李方俊，王生捷

（北京機(jī)械設(shè)備研究所，北京 100854）

0 引言

針對(duì)某大慣量交流伺服系統(tǒng)，如何克服末端齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)齒隙對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響具有十分重要的意義。在單電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制方案中，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者提出了許多消除齒隙影響的算法，如根據(jù)齒隙的數(shù)學(xué)模型，在反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)齒隙進(jìn)行補(bǔ)償［1-4］；利用狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)齒隙大小進(jìn)行估計(jì)［5-6］。但以上方法對(duì)系統(tǒng)模型建立精度要求較高，且算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，傳動(dòng)結(jié)構(gòu)存在較大的變形與應(yīng)力，故在大慣量齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中常采用雙電機(jī)同步消隙驅(qū)動(dòng)方案［7-9］。

常見的雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)由電流環(huán)、速度環(huán)以及位置環(huán)構(gòu)成，采用變偏置力矩曲線施加置電流環(huán)上對(duì)齒隙進(jìn)行補(bǔ)償。此種方法不依賴于齒隙的數(shù)學(xué)模型，控制算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，延長(zhǎng)了機(jī)械結(jié)構(gòu)的使用壽命［10］。同時(shí)，采用交叉耦合方式來(lái)減小兩側(cè)電機(jī)速度偏差引起的結(jié)構(gòu)沖擊［11-13］。但此種控制方法仍存在不足之處，如系統(tǒng)響應(yīng)速度較慢且對(duì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)變化以及外部擾動(dòng)魯棒能力較弱，在運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的沖擊力將打破系統(tǒng)的靜態(tài)平衡，甚至引起結(jié)構(gòu)的抖動(dòng)。

本文提出了一種以反步控制理論為基礎(chǔ)，僅由位置環(huán)和電流環(huán)構(gòu)成的新型雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)控制方案。在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中引入了一種積分非奇異終端滑模面，削弱了滑模控制常見的抖動(dòng)問(wèn)題，使得系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)；系統(tǒng)的參考位置指令采用指令濾波的方式，避免了在控制器設(shè)計(jì)中求導(dǎo)過(guò)程導(dǎo)致的控制量過(guò)大的問(wèn)題。為了克服外在擾動(dòng)的影響，系統(tǒng)引入了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)力矩進(jìn)行補(bǔ)償。在Matlab/Simulink與Adams中的聯(lián)合仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，證明了本文所設(shè)計(jì)方案能有效提高雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)的響應(yīng)能力及魯棒性能。

1 雙電機(jī)同步消隙系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

如圖1所示為雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的示意圖，從圖中可看出，兩側(cè)電機(jī)輸出力矩經(jīng)減速器作用后傳遞至系統(tǒng)末端的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，從而帶動(dòng)負(fù)載運(yùn)行。

圖1 雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)Fig.1 Dual-motor driving system

由于永磁同步電機(jī)體積小、功率密度大的特點(diǎn)，在交流傳動(dòng)系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，其數(shù)學(xué)模型可以表示為

式中：Ld，Lq為d，q軸電感；id，iq為d，q軸電流；Ud，Uq為d，q軸電壓；R為定子電阻；λf為轉(zhuǎn)子磁鏈；ωe為電角速度；np為電機(jī)極對(duì)數(shù)；Te為電磁力矩。

經(jīng)減速器作用后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中：Jm1，Jm2為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jr1，Jr2為減速器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θ1，θ2為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械角度；Bm1，Bm2為動(dòng)摩擦因數(shù)；M1，M2為減速器輸出力矩；i為減速器傳動(dòng)比。

減速器輸出至末端小齒輪結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：Jg1，Jg2為小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θg1，θg2為小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度；Bg1，Bg2為動(dòng)摩擦因數(shù)；Mg1，Mg2為大小齒輪間的傳遞力矩。

齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)間的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：Jm為大齒輪與負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；θG為大齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度；Bm為動(dòng)摩擦因數(shù)；Mm為大齒輪與負(fù)載的驅(qū)動(dòng)力矩；TL為外部擾動(dòng)力矩；iG為大小齒輪的傳動(dòng)比。

