陳 鑫，郗恒東

(1. 上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072；3. 西北工業(yè)大學(xué) 極端力學(xué)研究院，西安 710072)

0 引 言

由溫度梯度引發(fā)的湍流稱為熱湍流。熱湍流在自然界和生產(chǎn)生活中普遍存在并起著至關(guān)重要的作用：在自然界中引起天氣、氣候變化的大氣環(huán)流、海洋環(huán)流，引起大陸板塊漂移的地幔對(duì)流，決定地磁場產(chǎn)生和變化的外地核對(duì)流等；在日常生活中的燒開水以及室內(nèi)供暖；在工業(yè)生產(chǎn)中影響單晶晶體生長和金屬制備過程中的對(duì)流、核反應(yīng)堆內(nèi)部及其乏燃料池中的對(duì)流等。人們針對(duì)這一類流動(dòng)現(xiàn)象提出了一種模型系統(tǒng)，稱之為瑞利-伯納德（Rayleigh-Bénard，RB）熱湍流系統(tǒng)[1-3]。

圖1為矩形瑞利-伯納德熱湍流系統(tǒng)的示意圖。瑞利-伯納德熱湍流系統(tǒng)是一個(gè)高度為H的封閉湍流系統(tǒng)，加熱其下壁，保持溫度T+ΔT，冷卻其上壁，保持溫度T，側(cè)壁為絕熱壁。整個(gè)熱湍流系統(tǒng)中充滿了流體介質(zhì)，流體介質(zhì)在上、下壁間溫差ΔT的作用下，下（上）壁附近的流體受熱膨脹（遇冷收縮），密度減小（變大），受到浮力的作用，從下（上）壁附近熱（冷）的熱邊界層中脫落，形成高（低）于湍流背景溫度的蘑菇狀羽流結(jié)構(gòu)。當(dāng)系統(tǒng)的控制參數(shù)Rayleigh數(shù)（Ra）、Prandtl數(shù)（Pr）、寬高比（Γ=L/H）進(jìn)入一定的參數(shù)空間時(shí)，羽流由于羽流之間的相互作用最終自組織形成大尺度的相干結(jié)構(gòu)，即大尺度環(huán)流（Large-Scale Circulation，LSC）[4-5]。理解熱湍流系統(tǒng)中相干結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特征有助于理解湍流熱輸運(yùn)、邊界層結(jié)構(gòu)以及湍流脈動(dòng)等重要問題。

圖1 矩形瑞利-伯納德熱湍流系統(tǒng)和流動(dòng)示意圖(紅色代表高溫流體，藍(lán)色代表低溫流體，綠色箭頭指明了大尺度環(huán)流的流動(dòng)方向)Fig. 1 (Color online) Sketch of a rectangular turbulent RB convection(The red-arrows and blue arrows indicate the hot and cold plumes respectively. The green arrow represents the direction of the large-scale circulation)

2008年，郗恒東與夏克青首次在圓柱形瑞利-伯納德熱湍流系統(tǒng)中通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了熱湍流系統(tǒng)中的多湍流態(tài)現(xiàn)象[6]，即在相同的控制參數(shù)下，系統(tǒng)的大尺度流動(dòng)存在不同的湍流狀態(tài)（結(jié)構(gòu)），而且不同的湍流狀態(tài)可以自發(fā)地切換。對(duì)于流動(dòng)在某一確定的控制參數(shù)下所處的流動(dòng)狀態(tài)， Kolmogorov在1941年提出的湍流理論[7]認(rèn)為，對(duì)于充分發(fā)展的湍流，其脈動(dòng)足夠大以至于流動(dòng)會(huì)遍歷所有的相空間，因而這種充分發(fā)展湍流的小尺度統(tǒng)計(jì)特性應(yīng)只存在一種統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定的狀態(tài)。經(jīng)典的湍流理論假設(shè)湍流是各態(tài)遍歷的，也就是說即使某些中間狀態(tài)可能會(huì)受到例如初始條件等因素的影響，但是其統(tǒng)計(jì)平均量是不依賴于初始流場的。各態(tài)遍歷假設(shè)是湍流理論的一個(gè)重要基礎(chǔ)。大尺度流動(dòng)的多湍流態(tài)的發(fā)現(xiàn)及其進(jìn)一步的研究，勢必會(huì)為經(jīng)典的湍流理論提供一個(gè)強(qiáng)有力的補(bǔ)充。近年來這種多湍流態(tài)現(xiàn)象陸續(xù)在不同的湍流系統(tǒng)中被發(fā)現(xiàn)并且被廣泛且細(xì)致的研究，除了本文所描述的熱湍流系統(tǒng)[6,8-20]，還包括泰勒-庫埃特湍流系統(tǒng)[21-22]、雙擴(kuò)散對(duì)流湍流系統(tǒng)[23]、馮·卡門湍流系統(tǒng)[24]、旋轉(zhuǎn)球殼庫埃特流動(dòng)系統(tǒng)[25]、展向旋轉(zhuǎn)平板庫埃特湍流系統(tǒng)[26]、二維強(qiáng)迫剪切流動(dòng)[27]、二維槽道流動(dòng)[28]、風(fēng)洞中流經(jīng)作鐘擺運(yùn)動(dòng)的圓盤后的流動(dòng)[29]以及T型混合器中的流動(dòng)[30]等。在上述的研究中，一個(gè)普遍的發(fā)現(xiàn)是當(dāng)系統(tǒng)處于不同的湍流狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)中的大尺度相干結(jié)構(gòu)存在顯著的差異，同時(shí)系統(tǒng)的某些輸出參數(shù)，例如系統(tǒng)整體的能量輸運(yùn)效率、動(dòng)量輸運(yùn)效率或者流動(dòng)的摻混效率等，也有顯著的不同。早先對(duì)于湍流相干結(jié)構(gòu)的研究告訴我們，湍流結(jié)構(gòu)是湍流基本物理過程的流場時(shí)空分布表征，湍流結(jié)構(gòu)的時(shí)空演化直接主導(dǎo)了流體的動(dòng)量、能量和物質(zhì)的輸運(yùn)特性，因而對(duì)湍流中力、熱的產(chǎn)生及其非定常輸運(yùn)起著決定性的作用。因此，知曉在某一控制參數(shù)下，系統(tǒng)處于何種流動(dòng)狀態(tài)對(duì)理解、進(jìn)而調(diào)控此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量、能量以及物質(zhì)的輸運(yùn)特性是十分關(guān)鍵的。

