張鳴祥, 廖海飛, 王建國(guó), 周晨曦

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.土木工程防災(zāi)減災(zāi)安徽省工程技術(shù)研究中心,安徽 合肥 230009)

通常的橋梁風(fēng)振分析多借助于頻域內(nèi)的分析方法,因而多局限于線性范圍。近年來超大跨度橋梁不斷興建,有必要在風(fēng)振響應(yīng)分析中計(jì)入結(jié)構(gòu)及荷載的非線性影響,故有必要討論風(fēng)致振動(dòng)的時(shí)域分析。文獻(xiàn)[1-3]提出用單位脈沖響應(yīng)函數(shù)描述自激力,文獻(xiàn)[4-5]將其在三維空間內(nèi)擴(kuò)展;文獻(xiàn)[6]建立基于自激力脈沖響應(yīng)函數(shù)的橋梁顫振運(yùn)動(dòng)方程并給出2種時(shí)域求解方案;文獻(xiàn)[7-8]發(fā)現(xiàn)靜風(fēng)作用引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性對(duì)大跨度橋梁顫振穩(wěn)定性的影響顯著,必須在顫振分析予以準(zhǔn)確考慮;文獻(xiàn)[9]結(jié)合斷面的顫振導(dǎo)數(shù),采用文獻(xiàn)[10-11]提出的階躍函數(shù)對(duì)橋梁斷面自激力進(jìn)行模擬,并對(duì)模擬準(zhǔn)確性進(jìn)行分析與校核,推導(dǎo)出時(shí)域顫振動(dòng)力有限元分析中自激力的遞推表達(dá)式;文獻(xiàn)[12]運(yùn)用狀態(tài)空間法對(duì)大橋進(jìn)行三維顫振分析;文獻(xiàn)[13]提出統(tǒng)一的顫振和抖振時(shí)程分析方法,并考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性和氣動(dòng)非線性,該方法以非線性有限元的直接積分法為基礎(chǔ),在研究中具體解決了隨機(jī)風(fēng)速場(chǎng)的模擬、耦合自激力的時(shí)域計(jì)算和統(tǒng)一的顫抖振時(shí)程分析流程等關(guān)鍵問題。

本文采用三維空間內(nèi)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)描述自激力的方法,改進(jìn)傳遞函數(shù)最小二乘法的擬合方法,從自激力時(shí)域描述公式中分離出氣動(dòng)質(zhì)量,使得公式中的時(shí)間歷程與當(dāng)前時(shí)間無關(guān),以期消除迭代計(jì)算中由自激力時(shí)域公式引起的荷載非線性,提高計(jì)算速度和計(jì)算精度。

1 基本理論

結(jié)構(gòu)在均勻流作用下的顫振響應(yīng)動(dòng)力微分方程組為：

(1)

1.1 自激力的脈沖函數(shù)

(2)

其中:Frs(r=D,L,M;s=h,p,α)為各自對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),h、p、α為主梁豎向、橫向及扭轉(zhuǎn)位移關(guān)于時(shí)間t的函數(shù);B為橋面寬度。以FM α(t)為例,其表達(dá)式為:

(3)

其中:ρ為空氣密度;u為風(fēng)速;C1,C2,…,Cn,d3,d4,…,dn為待定系數(shù),且滿足

(4)

(5)

Rk=dku/B,

觀察(5)式發(fā)現(xiàn),其中含有ti+1項(xiàng),即當(dāng)前時(shí)刻項(xiàng),并不是單純地與ti+1之前的時(shí)間歷程有關(guān),若直接用于計(jì)算,則須進(jìn)行迭代[14]。為此,設(shè)

(6)

(7)

將(5)式代入(6)式可得:

(8)

再將(7)式代入(8)式可得:

(9)

如此,可得到新的遞推公式,即(3)式可以寫成:

(10)

kM α=ρu2C1,

(11)

1.2 待定系數(shù)的求解

(12)

使用同樣的方法依次求得FL h、FL p、FL α、FD h、FD p、FD α、FM h及FM p的待定系數(shù)和表達(dá)式。由于目前試驗(yàn)條件和方法的限制,對(duì)于不能獲得的顫振導(dǎo)數(shù)一般設(shè)為0。

