■安徽省霍邱縣第一中學(xué) 陳仿云 余其權(quán)(特級教師)

一、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一,構(gòu)造函數(shù)

例1(2022屆深圳市實驗學(xué)校月考)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=alnx。

(1)若曲線y=f(x)-g(x)在x=2處的切線與直線x+3y-7=0垂直,求實數(shù)a的值;

(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),若對任意兩個不等的正數(shù)x1,x2,都有＞2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)由y=f(x)-g(x)=-alnx,得y＇=x-。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=+alnx。

因為對任意兩個不等的正數(shù)x1,x2,都有＞2 恒成立,設(shè)x1＞x2,則h(x1)-h(x2)＞2(x1-x2),即h(x1)-2x1＞h(x2)-2x2恒成立。

令F(x)=h(x)-2x,則問題等價于函數(shù)F(x)=+alnx-2x在(0,+∞)上為增函數(shù),所以F＇(x)=x+-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥2x-x2在(0,+∞)上恒成立,即a≥(2x-x2)max=1。

故實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)。

二、尋找關(guān)系,變量化一

例2(2022屆陽春市第一中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2lnx(a為常數(shù))。

(1)當a≤4時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,且|x1-x2|≤,證明:|f(x1)-f(x2)|≤-4ln 2。

解析:(1)因為f(x)=x2+ax+2lnx,x∈(0,+∞),所以f＇(x)=2x+a+。

設(shè)g(x)=2x2+ax+2,x∈(0,+∞)。

當-4≤a≤4時,Δ≤0,2x2+ax+2≥0成立,則有f＇(x)＞0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知函數(shù)f(x)的兩個極值點x1,x2滿足2x2+ax+2=0,所以x1·x2=1,x1+x2=。

不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2,則f(x)在(x1,x2)上是減函數(shù),故f(x1)＞f(x2)。

評注:本題的關(guān)鍵點為利用函數(shù)的兩個極值點求得x1,x2的關(guān)系,利用函數(shù)的單調(diào)性求得|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),代入解析式替換掉x1后得到僅含有一個變量x2的解析式,然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),利用單調(diào)性解決問題。

三、差的代換,變量化一

例3(2021 屆湛江市高三第一次模擬)已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=2ax+1。

(1)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值集合;

(2)若a＞0,且方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的根x1,x2,證明:＜ln (2a)。

解析:(1)令u(x)=f(x)-g(x)=ex-2ax-1,則u＇(x)=ex-2a。

若a≤0,則u＇(x)＞0恒成立,u(x)在R上單調(diào)遞增,又因為u(0)=0,當x＜0 時,u(x)＜0,不合題意,故舍去。

若a＞0,令u＇(x)=0,得x=ln(2a),故當x＜ln(2a)時,u＇(x)＜0,u(x)單調(diào)遞減;當x＞ln(2a)時,u＇(x)＞0,u(x)單調(diào)遞增。故u(x)max=u(ln(2a))=2a-2aln(2a)-1≥0。

令h(x)=x-xlnx-1,所以h＇(x)=-lnx,令h＇(x)=0,得x=1,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故h(x)≤h(1)=0,即h(x)=x-xlnx-1≤0,即2a-2aln(2a)-1≤0,故2a=1,即a=。

綜上可得,a的取值集合為。

(2)方程f(x)-g(x)=0有兩個不同的根x1,x2,不妨令x1＜x2。

令t=＞0,即證e2t-1＞2tet,令g(t)=e2t-1-2tet,則g＇(t)=2et(et-t-1)。

因為et＞t+1,所以g＇(t)＞0,故g(t)單調(diào)遞增,g(t)＞g(0)=0,命題得證。

四、商的代換,變量化一

例4(2022屆皖西七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2lnx-ax2-bx(a,b∈R),g(x)=-lnx。

(1)當a=-2時,f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,求b的取值范圍;

(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,且x1＜x2,求證:＜a(x1+x2)+b。

解析:(1)因為a=-2,所以f(x)=2lnx+2x2-bx,由題意可知,f(x)與g(x)的定義域均為(0,+∞)。

又當a=-2時,f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,所以f(x)=2lnx+2x2-bx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f＇(x)=+4x-b≥0對x∈(0,+∞)恒成立,即b≤+4x對x∈(0,+∞)恒成立,所以只需。

總之,證明或求解雙變量函數(shù)或不等式的基本思想是將二元函數(shù)或不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或不等式,可以合理利用雙變量之間的關(guān)系直接代入消元,也可以分散雙變量后直接構(gòu)造函數(shù),還可以變換不等式使兩個變元成為一個整體即重組雙變量后換元成單變量的函數(shù),掌握這些常用的方法,則這類函數(shù)問題就能迎刃而解。