張 淼, 于 瀾, 鞠 偉

(1.長春工程學(xué)院 理學(xué)院,吉林 長春 130012; 2.中國第一汽車集團有限公司 研發(fā)總院,吉林 長春 130011)

0 引 言

靈敏度分析是指在結(jié)構(gòu)分析中通過引入設(shè)計參數(shù)向量,將系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣和實模態(tài)參數(shù)(包括頻率和振型)視為該設(shè)計參數(shù)向量的函數(shù),并計算其關(guān)于某個或某些設(shè)計參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。這些靈敏度分析結(jié)果可構(gòu)成靈敏度矩陣,用于集中處理模型修正[1-2]、損傷識別[3-4]及結(jié)構(gòu)控制[5]等大型工程問題。近年來，伴隨著靈敏度分析技術(shù)的不斷進步,以靈敏度作為基礎(chǔ)依據(jù)的模型修正、損傷識別及結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面的研究已經(jīng)得到越來越廣泛的關(guān)注。

針對無阻尼對稱單頻振動系統(tǒng),目前較為常見的幾種實模態(tài)參數(shù)的靈敏度算法包括模態(tài)法[6-10]、代數(shù)法[6,11]、直接法[12-14]和迭代法[15-17]。文獻[6]針對廣義特征問題提出求解特征向量一階靈敏度的代數(shù)法和模態(tài)法,并被視為最經(jīng)典的算法之一,目前依然在工程實際中得到廣泛的應(yīng)用;文獻[7-9]開發(fā)以文獻[6]算法為基礎(chǔ)的截模態(tài)算法;文獻[11]針對廣義特征問題提出能同時求解特征值與特征向量的一階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)法;文獻[10]將文獻[6]算法推廣至實模態(tài)的二階及更高階靈敏度的計算中。

而最早的直接法框架是文獻[18]提出的,其針對特征向量的一階導(dǎo)數(shù)支配方程進行數(shù)學(xué)處理,從而改變支配方程的系數(shù)矩陣的奇異性,使之存在唯一解。文獻[12]基于Nelson思想提出特征向量的一階靈敏度算法;文獻[13]將一階靈敏度算法[18]推廣到特征向量的高階靈敏度的計算中;文獻[14]針對廣義特征問題提出基于Nelson法的特征向量一階靈敏度的移頻迭代技術(shù)。

在模型修正、損傷識別及結(jié)構(gòu)控制等領(lǐng)域中,人們經(jīng)常將實測模態(tài)強制滿足系統(tǒng)質(zhì)量矩陣正交規(guī)范化條件,或者在系統(tǒng)質(zhì)量矩陣正交規(guī)范化條件下與解析模態(tài)進行匹配,從而修正矩陣元素,尋找損傷位置或?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)控制,因此與之相關(guān)的靈敏度算法也必須使用質(zhì)量矩陣加權(quán)正交規(guī)范化條件來確定一個特別的線性組合系數(shù)[19-21]。而近些年來,在能夠?qū)Y(jié)構(gòu)進行越來越好的參數(shù)化操作后,人們開始傾向于發(fā)展更為簡單的規(guī)范化方法來獲得實測模態(tài),相應(yīng)地,需要開發(fā)與之相關(guān)的靈敏度分析算法,來實現(xiàn)更為靈活的設(shè)計參數(shù)型模型修正方法等應(yīng)用于工程實際。為此本文提出一種新算法,只需以最簡單方便的歐幾里德范數(shù)為1作為實模態(tài)向量的規(guī)范化條件,來計算其一階、二階靈敏度,并討論其二階泰勒近似式的精度問題,最后通過數(shù)值算例證明該算法的正確性及有效性。

1 實模態(tài)規(guī)范化方法

在靈敏度分析中特征向量的規(guī)范化條件主要有:① 確保特征向量的唯一性;② 與特征向量的正交性相結(jié)合來對角化方程組的系數(shù)矩陣,從而解耦方程組;③ 作為補充方程來彌補方程組的系數(shù)矩陣的降秩現(xiàn)象,使之存在唯一解。通常情況下,希望一個特征向量的規(guī)范化條件能滿足以上所有的要求。但為了滿足工程需要,往往通過去除某些要求,來適應(yīng)更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計。

N自由度的線性離散振動系統(tǒng)的運動方程為:

(1)

把時間域的矩陣方程變換到拉氏域(變量為λ),并且假定初始位移和速度為0。若阻尼矩陣為零矩陣,則在無阻尼情況下拉氏域中的系統(tǒng)方程變?yōu)?