2 有限元程序設(shè)計(jì)

當(dāng)使用有限元軟件分析時(shí)域內(nèi)的顫抖振時(shí),每個(gè)單元上所作用的氣動(dòng)力和抖振力均可以分離出氣動(dòng)剛度、阻尼、質(zhì)量及節(jié)點(diǎn)荷載向量。

對(duì)于空間梁?jiǎn)卧艿臍鈩?dòng)力,按(2)式可以分離出氣動(dòng)剛度、阻尼和質(zhì)量,若按照類似于集中質(zhì)量矩陣處理方法,分別可以表示為:

(13)

(14)

(15)

(16)

對(duì)于剩下的時(shí)間歷程項(xiàng),則可以作為節(jié)點(diǎn)荷載來處理,即

(17)

(18)

根據(jù)上述分析可以得到結(jié)構(gòu)在均勻流作用下的顫振響應(yīng)動(dòng)力微分方程組為:

(19)

可采用ANSYS的Matrix27單元輸入自激力的氣動(dòng)剛度矩陣、氣動(dòng)阻尼矩陣和氣動(dòng)質(zhì)量矩陣,在每個(gè)要求計(jì)算自激力的節(jié)點(diǎn)施加3個(gè)Matrix27單元,每個(gè)單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)為施加自激力的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn),另一個(gè)節(jié)點(diǎn)全約束。ANSYS中自激力分析示意圖如圖1所示,單元e的節(jié)點(diǎn)i處用于模擬氣動(dòng)剛度、氣動(dòng)阻尼及氣動(dòng)質(zhì)量的單元分別為e1、e2、e3,e1、e2、e3共用節(jié)點(diǎn)i、j。此時(shí)單元e分配到節(jié)點(diǎn)i、j的氣動(dòng)剛度矩陣、氣動(dòng)阻尼矩陣和氣動(dòng)質(zhì)量矩陣作用于各Matrix27單元的氣動(dòng)剛度矩陣、氣動(dòng)阻尼矩陣和氣動(dòng)質(zhì)量矩陣可以分別為:

(20)

圖1 ANSYS中自激力分析示意圖

因此,根據(jù)上述分析,利用ANSYS中提供的APDL語(yǔ)言和應(yīng)用MATLAB編制的自激力傳遞函數(shù)擬合程序在ANSYS中能夠?qū)崿F(xiàn)顫振時(shí)域時(shí)程分析程序。

3 算 例

3.1 具有理想平板截面的簡(jiǎn)支梁

圖2 理想平板簡(jiǎn)支梁的顫振時(shí)域分析有限元模型

圖3 理想平板簡(jiǎn)支梁擬合、實(shí)際顫振導(dǎo)數(shù)曲線對(duì)比

0°風(fēng)攻角時(shí),風(fēng)速分別為135.00、137.50、140.00 m/s作用下簡(jiǎn)支梁顫振響應(yīng)如圖4所示。

圖4d～圖4f為豎向位移時(shí)程的快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)分析結(jié)果。理想平板簡(jiǎn)支梁顫振時(shí)域、頻域分析的誤差見表1所列。從圖4、表1可以看出，結(jié)構(gòu)在風(fēng)速為137.50 m/s的均勻風(fēng)作用下,處于顫振臨界狀態(tài),頻率為0.391 4 Hz,與頻域分析結(jié)果較為接近,驗(yàn)證了本文分析方法在顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率上均具有足夠的精度和可靠性,并具有非線性計(jì)算的能力。

圖4 均勻風(fēng)3種風(fēng)速作用下理想平板簡(jiǎn)支梁的顫振響應(yīng)

