級(jí)要組織一次秋季乒乓球比賽，所有參賽的隊(duì)伍中任意兩隊(duì)都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽日程計(jì)劃為3天，每天計(jì)劃5場(chǎng)比賽， 請(qǐng)問(wèn)若你是班級(jí)球賽的組織者，應(yīng)當(dāng)組織多少支參賽隊(duì)伍？全程計(jì)劃多少場(chǎng)比賽呢？

首先，掌握解決實(shí)際問(wèn)題的方程思維模型.假設(shè)應(yīng)當(dāng)組織x支參賽隊(duì)伍，每支球隊(duì)需要參與的場(chǎng)次為x－1次，全程計(jì)劃比賽的場(chǎng)次為 x（x－1）2 .

根據(jù)已知條件，比賽日程計(jì)劃為3天，每天計(jì)劃5場(chǎng)比賽，那么，全程計(jì)劃比賽的場(chǎng)次為x（x－1）2=15.

其次，了解一元二次方程的一般形式并進(jìn)行化簡(jiǎn).將方程化簡(jiǎn)為x2－x－30=0，求得x=6.

再次，解決實(shí)際問(wèn)題.若你是班級(jí)球賽的組織者，應(yīng)當(dāng)組織6支參賽隊(duì)伍，全程計(jì)劃15場(chǎng)比賽.

最后，體驗(yàn)運(yùn)用已知的“方程”概念構(gòu)建新概念.通過(guò)構(gòu)建班級(jí)生活的實(shí)際情境，掌握解決實(shí)際生活問(wèn)題的思維模型，了解新概念的一般形式及其不同形式的化簡(jiǎn)，并體驗(yàn)運(yùn)用已知概念構(gòu)建新概念的過(guò)程，以及新概念的本質(zhì)屬性在于未知變量之間相乘增加了次數(shù)，新舊概念的同化形成了一元二次方程.

綜上，運(yùn)用PCK支撐體系，教師不僅明確了概念教學(xué)的方向，指導(dǎo)學(xué)生更加深入地學(xué)習(xí)概念，更加有效地掌握數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，收獲了主次清晰的學(xué)習(xí)效果，還幫助學(xué)生更加全面地理解概念，構(gòu)建全面、深入的知識(shí)框架，最終達(dá)成概念教學(xué)的目標(biāo).

4 結(jié)語(yǔ)

基于PCK分析，初中數(shù)學(xué)教師將概念教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法有機(jī)結(jié)合，從實(shí)際生活出發(fā)，構(gòu)建生活情境，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的技巧，讓學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)概念.同時(shí)，基于PCK分析的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理、抽象概括和歸納總結(jié)等學(xué)科素養(yǎng)，也解決了相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，落實(shí)了概念教學(xué)的目標(biāo).因此，基于PCK分析進(jìn)行初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是有必要的和可行的.

參考文獻(xiàn)：

[1]朱小清.基于PCK視角的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)——以“絕對(duì)值的概念”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（10）：54-55，70.

[2]郝建凱. 初中數(shù)學(xué)教師TPACK水平對(duì)課堂教學(xué)質(zhì)量的影響研究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2020.