此外，多湍流態(tài)現(xiàn)象在自然界的流動(dòng)中也有展現(xiàn)。在海洋環(huán)流中，一個(gè)典型的例子是日本東海岸的“黑潮”，這是與北大西洋灣流齊名的一支強(qiáng)大的暖性海流?！昂诔薄睍r(shí)不時(shí)會(huì)改變其沿著日本東海岸自南向北的流動(dòng)方向，轉(zhuǎn)頭回流，出現(xiàn)所謂的“大蛇行”現(xiàn)象[31]，進(jìn)而引發(fā)西太平洋地區(qū)一系列的海洋生態(tài)問題，最近一次“大蛇行”發(fā)生在2017年8月。再者，例如在地球的大氣環(huán)流中，中緯度地區(qū)的大氣以西風(fēng)為主且?guī)缀跏菐盍鲃?dòng)，然而，這種西風(fēng)流動(dòng)會(huì)被突然出現(xiàn)并可以持續(xù)很長時(shí)間的反氣旋流動(dòng)阻擋，從而向極地明顯偏移[32]。此外，外地核中的液態(tài)金屬的對(duì)流[33]也存在著流動(dòng)反向的現(xiàn)象。多湍流態(tài)現(xiàn)象不僅在地球上的大氣、海洋和外地核的流動(dòng)中出現(xiàn)，在木星大氣中也有出現(xiàn)，其對(duì)流層中的條帶狀的射流流動(dòng)在1939年至1940年間失去了其中一股，取而代之的是三個(gè)呈現(xiàn)白色的反氣旋流動(dòng)，這一事件被稱為木星氣候突變事件[34]，這也可以認(rèn)為是一種新的湍流狀態(tài)。

本文將就瑞利-伯納德熱湍流系統(tǒng)中多湍流態(tài)現(xiàn)象的研究成果進(jìn)行綜述。通過近些年的研究發(fā)現(xiàn)，多湍流態(tài)現(xiàn)象大致可以分為兩類：一類是在相同的初始條件下，隨著流動(dòng)的發(fā)展，流動(dòng)在不同的湍流狀態(tài)下自發(fā)地、隨機(jī)地切換，上一段中提到的自然界中的多湍流態(tài)現(xiàn)象目前來看也均屬于這一類；另一類則是由于在流動(dòng)初始時(shí)刻給定了不同的初始條件進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)演化為不同的流動(dòng)狀態(tài)，并且該流動(dòng)狀態(tài)十分的穩(wěn)定，可以保持很長的一段時(shí)間。下文中，我們將就瑞利-伯納德熱湍流系統(tǒng)中這兩類多湍流態(tài)現(xiàn)象分別展開介紹。在本文的最后，我們將給出總結(jié)與展望。

1 相同參數(shù)條件下自發(fā)產(chǎn)生的多湍流態(tài)現(xiàn)象

我們首先討論相同參數(shù)條件下自發(fā)產(chǎn)生的多湍流態(tài)現(xiàn)象。郗恒東與夏克青[6]最早在圓柱形熱湍流系統(tǒng)中通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了該類型的多湍流態(tài)現(xiàn)象。他們通過實(shí)驗(yàn)分別研究了寬高比為1、1/2和1/3的熱湍流系統(tǒng)中的流動(dòng)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的演化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)在這三個(gè)寬高比的熱湍流系統(tǒng)中，單環(huán)的大尺度環(huán)流模態(tài)（single-roll state, SRS，可見圖2（c）、圖3 （a））和上下堆疊排列的雙環(huán)模態(tài)（double-roll state，DRS，可見圖2（c）、圖3 （b））均可以穩(wěn)定存在，且這兩種流動(dòng)狀態(tài)可以自發(fā)地、隨機(jī)地相互轉(zhuǎn)換。

