李偉 李林

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244061）

一、引 言

在現(xiàn)代電子測量和傳感測試領(lǐng)域中，采集到的數(shù)據(jù)經(jīng)常無法避免地被各種噪聲所干擾。為了提高特征提取的準(zhǔn)確度，對采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理是很有必要的。小波包變換是一種具有時(shí)頻域、多分辨率等特性的信號(hào)處理方法，非常適合用于消除非平穩(wěn)噪聲。目前基于小波包變換的降噪方法包括模極大值法、空域相關(guān)濾波法和閾值法等。其中，小波包閾值降噪法理論簡單、可實(shí)行性高且在工業(yè)現(xiàn)場被廣泛應(yīng)用。

從提出到現(xiàn)在，已有許多學(xué)者對小波閾值去噪法做了深入的研究，其中最為經(jīng)典的是Donoho等[1]提出的軟、硬閾值函數(shù)去噪法。雖然這兩個(gè)函數(shù)具有一定的去噪效果，但也存在許多不足之處。針對其不足，國內(nèi)外很多學(xué)者相繼提出了一些改進(jìn)的閾值去噪函數(shù)[2-3]。這些函數(shù)雖然在一定程度上兼顧了軟硬閾值函數(shù)的特點(diǎn)，但也存在一些如函數(shù)閾值選取相對固定、函數(shù)缺乏靈活性等不足。針對上述問題，文獻(xiàn)[4]提出了一種小波雙閾值雙因子函數(shù)。該函數(shù)通過引入雙閾值和可變因子，使其能通過改變參數(shù)值來調(diào)節(jié)降噪幅度。但研究發(fā)現(xiàn)，該閾值函數(shù)不能根據(jù)實(shí)際信號(hào)中的噪聲能量分布來局部調(diào)整降噪程度，從而導(dǎo)致降噪效果不太理想。本文丟掉可變因子，引入新的調(diào)節(jié)參數(shù)和函數(shù)模型，以期改進(jìn)后的閾值函數(shù)能夠根據(jù)實(shí)際信號(hào)中有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的分布來整體和局部的調(diào)整函數(shù)的降噪幅度。改進(jìn)后的閾值函數(shù)亦連續(xù)且抑制了恒定偏差。最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)信號(hào)，比較不同小波閾值去噪法的信噪比和均方誤差，驗(yàn)證本文方法的有效性。

二、傳統(tǒng)與現(xiàn)有閾值降噪方法

w是原始信號(hào)小波包分解后的系數(shù)，T是閾值，η(w)是閾值函數(shù)處理后的小波包系數(shù)。

(一)傳統(tǒng)雙閾值法

傳統(tǒng)雙閾值函數(shù)克服了函數(shù)不連續(xù)的問題，并有效地抑制了處理后小波包系數(shù)之間的恒定偏差。但該方法對大于上閾值的部分不做任何處理，可能導(dǎo)致去噪不干凈的情況發(fā)生。

(二)文獻(xiàn)[4]的閾值法

式中，T1、T2分別為上、下閾值，β為關(guān)聯(lián)參數(shù)。α可以用于調(diào)整閾值函數(shù)整體降噪程度，在(0,1)之間取值。該函數(shù)克服了函數(shù)不連續(xù)和恒定偏差的不足，并可以通過改變調(diào)節(jié)參數(shù)來調(diào)整降噪幅度和降噪?yún)^(qū)間。但它不能根據(jù)實(shí)際信號(hào)的噪聲能量分布，自適應(yīng)地調(diào)整整體和局部的降噪幅度。

三、改進(jìn)的小波包雙閾值函數(shù)

（一）新閾值變換函數(shù)

（1）閾值函數(shù)表達(dá)式

根據(jù)上節(jié)討論，對小波包系數(shù)w來說，閾值函數(shù)均為奇函數(shù)。設(shè)Cmin、Cmax分別表示小波包系數(shù)w絕對值的最小和最大值。參考文獻(xiàn)[5]中閾值降噪函數(shù)條件：

1.在函數(shù)定義域范圍內(nèi)具有單調(diào)性且無間斷點(diǎn)。

2.在定義域范圍內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)值逐漸增大，或者先增大再減小，這樣才能使小波包系數(shù)中間區(qū)域的系數(shù)差異增大，便于識(shí)別。

3.導(dǎo)數(shù)（尤其是區(qū)間[Cmin,Cmax]中段的導(dǎo)數(shù)）應(yīng)大于1。

根據(jù)文獻(xiàn)[5]中閾值函數(shù)條件和文獻(xiàn)[4]中閾值降噪方法的不足，本文在此基礎(chǔ)上，定義了下式所示的雙參數(shù)雙閾值函數(shù)：

式中，下閾值T2=βT1＜T1；β(0＜β＜1)為閾值關(guān)聯(lián)參數(shù)。m、b為本文引入的新的調(diào)節(jié)參數(shù)。下面來證明，新閾值函數(shù)不僅滿足以上條件，而且具有獨(dú)特性質(zhì)。

