孫照強(qiáng)，魏巍，王志貴，陳燕

（1. 北京無線電測量研究所，北京 100854；2. 中國衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)管理辦公室，北京 100053）

0 引言

彈道導(dǎo)彈是現(xiàn)代高技術(shù)戰(zhàn)爭中的重要作戰(zhàn)武器，具有射程遠(yuǎn)、威力大、機(jī)動強(qiáng)、精度高等優(yōu)良的戰(zhàn)術(shù)性能，在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中占有極其重要的位置。正因為如此，彈道導(dǎo)彈的防御正逐漸成為各國關(guān)注的焦點。為了實現(xiàn)對彈道導(dǎo)彈的成功攔截，地面探測雷達(dá)的跟蹤精度是至關(guān)重要的。因此，彈道目標(biāo)跟蹤濾波方法的選擇和設(shè)計就成了重中之重。

彈道導(dǎo)彈從發(fā)射到落地的整個飛行過程可分為3 個階段：主動段、自由段和再入段［1-2］。在各個運(yùn)動階段彈道導(dǎo)彈受到的作用力不同，其動力學(xué)特性具有顯著的差異性［3］。在實際應(yīng)用中，彈道導(dǎo)彈跟蹤系統(tǒng)都是非線性的，一般采用對于非線性系統(tǒng)具有良好跟蹤性能的濾波算法，其中最具代表性的有擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）［4-5］、無敏卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）［6-8］和粒子濾波（particle filter，PF）［9-10］。其中，PF 相比于EKF和UKF 不受高斯噪聲的假設(shè)，并且對任意狀態(tài)模型均有較好的適應(yīng)性，但是PF 需要已知狀態(tài)向量的后驗概率密度，因此在實際應(yīng)用中，對于彈道導(dǎo)彈的跟蹤最常用的還是EKF 和UKF 算法。然而，由于這2種濾波方法所采用的線性化手段不同，導(dǎo)致其濾波精度、計算量、收斂時間等不盡相同，在實際應(yīng)用中需要針對具體的跟蹤場景進(jìn)行綜合考慮。

針對以上問題，本文從現(xiàn)有的幾種彈道導(dǎo)彈跟蹤方法出發(fā)，分別對其應(yīng)用關(guān)鍵點、優(yōu)缺點進(jìn)行了詳細(xì)分析。通過仿真實驗對比了幾種濾波算法的跟蹤精度，給出了不同濾波算法在實際應(yīng)用中需要重點考慮的問題，為彈道導(dǎo)彈目標(biāo)跟蹤濾波方法的選擇和設(shè)計提供參考和依據(jù)。

1 目標(biāo)跟蹤濾波方法綜述

1.1 濾波坐標(biāo)系的選擇

當(dāng)雷達(dá)處于跟蹤狀態(tài)時，雷達(dá)波束指向角會隨著目標(biāo)的運(yùn)動而變化。為了唯一定量地描述目標(biāo)的空間運(yùn)動狀態(tài)，需要以某一參照系為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系。對于相控陣?yán)走_(dá)來說，目標(biāo)量測的獲取一般是先在陣面余弦坐標(biāo)系下獲得雷達(dá)測量誤差，然后結(jié)合波束指向得到目標(biāo)的距離、角度等信息。在濾波過程中所用到的量測值可以有以下幾種選擇：一是陣面余弦坐標(biāo)系下的距離以及各方向余弦；二是雷達(dá)球坐標(biāo)系下的徑向距離R、方位角Az和俯仰角E；三是雷達(dá)大地直角（北天東）坐標(biāo)系下的x，y，z，具體采用哪種量測值進(jìn)行跟蹤濾波，需要依據(jù)雷達(dá)類型以及跟蹤環(huán)境進(jìn)行選擇。

1.2 線性濾波和非線性濾波

通常，濾波過程可分為線性濾波和非線性濾波2 種。判斷是線性濾波還是非線性濾波取決于2 個方面：一是目標(biāo)的觀測方程，即雷達(dá)測量值與目標(biāo)狀態(tài)值之間的關(guān)系。在許多實際情況中，雷達(dá)測量值是在球坐標(biāo)系下得到的，而目標(biāo)的狀態(tài)值是在直角坐標(biāo)系下表示的，此時觀測方程是目標(biāo)狀態(tài)變量的非線性函數(shù)，需要采用非線性濾波進(jìn)行處理。二是目標(biāo)的狀態(tài)方程，或者叫運(yùn)動方程。運(yùn)動方程如果選擇勻速模型、勻加速模型或者類似的能夠?qū)⒛繕?biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與狀態(tài)變量分離開來，這樣的就是線性的運(yùn)動方程，反之就是非線性的。