圖2展示了在對(duì)流腔體的上（3H/4）、中（H/2）、下（H/4）三個(gè)不同高度上通過多點(diǎn)溫度測量方法測得的流動(dòng)在單環(huán)模態(tài)與雙環(huán)模態(tài)之間的一次轉(zhuǎn)變。多點(diǎn)溫度測量方法是由Cioni等[35]提出并在之后相關(guān)的研究中被廣泛使用[36-38]。眾所周知，大尺度環(huán)流實(shí)際上是冷、熱羽流的自組織運(yùn)動(dòng)[39]，基于此，對(duì)于圓柱形熱湍流系統(tǒng)，我們可以在某一橫截面周向均勻地布置若干（此處使用8個(gè)）溫度探頭，通過使用函數(shù)Tn=T0+Acos(nΠ/4?φ)，n= 0，···，7，擬合某一瞬時(shí)時(shí)刻測得的8個(gè)周向溫度值，可以獲得大尺度環(huán)流的瞬時(shí)方位角φ以及大尺度環(huán)流的瞬時(shí)強(qiáng)度A。從圖2可以看到，在150 s之前，我們可以觀察到上、中、下三層測得的大尺度環(huán)流平面的方位角幾乎重合，說明此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的流動(dòng)呈現(xiàn)一個(gè)尺寸與系統(tǒng)尺寸相若的單環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖2（c）中的左側(cè)示意圖所示。在150 s左右，Atop的值降低至0附近，緊接著，φtop的值突變了180°，即當(dāng)?shù)卮蟪叨拳h(huán)流的方位角發(fā)生了反向。結(jié)合Atop、φtop的變化，說明原先的大尺度環(huán)流在系統(tǒng)的上部出現(xiàn)了分裂，形成了一個(gè)新的相反流動(dòng)的渦結(jié)構(gòu)。我們還注意到φmid、φbot的值從始至終都較為接近，這說明分裂之后的上、下兩個(gè)渦并非是對(duì)稱的，下方的渦結(jié)構(gòu)尺寸要大于上方的渦結(jié)構(gòu)，如圖2（c）中的中間示意圖所示。流動(dòng)在雙環(huán)模態(tài)下保持了一段時(shí)間之后再次回到了原先方向的單環(huán)模態(tài)。當(dāng)然，這里新形成的單環(huán)模態(tài)也不總是保持原先的流動(dòng)方向，有時(shí)也會(huì)形成相反方向的單環(huán)流動(dòng)。

圖3是利用粒子圖像測速技術(shù)（PIV）測得的速度場，展示了一次單環(huán)模態(tài)-雙環(huán)模態(tài)-單環(huán)模態(tài)的轉(zhuǎn)變過程。從圖中可以清晰地看到在t= 0s時(shí)，流動(dòng)呈現(xiàn)一個(gè)傾斜的大尺度環(huán)流，即單環(huán)結(jié)構(gòu)；隨后，在t= 72 s時(shí)，流動(dòng)自單環(huán)模態(tài)破裂為上、下堆疊的兩個(gè)渦，并且下方的渦結(jié)構(gòu)尺寸更大；在t= 184 s時(shí)，流動(dòng)又恢復(fù)到單環(huán)結(jié)構(gòu)。這樣的轉(zhuǎn)變過程與通過多點(diǎn)溫度測量方法測得的結(jié)果一致。

圖3 Ra = 5.3×1010, Γ = 1/2，利用粒子圖像測速技術(shù)（PIV）測得的流動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間演化的瞬時(shí)速度場[6]：(a) 單環(huán)模態(tài)(SRS)；(b) 雙環(huán)模態(tài)(DRS)；(c) 再次回到單環(huán)模態(tài)Fig. 3 (Color online) PIV-measured instantaneous velocity vector fields showing a flow mode transition in Γ = 1/2 cell at Ra = 5.3×1010[6]:(a) single-roll mode (SRM); (b) double-roll mode (DRM); and (c) single-roll mode again

此外，該工作還研究了寬高比對(duì)多湍流態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)寬高比影響不同湍流態(tài)（結(jié)構(gòu)）持續(xù)存在的時(shí)間。Γ= 1時(shí)，約87.1%的時(shí)間系統(tǒng)流動(dòng)處于單環(huán)模態(tài)，僅有0.8%的時(shí)間流動(dòng)處于雙環(huán)模態(tài)；而當(dāng)Γ=1/2時(shí)，單環(huán)模態(tài)所占的時(shí)間降低至69.5%，雙環(huán)模態(tài)則上升至7.9%；當(dāng)Γ= 1/3時(shí)，單環(huán)模態(tài)所占的時(shí)間進(jìn)一步下降，至26.7%，雙環(huán)模態(tài)則進(jìn)一步上升，并超越單環(huán)模態(tài)，達(dá)到了34.1%。此外，通過細(xì)致地測量系統(tǒng)的傳熱效率，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)流動(dòng)在不同的流動(dòng)狀態(tài)之間切換時(shí)，系統(tǒng)的傳熱效率也相應(yīng)地變化。通過直接比較系統(tǒng)處于不同流動(dòng)狀態(tài)時(shí)的傳熱效率（無量綱的熱輸運(yùn)效率Nusselt數(shù)（Nu）），他們發(fā)現(xiàn)，單環(huán)模態(tài)相較于雙環(huán)模態(tài)更有利于傳熱。

