唐 斌，尹 玥，江浩斌，林子晏，花逸峰，謝 軍

(1. 江蘇大學(xué) 汽車工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2. 江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 3. 江蘇罡陽轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限公司，江蘇 泰州 225318)

隨著我國交通運輸業(yè)的迅速發(fā)展和公路網(wǎng)絡(luò)的逐漸完善，作為公路運輸主體的商用車由于運輸負(fù)擔(dān)重、駕駛時間長等因素時常出現(xiàn)偏離車道進(jìn)而發(fā)生交通事故的現(xiàn)象，尤其是在中高速情況下，容易造成大量的人員傷亡和財產(chǎn)損失，其安全問題日益受到人們的關(guān)注[1].智能輔助駕駛是解決上述問題的有效途徑，因此，商用車的智能輔助駕駛成為研究的熱點，其中橫向和縱向控制是智能輔助駕駛控制中的關(guān)鍵技術(shù)，車道保持智能輔助(lane kee-ping assistance,LKA)駕駛系統(tǒng)是橫向控制中的重要組成部分[2].商用車車道保持能夠很大程度上減少由于駕駛員疲勞駕駛或誤操作造成車輛偏離車道引發(fā)的交通事故，可以提高車輛的行駛安全性.然而，目前車道保持智能輔助駕駛的研究多針對乘用車，商用車的車道保持智能輔助駕駛技術(shù)還不是很成熟.

在車道保持控制算法的研究過程中，常用的有模型預(yù)測控制(model predictive control，MPC)[3]、模糊控制[4]、滑?？刂芠5]等算法，其中，模型預(yù)測控制算法可預(yù)測被控對象動力學(xué)行為和處理多約束條件的優(yōu)化問題，因而備受學(xué)者關(guān)注，其廣泛應(yīng)用在車輛控制研究領(lǐng)域.H. TAGHAVIFAR等[6]為了解決由于車輛標(biāo)稱側(cè)偏剛度、路面附著系數(shù)、慣性參數(shù)和前向速度等參數(shù)不確定而導(dǎo)致路徑跟蹤性能下降的問題，提出了一種將滑模、模糊和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的魯棒自適應(yīng)控制方法.顧青等[7]為解決車輛轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角速度限制等系統(tǒng)約束條件導(dǎo)致自動泊車路徑跟蹤性能變差的問題，設(shè)計了基于非線性模型預(yù)測控制的自動泊車路徑跟蹤控制器.賈運紅等[8]針對礦井車輛在巷道實時避障過程中轉(zhuǎn)向角突然變化對礦井車輛結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)向部件造成損傷的問題，設(shè)計了一種改進(jìn)的基于空間模型預(yù)測控制(space model predictive control，SMPC)算法的礦井車輛避障控制器.

但是在基于MPC的控制中，系統(tǒng)模型描述不準(zhǔn)確或存在外部擾動會導(dǎo)致MPC算法的魯棒性較差.針對這一問題，學(xué)者提出了魯棒模型預(yù)測控制(robust model predictive control，RMPC)算法，此算法可以有效提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，使優(yōu)化結(jié)果更為精確.楊華等[9]針對線性多變量系統(tǒng)，在可能存在輸入輸出數(shù)據(jù)噪聲的情況下,在子空間在線辨識基礎(chǔ)上,利用不確定性模型更好地建模被控系統(tǒng),結(jié)合魯棒控制策略進(jìn)行預(yù)測控制器的設(shè)計.王偉等[10]對于含有未建模動態(tài)的輸入受限離散時間線性系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不可測時,提出一種基于狀態(tài)觀測器的魯棒模型預(yù)測控制算法，該算法采用雙?？刂平Y(jié)構(gòu)，將不變橢圓集同時應(yīng)用于估計狀態(tài)方程和誤差方程，保證算法的穩(wěn)定性和可行性.陳秋霞等[11]對一類輸入輸出受限的不確定離散時滯系統(tǒng),研究了使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滾動時域性能指標(biāo)在線最小化的魯棒預(yù)測輸出反饋控制器設(shè)計問題，基于預(yù)測控制的滾動優(yōu)化原理,給出了輸出反饋控制器存在的充分條件.

