陳曉娣

《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》提出，“要堅(jiān)持信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的核心理念，發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢，變革傳統(tǒng)模式，推進(jìn)新技術(shù)與教育教學(xué)的深度融合”?，F(xiàn)行的義務(wù)教育和高中課程標(biāo)準(zhǔn)均明確提出信息技術(shù)與學(xué)科深度融合的要求。數(shù)字教材是技術(shù)與學(xué)科深度融合的產(chǎn)物，隨著技術(shù)發(fā)展，第三代人教數(shù)字教材不斷改進(jìn)，將支持師生探究解決問題的專業(yè)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra作為學(xué)科工具，并嵌入基于GeoGebra制作的數(shù)字資源。GeoGebra融入數(shù)字教材促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)方式變革。為探索數(shù)學(xué)數(shù)字教材研發(fā)新路徑，筆者梳理GeoGebra融合應(yīng)用的脈絡(luò)，并結(jié)合“一元三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)探究”案例分析GeoGebra資源應(yīng)用范式，以期在數(shù)字教材用戶體驗(yàn)、內(nèi)容規(guī)范適用、可審可控等方面不斷優(yōu)化。

一、緣起：遴選建設(shè)數(shù)字教材的學(xué)科工具

教育技術(shù)研究要深入學(xué)科，只有應(yīng)用為特定的學(xué)科量身定做的學(xué)科教學(xué)軟件才能真正展現(xiàn)信息技術(shù)的效果[1]。

（一）初期借助單一功能軟件開發(fā)數(shù)字教材

自2013年起，第二代人教數(shù)字教材各學(xué)科陸續(xù)開發(fā)上線，數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)嵌的動(dòng)畫均是用Flash等軟件制作的動(dòng)畫，它們能形象地模擬展示函數(shù)、圖形等的動(dòng)態(tài)變化，幫助師生解決一些簡單的探究問題。伴隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展和智能移動(dòng)終端的普及，F(xiàn)lash動(dòng)畫不能滿足跨平臺(tái)多終端播放要求，且存在插件停止更新的問題，使用率越來越低，逐漸被淘汰。

此外，畫板類的軟件在幾何教學(xué)中應(yīng)用較多。例如，幾何畫板作為一款專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，憑借其強(qiáng)大的平面幾何功能在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用，也常用來研究函數(shù)及圖象變化問題。后來，用戶使用正版幾何畫板軟件需要付費(fèi)。該軟件在代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域功能欠缺或不夠強(qiáng)大，不能脫離軟件環(huán)境開啟。受諸多因素影響幾何畫板應(yīng)用前景也不容樂觀。

出于上述考慮，人教數(shù)字教材開發(fā)團(tuán)隊(duì)期待“合適”的數(shù)學(xué)工具和可跨平臺(tái)運(yùn)行的動(dòng)畫資源，以更好地搭建信息技術(shù)與學(xué)科融合的橋梁。

（二）跨平臺(tái)多功能動(dòng)態(tài)軟件與人教數(shù)字教材完美結(jié)合

2011年，GeoGebra軟件進(jìn)入中國。它是一款跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，將幾何（含3D）、代數(shù)、表格、概率統(tǒng)計(jì)等匯集成一個(gè)易于使用的軟件包，支持多個(gè)區(qū)域同時(shí)顯示并聯(lián)動(dòng)。為了適用移動(dòng)端支持內(nèi)存系統(tǒng)運(yùn)行，GeoGebra開發(fā)者按功能拆分推出了多款A(yù)pp，還增加了GeoGebra AR。目前， GeoGebra支持導(dǎo)出png、html等格式文件，適用多種應(yīng)用場景，并設(shè)置了GeoGebra的腳本和Java Scrip的高級選項(xiàng)，支持用戶進(jìn)一步開發(fā)、探索、應(yīng)用。