隨后，Weiss和Ahlers[10]延續(xù)了郗恒東和夏克青的工作，單獨(dú)針對(duì)Γ= 1/2的熱湍流系統(tǒng)進(jìn)行了更為細(xì)致且系統(tǒng)的研究。首先，他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中同樣觀測到了郗恒東和夏克青[6]發(fā)現(xiàn)的多湍流態(tài)現(xiàn)象。之后，他們研究了不同湍流態(tài)存在的時(shí)間與Ra數(shù)之間的依賴關(guān)系，他們發(fā)現(xiàn)單環(huán)模態(tài)所占的時(shí)間隨著Ra數(shù)的增長逐漸從12%（Ra= 2×108）提升至80%（Ra= 1011），雙環(huán)模態(tài)則相應(yīng)的由40%降低至6%。此外，他們也證實(shí)了郗恒東等[6]提出的單環(huán)模態(tài)相較于雙環(huán)模態(tài)更有利于熱量輸運(yùn)的結(jié)論。圖4（a）展示了系統(tǒng)傳熱效率Nu(t)與流動(dòng)所處湍流態(tài)之間的互相關(guān)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)單環(huán)模態(tài)的強(qiáng)度與傳熱效率呈現(xiàn)正相關(guān)，證明單環(huán)模態(tài)更有利于傳熱，而雙環(huán)模態(tài)的強(qiáng)度則與傳熱效率呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，證明其不利于傳熱。圖4（b）則進(jìn)一步定量地給出了單環(huán)模態(tài)相較于雙環(huán)模態(tài)傳熱效率增加的幅度，在Ra= 1010（1011）時(shí)，單環(huán)模態(tài)的傳熱效率比雙環(huán)模態(tài)的傳熱效率高1.6%（0.9%）。

圖4 (a) Ra = 9.0×1010，Γ = 1/2，系統(tǒng)傳熱效率Nu(t)與流動(dòng)狀態(tài)參數(shù)S(t)之間的互相關(guān)，紅色實(shí)線代表單環(huán)結(jié)構(gòu)(SRS)，藍(lán)色虛線代表雙環(huán)結(jié)構(gòu)(DRS)；(b) 歸一化后的單環(huán)結(jié)構(gòu)傳熱效率與雙環(huán)結(jié)構(gòu)傳熱效率的差別，圖中實(shí)線為對(duì)數(shù)據(jù)的冪律擬合，得到的冪指數(shù)為-0.25±0.07. 圖取自參考文獻(xiàn)[10]Fig. 4 (Color online) (a) Time cross-correlation functions between Nu(t) and the state function S(t) for the SRS (solid red line) and the DRS (dashed blue line), These results are for Ra =9.0×1010，Γ = 1/2; (b) Normalized differences in Nu between the SRS and the DRS on logarithmic scales. The solid line is a powerlaw fit which yielded the exponent -0.25±0.07. The figure is adapted from Ref.[10]

Zwirner等[18]在更小寬高比（Γ= 1/5）的圓柱形熱湍流系統(tǒng)中利用直接數(shù)值模擬同樣發(fā)現(xiàn)，在相同的控制參數(shù)下，存在單環(huán)模態(tài)以及雙環(huán)模態(tài)兩種可以穩(wěn)定存在的流動(dòng)狀態(tài)，并且他們指出雙環(huán)模態(tài)的傳熱效率僅為單環(huán)模態(tài)的80%，這個(gè)數(shù)值比實(shí)驗(yàn)中測量得到的數(shù)值（約1%～2%）要大很多。最近，Zwirner等[19]進(jìn)一步利用直接數(shù)值模擬探索了在Γ= 1/5的圓柱形熱湍流系統(tǒng)中的多湍流態(tài)現(xiàn)象及其產(chǎn)生的原因。他們發(fā)現(xiàn)在Ra= 5×106，Pr= 0.1，Γ= 1/5時(shí)，不僅存在單環(huán)模態(tài)、雙環(huán)模態(tài)，還會(huì)存在上下堆疊排列的三環(huán)、四環(huán)模態(tài)（可見圖5（a～d））。同時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)流動(dòng)中渦環(huán)的數(shù)量越多，傳熱效率也相應(yīng)的越低，在Ra=5×106時(shí)，單環(huán)模態(tài)的傳熱效率是四環(huán)模態(tài)傳熱效率的2.5倍。此外，他們還發(fā)現(xiàn)此時(shí)的流動(dòng)更傾向于處在雙環(huán)模態(tài)，其存在的時(shí)間占比達(dá)到了40.6%。在該參數(shù)下，單環(huán)、雙環(huán)、三環(huán)以及四環(huán)模態(tài)平均存活時(shí)間（以系統(tǒng)特征時(shí)間歸一化）、各種流動(dòng)模態(tài)平均存在時(shí)間占比以及傳熱效率可見表1。

表1 Ra = 5×106，Pr = 0.1，Γ = 1/5，單環(huán)、雙環(huán)、三環(huán)以及四環(huán)模態(tài)平均存活時(shí)間(使用系統(tǒng)特征時(shí)間歸一化)、平均存在時(shí)間占比以及傳熱效率Nu [19]Table 1 Mean lifetime, probabilities, and mean heat transport efficiency Nu of n-roll flow modes (n = 1, 2, 3, 4), for Ra = 5×106,Pr = 0.1, Γ = 1/5

