?浙江省寧波市鄞州中學(xué) 徐欣欣

1 引言

數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，運(yùn)算能力的缺乏已經(jīng)嚴(yán)重掣肘學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升，筆者對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算中常用的技巧和思想加以總結(jié)，希望能助學(xué)生打破固有思路局限，拓展數(shù)學(xué)思維，并提升反思總結(jié)的能力.不等式問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)碰到多變量問(wèn)題，日常教學(xué)中，學(xué)生碰到不等式問(wèn)題往往習(xí)慣性用不等式的性質(zhì)去解.盡管部分多變量問(wèn)題可以用不等式直接解決，但大多數(shù)時(shí)候若用消元處理則可以起到事半功倍的效果.本文中以不等式問(wèn)題舉例說(shuō)明代入消元、整體換元消元、等價(jià)轉(zhuǎn)化消元的運(yùn)用.

2 消元法的應(yīng)用技巧

評(píng)注：該例題通過(guò)代入等式消元，轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)問(wèn)題，若求最值則需要驗(yàn)證等號(hào)能否取到，若求范圍則需要把函數(shù)定義域求解準(zhǔn)確.代入消元是最基本的消元方法，經(jīng)常使用.

評(píng)注：該例題依舊是通過(guò)代入等式消元，轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)問(wèn)題，但有所變化.已知條件中有x,y,z三個(gè)變量，而問(wèn)題中只有x,y兩個(gè)變量，常規(guī)想法是先消變量z，再消變量x或y，此題根據(jù)代數(shù)式特征直接消去了x,y變量，保留了z變量.

評(píng)注：該例題的關(guān)鍵是由y+(x-3y)=x-2y發(fā)現(xiàn)可以把x-2y看作一個(gè)整體，進(jìn)行整體換元，從而達(dá)到消元目的.整體換元不僅可以把含兩個(gè)變量的式子看作一個(gè)整體，也可把含三個(gè)、四個(gè)變量的式子看作一個(gè)整體，從而同時(shí)消去多個(gè)變量.

例5已知a>0,b>0，證明不等式：

證明因?yàn)閍≠b，所以不妨設(shè)0

所以函數(shù)f(t)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(t)>f(1)=0.

例6已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a2+2b2+3c2=1，則a+2b的最大值為.

解由a2+2b2+3c2=1，得a2+2b2≤1.

評(píng)注：該例題第一步通過(guò)等式轉(zhuǎn)化為不等式從而達(dá)到消元效果.此過(guò)程看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不易想到，關(guān)鍵是需要理解等價(jià)性，此題取到最值時(shí)存在滿(mǎn)足條件的c即可.

3 總結(jié)

代入消元有代入等式消元和代入不等式消元，代入不等式消元有時(shí)需要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行主元處理.比值消元作為整體換元消元中一類(lèi)最常用的消元方式，往往需要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行齊次化處理.消元不僅在不等式問(wèn)題中經(jīng)常使用，對(duì)于其他情形的多變量問(wèn)題，照樣適用，而且對(duì)消元順序的處理，往往能提供解題思路，所以培養(yǎng)學(xué)生的消元意識(shí)，學(xué)會(huì)消元技巧至關(guān)重要.Z