數(shù)字教材研發(fā)團(tuán)隊(duì)考察研究后，大膽創(chuàng)新人教數(shù)字教材與學(xué)科工具的結(jié)合方式，將GeoGebra軟件作為嵌入人教數(shù)字教材（數(shù)學(xué)）的學(xué)科工具，用于開發(fā)相關(guān)資源。2018年7月16日開始上線運(yùn)行融合了GeoGebra的第三代人教數(shù)字教材。實(shí)踐證明，新工具新資源的應(yīng)用能夠更好地支持合作、探究等教學(xué)活動(dòng)。

二、功能：工具與資源一體、開放與封閉相結(jié)合，促進(jìn)教學(xué)方式變革

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)”。融合紙質(zhì)教材、數(shù)字資源、閱讀工具、數(shù)據(jù)分析等功能于一身的人教數(shù)字教材，在教育信息化進(jìn)程中發(fā)揮著“基礎(chǔ)資源、基礎(chǔ)應(yīng)用、基礎(chǔ)連接、基礎(chǔ)服務(wù)”的作用。數(shù)字教材與GeoGebra的結(jié)合將發(fā)揮“1+1>2”的效能。

（一）數(shù)字教材與GeoGebra結(jié)合，助推信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合

數(shù)學(xué)教材作為數(shù)學(xué)課程呈現(xiàn)的載體，在信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合方面應(yīng)當(dāng)發(fā)揮更重要的作用。GeoGebra軟件功能強(qiáng)大，2019年版的人教A版、B版兩套高中數(shù)學(xué)教材均以它為載體，介紹如何利用信息技術(shù)開展相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)。GeoGebra作為學(xué)科工具嵌入數(shù)字教材，用戶在安裝數(shù)字教材時(shí)即可選擇安裝，并直接在數(shù)字教材頁面調(diào)用、操作，也可以將自制的*.ggb類型資源上傳數(shù)字教材，在教材中打開、演示、調(diào)整、保存資源文件，避免切換界面。

GeoGebra與數(shù)學(xué)課程深度融合具有如下優(yōu)勢：動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，協(xié)助學(xué)生觀察分析及歸納；互動(dòng)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣；自主探究，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。例如，教學(xué)函數(shù)知識(shí)時(shí)，教師可用GeoGebra快速畫出函數(shù)圖象，通過改變參數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生比較、分析函數(shù)圖象變化規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì)等。又如，教師講授立體幾何時(shí)，可用GeoGebra全方位展示立體圖形，為學(xué)生理解和掌握圖形幾何性質(zhì)（包括證明）提供直觀依據(jù)；教學(xué)平面解析幾何時(shí)，通過GeoGebra的演示，引導(dǎo)學(xué)生研究動(dòng)點(diǎn)軌跡及參數(shù)的變化對方程所表示的曲線的影響等，深度理解曲線與方程的關(guān)系。如果學(xué)生有平板電腦等終端，教師還可以組織學(xué)生直接應(yīng)用數(shù)字教材上的GeoGebra軟件進(jìn)行自主探究。以上種種，都有力地說明在教學(xué)過程中恰當(dāng)使用GeoGebra軟件可以促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合。

（二）GeoGebra助力數(shù)字教材數(shù)學(xué)課程資源開發(fā)

有了現(xiàn)代化教學(xué)手段并不等于擁有了現(xiàn)代化教育，技術(shù)本身只是工具，好的教學(xué)設(shè)計(jì)才是靈魂[2]。若想把“冰冷的美麗的”數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”的教育形態(tài)，需要教師對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行挖掘與開發(fā)。

數(shù)字教材開發(fā)者依據(jù)紙質(zhì)教材內(nèi)容，在紙質(zhì)教材編者的指導(dǎo)下，結(jié)合教師教學(xué)實(shí)際，基于GeoGebra設(shè)計(jì)制作配套數(shù)字資源，涵蓋《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》四個(gè)模塊、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》必修五個(gè)主題等多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)點(diǎn)或解決問題方案，供廣大師生使用。開發(fā)團(tuán)隊(duì)制作的這些資源，既體現(xiàn)了必要的教與學(xué)過程，又實(shí)現(xiàn)了個(gè)性化的跳轉(zhuǎn)、選擇。對于高學(xué)段，開發(fā)的資源功能更強(qiáng)：能保證函數(shù)圖象繪制、圖形間位置關(guān)系、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析等的精確性，邏輯關(guān)系的嚴(yán)謹(jǐn)性等，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)變化及推理演繹過程可視化，支持交互式、多樣化教與學(xué)。