關(guān)于多湍流態(tài)發(fā)生的原因，Zwirner等認(rèn)為是由于單環(huán)結(jié)構(gòu)大尺度環(huán)流的橢圓不穩(wěn)定性，定量的分析也支持他們這一結(jié)論。橢圓不穩(wěn)定性是指由具有橢圓形流線的二維平面流動(dòng)破裂產(chǎn)生三維流動(dòng)的失穩(wěn)機(jī)理（可見綜述論文[40]）。在Γ= 1/5的熱湍流系統(tǒng)中，當(dāng)流動(dòng)處于單環(huán)模態(tài)時(shí)（如圖5（a）所示），可以被認(rèn)為是一個(gè)具有橢圓形流線的二維平面流動(dòng)，當(dāng)其受到一定的擾動(dòng)時(shí)，橢圓不穩(wěn)定性將會(huì)引起其破裂，從而產(chǎn)生多環(huán)模態(tài)。圖5（e）展示了一個(gè)單環(huán)流動(dòng)破裂過程中的瞬時(shí)場，從該流場中可以看到很強(qiáng)烈的周向運(yùn)動(dòng)，正是這樣的周向運(yùn)動(dòng)破壞了單環(huán)結(jié)構(gòu)的大尺度環(huán)流。針對(duì)這樣的模態(tài)間轉(zhuǎn)變機(jī)制，Zwirner等認(rèn)為只有當(dāng)橢圓不穩(wěn)定性的增長率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)中黏性耗散引起的阻尼（可簡單認(rèn)為是維持當(dāng)前流動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定項(xiàng)）時(shí)才能發(fā)生。事實(shí)上也正是如此，Zwirner等發(fā)現(xiàn)在該參數(shù)下，橢圓不穩(wěn)定性的增長率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他的穩(wěn)定性項(xiàng)。

圖5 Ra = 5×106，Pr = 0.1，Γ = 1/5，大尺度環(huán)流的瞬時(shí)流線圖[19]：(a) 單環(huán)結(jié)構(gòu)；(b) 雙環(huán)結(jié)構(gòu)；(c) 三環(huán)結(jié)構(gòu)；(d) 四環(huán)結(jié)構(gòu)；(e) 由于橢圓不穩(wěn)定性而產(chǎn)生的強(qiáng)烈的周向流動(dòng)Fig. 5 (Color online) Instantaneous flow fields, for a LSC composed of a different number n of rolls[19]: (a) n = 1; (b) n = 2;(c) n = 3; (d) n = 4; (e) a snapshot illustrating a strong azimuthal motion, due to the elliptical instability. Parameters are Ra =5×106, Pr = 0.1, Γ = 1/5

最近，謝毅超等[12]設(shè)計(jì)了一種兩個(gè)同軸空心圓筒形成的圓環(huán)型的熱湍流系統(tǒng)（見圖6（a）），并在這種熱湍流系統(tǒng)中同樣發(fā)現(xiàn)了多湍流態(tài)現(xiàn)象。通過長時(shí)間的流場結(jié)構(gòu)與傳熱效率的同步測量，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的傳熱效率會(huì)在兩種穩(wěn)定狀態(tài)下自發(fā)且隨機(jī)地轉(zhuǎn)換，見圖6（d），而且這種傳熱效率的轉(zhuǎn)換與流場結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換一一對(duì)應(yīng)。這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系表明，對(duì)稱性更高的四極子流動(dòng)狀態(tài)（見圖6（c））有著更高的傳熱效率，而對(duì)稱性相對(duì)較低的偶極子流動(dòng)狀態(tài)（見圖6（b））的傳熱效率也相對(duì)較低。通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，他們認(rèn)為在熱湍流系統(tǒng)中存在通過全局分叉實(shí)現(xiàn)的流動(dòng)狀態(tài)自發(fā)且隨機(jī)地轉(zhuǎn)換，并且整個(gè)系統(tǒng)中的流動(dòng)狀態(tài)由于自發(fā)的對(duì)稱破缺使得系統(tǒng)整體流動(dòng)變得更加混亂。

圖6 (a) 謝毅超等設(shè)計(jì)的一種圓環(huán)型熱湍流系統(tǒng)的示意圖；(b) 偶極子流動(dòng)狀態(tài)示意圖；(c) 四極子流動(dòng)狀態(tài)示意圖；(d) Ra = 9.84×108時(shí)，系統(tǒng)傳熱效率Nu的時(shí)間序列.圖取自參考文獻(xiàn)[12]，圖中箭頭代表一一對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig. 6 (Color online) (a) Schematic of the annular convection cell. Sketches of (b) dipole state and (c) quadrupole state. (d) Time series of Nu at Ra = 9.84×108. The figure is adapted from Ref.[12].The arrows represent the one-to-one correspondences between the flow states and Nu

此外，徐翱和陳鑫等[20]最近在圓盤形熱湍流系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)多湍流態(tài)的存在。我們發(fā)現(xiàn)在該種熱湍流系統(tǒng)中，除了已知的呈現(xiàn)為大尺度環(huán)流的流動(dòng)狀態(tài)之外，還存在著一種混亂無序的流動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)，羽流不會(huì)沿著邊壁上升（下降），而會(huì)隨機(jī)地發(fā)射，大量的羽流選擇經(jīng)過系統(tǒng)的中心區(qū)域抵達(dá)對(duì)面邊界，無法自組織形成大尺度環(huán)流。通過定量地分析系統(tǒng)處于不同流動(dòng)狀態(tài)時(shí)的傳熱效率，我們同樣發(fā)現(xiàn)這兩種流動(dòng)狀態(tài)的傳熱效率有著明顯的區(qū)別，如圖7所示，處于混亂無序的流動(dòng)狀態(tài)時(shí)，根據(jù)Pr的不同，系統(tǒng)的傳熱效率相較于處于大尺度環(huán)流狀態(tài)時(shí)最高可提升8%。