(K+λiM)φi=0

(2)

(3)

φi′TMφi=1,i=1,2,…,N

(4)

根據(jù) (3)式,此時仍有:

φi′TMφj=0,i≠j；i、j=1,2,…,N

(5)

記模態(tài)矩陣分別為Φ=[φ1φ2…φN]和Φ′=[φ1′φ2′ …φN′],根據(jù)(2)式、(4)式、(5)式可得:

Φ′TMΦ=E

(6)

Φ′TKΦ=diag(-λ1,-λ2,…,-λN)

(7)

2 實模態(tài)靈敏度的全模態(tài)算法

2.1 一階靈敏度

結(jié)構(gòu)靈敏度分析,即關(guān)于某些設(shè)計參數(shù)的變化所導(dǎo)致的系統(tǒng)響應(yīng)變化的研究,被應(yīng)用于各種工程實踐中,例如系統(tǒng)識別、抗干擾控制系統(tǒng)的設(shè)計、基于梯度的數(shù)學(xué)規(guī)劃求解方法、系統(tǒng)響應(yīng)近似、靜態(tài)和瞬態(tài)響應(yīng)計算以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計等。其中模態(tài)靈敏度分析顯得尤其重要,它在某些分析和設(shè)計應(yīng)用中能夠完成多種工作,例如在設(shè)計參數(shù)的擾動后求解新的模態(tài)、確定設(shè)計變化對結(jié)構(gòu)動力行為所產(chǎn)生的影響、在結(jié)構(gòu)的某點處定制模態(tài)來達到最小位移等。

為此,引入設(shè)計參數(shù)向量b=[b1b2…bq]T,相應(yīng)的(2)式改寫為:

K(b)φ(b)+λ(b)M(b)φ(b)=0

(8)

為了討論方便,以下仍記為(2)式的形式。

若只是為了分析某階模態(tài)的跳躍或彎轉(zhuǎn)[22-23]等獨立信息,則相對于某個設(shè)計參數(shù)的靈敏度分析值可以作為主要的參考指標來應(yīng)用。但工程中某些反問題所引起的逆靈敏度分析中,通常需要計算該階模態(tài)對所有設(shè)計參數(shù)的靈敏度,形成梯度矩陣。

對于單頻無阻尼系統(tǒng),由于不同的實頻率所對應(yīng)的實模態(tài)向量φk(k=1,2,…,N)線性無關(guān),因此可以作為 (2) 式的矩陣特征空間的基底,也可作為N維向量空間的基底,因此N維實模態(tài)向量的一階靈敏度向量φi,j(j=1,2,…,q)一定可在實模態(tài)空間內(nèi)表示為基底的某一線性組合,即

(9)

對于某個確定的i,將實模態(tài)向量φi所滿足的(2)式兩端分別對第j個參數(shù)bj求導(dǎo)得:

K,jφi+Kφi,j+λi,jMφi+λiM,jφi+

λiMφi,j=0

(10)

其中:(·),j代表(·)對設(shè)計參數(shù)bj的一階偏導(dǎo)數(shù)。再將(9)式代入(10)式并左乘Φ′T,得到實模態(tài)的一階靈敏度向量φi,j的支配方程為:

Φ′T(K+λiM)Φa(ij)=-Φ′T(λi,jM+

K,j+λiM,j)φi

(11)

用單頻系統(tǒng)實模態(tài)向量之間的規(guī)范正交化關(guān)系(6)式、(7)式解耦支配方程,即可獲得一階模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程為:

(12)

首先,觀察一階模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程組中第i個方程為:

(13)

由于模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程的解必然存在,不會出現(xiàn)矛盾方程,因此(13)式右端恒為0,可解得第i階實頻率的一階靈敏度為:

λi,j=-φi′T(K,j+λiM,j)φi,

i=1,2,…,N

(14)

其次,利用一階模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程組中除第i個方程以外的(N-1)個方程,可解出(N-1)個一階模態(tài)靈敏度系數(shù)為:

k≠i;k=1,2,…,N

(15)

(16)

將(9)式代入(16)式得:

a(ij)TΦTφi=0

(17)