（三）堅(jiān)持封閉與開放相結(jié)合的原則促進(jìn)教學(xué)方式變革

教材作為國家教育目標(biāo)的重要承載體，既要不折不扣地體現(xiàn)國家意志，又要有利于教師對教材進(jìn)行二次開發(fā)，給教學(xué)留出發(fā)揮、調(diào)整的空間。要處理好國家統(tǒng)一要求與教學(xué)靈活性之間的關(guān)系[3]。人教數(shù)字教材開發(fā)團(tuán)隊(duì)堅(jiān)持封閉與開放相結(jié)合的原則，實(shí)現(xiàn)兩者的辯證統(tǒng)一：設(shè)置了既有利于保護(hù)版權(quán)，又能支持教師個(gè)性化二次加工的GeoGebra資源。實(shí)踐表明，數(shù)字教材可以較好地解決教材的穩(wěn)定性和開放性的矛盾[4]。

數(shù)字教材開發(fā)者通過研究分析，預(yù)判學(xué)生學(xué)習(xí)的路徑及突破重難點(diǎn)的方式方法，通過技術(shù)手段將用GeoGebra制作好的資源加密后內(nèi)嵌在數(shù)字教材中。用戶可以隨意操作，但只要關(guān)閉退出，資源本身不會(huì)被修改，這就是封閉。

用戶使用GeoGebra軟件功能，進(jìn)行個(gè)性化操作與修改，點(diǎn)擊保存按鈕即可將形成的新的動(dòng)態(tài)圖形、圖象、數(shù)據(jù)等作為個(gè)性化的資源儲(chǔ)存在數(shù)字教材的個(gè)人空間以備后用，這就是開放。

例如，針對人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第132頁拓廣探索欄目第9題，即研究正方體中幾條面對角線之間的關(guān)系，數(shù)字教材開發(fā)者制作了“研究正方體的線線關(guān)系.ggb”資源（如圖1），支持用戶自行操作體驗(yàn)將展開圖還原成正方體的過程，探究線線關(guān)系。此外，對于該資源開發(fā)者還設(shè)置了線段端點(diǎn)在所在面的邊上自由移動(dòng)的功能，便于用戶研究更多個(gè)性化的面上的線線關(guān)系。如果教師想讓學(xué)生進(jìn)一步研究更多的線線關(guān)系、線面關(guān)系，可以點(diǎn)擊右鍵，調(diào)用出GeoGebra的屬性界面（如圖2），將一些點(diǎn)的屬性修改成其他面的點(diǎn)[如將E點(diǎn)的定義從“描點(diǎn)（q4）”改成“描點(diǎn)（q3）”，再移動(dòng)點(diǎn)E到圖上的A點(diǎn)處，F(xiàn)點(diǎn)也變換位置]，如果點(diǎn)擊“關(guān)閉”按鈕，數(shù)字教材上的資源不會(huì)被改變，而點(diǎn)擊“保存”按鈕，就會(huì)形成個(gè)性化資源存儲(chǔ)在個(gè)人收藏夾，研究的問題變成探究更多新的線線（體對角線和面對角線）關(guān)系。

從傳統(tǒng)課堂到“應(yīng)用課件”再到“無課件課堂”，工具應(yīng)用不斷步入新境界，這也是技術(shù)與教學(xué)深度融合的發(fā)展方向。有了這樣的封閉和開放功能，教師完全可以實(shí)現(xiàn)教育技術(shù)應(yīng)用層面的預(yù)設(shè)與生成相融合，而基于此創(chuàng)新教學(xué)模式具有重大的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。