筆者搭建考慮縱向、側(cè)向和橫擺的三自由度非線性車輛動力學(xué)模型，對模型進(jìn)行線性化和離散化處理得到魯棒預(yù)測模型.利用線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)理論求解得到最優(yōu)控制量.通過Trucksim/Simulink聯(lián)合仿真研究直行工況和彎道工況的車道跟蹤性能.

1 車輛動力學(xué)模型

1.1 車輛動力學(xué)建模

車輛動力學(xué)建模的目的是描述車輛的動力學(xué)特性，為魯棒模型預(yù)測控制器的設(shè)計建立基礎(chǔ).考慮縱向運動、橫向運動和橫擺運動，設(shè)定車輛為前輪轉(zhuǎn)向，建立三自由度非線性車輛動力學(xué)模型，如圖1所示.

圖1 車輛動力學(xué)模型

圖1中，OXY為慣性坐標(biāo)系，oxy為車輛坐標(biāo)系，o為車輛質(zhì)心位置.據(jù)牛頓力學(xué)第二定律，分別得到車輛質(zhì)心沿x軸、y軸和繞z軸的受力平衡方程：

(1)

式中：m為車輛整備質(zhì)量；φ為車輛的橫擺角；Fxf、Fxr分別為前、后輪沿x方向的受力；Iz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；a為前軸到質(zhì)心距離；b為后軸到質(zhì)心距離；Fyf、Fyr分別為前、后輪沿y方向的受力.

在實際行駛過程中，車輪沿x、y方向的受力難以直接獲得，因此需要通過計算得到，其轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

(2)

式中：δf為前輪轉(zhuǎn)角；Flf、Flr分別為前、后輪胎受到的縱向力；Fcf、Fcr分別為前、后輪胎受到的側(cè)向力.

車輛坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系之間各點的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

(3)

由于車輛動力學(xué)模型中存在較多的三角函數(shù)，為了減少模型簡化的計算量，作小角度假設(shè)，三角函數(shù)滿足近似條件：

cosδf≈1，sinδf≈δf，tanδf≈δf.

得到基于前輪小角度和線性輪胎模型假設(shè)的三自由度非線性車輛動力學(xué)模型如下：

(4)

式中：Ccf、Ccr分別為前、后輪胎的側(cè)偏剛度；Clf、Clr分別為前、后輪胎的縱向剛度；sf、sr分別為前、后輪胎的滑移率.

為了研究方便，將式(4)寫為狀態(tài)空間方程形式，即

(5)

1.2 車輛動力學(xué)模型線性化

由于線性時變魯棒模型預(yù)測控制相對于非線性魯棒模型預(yù)測控制計算量小，實時性好，而且非線性車輛動力學(xué)模型不能直接進(jìn)行線性時變模型預(yù)測，因此,要對其進(jìn)行線性化處理.

系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)和控制量滿足如下關(guān)系：

(6)

式中：ξr為任意時刻的狀態(tài)量；ur為任意時刻的前輪轉(zhuǎn)角控制量.

在任意點(ξr,ur)處進(jìn)行泰勒展開，只保留一階項，忽略高階項，可得

(7)

將式(6)與式(7)相減可得

(8)

式中：A(t)、B(t)為參數(shù)矩陣，

得到的連續(xù)狀態(tài)方程不能直接進(jìn)行預(yù)測，還需對式(8)進(jìn)行離散化處理，得到線性離散狀態(tài)空間方程：

(9)

2 魯棒模型預(yù)測控制器設(shè)計

基于魯棒模型預(yù)測控制算法的軌跡跟蹤控制基本原理框圖如圖2所示，主要包含RMPC控制器、車輛模型和參考軌跡3部分.RMPC控制器通過預(yù)測模型得到目標(biāo)函數(shù)和約束條件，根據(jù)設(shè)定的參考軌跡，即不同工況下的車道中心線，利用LMI進(jìn)行最優(yōu)求解，得到最優(yōu)控制量u(k)，輸入到車輛模型中，車輛將下一時刻的狀態(tài)量再次輸入到RMPC控制器中進(jìn)行最優(yōu)求解.如此循環(huán)，構(gòu)成魯棒模型預(yù)測控制過程.