由于齒隙的影響，大小齒輪間的傳遞力矩變化并不連續(xù)，根據(jù)常見的齒隙死區(qū)模型，其數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：Δ為齒隙的間隙大?。籏為齒輪間的接觸力剛度系數(shù)；C為接觸摩擦系數(shù)。為了克服齒隙的影響，在雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)中常采用預(yù)加變偏置力矩的方式來(lái)補(bǔ)償結(jié)構(gòu)中的傳動(dòng)間隙，原理圖如圖2所示。

如圖2所示，根據(jù)參考電流指令輸入值的大小，可將偏置電流曲線分為3部分：

圖2 變偏置電流原理圖Fig.2 Var iable bias cur r ent schematic diagr am

（1）在BC段內(nèi)，施加于兩側(cè)電機(jī)的偏置電流處于最大值且方向相反，此時(shí)雙電機(jī)處于互相出力阻礙運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

（2）在AB與DC段內(nèi)，隨著負(fù)載的逐漸增加，參考電流指令絕對(duì)值也逐漸變大，這一過(guò)程中為了提高電能的利用率，將使偏置電流曲線以固定速率恒定衰減。

（3）當(dāng)負(fù)載在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步變大，參考電流指令絕對(duì)值已超出AB段與DC段的范圍，兩側(cè)電機(jī)偏置電流大小衰減為0。

為了保持雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中兩側(cè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速平衡，減小兩側(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速差異引起的結(jié)構(gòu)沖擊，在雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)中常采用交叉耦合均速負(fù)反饋方式設(shè)計(jì)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速閉環(huán)，系統(tǒng)的傳動(dòng)部分控制框圖如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)傳動(dòng)部分控制框圖Fig.3 Control block diagram of the system transmission part

式中：T1，2為電流濾波系數(shù)；Kt1，t2為 電 機(jī) 力 矩 系 數(shù)；Ce1，e2為反電勢(shì)系數(shù)；Kp_syn為轉(zhuǎn)速同步調(diào)節(jié)器比例系數(shù)。

2 新型雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)算法設(shè)計(jì)

2.1 反步積分非奇異終端滑模（BINTSM）控制器設(shè)計(jì)

為了簡(jiǎn)化傳統(tǒng)雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)，提高系統(tǒng)的響應(yīng)能力及魯棒能力，本文基于反步控制理論設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的新型控制算法，具體過(guò)程如下：

依據(jù)式（4），可將大齒輪及負(fù)載動(dòng)力學(xué)方程改寫為

式中：ωG為大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；u為兩側(cè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)大齒輪及負(fù)載運(yùn)行的驅(qū)動(dòng)力矩。

令x1=θG，x2=ωG，?=Bm Jm，Λ=TL/Jm，yr為位置指令參考值，依據(jù)反步法構(gòu)造新的狀態(tài)變量z1，z2為

式中：α1為反步法中的虛擬控制變量，現(xiàn)構(gòu)造第1步Lyapunov函數(shù)為

則

令α1=-c1z1（c1為正比例系數(shù)），代入式（10）可得

由式（11）可知，當(dāng)z1，z2趨近于0時(shí)，能保證V?1≤0，因此V1正定，V?1負(fù)定，能保證第1步Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定。

下一步為了提高系統(tǒng)的響應(yīng)能力及面對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的魯棒能力，在此步設(shè)計(jì)中引入了積分非奇異終端滑模面。相較于其他滑模面，積分非奇異終端滑模面具有控制量抖動(dòng)小，收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)［14-15］，因此可設(shè)計(jì)反步法的第2步Lyapunov函數(shù)為

這里采用指數(shù)趨近率S?=-Dsgn(S)-Ks S，D>0，Ks>0，對(duì)控制器輸出u進(jìn)行計(jì)算可得

考慮到齒隙已被前文所述變偏置力矩方法所補(bǔ)償，可得

則最終反步積分非奇異終端滑模（backstepping integral nonsingular terminal sliding mode，BINTSM）控制器的輸出電流參考值為