（四）案例簡析

三次函數(shù)f （x）=ax3+ bx2+cx+d是典型的多項(xiàng)式函數(shù)，其圖象及性質(zhì)的研究內(nèi)容豐富，常作為與導(dǎo)函數(shù)有關(guān)的教材例題、習(xí)題、考題。由于三次函數(shù)含有的參數(shù)多，且圖象隨參數(shù)變化復(fù)雜，致使師生不能像一般初等函數(shù)那樣通過描點(diǎn)畫圖作簡圖來探究相關(guān)性質(zhì)。教師使用融合了GeoGebra的數(shù)字教材，能夠很好地解決圖象繪制和研究性質(zhì)等問題?；诖?，人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章中的習(xí)題5.3第13題和信息技術(shù)應(yīng)用欄目均提到用信息技術(shù)研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（參數(shù)a、b、c、d對圖象的影響等）。

通常，師生是按如下做法探究三次函數(shù)圖象和性質(zhì)：在GeoGebra中直接輸入f （x）=ax3+bx2+cx+d后，界面自動(dòng)出現(xiàn)參數(shù)a、b、c、d四個(gè)滑條，通過改變滑條改變函數(shù)的圖象形狀和位置，使用GeoGebra的切線、極值點(diǎn)等功能研究相關(guān)的性質(zhì)。以上操作存在的缺點(diǎn)是坐標(biāo)系的單位長度不能隨著參數(shù)改變而變化，會(huì)出現(xiàn)圖象在當(dāng)前界面顯示不完整的情況，不利于很多性質(zhì)的直觀呈現(xiàn)。

數(shù)字教材開發(fā)者利用GeoGebra的功能，設(shè)計(jì)制作了包含“圖象與對稱性”“單調(diào)性與最值”“切線問題”三個(gè)自由跳轉(zhuǎn)模塊的“三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”動(dòng)畫資源（如圖3）。用戶拖動(dòng)滑條改變參數(shù)，坐標(biāo)系的單位長度會(huì)隨之變化，圖象始終能在當(dāng)前界面以對稱中心對稱的形式呈現(xiàn)，并通過動(dòng)畫效果演示對稱翻折變換。該動(dòng)畫支持函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、表格數(shù)據(jù)聯(lián)動(dòng)，用以展示單調(diào)區(qū)間、最（極）值點(diǎn)、零點(diǎn)等之間的關(guān)系。在切線問題模塊中，該動(dòng)畫還拓展了點(diǎn)在曲線外的情況，并且給出相關(guān)的結(jié)論及證明。這樣的設(shè)計(jì)不僅為師生研究三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)提供了探究環(huán)境，而且明確了思路和方法，并擴(kuò)大了研究問題的邊界。

三、展望：出版規(guī)范與用戶體驗(yàn)的平衡兼顧

數(shù)字教材不同于一般的數(shù)字出版物和數(shù)字資源庫，它具有教育、出版、技術(shù)三重屬性。GeoGebra作為一款專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，從技術(shù)上解決了數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)問題，且科學(xué)應(yīng)用必然促進(jìn)數(shù)字教材對教育的賦能，但它的一些功能設(shè)置會(huì)對數(shù)字教材的出版管理有一些影響。

（一）離線與在線問題

一般用戶如脫離GeoGebra軟件環(huán)境打開GeoGebra資源，必須以html格式上傳到官網(wǎng)或其鏡像網(wǎng)站，這顯然不能脫離網(wǎng)絡(luò)環(huán)境。數(shù)字教材的開發(fā)要考慮網(wǎng)絡(luò)不發(fā)達(dá)地區(qū)的實(shí)際情況，要支持離線使用，這對GeoGebra資源的輸出方式提出了新的挑戰(zhàn)。