圖2 基于RMPC的軌跡跟蹤控制原理框圖

2.1 目標(biāo)函數(shù)設(shè)計

為了實現(xiàn)車輛快速且平穩(wěn)地跟蹤參考軌跡，并且保證控制量的穩(wěn)定性，建立以路徑偏差和控制增量為狀態(tài)量的目標(biāo)函數(shù)，同時加入松弛因子，防止出現(xiàn)無可行解的情況，即

(10)

式中：NP為預(yù)測時域；Nc為控制時域；η為輸出量；i為預(yù)測步長間隔；k為當(dāng)前時刻；ηref為參考輸出量；Q為輸出量權(quán)重矩陣；Δu為控制增量；R為控制增量權(quán)重矩陣；ρ為權(quán)重系數(shù)；ε為松弛因子.

計算未來某一段采樣時間內(nèi)輸出量的值.

(11)

以當(dāng)前k時刻狀態(tài)量為基礎(chǔ)，k+1,k+2,…,k+Np預(yù)測時刻的輸出量為

(12)

2.2 約束條件的建立

為了保證車輛的行駛安全性，滿足車輛執(zhí)行機(jī)構(gòu)需求，避免車輛出現(xiàn)側(cè)翻等情況，需要對控制量和輸出量進(jìn)行約束，即

umin(k+j)≤u(k+j)≤umax(k+j)，

j=0,1,…,Nc-1，

ηmin(k+j)≤η(k+j)≤ηmax(k+j)，

j=0,1,…,Np.

為了滿足乘車舒適性，實現(xiàn)控制量平穩(wěn)變化，需要對控制增量進(jìn)行約束，即

Δumin(k+j)≤Δu(k+j)≤Δumax(k+j)，

j=0,1,…,Nc-1.

2.3 基于LMI的魯棒模型預(yù)測控制器設(shè)計

結(jié)合上述目標(biāo)函數(shù)和約束條件，將每一個采樣周期內(nèi)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下形式：

(13)

式(13)的約束條件如下：

umin(k+j)≤u(k+j)≤umax(k+j)；

Δumin(k+j)≤Δu(k+j)≤Δumax(k+j)；

ηmin(k+j)≤η(k+j)≤ηmax(k+j)；ε>0.

由于對目標(biāo)函數(shù)直接優(yōu)化的計算過程較為復(fù)雜，將系統(tǒng)的預(yù)測控制優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題.

構(gòu)造二次函數(shù)V(x)=xTPx，P≥0，假設(shè)V滿足如下不等式：

V(η(k+i+1|k))-V(η(k+i|k))≤-(σ1+σ2),

(14)

式中：σ1=ηT(k+i|k)Qη(k+i|k)；σ2=uT(k+i|k)Ru(k+i|k).

由于魯棒性能指標(biāo)函數(shù)有限，對于式(9)在終端零狀態(tài)的情況下,有η(∞|k)=0；V(η(∞|k))=0，將此代入式(14)可得

-V(η(k|k))≤-J(k),

(15)

因此有

(16)

式中：A(k+i)、B(k+i)為狀態(tài)空間系數(shù)矩陣；Ω為有效集.

由式(16)可知，V(η(k|k))為魯棒性能指標(biāo)的上界，需求得最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律u(k+i|k)=Kη(k+i|k)，其中狀態(tài)反饋控制矩陣K=GP0-1，P0=γP-1(γ為常數(shù))，通過使V(η(k|k))上界最小化可得J(k)最小，從而有如下關(guān)系式：

V(η(k|k))+ε0TWε0≤γ,

(17)

式中:W為正定矩陣;ε0為軟化因子.

將狀態(tài)反饋控制律u(k+i|k)=Kη(k+i|k)代入狀態(tài)空間表達(dá)式(9)可得

η(k+i+1|k)=(A(k+i)+

B(k+i)K)η(k+i|k).

(18)

將V(η(k|k))=ηT(k|k)Pη(k|k)代入式(14)可得

σ4-σ3≤-(σ1+σ2),

(19)

式中：σ3=ηT(k+i|k)Pη(k+i|k);σ4=ηT(k+i+1|k)Pη(k+i+1|k).