即有:

(18)

(19)

因此,由(15)式、(19)式即獲得全部一階模態(tài)靈敏度系數(shù),代入(9)式即可獲得實模態(tài)向量φi的一階靈敏度向量φi,j(j=1,2,…,q),再根據(jù)定義2,即可獲得實模態(tài)φi的梯度矩陣[φi]。

2.2 二階靈敏度

結(jié)構(gòu)分析的基本目標之一是把能由實測數(shù)據(jù)檢驗的結(jié)構(gòu)分析模型公式化,該模型一開始常常不能產(chǎn)生接近真實的基頻和模態(tài)振型,繼而必須引入一個迭代循環(huán)來調(diào)整分析模型,直到分析和實驗的數(shù)據(jù)相互匹配。若沒有靈敏度的參與,則這一調(diào)整過程很難實現(xiàn)。近年來有許多調(diào)整方法在不斷地發(fā)展,但沒有一個能被普遍接受的方法出現(xiàn),這是由于對于一些特殊的應(yīng)用來說,很難達到目的[19]。一些方法還嘗試從不完全的模態(tài)數(shù)據(jù)中建立剛度矩陣,應(yīng)用最小二乘優(yōu)化技術(shù)來獲得期待的性質(zhì)矩陣;另一些方法則用截斷泰勒展開式,在修正過程中圍繞一個已知點展開每一項,然后求近似解的矩,特別是中值和方差。

實際上,在多數(shù)參數(shù)化的結(jié)構(gòu)分析工作中,都離不開1個或多個非線性規(guī)劃模型的建立和求解,在此過程中,要重點考慮數(shù)據(jù)和建模的精度。二階靈敏度的計算是多樣化信息的來源,可以提供精度上的必要支持。在與非線性規(guī)劃求解有關(guān)的算法中,對海森矩陣的近似或精確表達都是必不可少的程序。

對于1,2,…,N中某個確定的i,為了計算實模態(tài)向量φi的海森矩陣[2φi],必須計算φi關(guān)于所有設(shè)計參數(shù)b1,b2,…,bq的二階靈敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q)。

定義4 稱

為第i個實模態(tài)向量φi關(guān)于設(shè)計參數(shù)向量b=[b1b2…bq]T的二階靈敏度矩陣(海森矩陣)。

N維實模態(tài)向量的二階靈敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q)一定可在實模態(tài)空間內(nèi)表示為基底的某一線性組合,即

(20)

用與一階靈敏度計算相似的方法推導(dǎo)可得:

λi,lφk′TM,jφi+λiφk′TM,jlφi+

k≠i;k=1,2,…,N

(21)

(22)

其中:(·),jl代表(·)先對設(shè)計參數(shù)bj再對設(shè)計參數(shù)bl的二階偏導(dǎo)數(shù)。

由(21)式、(22)式可獲得全部二階模態(tài)靈敏度系數(shù),然后代入(20)式可獲得實模態(tài)向量φi的二階靈敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q),再根據(jù)定義4,可獲得實模態(tài)φi的海森矩陣[2φi]。

(23)

3 實模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法

模態(tài)法最為顯著的特點是利用模態(tài)的正交規(guī)范性解耦了支配方程,便于求解。一方面由于其公式化的遞推形式,很容易在計算機上編程實現(xiàn);另一面由于其不需要任何數(shù)值技術(shù)就能提供一種穩(wěn)定的精度,這使得模態(tài)法具有良好的工程應(yīng)用性。但是全模態(tài)法在工程應(yīng)用中最大的難點在于需要獲得所有各階實模態(tài)來做線性組合才能得到精確解,眾所周知,在工程實際中獲得全部模態(tài)是十分困難的,因此尋求其所對應(yīng)的高效的截模態(tài)算法[7-9,24]具有十分重要的工程意義。

由(15)式、(21)式可知,由于兩式右端項的分母中含有因子(λk-λi),當(dāng)所求模態(tài)落入模態(tài)密集區(qū)時,它們所對應(yīng)的頻率差很小,在一階及二階靈敏度的線性組合(9)式、(20)式中,這些線性組合系數(shù)就會相對較大[25]。這一點提示可以適當(dāng)?shù)乜s減自由度,由此可以只取距離所求模態(tài)范圍不是很遠的模態(tài)來參與計算,而略去那些距離較遠處的模態(tài)的貢獻,從而建立一種截斷準則,形成截模態(tài)算法。此截模態(tài)算法的精度及誤差,尤其是當(dāng)(23)式中所包含的梯度和海森矩陣中的所有一階、二階靈敏度均用截模態(tài)算法計算時,誤差積累所產(chǎn)生的影響將通過以下數(shù)值算例加以說明。