圖7 在不同的Pr下Nuchao/Nucir - 1隨Ra數(shù)的變化[20]，這里的Nuchao和Nucir分別為流動(dòng)處于混亂無序的流動(dòng)狀態(tài)以及處于大尺度環(huán)流時(shí)熱輸運(yùn)效率Nu的條件平均Fig. 7 (Color online) Values of Nuchao/Nucir - 1 as function of Ra for various Pr[20]. Here, Nuchao, Nucir are the conditional average Nu when the flow is in the chaotic state and the circulation states respectively. The figure is adapted from Ref.[20]

實(shí)際上，還有一類特殊的多湍流態(tài)現(xiàn)象，即熱湍流系統(tǒng)中大尺度環(huán)流的流向反轉(zhuǎn)現(xiàn)象[38,41]。在熱湍流系統(tǒng)中，正如我們?cè)谇拔闹幸恢碧岬降?，一個(gè)重要的湍流結(jié)構(gòu)是與系統(tǒng)尺寸相若的大尺度環(huán)流。大尺度環(huán)流的流動(dòng)方向可以沿著順時(shí)針方向，也可以沿著逆時(shí)針方向。在流動(dòng)過程中，順時(shí)針、逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的大尺度環(huán)流可以自發(fā)且隨機(jī)地切換，經(jīng)過長時(shí)間的統(tǒng)計(jì)測量，這兩種流動(dòng)狀態(tài)出現(xiàn)的概率幾乎相同。流向反轉(zhuǎn)一向是流體力學(xué)中極為重要的一類問題，同時(shí)也是一類小概率（極端）流動(dòng)事件，一直吸引著眾多研究者的目光。但需要指出的是，對(duì)于大尺度環(huán)流流動(dòng)方向的反轉(zhuǎn)是否也會(huì)帶來某些系統(tǒng)輸出參數(shù)例如熱輸運(yùn)效率Nu顯著的變化，在目前的研究中并沒有發(fā)現(xiàn)這樣的特征。因此，我們將不把流動(dòng)的反轉(zhuǎn)列入本文的討論范圍，不在這里進(jìn)行過多的描述，感興趣的讀者可以參考筆者相關(guān)的論文[42]。

2 不同初始條件引發(fā)的多湍流態(tài)現(xiàn)象

我們接著討論不同初始條件引發(fā)的多湍流態(tài)現(xiàn)象。王啟等[13]在這個(gè)方面做了最為系統(tǒng)的探索。他們利用二維直接數(shù)值模擬，在1≤Pr≤100，107≤Ra≤1010的參數(shù)空間內(nèi)，研究了在較大寬高比Γ（最高到32）二維矩形熱湍流系統(tǒng)中流動(dòng)對(duì)于不同初始條件的響應(yīng)。對(duì)于不同初始條件的給定，他們使用傅里葉模態(tài)基函數(shù)

來產(chǎn)生不同數(shù)量的對(duì)流渦結(jié)構(gòu)，這里的n(i)表示在系統(tǒng)水平方向上排列的處于湍流狀態(tài)的對(duì)流渦的數(shù)量。此外，系統(tǒng)的初始溫度為具有隨機(jī)擾動(dòng)的線性剖面，系統(tǒng)的初始速度則是根據(jù)當(dāng)前控制參數(shù)下的雷諾數(shù)確定。

圖8給出了在Ra= 1010、Pr= 10、Γ= 8時(shí)，給定不同的初始條件（初始對(duì)流渦數(shù)量n(i)= 4～14，對(duì)應(yīng)圖2中Γr(i)=Γ/n(i)= 2～4/7）系統(tǒng)中的流動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化。我們可以看出，對(duì)于六個(gè)不同的初始條件，經(jīng)過長時(shí)間演化（數(shù)千個(gè)流動(dòng)特征時(shí)間）后，系統(tǒng)最終演化出三種截然不同的湍流狀態(tài)，并表現(xiàn)出不同的系統(tǒng)熱輸運(yùn)效率，如圖8（c）所示。對(duì)多湍流態(tài)形成的機(jī)理，王啟等利用橢圓形平面渦結(jié)構(gòu)維持的條件即應(yīng)變-渦量平衡關(guān)系并借助橢圓不穩(wěn)定性理論中應(yīng)變-渦量-渦的長寬比之間的定量關(guān)系[40]成功地預(yù)測了不同的湍流態(tài)在控制參數(shù)空間上的分布規(guī)律。

圖8 在Ra = 1010，Pr = 10，Γ = 8時(shí)，不同初始條件（對(duì)流渦的數(shù)目不同）下流動(dòng)隨時(shí)間的演化[13]：(a) 雷諾數(shù)比值Rez/Rex隨時(shí)間的演化，這里R ez=H/v ，R ex=H/v，w、u分別為系統(tǒng)中沿z方向、x方向的速度；(b) Nu隨時(shí)間的演化；(c) 該控制參數(shù)下最終可以穩(wěn)定存在的三種湍流狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)溫度場以及其對(duì)應(yīng)的NuFig. 8 (Color online) Time evolution of (a) Rez/Rex and (b) Nu for different initial roll states, Ra = 1010, Pr = 10, Γ = 8[13]. Here,Rez=H/v, R ex=H/v, and w, u are the vertical and horizontal velocity respectively, (c) snapshots of the temperature fields for the three statistically stable turbulent states for different Nu numbers. The figure is adapted from Ref.[13]