（2）改進(jìn)的閾值函數(shù)分析

函數(shù)的性態(tài)包括連續(xù)性、單調(diào)性、漸進(jìn)性及凹向等。

1)函數(shù)連續(xù)性

由式(4)～(6)可知，閾值函數(shù)η(w)在閾值T1、T2處連續(xù)。

2)函數(shù)單調(diào)性

當(dāng)T1＞w＞T2時(shí)，設(shè)w1＜w2

同理，當(dāng)w＞T1時(shí)

式(3)是奇函數(shù)。由上述函數(shù)單調(diào)性證明得，本文閾值函數(shù)在定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞增。故本文閾值函數(shù)符合條件(1)、(2)。

3)漸近性

由上述函數(shù)推導(dǎo)得，本文閾值函數(shù)以y=x為漸近線。與閾值變換函數(shù)的條件(3)相符。

4）導(dǎo)函數(shù)性態(tài)

由于本文閾值函數(shù)是奇函數(shù)，故下面在[0,+∞)內(nèi)驗(yàn)證本文閾值函數(shù)導(dǎo)函數(shù)特性。

由式(11)得，當(dāng)m較大時(shí)，式(3)的導(dǎo)函數(shù)在T1處的導(dǎo)數(shù)值大于1。除此之外，式(3)在各閾值區(qū)間內(nèi)均是初等函數(shù)組成，因此本文閾值函數(shù)在個(gè)閾值區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，并以為漸近線。因此，改進(jìn)后的閾值函數(shù)在[T1，+∞)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)均大于1。故本文閾值函數(shù)符合上述條件(3)。

5)函數(shù)偏差性

由閾值函數(shù)的恒定偏差性證明得，當(dāng)本文w值趨向于無窮時(shí)，η(w)=w。故本文提出的改進(jìn)后的閾值函數(shù)無恒定偏差。

由上述分析可知，改進(jìn)后的閾值函數(shù)在基本滿足閾值去噪變換的條件下，繼承了文獻(xiàn)[4]函數(shù)在閾值點(diǎn)連續(xù)及無恒定偏差的優(yōu)點(diǎn)。

6)調(diào)節(jié)參數(shù)m與b影響分析

此部分參數(shù)影響分析，令下閾值T2=5，上閾值T1=12。通過控制變量法，調(diào)節(jié)m與b的值來研究相應(yīng)閾值函數(shù)降噪幅度的影響。結(jié)果如圖1所示。

圖1 改進(jìn)閾值函數(shù)示意圖

由圖1（a）可見，m值不變的情況下，b越大降噪幅度越?。环粗?，降噪幅度越大。由圖1（b）可見，b值不變的情況下，m越大函數(shù)在不同閾值范圍內(nèi)變化越明顯，從而對大于和小于閾值的部分極大程度地保留和收縮，實(shí)現(xiàn)有用信息和噪聲信息的分離。反之，降噪幅度越小。

（二）閾值及調(diào)節(jié)參數(shù)的確定

(1)參數(shù)m的確定

參數(shù)m主要反映不同小波包的能量分布。為了進(jìn)一步提高方法的自適應(yīng)性，對函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)m進(jìn)行數(shù)學(xué)建模為：

式中，mj,k表示小波包分解第j層中第k段小波包系數(shù)的調(diào)節(jié)系數(shù)。Ej,k是小波包系數(shù)的能量，表達(dá)式為。Ej是小波包總能量，表達(dá)式為Ej=

實(shí)際工況下，噪聲能量一般大于有用信號(hào)，因此，Ejk/Ej值一般較小。另外，由式(3)和圖(1)可知，1＜m＜5。綜合考慮，m0=1，α=10。

(2)上下閾值的確定

文獻(xiàn)[4]中指出利用sqtwolog準(zhǔn)則選取的閾值一般偏大的特點(diǎn)。除此以外，現(xiàn)有閾值選取準(zhǔn)則，均存在自身的不足。針對現(xiàn)有方法的特點(diǎn)，文獻(xiàn)[6]指出：采用sqtwolog準(zhǔn)則選取上閾值T1，再通過T2=βT1(0＜β＜1)確定下閾值能盡可能地保留有用信號(hào)。但閾值關(guān)聯(lián)參數(shù)?應(yīng)和調(diào)節(jié)因子b一起遍歷選取，以達(dá)到最好的降噪效果。

(3)參數(shù)b的取值范圍

由式(3)可知，為了對小波包系數(shù)實(shí)現(xiàn)收縮作用，分母(e+b)應(yīng)大于1。但數(shù)值試驗(yàn)表明：若(e+b)過大，反而降噪效果較差。因此，本文選定參數(shù)b在[-1.5，1.5]之間取值。對于不同信噪比的信號(hào)，若參數(shù)b的取值跨度較大，易造成降噪不充分或過度降噪的情況，相反跨度較小，雖避免了上述情況，但會(huì)極大地增加計(jì)算量。

(4)參數(shù)b和系數(shù)k的聯(lián)合確定

本文首先通過sqtwolog準(zhǔn)則確定上閾值T1的值。其次根據(jù)式(14)確定實(shí)際信號(hào)經(jīng)小波包分解后每頻段能量分布系數(shù)m。最后，以降噪后信號(hào)的最大信噪比為目標(biāo)函數(shù)，在b和k的調(diào)節(jié)范圍內(nèi)，選擇最佳的b和k的參數(shù)組合。具體方法如下：