1.3 濾波方法分析

由于彈道導(dǎo)彈在不同飛行階段所受作用力不同，其狀態(tài)方程以及雷達(dá)觀測數(shù)據(jù)與導(dǎo)彈運(yùn)動狀態(tài)參數(shù)之間的關(guān)系是非線性的，需要采用非線性濾波方法進(jìn)行處理。在實際應(yīng)用中，以選擇目標(biāo)量測值為雷達(dá)球坐標(biāo)系下的徑向距離R、方位角Az、俯仰角E，目標(biāo)狀態(tài)量為雷達(dá)大地直角（北天東）坐標(biāo)系下的(x，y，z，x?，y?，z?)T為例。在彈道導(dǎo)彈目標(biāo)跟蹤中常用的非線性濾波方法包括EKF、轉(zhuǎn)換測量卡爾曼濾波（conversion measurement Kalman filter，CMKF）［11］、基于彈道運(yùn)動方程的擴(kuò)展卡爾曼濾波（ballistic EKF，BEKF）［12］、基于彈道目標(biāo)運(yùn)動方程的無敏卡爾曼濾波（ballistic UKF，BUKF）4 種方法。篇幅所限，本文對上述4 種濾波方法的詳細(xì)濾波過程不作介紹，而是重點對4 種方法的關(guān)鍵點、優(yōu)缺點以及仿真條件進(jìn)行分析。

為方便后續(xù)方法比較，首先給出非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計的一般描述。

非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

測量方程為

為此，系統(tǒng)的狀態(tài)估計值可表示為

（1）EKF

為了解決彈道導(dǎo)彈跟蹤濾波的非線性問題，通常處理方法是將非線性濾波問題轉(zhuǎn)換為近似線性濾波問題，其中一種線性化方法是泰勒級數(shù)展開，由此得來的方法即是EKF 濾波。即對式（1），（2）中的非線性函數(shù)在?(k|k)附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并保留一階項為

式中：fX(k)為狀態(tài)方程的雅克比矩陣，可表示為

同理，可得到測量方程的雅克比矩陣。

由于在濾波過程中目標(biāo)量測值為雷達(dá)大地球坐標(biāo)系下的R，Az，E，目標(biāo)運(yùn)動方程為雷達(dá)大地直角坐標(biāo)系下的勻加速模型?？梢?，此時只有測量方程為非線性函數(shù)。因此，只需利用泰勒級數(shù)展開求出量測方程的雅可比矩陣，然后利用卡爾曼濾波過程即可完成濾波。EKF 算法相對簡單，計算量較小。

（2）CMKF

在上述EKF 濾波過程中，濾波器將狀態(tài)預(yù)測轉(zhuǎn)換到測量坐標(biāo)系下，用測量信息來更新狀態(tài)的均值和方差。在彈道導(dǎo)彈跟蹤中，將非線性過程轉(zhuǎn)換為線性化問題處理的另一種手段，是將目標(biāo)的量測值轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系，這樣導(dǎo)彈的狀態(tài)方程與觀測數(shù)據(jù)之間的關(guān)系就變?yōu)榫€性關(guān)系，就可利用線性濾波方法進(jìn)行濾波處理，這種方法被稱之為CMKF方法。

然而這種方法需要求出目標(biāo)轉(zhuǎn)換量測值和轉(zhuǎn)換量測誤差的協(xié)方差矩陣［13］。其中，求解轉(zhuǎn)換量測誤差的協(xié)方差矩陣相對復(fù)雜，計算量較大。同時，還需要估計出雷達(dá)量測值R，Az，E的方差。但是，估計R，Az，E的方差在實際應(yīng)用中存在一定的困難和不確定性，應(yīng)用起來受到一定限制，濾波效果不佳。