目前，人教數(shù)字教材嵌入GeoGebra輸出H5動(dòng)畫，有離線版和在線版兩種方式。離線版：需要在數(shù)字教材中捆綁離線閱讀器插件，會(huì)增加用戶安裝空間，并需后臺(tái)定期升級。在線版：需要訪問官網(wǎng)或鏡像網(wǎng)站上的js文件（即在線版閱讀器插件），對網(wǎng)絡(luò)環(huán)境有所要求。如此，開發(fā)者將離線和在線的選擇問題轉(zhuǎn)變?yōu)檎加每臻g和強(qiáng)制網(wǎng)絡(luò)環(huán)境間的取舍問題。隨著5G技術(shù)的發(fā)展，高速的網(wǎng)絡(luò)必然成為不可或缺的教育教學(xué)環(huán)境支撐，GeoGebra輸出成H5動(dòng)畫并順暢在線瀏覽將越來越近。

（二）專業(yè)、開放的軟件環(huán)境與教材出版規(guī)范及可審可控問題

GeoGebra作為專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件支持用戶開展解決問題等探究活動(dòng)，但它在文字呈現(xiàn)、排版等方面功能稍弱，如涉及復(fù)雜的文字屬性及排版設(shè)置，需要借助LaTeX語言命令控制。例如，用戶要設(shè)置表示點(diǎn)的字母B為斜體，需要用“$B$”或“$%n$”表示（第二種設(shè)置方式可以將名稱和標(biāo)題保持同步修改）。用戶要將“服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布”中的“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布”字體顏色設(shè)為藍(lán)色，則需要用“服從＼textcolor{blue}{標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布}”表示。另外，GeoGebra僅有“襯線”和“不襯線”兩種字體，目前不支持其他字體的導(dǎo)入，因而無法滿足用不同字體區(qū)分不同內(nèi)容的需求。用戶無法直接自如地輸入和排版，使用軟件仍存在一些困難。數(shù)字教材開發(fā)者需要在專業(yè)數(shù)學(xué)軟件和教材出版格式規(guī)范之間進(jìn)行適當(dāng)取舍。

2022年4月，《數(shù)字教材 中小學(xué)數(shù)字教材出版基本流程》《數(shù)字教材 中小學(xué)數(shù)字教材元數(shù)據(jù)》《數(shù)字教材 中小學(xué)數(shù)字教材質(zhì)量要求和檢測方法》三項(xiàng)國家標(biāo)準(zhǔn)一起發(fā)布，并于2022年11月起正式實(shí)施。對于借助GeoGebra軟件開發(fā)的資源，其圖形或數(shù)據(jù)隨用戶操控的實(shí)時(shí)變化，以及靠算法程序控制的編碼不可外顯等問題，相關(guān)內(nèi)容依據(jù)這三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)是無法進(jìn)行人工或機(jī)器審核的，那么數(shù)學(xué)學(xué)科的開放探究、動(dòng)態(tài)變換類資源是否開發(fā)，是否可審可控，也需要開發(fā)者評估把握。

選擇專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件、開放的探究環(huán)境教學(xué)有利于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的開展，但是用紙質(zhì)教材的規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn)來審核數(shù)字教材中的動(dòng)態(tài)變化的資源（包含文字內(nèi)容呈現(xiàn)效果、動(dòng)態(tài)變化的數(shù)據(jù)或圖形位置關(guān)系等）是否合理，如何取舍、調(diào)整，是未來要研究的重要課題。

人教數(shù)字教材（數(shù)學(xué)）與GeoGebra的應(yīng)用目前屬于起步和爬坡階段，二者從相遇到相知，從磨合到協(xié)同發(fā)展，已經(jīng)取得一定的成效，要實(shí)現(xiàn)完美結(jié)合和普遍應(yīng)用還需要不斷探索。筆者期待在加強(qiáng)資源設(shè)計(jì)及解讀、教與學(xué)方式的研究等相關(guān)的應(yīng)用培訓(xùn)和實(shí)踐后，逐步建立數(shù)字教材+GeoGebra生態(tài)圈，挖掘和壯大兩者的用戶群體，使其成為推動(dòng)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的主力軍。此外，從數(shù)學(xué)工具角度看，GeoGebra只是其中有代表性的一種，期望其他同類數(shù)學(xué)工具快速成長，為數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)字出版提供新的或更多的選擇。

參考文獻(xiàn)

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（作者系人教數(shù)字出版有限公司高級編輯）

責(zé)任編輯：祝元志