王啟等[11]還利用二維直接數(shù)值模擬研究了寬高比以及熱湍流系統(tǒng)的傾角（溫度梯度的方向與重力方向之間的夾角）對(duì)于多湍流態(tài)存在與否的影響。他們發(fā)現(xiàn)，在寬高比為2的矩形熱湍流系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)保持水平時(shí)，系統(tǒng)中的流動(dòng)是在水平方向上排列的雙環(huán)模態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)存在傾斜，傾角為9°時(shí)，由于浮力的作用，系統(tǒng)內(nèi)的流動(dòng)為單環(huán)模態(tài)。如果以此時(shí)的單環(huán)模態(tài)作為初值，連續(xù)地減小系統(tǒng)的傾角至系統(tǒng)水平，他們發(fā)現(xiàn)單環(huán)模態(tài)在系統(tǒng)水平時(shí)仍然可以穩(wěn)定存在。另外，他們還指出在系統(tǒng)保持水平且在相同的控制參數(shù)下，雙環(huán)模態(tài)下的Nu比單環(huán)模態(tài)下的Nu大13%。進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，這種多湍流態(tài)現(xiàn)象在更大的寬高比下也同樣存在，并且不同的湍流態(tài)表現(xiàn)出不同的熱輸運(yùn)效率。這個(gè)現(xiàn)象與Huisman等[21]在泰勒-庫埃特湍流系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的多湍流態(tài)一致。

3 結(jié)論與展望

以上我們?cè)敿?xì)討論了關(guān)于瑞利-伯納德熱湍流系統(tǒng)中的多湍流態(tài)現(xiàn)象研究的最新進(jìn)展。多湍流態(tài)在熱湍流系統(tǒng)中以兩種形式呈現(xiàn)，一類則是流動(dòng)在發(fā)展過程中自發(fā)產(chǎn)生并且自由切換的多湍流態(tài)，另一類是由于流動(dòng)初始條件不同而產(chǎn)生的多湍流態(tài)現(xiàn)象。兩類多湍流態(tài)的研究中均發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)處于不同湍流態(tài)時(shí)，系統(tǒng)整體的熱輸運(yùn)效率也相應(yīng)改變，這也為之后探索相應(yīng)的湍流調(diào)控方法提供了理論支持。下面，筆者就多湍流態(tài)的相關(guān)問題進(jìn)行討論并給出展望。

在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行湍流的研究是為了更好地理解自然界中、工程實(shí)際中的湍流問題，然而這些真實(shí)的湍流問題往往伴隨著極高的系統(tǒng)控制參數(shù)，如Re、Ra等。因此能否將實(shí)驗(yàn)室中研究的成果順利地推廣至這些實(shí)際問題中要求我們對(duì)于流動(dòng)處于何種流動(dòng)狀態(tài)、是否還存在不同的流動(dòng)狀態(tài)等等這些問題有清晰的認(rèn)知。經(jīng)典的湍流理論中認(rèn)為，對(duì)于湍流流動(dòng)，流動(dòng)中大量的自由度被激發(fā)且湍流脈動(dòng)足夠大，以至于所有的高維空間都被遍歷，此時(shí)流動(dòng)的小尺度統(tǒng)計(jì)特性不再受到流動(dòng)邊界或者外界的影響，然而這是否意味著大尺度流動(dòng)狀態(tài)（結(jié)構(gòu)）同樣只能存在唯一的一種流動(dòng)狀態(tài)呢？對(duì)于這個(gè)問題，從本文綜述的內(nèi)容角度來看，應(yīng)該不是唯一的。