（3） BEKF

BEFK 與EKF 的差別是目標(biāo)運(yùn)動方程由勻加速模型變?yōu)槔走_(dá)大地直角坐標(biāo)系下的彈道目標(biāo)運(yùn)動方程，運(yùn)動方程中考慮了目標(biāo)引力、離心慣性力、葛氏慣性力和空氣阻力的影響［14］。在實際應(yīng)用中，需要求出量測方程和運(yùn)動方程的雅可比矩陣，求解過程相對復(fù)雜，但是由于其采用了彈道目標(biāo)的運(yùn)動方程，對彈道目標(biāo)的濾波精度比常規(guī)的EKF和CMKF都高。

（4）BUKF

為了進(jìn)一步改善非線性問題對濾波的影響，UKF 方法在處理目標(biāo)狀態(tài)方程時采用無敏變換對狀態(tài)方程的概率密度分布進(jìn)行近似，用一系列采樣點來逼近狀態(tài)的后驗概率密度，而不對非線性函數(shù)進(jìn)行近似［15］。無敏變換基本原理如下：

假設(shè)隨機(jī)變量x的維數(shù)為nx，非線性方程為y=h(x)，假設(shè)x的均值和協(xié)方差分別是和Px，利用無敏變換方法計算y的一、二階矩的步驟如下：

計算2nx+ 1 個采樣點xi，及其相應(yīng)的權(quán)值wi

式 中：λ為尺度參數(shù)為矩陣(nx+λ)Px開方運(yùn)算的第i行或第i列向量，可以利用Cho?lesky 分解進(jìn)行計算。以上采樣點集通過非線性方程得到y(tǒng)的采樣點集為

狀態(tài)y的均值和協(xié)方差以及y與x的互協(xié)方差，可近似通過后驗采樣點的加權(quán)值的均值和方差得到，即

由于UKF 算法沒有線性化近似過程，未忽略高階項，因此相比EKF 來說精度較高［16］。

將雷達(dá)在大地直角坐標(biāo)系下的彈道目標(biāo)運(yùn)動方程作為狀態(tài)方程推導(dǎo)而來的UKF 算法在本文中被稱為BUKF。由于濾波過程中需要進(jìn)行多次無敏變換，該算法計算量較大，正常情況下大約是BEKF的5~6 倍［17］，但是由于其采用了彈道目標(biāo)的運(yùn)動方程，同時不存在線性化近似，因此估計精度是4 種方法中最高的。

2 濾波算法的仿真與分析比較

2.1 仿真場景

雷達(dá)在球坐標(biāo)系下對彈道導(dǎo)彈的觀測誤差充分考慮了雷達(dá)威力、目標(biāo)RCS（radar cross-section）、熱噪聲、量化噪聲等多項測量誤差影響因素，且假設(shè)雷達(dá)距離、方位和俯仰量測噪聲服從相互獨立的零均值正態(tài)分布，其方差按照雷達(dá)方程實時計算得到。仿真的彈道目標(biāo)其射程為2 500 km，在地面雷達(dá)看來其徑向距離、方位角、俯仰角和全速度變化曲線分別如圖1~4 所示，目標(biāo)再入速度最大近4.5 km/s。

圖1 目標(biāo)距離隨時間的變化關(guān)系Fig.1 Change of target range with time

圖2 目標(biāo)方位角隨時間的變化關(guān)系Fig.2 Change of target azimuth with time

圖3 目標(biāo)仰角隨時間的變化關(guān)系Fig.3 Change of target elevation with time

圖4 目標(biāo)全速度隨時間的變化關(guān)系Fig.4 Change of target velocity with time

2.2 濾波仿真

基于2.1 節(jié)仿真場景給定的彈道目標(biāo)運(yùn)動及雷達(dá)測量誤差的設(shè)定下，通過50 次蒙特卡羅求RMES平均值的方法，進(jìn)行CMKF，EKF，BEKF 以及BUKF 4 種濾波器的性能比較。其中，基于彈道運(yùn)動方程的BUFK 濾波方法采樣點數(shù)為13，尺度參數(shù)設(shè)為0.1。4 種濾波器的濾波誤差結(jié)果如圖5~7 所示。

圖5 距離的均方根誤差曲線Fig.5 Range root-mean-square error

圖6 方位角的均方根誤差曲線Fig.6 Azimuth root-mean-square error

圖7 俯仰角的均方根誤差曲線Fig.7 Elevation root-mean-square error

為了特別驗證質(zhì)阻比參數(shù)對BEKF 和BUKF 在目標(biāo)再入段精度的影響，進(jìn)行了質(zhì)阻比失配條件對濾波器精度影響的仿真，如圖8~11 所示。