2.2 穩(wěn)定性證明

將式（14）代入（13）中可得

現(xiàn)對(duì)的穩(wěn)定性進(jìn)行討論：

通過(guò)選取D值可使D≥|Λ|成立，則D|S|+ΛS≥0成立；由于β，p，q，Ks均為正數(shù)，故對(duì)的正負(fù)進(jìn)行分析：

由于p，q均為奇數(shù)且q

可知反步法所設(shè)計(jì)第2步Lyapunov函數(shù)V2穩(wěn)定性成立，故積分非奇異終端滑模面將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0，此時(shí)狀態(tài)變量z2也將保持為0狀態(tài)，則第1步Lyapunov函數(shù)V?1≤0成立，狀態(tài)變量z1將在有限時(shí)間內(nèi)趨于0狀態(tài)，系統(tǒng)實(shí)際位置到達(dá)指令位置。根據(jù)式（12）中的控制器輸出表達(dá)式，符號(hào)函數(shù)sgn（）的不連續(xù)性將使控制量存在高頻抖動(dòng)部分，可能會(huì)激發(fā)系統(tǒng)的高頻特性從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定，故本文在算法中針對(duì)符號(hào)函數(shù)做如下處理，選擇飽和函數(shù)sat（）來(lái)取代符號(hào)函數(shù)：

這樣將使控制量連續(xù)變化，削弱其高頻抖動(dòng)部分；針對(duì)在控制率中對(duì)參考位置指令求一階導(dǎo)數(shù)甚至二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，為了避免如階躍信號(hào)求導(dǎo)后引起控制量過(guò)大的問(wèn)題，本文采用指令濾波的方式對(duì)位置參考信號(hào)進(jìn)行了平滑處理。

2.3 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）的擾動(dòng)補(bǔ)償

由于雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)中存在著各種擾動(dòng)力矩，如摩擦力矩、沖擊干擾力矩等，本文為了有效抑制這些擾動(dòng)因素采用了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ex?tended state observer，ESO）對(duì) 這 些 擾 動(dòng) 進(jìn) 行 補(bǔ)償［16-17］。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器能將系統(tǒng)的各種擾動(dòng)總和進(jìn)行處理，無(wú)需依賴系統(tǒng)的精確模型，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。根據(jù)式（7）且考慮到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，可將大齒輪及負(fù)載動(dòng)力學(xué)方程重寫為

令x1=ωG，則式（21）可重寫為

式中：h為總擾動(dòng)的變化率；現(xiàn)可設(shè)計(jì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（liner ESO，LESO）為

則根據(jù)式（22）與式（23）可得觀測(cè)誤差矩陣為

式中：λ為誤差矩陣特征值；I2為二階單位矩陣；ωf為設(shè)計(jì)觀測(cè)器的帶寬。

解式（25）可得

為了避免噪聲的影響，觀測(cè)器帶寬ωf不宜設(shè)計(jì)過(guò)大，且考慮到雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)中的齒隙已被變偏置力矩所補(bǔ)償，則觀測(cè)器輸入可表示為

觀測(cè)器輸出反饋至系統(tǒng)電流環(huán)的補(bǔ)償值為

3 系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 系統(tǒng)仿真模型建立

根據(jù)式（5）中所示的齒隙數(shù)學(xué)模型，可知在運(yùn)行過(guò)程中齒隙間傳遞力矩大小是會(huì)隨著齒隙變化而變化。如何更精確地對(duì)齒隙模型進(jìn)行仿真且考慮到齒隙變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，本文提出了基于Matlab/Simulink與Adams的聯(lián)合仿真方式，即在Simulink中運(yùn)行控制算法與邏輯，在Adams中進(jìn)行動(dòng)力學(xué)的仿真。在三維建模軟件中創(chuàng)建好模型后導(dǎo)入至Ad?ams，在Adams中對(duì)齒輪結(jié)構(gòu)添加接觸力約束，以物體嵌入深度與速度作為接觸力大小計(jì)算的依據(jù)，故在Adams中對(duì)齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的仿真更符合實(shí)際工況。建立好的新型雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)控制框圖如圖4所示。

圖4 新型雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)控制框圖Fig.4 Control block diagram of the new dual-motor synchronous anti-backlash servo system

仿真所用表貼式永磁同步電機(jī)、齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

設(shè)定仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)為PID型常規(guī)雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)、PID+ESO型擾動(dòng)補(bǔ)償雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)和BINTSM+ESO型新型雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)。將分別對(duì)各方案的系統(tǒng)響應(yīng)能力及抗擾動(dòng)能力進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析，對(duì)于各方案中共有的偏置電流消隙控制器和交叉耦合轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器，其參數(shù)設(shè)置如下：偏置電流幅值為5 A，參考電流為0；交叉耦合轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器參數(shù)Kp_syn為2。電指令值大小為7.5 A時(shí)開始衰減，直至10 A時(shí)變流環(huán)濾波系數(shù)T1，2為0.01，電流參考指令限幅值為30 A，各方案控制器參數(shù)設(shè)計(jì)規(guī)則如表2所示。