將式(18)代入式(19)可得

ηT(k+i|k)(μTPμ-P+Q+KTRK)η(k+i|k)≤0,

(20)

式中：μ=A(k+i)+B(k+i)K.

將式(20)化簡可得

μTPμ-P+Q+KTRK≤0.

(21)

根據(jù)Schur補定理[12]，式(21)等價于

(22)

將V(η(k|k))=ηT(k|k)Pη(k|k)代入式(17)可得

ηT(k|k)Pη(k|k)+ε0TWε0-γ≤0.

(23)

根據(jù)Schur補定理，式(23)等價于

(24)

綜上所述，若式(22)在滿足約束條件式(24)的情況下有解，則存在狀態(tài)反饋控制律u(k+i|k)=Kη(k+i|k)，使得V(η(k|k))最小.

3 仿真對比與結(jié)果分析

為了驗證魯棒模型預(yù)測控制器的控制性能，采用不同的仿真工況(直道工況和蛇形工況)，對比魯棒模型預(yù)測控制器與模型預(yù)測控制器的控制效果.仿真中的整車參數(shù)如下：m=3 650 kg;Iz=30 857.5 kg·m2;a=1.38 m;b=1.62 m;質(zhì)心離地面高度為1.2 m;輪距為2.3 m;Ccf=85.0 kN·rad-1;Ccr=113.7 kN·rad-1.

3.1 直道工況

直道工況是檢驗車道保持控制算法糾偏能力的典型工況之一，在直道工況下仿真時，設(shè)置車速為50 km·h-1，初始橫向位置偏差為0.5 m，對RMPC和MPC的路徑跟蹤性能進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3所示.從圖3a可以看出：車輛在MPC控制器下的車道保持，在行駛至15 m后完成；車輛在RMPC控制器下的車道保持，在行駛10 m左右已基本完成，橫向位置偏差控制在0.01 m可接受范圍內(nèi)，相較于MPC，RMPC控制響應(yīng)速度更快，調(diào)節(jié)時間減少了40.57%.從圖3b可以看出：由于RMPC控制的響應(yīng)速度更快，航向角變化也更加劇烈，但沒有超出車輛失穩(wěn)的界限，另外調(diào)節(jié)時間顯著低于MPC控制，能夠保證車輛能更快地回歸車道中心線.由此可以看出RMPC控制跟蹤精度更高，糾偏能力更好.

圖3 直道工況下車速為50 km·h-1的控制效果對比

3.2 蛇形工況

蛇形工況用于檢驗車道保持控制在彎道中的跟蹤性能和魯棒性.在蛇形工況下仿真時，設(shè)置車速為50 km·h-1，控制效果如圖4所示.

圖4 蛇形工況下車速為50 km·h-1的控制效果對比

從圖4a、b可以看出：車輛在MPC控制下的車道保持過程在彎道處橫向偏差較大，跟蹤精度不高，而車輛在RMPC控制器下的車道保持過程在彎道處橫向偏差有所減小，橫向路徑偏差均值減少了29.4%，最大超調(diào)量減少了14.52%，跟蹤精度更高.從圖4c、d可以看出：車輛在MPC控制器下的車道保持，在車輛行駛的0～50 m內(nèi)有一些抖動，車輛行駛穩(wěn)定性較差，而車輛在RMPC控制器下的車道保持過程平穩(wěn)性更好.

4 結(jié) 論

針對商用車車道保持控制精度不高的問題，在模型預(yù)測控制的基礎(chǔ)上設(shè)計了魯棒模型預(yù)測控制器.建立了三自由度車輛動力學(xué)模型，通過對模型的線性化和離散化處理得到了線性離散車輛動力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，以橫向路徑偏差和航向角偏差作為輸出量，前輪轉(zhuǎn)角作為控制量，設(shè)計了魯棒模型預(yù)測控制器，建立min-max目標(biāo)函數(shù)并設(shè)定約束條件，利用線性矩陣不等式LMI理論求解最優(yōu)化問題.在Trucksim/Simulink仿真平臺上對直道工況和蛇形工況進(jìn)行聯(lián)合仿真，結(jié)果表明：相比于模型預(yù)測控制，魯棒模型預(yù)測控制的響應(yīng)更快，路徑跟蹤精度顯著提高，魯棒性更好.