圖8 質(zhì)阻比對距離的影響Fig.8 Effect of mass-to-drag ratio on range

2.3 分析比較及結(jié)論

（1）濾波精度分析時

圖9 質(zhì)阻比對方位角的影響Fig.9 Effect of mass-to-drag ratio on azimuth

圖10 質(zhì)阻比對俯仰角的影響Fig.10 Effect of mass-to-drag ratio on elevation

圖11 質(zhì)阻比對全速度的影響Fig.11 Effect of mass-to-drag ratio on velocity

BEKF 和BUKF 都是基于彈道目標(biāo)的運(yùn)動模型進(jìn)行的濾波，濾波精度都較高，比較而言BUKF 算法略優(yōu)于BEKF，但是兩者精度相差不大。然而，UKF計算量約為EKF 的5~6 倍（運(yùn)動模型不一樣還會有變化）。

CMKF 和EKF 都是采用勻加速模型，濾波精度一致。從使用角度來講，EKF 與CMKF 相比運(yùn)算量較小，魯棒性更好一點。

（2）再入段跟蹤性能

由于BEKF 和BUKF 運(yùn)動方程中考慮了空氣阻力的影響，同時將空氣阻力的影響動態(tài)地反映在運(yùn)動方程中，因此能夠根據(jù)跟蹤情況實時調(diào)整相關(guān)參數(shù)，跟蹤性能優(yōu)于基于CA 模型的EKF 和CMKF。

（3）質(zhì)阻比參數(shù)的影響

在BEKF 和BUKF 中，質(zhì)阻比參數(shù)對目標(biāo)再入時跟蹤精度也有影響。質(zhì)阻比參數(shù)與真實質(zhì)阻比相差越小，濾波精度越好。在實際應(yīng)用中，根據(jù)情況可選擇恰當(dāng)?shù)馁|(zhì)阻比參數(shù)，以提升再入時濾波精度。

3 算法分析結(jié)果和體會

選擇和設(shè)計目標(biāo)跟蹤濾波方法時，需要考慮幾個問題：

（1）濾波精度

濾波精度是選擇濾波算法考慮的首要指標(biāo)，對彈道目標(biāo)的濾波精度由高到低依次為BUKF，BEKF，EKF，CMKF。

（2）計算量

以目前的計算機(jī)水平，計算量應(yīng)該不是大問題，計算量由大到小依次為：BUKF，BEKF，CMKF，EKF（后3 種計算量相差不明顯）。

（3）算法收斂速度

算法收斂速度與濾波器初值、初始協(xié)方差矩陣、運(yùn)動模型、算法本身等很多因素有關(guān)，可通過調(diào)整相應(yīng)參數(shù)達(dá)到快速收斂的目的。

（4）算法對不同類型目標(biāo)的適應(yīng)能力，即魯棒性

4 種 算 法 中，BUKF 和BEKF 采 用 彈 道 運(yùn) 動 模型，對彈道目標(biāo)的濾波精度較高，但是其對其他類型的目標(biāo)濾波精度就會受到限制。在實際使用中，如果采用空氣動力目標(biāo)如飛機(jī)進(jìn)行校飛，就不能真實反映其對彈道目標(biāo)的濾波效果。EKF 和CMKF 采用勻加速模型，能夠跟蹤不同類型的目標(biāo)，但是其對彈道目標(biāo)的濾波效果就不如BUKF 和BEKF。綜合而言，應(yīng)該根據(jù)雷達(dá)的任務(wù)，在魯棒性和濾波精度方面做出選擇。

4 結(jié)束語

本文首先對彈道目標(biāo)的跟蹤濾波方法進(jìn)行了綜述，對4 種濾波算法的關(guān)鍵點、優(yōu)缺點進(jìn)行了剖析，利用仿真的彈道數(shù)據(jù)對4 種濾波方法進(jìn)行了分析和驗證。分析了濾波器的濾波精度和再入目標(biāo)的跟蹤性能，以及質(zhì)阻比對濾波性能的影響，提高了算法的適應(yīng)能力和濾波精度。最后給出選擇和設(shè)計目標(biāo)跟蹤濾波方法時需要考慮的幾個問題，為雷達(dá)濾波方法的選擇和設(shè)計提供參考和依據(jù)，可指導(dǎo)工程應(yīng)用。