表2 控制器設(shè)計(jì)參數(shù)Table 2 Controller design parameters

3.2 空載階躍信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)給定系統(tǒng)空載條件下0.4 s到達(dá)1 rad的階躍位置指令信號(hào)，得到各方案下系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖5，6所示。

圖5 空載階躍位置指令響應(yīng)曲線Fig.5 Response of the step position command with no load

從以上的階躍位置信號(hào)響應(yīng)圖可以看出，在空載條件下，以反步積分非奇異終端滑模（BINTSM）控制器為核心的新型雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)能得到更快的響應(yīng)速度，比常規(guī)PID型雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)提高約2 s的到位時(shí)間；從電流信號(hào)的變化也可看出，BINTSM控制方法能得到更快的力矩響應(yīng)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)2種方式下兩側(cè)電機(jī)電流值大小均為5 A，符合消隙控制器的設(shè)計(jì)要求。

圖6 空載階躍位置指令電流響應(yīng)曲線Fig.6 Current response of the step position command with no load

3.3 空載正弦信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)再給定空載條件下周期4 s幅值為1 rad的正弦位置指令信號(hào)，得到的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)如圖7，8所示。

從圖7可以看出，BINTSM控制方法具有更快的跟蹤速率，且位置曲線變化平滑，不受齒隙的影響。

圖7 空載正弦位置指令響應(yīng)曲線Fig.7 Response of the sinusoidal position command with no load

3.4 正弦干擾力矩加載仿真實(shí)驗(yàn)

在保持同樣的階躍位置指令輸入后，在2 s時(shí)給系統(tǒng)施加周期4 s幅值為1 000 N·m的擾動(dòng)力矩，可得到系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖9，10所示。

圖8 空載正弦位置指令電流響應(yīng)曲線Fig.8 Cur r ent response of the sinusoidal position command with no load

圖9 正弦擾動(dòng)力矩作用下位置速度響應(yīng)曲線Fig.9 Position and velocity response curve under sinusoidal disturbance torque

從周期擾動(dòng)力矩加載實(shí)驗(yàn)可以看出，PID算法位置波動(dòng)范圍為0.84～1.15 rad，PID+ESO算法位置波動(dòng)范圍為0.96～1.03 rad，BINTSM+ESO算法位置波動(dòng)范圍為0.997～1.002 rad。從速度變化曲線可看出，在施加周期擾動(dòng)后，BINTSM+ESO算法速度變化范圍始終在零速較小區(qū)間范圍內(nèi)變化，而PID+ESO算法速度曲線與零速有較大的偏差值。從以上加載仿真實(shí)驗(yàn)電流曲線也可看出，本文所設(shè)計(jì)的BINTSM+ESO算法電流響應(yīng)較快，且與其他控制算法相比，電流變化范圍一致，未出現(xiàn)滑?？刂瞥Ｒ姷亩秳?dòng)情況。

圖10 正弦擾動(dòng)力矩作用下電流響應(yīng)曲線Fig.10 Current response curve under sinusoidal disturbance torque

4 結(jié)論

本文在反步控制理論的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)的新型雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)控制方案，在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中引入了積分非奇異終端滑模面，并利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)未建模動(dòng)態(tài)及擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：

（1）采用反步積分非奇異終端滑?？刂评碚搶?duì)雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，能簡(jiǎn)化系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)，并提高系統(tǒng)的響應(yīng)能力；積分非奇異終端滑模面的引入能減小滑?？刂瞥Ｒ姷亩秳?dòng)問(wèn)題，采用指令濾波的方式避免了控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中求導(dǎo)過(guò)程導(dǎo)致的輸出控制量過(guò)大。

（2）利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，增強(qiáng)了雙電機(jī)同步消隙伺服系統(tǒng)的魯棒能力，且相較于PID+ESO的擾動(dòng)補(bǔ)償方案，本文提出的BINSTM+ESO的控制策略有明顯的優(yōu)越性。