4 數(shù)值算例

一個7自由度的卡車集成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如圖1所示。只考慮垂直平面上的振動,所有水平、轉(zhuǎn)動和偏轉(zhuǎn)方向上的自由度并不予以考慮。

結(jié)構(gòu)各參數(shù)取值如下:前輪中心至車廂與車架連接的等效彈簧的距離分別為z1*=1.8 m、z2*=2.3 m、z3*=3.8 m、z4*=4.3 m、z5*=5.0 m、z1=2.5 m,前輪中心至車架質(zhì)心的距離z4=2.0 m,前輪中心至車廂質(zhì)心的距離z5=3.0 m,前輪中心至后懸掛點的距離L=3.5 m,后輪中心至后懸掛點的距離l=0.85 m,前輪、后輪、車架及車廂的等效質(zhì)量分別為m1=75 kg、m2=m3=80 kg、m4=3 500 kg、m5=1 800 kg,車廂繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J4,車架繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J5,車輪、前懸掛系統(tǒng)、后懸掛系統(tǒng)以及車廂與車架連接的等效阻尼系數(shù)分別為c0=120 N·s/m、c1=150 N·s/m、c2=50 N·s/m、c3=80 N·s/m,車輪、前懸掛系統(tǒng)、后懸掛系統(tǒng)以及車廂與車架連接的等效彈簧剛度分別為k0=12 000 N/m、k1=14 000 N/m、k2=9 500 N/m、k3=4 000 N/m。

圖1 7自由度卡車模型

取k3作為設(shè)計參數(shù)。以其第1階實模態(tài)為例,在初始系統(tǒng)中,計算得到的第1階實模態(tài)值；利用(9)式、(15)式、(19)式計算得到第1階實模態(tài)的一階靈敏度；利用(20)～(22)式計算得到第1階實模態(tài)的二階靈敏度值均見表1所列。

表1 初始系統(tǒng)的第1階實模態(tài)、靈敏度及其變化后系統(tǒng)的第1階實模態(tài)的泰勒近似值和誤差

表2 初始系統(tǒng)的第2階實模態(tài)、靈敏度及其變化后系統(tǒng)的第2階實模態(tài)的泰勒近似值和誤差

表3 初始系統(tǒng)的第3階實模態(tài)、靈敏度及其變化后系統(tǒng)的第3階實模態(tài)的泰勒近似值和誤差

表4 第1階實模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法的泰勒近似誤差 10-5

表5 第2階實模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法的泰勒近似誤差 10-4

表6 第3階實模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法的泰勒近似誤差 10-4

由表1～表3可知,實模態(tài)在步長為4時比較穩(wěn)定,用本文提出的全模態(tài)算法對變化后的實模態(tài)進行二階泰勒近似,其誤差很小,說明本文全模態(tài)算法具有非常好的精度。

由表4～表6可知,即使只選取主模態(tài)附近及其附近極少的模態(tài)進行截模態(tài)算法的疊加運算,其精度也非?？煽?截模態(tài)算法與全模態(tài)算法誤差的數(shù)量級基本一致,說明本文提出的截模態(tài)算法具有良好的工程應(yīng)用性。

5 結(jié) 論

本文提出的計算實模態(tài)向量的梯度向量及海森矩陣的方法,以及實模態(tài)向量在設(shè)計參數(shù)發(fā)生擾動后的新值二階泰勒近似算法,都為工程應(yīng)用提供可靠且高效的算法基礎(chǔ)。利用一種更易于操作的實模態(tài)規(guī)范化條件,解決了由于靈敏度支配方程降秩所導(dǎo)致無法求解靈敏度系數(shù)的問題,并實現(xiàn)了在相應(yīng)規(guī)范化條件下靈敏度的唯一性表達,使計算的靈敏度能夠正確反映原始輸出實模態(tài)的變化。數(shù)值算例的結(jié)果證明了本文算法的精確性、有效性和可靠性。