此外，20世紀(jì)中期，Kolmogorov及其學(xué)派[43]開始將湍流狀態(tài)下的流動(dòng)視作類似于統(tǒng)計(jì)學(xué)角度的隨機(jī)場。換句話說，每一個(gè)真實(shí)的流場都被考慮成是“所有可能的場的統(tǒng)計(jì)集合”中抽取的一個(gè)“樣本”。時(shí)至今日，這種對(duì)于湍流場的處理已被大家廣為接受。任何變量的平均化都可以理解為相對(duì)于相應(yīng)統(tǒng)計(jì)集合的概率平均化，這樣的處理一個(gè)最根本的前提在于各態(tài)遍歷假設(shè)。各態(tài)遍歷假設(shè)是統(tǒng)計(jì)研究的基石，其保證了我們?cè)谟邢迺r(shí)間、有限空間、有限實(shí)現(xiàn)下得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以無限接近于理論的、真實(shí)的、期望的數(shù)值。在湍流理論中，認(rèn)為當(dāng)平均的范圍（時(shí)間、空間或者事件）足夠大時(shí)，對(duì)于該范圍上的均值將會(huì)趨同于統(tǒng)計(jì)概率的均值。正是因?yàn)檫@樣的一個(gè)假設(shè)存在，經(jīng)典的湍流理論普遍認(rèn)為湍流流動(dòng)在給定某個(gè)初始條件以及邊界條件下應(yīng)該僅僅存在一種流動(dòng)狀態(tài)，與之對(duì)應(yīng)的也僅僅存在一種系統(tǒng)輸出參數(shù)。此時(shí)，我們來回顧上文中綜述的兩類多湍流態(tài)現(xiàn)象，對(duì)于第二類多湍流態(tài)現(xiàn)象，部分觀點(diǎn)認(rèn)為其與上述的統(tǒng)計(jì)學(xué)概念是自洽的，即在某一初始條件或者邊界條件下是一種確定的流動(dòng)，有著確定的系統(tǒng)輸出參數(shù)；但是，也有部分學(xué)者認(rèn)為各態(tài)遍歷假設(shè)已然要求湍流系統(tǒng)遍歷相空間中的任意狀態(tài)點(diǎn)，從某種意義上來講，系統(tǒng)應(yīng)很快忘記初始狀態(tài)的信息，系統(tǒng)最終所處的狀態(tài)也應(yīng)該與初始狀態(tài)無關(guān)。對(duì)于這一方面的討論，本文作者更傾向于認(rèn)為第二類多湍流態(tài)現(xiàn)象是與各態(tài)遍歷假設(shè)是相符的。然而對(duì)于第一類多湍流態(tài)現(xiàn)象，筆者則認(rèn)為其與Kolmogorov的理論不一致。在該類多湍流態(tài)現(xiàn)象中，一個(gè)明顯的特征是不同的湍流態(tài)對(duì)應(yīng)著不同的系統(tǒng)輸出參數(shù)，這便會(huì)帶來一個(gè)問題，如何來定義上文中所說的足夠大的平均范圍呢？如果平均范圍（時(shí)間段）內(nèi)流動(dòng)未發(fā)生轉(zhuǎn)變，此時(shí)得到的系統(tǒng)的平均輸出參數(shù)會(huì)是該湍流態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出參數(shù)；而如果在平均范圍（時(shí)間段）內(nèi)流動(dòng)發(fā)生了轉(zhuǎn)變，此時(shí)的系統(tǒng)的平均輸出參數(shù)會(huì)受到不同湍流態(tài)所對(duì)應(yīng)的不同系統(tǒng)輸出參數(shù)的影響。那么我們?nèi)绾瓮ㄟ^有限時(shí)間、有限空間、有限實(shí)現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)、數(shù)值模擬得到趨同于真值的結(jié)果呢? 因此，需要我們進(jìn)一步的探索如何解釋這類自發(fā)的、隨機(jī)的湍流態(tài)之間的轉(zhuǎn)換。

另外，從N-S方程的角度出發(fā)，其作為一類極其復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，多解現(xiàn)象以及多解之間的相互轉(zhuǎn)換又是普遍且可預(yù)期的。關(guān)于多湍流態(tài)的真實(shí)存在與否以及其產(chǎn)生的機(jī)理還有待進(jìn)一步深入的研究，然而這并不妨礙筆者對(duì)多湍流態(tài)現(xiàn)象進(jìn)行展望。

1） 目前眾多的關(guān)于多湍流態(tài)的研究大都集中于封閉的湍流系統(tǒng)。封閉湍流系統(tǒng)具有幾個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：第一，作為一個(gè)封閉系統(tǒng)，其整體響應(yīng)參數(shù)和湍流內(nèi)部能量耗散率有著精確的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第二，作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)上的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，可以進(jìn)行長時(shí)間測量來提高被測量參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，例如可以精確地測量系統(tǒng)的整體熱傳輸效率、系統(tǒng)的外加阻力等。然而，封閉湍流系統(tǒng)也存在著尺度效應(yīng)的問題。因此，使用封閉湍流系統(tǒng)來研究多湍流態(tài)問題也極大地限制了對(duì)這個(gè)問題的理解。那么，在非封閉的湍流系統(tǒng)如壁湍流中是否同樣存在類似的多湍流態(tài)現(xiàn)象？

2） 對(duì)于熱湍流系統(tǒng)中多湍流態(tài)現(xiàn)象的產(chǎn)生，Zwirner等[19]和王啟等[13]將目光鎖定在了橢圓不穩(wěn)定性；郗恒東等[44]則認(rèn)為高階的流動(dòng)狀態(tài)參與其中。第一類多湍流態(tài)現(xiàn)象中不同的湍流態(tài)為什么會(huì)自發(fā)形成？什么因素促使不同的湍流態(tài)自發(fā)的轉(zhuǎn)換？如果可以解答這一問題將極大地提升對(duì)于湍流問題的理解。

3） 另一個(gè)疑問是通過給定不同的初始條件引起的第二類多湍流態(tài)現(xiàn)象是否會(huì)在長時(shí)間演化后同樣出現(xiàn)自發(fā)地、向不同的湍流狀態(tài)切換，兩類多湍流態(tài)現(xiàn)象是否從根源上來說是一致的，這也需要將來進(jìn)一步的研究。

4） 湍流是否存在對(duì)大尺度湍流結(jié)構(gòu)的選擇性？如何主動(dòng)選擇流動(dòng)的狀態(tài)進(jìn)而調(diào)控湍流系統(tǒng)的輸運(yùn)特性?

5） 針對(duì)第二類多湍流態(tài)現(xiàn)象，現(xiàn)有少量的研究結(jié)果主要集中于直接數(shù)值模擬的研究，缺乏相關(guān)實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。當(dāng)然，不同初始條件的給定在實(shí)驗(yàn)中存在一定的挑戰(zhàn)，這也需要進(jìn)一步的探索。

實(shí)際上還有大量的問題值得進(jìn)一步的探索，筆者希望通過本篇文章向更多的湍流研究工作者介紹相關(guān)的最新研究進(jìn)展，一同推進(jìn)理解相關(guān)的湍流問題。