表1 理想平板梁顫振時(shí)域、頻域分析誤差

3.2 馬鞍山長(zhǎng)江大橋右汊橋

馬鞍山長(zhǎng)江大橋右汊橋(簡(jiǎn)稱該橋?yàn)椤按髽颉?為主跨2×1 080 m三塔懸索橋,跨徑布置為360 m+1 080 m+1 080 m+360 m=2 880 m,加勁梁采用閉口扁平鋼箱梁,加勁梁高3.5 m寬38.5 m,加勁梁設(shè)上、下斜腹板構(gòu)成導(dǎo)風(fēng)嘴。索塔總高178.3 m,2條主纜橫向間距為35.8 m。橋塔主體混凝土澆鑄,成H型橋塔,中塔采用擴(kuò)大三角支撐。大跨度三塔懸索橋與兩塔單跨懸索橋相比,結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,其中塔塔梁固結(jié),全橋的振動(dòng)響應(yīng)與兩塔單跨懸索橋有很大區(qū)別。建模采用單主梁模型,如圖5所示,主要構(gòu)件截面特性部分參數(shù)見表2所列,加勁梁泊松比為0.3,橫向慣性矩為207.04 m4,豎向慣性矩為3.22 m4,質(zhì)量慣性矩為2.59×106kg·m。

圖5 馬鞍山長(zhǎng)江大橋右汊橋全橋有限元模型

表2 大橋主要構(gòu)件截面特性部分參數(shù)

大橋斷面氣動(dòng)力傳遞函數(shù)系數(shù)擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6中,離散數(shù)據(jù)為主梁節(jié)段風(fēng)洞試驗(yàn)取得的顫振導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)值。

根據(jù)橋梁場(chǎng)地情況,離地高度約為z=57.8 m,地面粗糙長(zhǎng)度z0取0.01 m,假定所有的模態(tài)阻尼比為0.005。添加402個(gè)Matrix27單元模擬大橋自激氣動(dòng)力,其中134個(gè)Matrix27單元模擬氣動(dòng)剛度,134個(gè)Matrix27單元模擬修正氣動(dòng)阻尼,134個(gè)Matrix27單元模擬修正氣動(dòng)質(zhì)量。

圖6 大橋斷面氣動(dòng)傳遞函數(shù)系數(shù)擬合結(jié)果

0°風(fēng)攻角下,風(fēng)速分別為60.0、64.0、69.0 m/s作用下大橋的顫振響應(yīng)如圖7所示。圖7b、圖7d、圖7f為位移時(shí)程的FFT分析結(jié)果。大橋時(shí)域、頻域的分析誤差見表3所列。從圖7、表3可以看出，結(jié)構(gòu)在風(fēng)速為64.0 m/s的均勻風(fēng)作用下,處于顫振臨界狀態(tài),頻率為0.207 4 Hz,同頻域分析結(jié)果較為接近。

由于該橋的顫振導(dǎo)數(shù)數(shù)量相對(duì)較少且連續(xù)性較差,與具有理想平板截面的簡(jiǎn)支梁的結(jié)果相比,該橋時(shí)域、頻域顫振分析結(jié)果的相對(duì)誤差較大,可見顫振導(dǎo)數(shù)連貫性對(duì)顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率的分析影響較大。

圖7 均勻風(fēng)3種風(fēng)速作用下大橋的顫振扭轉(zhuǎn)響應(yīng)

表3 大橋的時(shí)域、頻域顫振分析誤差

4 結(jié) 論

(1) 本文采用三維空間內(nèi)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)描述自激力的方法,改進(jìn)傳遞函數(shù)最小二乘法的擬合方法,并從自激力時(shí)域描述公式中分離出氣動(dòng)質(zhì)量,使得公式中的時(shí)間歷程與當(dāng)前時(shí)間無關(guān),消除了迭代計(jì)算中由自激力時(shí)域公式引起的荷載非線性,提高了計(jì)算速度和計(jì)算精度。

(2) 對(duì)具有理想平板截面的簡(jiǎn)支梁顫振時(shí)域分析結(jié)果表明，本文分析方法在顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率上均具有足夠的精度和可靠性,并具有非線性計(jì)算的能力。

(3) 以馬鞍山長(zhǎng)江大橋右汊橋(三塔兩跨懸索橋)為例,進(jìn)行顫振的時(shí)域數(shù)值計(jì)算,結(jié)果表明時(shí)域、頻域計(jì)算結(jié)果較為接近,但是相對(duì)誤差較具有理想平板截面的簡(jiǎn)支梁有所擴(kuò)大。實(shí)際工程中顫振導(dǎo)數(shù)連貫對(duì)傳遞系數(shù)的擬合有重要的影響,顫振導(dǎo)數(shù)連貫性對(duì)時(shí)域內(nèi)顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率的分析影響較大。