(1)在b和k的取值范圍內(nèi)，選擇合適的步長△b和△k，并以此分別將對應(yīng)區(qū)間等分成M和N份。

(2)由步驟(1)得到一個(gè)參數(shù)矩陣D，其包含M×N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)代表一種b和k的組合。遍歷該矩陣中的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用式(3)進(jìn)行降噪，以最大信噪比作為目標(biāo)函數(shù)[7]確定最佳參數(shù)組合。

四、仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[4]中的閾值函數(shù)通過引入雙調(diào)節(jié)因子，使其能夠靈活地調(diào)整函數(shù)降噪幅度。但其忽略了小波分解后能量分布的影響，針對這一點(diǎn)，本文在其基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)?；诖?，本節(jié)欲通過仿真和試驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證改進(jìn)后閾值函數(shù)的有效性。

（一）仿真信號(hào)驗(yàn)證

首先通過Matlab軟件仿真沖擊信號(hào)(bumps)，并由wnoise函數(shù)對仿真信號(hào)添加不同程度高斯白噪聲，以仿真不同信噪比的原始信號(hào)。然后采用傳統(tǒng)雙閾值法、文獻(xiàn)[4]中的閾值方法和本文提出的閾值方法對不同信噪比的仿真信號(hào)進(jìn)行降噪處理。最后計(jì)算不同方法降噪重構(gòu)后對應(yīng)信號(hào)的信噪比(SNR)和均方誤差(RMS)。

以SNR=3的沖擊信號(hào)為例，不同方法降噪重構(gòu)后的信號(hào)分別如圖2所示。

圖2 仿真信號(hào)降噪效果圖

由圖2(a)和圖2(b)可見，在SNR=3的信噪比下，原始沖擊信號(hào)(bumps)的沖擊特征已基本被淹沒。由圖2(c)可見，文獻(xiàn)[4]中的雙閾值法能有效地降低噪聲對沖擊特征的影響，但仍出現(xiàn)大面積的信號(hào)震蕩現(xiàn)象，且信號(hào)突變部分的處理較為粗糙。由圖2(d)可見，改進(jìn)后的閾值函數(shù)的降噪效果要明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[4]的方法。另外，比文獻(xiàn)[4]的方法更有效地抑制了信號(hào)震蕩現(xiàn)象，震蕩幅度更小且突變部分處理較好。

為進(jìn)一步研究不同信噪比下本文閾值函數(shù)的降噪效果，采用不同信噪比的仿真信號(hào)，對比計(jì)算不同方法降噪后的信噪比和均方誤差，計(jì)算結(jié)果如下表1、2所示。

表1 不同閾值函數(shù)去噪后信噪比

由表1和表2可見，無論是去噪后信號(hào)的信噪比還是均方誤差，通過本文提出的新閾值函數(shù)處理后的信號(hào)均優(yōu)于傳統(tǒng)降噪方法。與圖2的分析結(jié)果相同。

表2 不同閾值函數(shù)去噪后均方誤差

（二）試驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證

本節(jié)統(tǒng)一選取行星齒輪箱太陽輪裂紋故障實(shí)驗(yàn)信號(hào)為分析對象。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、步驟、故障設(shè)置及信號(hào)采集過程等如文獻(xiàn)[8]所述。利用不同降噪方法對加噪信號(hào)進(jìn)行降噪處理，并計(jì)算每種方法降噪重構(gòu)后信號(hào)的信噪比，結(jié)果如表3所示。

表3 不同降噪方法去噪后信噪比

由表3可見，在不同信噪比情況下，相比于其他降噪方法，改進(jìn)后的閾值法降噪后信號(hào)的信噪比更高，即降噪效果更明顯。進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的閾值方法的有效性。

五、結(jié)論

現(xiàn)有的閾值函數(shù)已函數(shù)連續(xù)且無恒定偏差，且通過改變調(diào)節(jié)因子大小改變函數(shù)降噪程度，但其不能根據(jù)實(shí)際信號(hào)中噪聲能量的分布自適應(yīng)地調(diào)整不同頻段的降噪幅度，故而降噪效果不夠理想。針對這一問題，本文引入了兩個(gè)新的調(diào)節(jié)參數(shù)，提出了一種雙參數(shù)的雙閾值函數(shù)。改進(jìn)后的閾值函數(shù)在基本滿足閾值變換的條件下，亦函數(shù)連續(xù)且無恒定偏差。另外，函數(shù)通過調(diào)節(jié)新的調(diào)節(jié)參數(shù)b和m值，使改進(jìn)后的函數(shù)能夠根據(jù)實(shí)際信號(hào)中的不同頻段內(nèi)噪聲及有用信號(hào)的能量分布，自適應(yīng)的調(diào)整函數(shù)整體和局部的降噪幅度。最后利用仿真和試驗(yàn)信號(hào)，對比驗(yàn)證了改進(jìn)后閾值方法的有效性。